精品解析：湖南省娄底市2023-2024学年高三下学期高考考前仿真联考二数学试题

2024年高考考前仿真联考二 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号徐黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是特合题目要求的.） 1. 已知集合，若，则可能是（ ） A. -3 B. 0 C. 3 D. 6 2. 已知双曲线，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在中，角的对边分别为，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，若的展开式中，常数项等于240，则（ ） A. 3 B. 2 C. 6 D. 4 6. 已知圆台的体积为，母线长为3，高为，则圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若在区间有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的可导函数，当时，恒成立，且对任意的实数，都有，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选借的得0分.） 9. 已知复数的共轭复数分别为，下列结论正确的是（ ） A. 若为纯虚数，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则在复平而内对应的点的轨迹为直线 10. 我国向国际社会的环保承诺已经超额完成，积极稳妥推进碳达峰､碳中和，我国将继续坚持贯彻落实.某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量单位：与时间（单位：）的关系为，其中，是常数.已知在前消除了的污染物.则下列结论正确的是（ ） （参考数据：，） A. B. 过滤后还剩余的污染物 C. 污染物减少需要的时间为 D. 污染物减少所需要的时间为 11. 已知直线过定点，直线与圆相交于两点，动点满足，则下列结论正确的是（ ） A. 弦长度的最小值为4 B. 若为定值，，则动点的轨迹为直线 C. 若为定值，且，则动点的轨迹为椭圆 D. 若为定值，记的最大值为，则当取不同的值时的最小值是2 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 在三角形中，若，则向量在向量上的投影向量为__________. 13. 甲乙两名篮球运动爱好者进行三分球对抗赛，甲乙各投篮一次.已知甲投中的概率是0.8，乙投中的概率是0.75，甲乙两人每次是否投中互不影响.设事件为“两人至少投中一次”，事件为“甲投中”，则的值为__________. 14. 已知为坐标原点，为椭圆上任意一点，延长至，使，记点的轨迹为曲线，则曲线的方程为__________；若过点的直线交曲线于两点，则面积的最大值为__________. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知等比数列的各项都为正实数，. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：. 16. 如图，在三棱台.中，，平面平面. （1）求证：平面； （2）已知与相交于点，，且平面，设平面与所成角为，求的值. 17. 农民专业合作社是在农村家庭承包经营的基础上，同类农产品的生产经营者或同类农业生产经营服务的提供者､利用者､自愿联合､民主管理的互助性经济组织，国家给予农民专业合作社在生产､经营､销售等方面全方位的优惠政策.某地大型农民专业合作社不断探索优化生产､经营､销售等方面的科学方案，引入人工智能管理系统，合作社的市场营销研究人员调研该合作社的10个主体项目，统计分析人工智能管理的实际经济收益（单位：万元），与市场预测的经济收益（单位：万元）的相关数据如下表：（注：10个主体项目号分别记为） 项目号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 实际收益 5.38 7.99 6.37 6.71 7.53 5.53 4.18 4.04 6.02 4.23 预测收益 5.43 8.07 6.57 6.14 7.95 5.56 4.27 4.15 6.04 4.49 0.05 0.08 0.2 0.57 0.42 0.03 0.09 0.11 0.02 0.26 并计算得 （1）求该合作预测收益与实际收益的样本相关系数（精确到0.01），并判断它们是否具有较强的线性相关关系； （2）规定：数组满足为“类营销误差”；满足为“类营销误差”；满足为“类营销误差”.为进一步研究，该合作社的市场营销研究人员从“类营销误差”，“类营销误差”中随机抽取3组数据与“类营销误差”数据进行对比，记抽到“类营销误差”的数据的组数为随机变量.求的分布列与数学期望. 附：相关系数. 18. 已知是抛物线的焦点，直线是抛物线的准线，是坐标原点，点在抛物线上，且满足，连接并延长交于点，使得三角形的面积为. （1）求抛物线的方程； （2）若直线与抛物线交于点，线段中点为，证明：在轴上存在点，使得为定值，并求出该定值. 19. 已知函数. （1）当时，讨论函数的单调性； （2）若， （i）证明：函数有三个不同的极值点； （ii）记函数三个极值点分别为，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年高考考前仿真联考二 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号徐黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是特合题目要求的.） 1. 已知集合，若，则可能是（ ） A. -3 B. 0 C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，得，即可求解． 【详解】解：因为，所以， 故选：B 2. 已知双曲线，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据求出渐近线方程. 【详解】的渐近线方程为. 故选：A 3. 已知为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断. 【详解】当时，且，所以成立， 当时，得或，即不一定成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 在中，角的对边分别为，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由正弦定理推出，，再将等式中的边替换并与联立，求出即可算出面积. 【详解】由和正弦定理可得，，解得, 因，又，则，故. 由和勾股定理得，①，因②， 由①② 联立解得：， 故的面积为. 故选：C. 5. 已知，若的展开式中，常数项等于240，则（ ） A. 3 B. 2 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式求出常数项，建立方程得解. 【详解】由二项展开式的通项公式可得， 令，解得， 即常数项为，解得. 故选：B 6. 已知圆台的体积为，母线长为3，高为，则圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用母线长和高，求出上底面半径和下底面半径的等式关系，然后利用体积求出上底面半径和下底面半径的另一个等式关系，然后求出上下底面半径，再用侧面积公式即可求解. 【详解】 设上底面半径为，下底面半径为， 如图，根据题意， 在中，，即， 又因为圆台的体积为，所以， 即 由①②方程可得：， 所以圆台的侧面积为. 故选：D. 7. 已知函数，若在区间有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知进行换元，令，再结合余弦函数图象求解即可. 【详解】因为，且， 令，则， 即在上有三个零点， 由余弦函数图象知，即， 解得. 故选：D. 8. 已知定义在上的可导函数，当时，恒成立，且对任意的实数，都有，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，由可得单调递增，由可得是偶函数，最后在根据的单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】设，当时，，所以在单调递增， ，所以为偶函数， 所以，两边平方解得. 故选：C 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选借的得0分.） 9. 已知复数的共轭复数分别为，下列结论正确的是（ ） A. 若为纯虚数，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则在复平而内对应的点的轨迹为直线 【答案】ACD 【解析】 【分析】设出对应的复数，依据复数模的性质和运算性质判断A，C，D，举反例否定B即可. 【详解】对于A，设，，故成立，故A正确， 对于B，设，，则满足，但，故B错误， 对于C，设，，则，， 故，， 解得，，则，故C正确， 对于D，设，因为，， ，所以， 化简得，故在复平而内对应的点的轨迹为直线，故D正确. 故选：ACD. 10. 我国向国际社会的环保承诺已经超额完成，积极稳妥推进碳达峰､碳中和，我国将继续坚持贯彻落实.某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量单位：与时间（单位：）的关系为，其中，是常数.已知在前消除了的污染物.则下列结论正确的是（ ） （参考数据：，） A. B. 过滤后还剩余的污染物 C. 污染物减少需要的时间为 D. 污染物减少所需要的时间为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用题中条件可得，即可判断；当时，代入关系式时即可判断；当时，代入关系式即可判断，. 【详解】由题意，当时，， 当时，， 于是有，解得，故错误； 当时，，故正确； 当时，有， 解得，故错误，正确. 故选：. 11. 已知直线过定点，直线与圆相交于两点，动点满足，则下列结论正确的是（ ） A. 弦长度的最小值为4 B. 若为定值，，则动点的轨迹为直线 C. 若为定值，且，则动点的轨迹为椭圆 D. 若为定值，记的最大值为，则当取不同的值时的最小值是2 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，变形得到直线经过，点在圆内，故当⊥时，弦长度最小，求出最小值为4；B选项，，故动点的轨迹为线段的垂直平分线，为直线，B正确；C选项，证明出动点的轨迹为圆，并画出对应的图形；D选项，在C基础上，得到时，动点的轨迹为线段的垂直平分线，此时无最大值，与由对称性考虑基本情况一样，考虑，当为直径时，求出答案为2，当不为直径时，设，则，由比例关系求出，求出，最终判断D正确. 【详解】A选项，，故直线经过， 因为，故点在圆内， 故当⊥时，弦长度最小， 圆的半径为， 其中，故，A正确； B选项，为定值，，此时⊥， ，故， 直线，为两定点， 又，故动点的轨迹为线段的垂直平分线，为直线，B正确； C选项，下面证明，在平面内给定两点，设点在同一平面内，且满足， 当且时，点的轨迹为圆， 设，， 则， 化简得， 因为且，所以， 化为标准方程为， 所以点的轨迹为圆，圆心为，半径为， 在轴上找到点，使得，即， 当在右侧时，解得，故， 当在之间时，解得，故， 则与的中点坐标为，即， 且， 由于为定值，故为两定点， 因为，，故动点的轨迹为圆， 此圆可以这样得到，在直线上找到点，使得， 以为直径的圆即为所求，C错误 D选项，当时，动点的轨迹为线段的垂直平分线，此时无最大值， 当且时，由C选项知，的最大值即为， 由圆的对称性，只需考虑或两种情况， 不妨考虑， 当为直径时，此时，， ， 直线方程为 设，则， 由得，，解得， 此时， 当不为直径时，此时，设经过点的直径为， 由相交弦定理得， 又，故，故， ，解得， 又， 故 故， 可以看出在上单调递减， 故， 综上，为定值，记的最大值为，则当取不同的值时的最小值是2，D正确. 故选：ABD 【点睛】结论点睛：在平面内给定两点，设点在同一平面内，且满足， 当且时，点的轨迹为圆，即阿氏圆， 当时，点的轨迹为线段的垂直平分线,. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 在三角形中，若，则向量在向量上的投影向量为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得为线段的中点，，则为等腰三角形，然后根据投影向量的定义求解即可. 【详解】因为，所以为线段的中点， 因为，所以，所以, 所以， 所以为等腰三角形， 所以向量在向量上的投影向量为 , 故答案为：. 13. 甲乙两名篮球运动爱好者进行三分球对抗赛，甲乙各投篮一次.已知甲投中的概率是0.8，乙投中的概率是0.75，甲乙两人每次是否投中互不影响.设事件为“两人至少投中一次”，事件为“甲投中”，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据相互独立事件的乘法公式分别求出，再根据条件概率公式即可得解. 【详解】由题意， ， 所以. 故答案为：. 14. 已知为坐标原点，为椭圆上任意一点，延长至，使，记点的轨迹为曲线，则曲线的方程为__________；若过点的直线交曲线于两点，则面积的最大值为__________. 【答案】 ①. ②. . 【解析】 【分析】根据题意，由可得点的坐标，将点代入椭圆方程即可得到曲线的方程；再由条件可得，然后分直线的斜率存在于不存在讨论，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理，再由三角形的面积公式代入计算，即可求解. 【详解】 设，因为，则， 将点代入椭圆方程可得， 即曲线的方程为； 连接，由可知，所以， 设， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 代入曲线的方程可得， 则， 所以 ， 将直线的方程为代入曲线的方程可得， 因为与曲线有公共点，所以， 化简可得，令，则， 所以； 当直线的斜率不存在时，设直线的方程为， 代入曲线的方程可得， 所以， 令，则，则； 综上所述，面积的最大值为， 则面积的最大值为. 故答案为：； 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知等比数列的各项都为正实数，. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：. 【答案】（1） （2）证明：由（1）得， 所以， 所以， 所以 ， 所以， 因为， 所以. 【解析】 【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意列方程求出公比，从而可求出通项公式； （2）由（1）得，然后利用错位相减法可求出，再利用放缩法可证得结论. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 因为，所以， 化简得，解得或（舍去）， 所以； 【小问2详解】 略 16. 如图，在三棱台.中，，平面平面. （1）求证：平面； （2）已知与相交于点，，且平面，设平面与所成角为，求的值. 【答案】（1） 因为平面平面，且平面平面， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，且，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用面面垂直的判定定理，证得平面，得到，结合，利用线面垂直的判定，即可证得平面. （2）连接，的和，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得和平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，因为平面，且平面， 平面平面，所以， 因为，所以，所以， 根据棱台的性质，可得， 以为坐标原点，分别以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 又由平面，所以平面的一个法向量为， 所以， 所以. 17. 农民专业合作社是在农村家庭承包经营的基础上，同类农产品的生产经营者或同类农业生产经营服务的提供者､利用者､自愿联合､民主管理的互助性经济组织，国家给予农民专业合作社在生产､经营､销售等方面全方位的优惠政策.某地大型农民专业合作社不断探索优化生产､经营､销售等方面的科学方案，引入人工智能管理系统，合作社的市场营销研究人员调研该合作社的10个主体项目，统计分析人工智能管理的实际经济收益（单位：万元），与市场预测的经济收益（单位：万元）的相关数据如下表：（注：10个主体项目号分别记为） 项目号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 实际收益 5.38 7.99 6.37 6.71 7.53 5.53 4.18 4.04 6.02 4.23 预测收益 5.43 8.07 6.57 6.14 7.95 5.56 4.27 4.15 6.04 4.49 0.05 0.08 0.2 0.57 0.42 0.03 0.09 0.11 0.02 0.26 并计算得 （1）求该合作预测收益与实际收益的样本相关系数（精确到0.01），并判断它们是否具有较强的线性相关关系； （2）规定：数组满足为“类营销误差”；满足为“类营销误差”；满足为“类营销误差”.为进一步研究，该合作社的市场营销研究人员从“类营销误差”，“类营销误差”中随机抽取3组数据与“类营销误差”数据进行对比，记抽到“类营销误差”的数据的组数为随机变量.求的分布列与数学期望. 附：相关系数. 【答案】（1）该合作预测收益与实际收益具有较强的线性相关关系； （2）的分布列为 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）根据已知数据和公式计算相关系数，然后进行判断即可； （2）先求出每类的组数，然后由题意可得的所有可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率，从而可求得的分布列与数学期望. 【小问1详解】 因为 ， 由的值接近于1，所以该合作预测收益与实际收益具有较强的线性相关关系； 【小问2详解】 由题意得，“类营销误差”有5组，“类营销误差”有3组，“类营销误差”有2组， 若从“类营销误差”和“类营销误差”数据中抽取3组，抽到“类营销误差”的组数的所有可能取值为0，1，2，3，则 ，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以. 18. 已知是抛物线的焦点，直线是抛物线的准线，是坐标原点，点在抛物线上，且满足，连接并延长交于点，使得三角形的面积为. （1）求抛物线的方程； （2）若直线与抛物线交于点，线段中点为，证明：在轴上存在点，使得为定值，并求出该定值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，先求出点B的纵坐标，再代入三角形面积公式中求出p的值，进而可得抛物线的方程； （2）设出P，N，Q的坐标，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理以及向量的坐标运算进行求证即可. 【小问1详解】 抛物线方程的准线方程为， 因为，所以点A在线段OF的中垂线上， 所以，，此时， 即，解得. 因为三角形OFB的面积为， 所以，解得， 则抛物线的方程为. 【小问2详解】 证明：设， 联立，消去y并整理得， 由韦达定理得，，因为M为线段PQ的中点， 所以 ， 则当时，为定值，与k的取值无关， 故在轴上存在点，使得为定值，定值为. 19. 已知函数. （1）当时，讨论函数的单调性； （2）若， （i）证明：函数有三个不同的极值点； （ii）记函数三个极值点分别为，且，证明：. 【答案】（1）在上递减，在上递增； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对函数求导后，由导数的正负可求出函数的单调区间； （2）（i）对函数求导，令，利用导数可得在上递减，在上递增，而，从而可证得函数有三个不同的极值点；（ii）由题意可得，则将证得的结论转化为证，再转化为证，再根据的单调性转化为证，然后构造函数证明即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，当时，，则 ， 令，则， 所以在上递增，所以， 所以当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增； 【小问2详解】 （i）因为，且，， 由，得（），令，则 ， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以，且， 当时，在和上各有一个实数根，分别记为， 则，设， 当或时，，当或时，， 所以在和上递减，在和上递增， 所以函数在上有三个不同的极值点. （ii）由（i）， 所以是方程的两个不相等的实数根，即，， 所以， 同理， 所以 ， 由，，得， 所以， 因为， 所以要证，只要证， 即证，即证， 即证， 只需证，即，即， 由（i）可得，所以， 根据（i）中结论可知函数在上递减， 所以要证，即证， 因为，所以， 所以只要证，即，得， 即，得， 令，则， 令，则， 所以在上递减， 所以，所以， 所以在上递减， 所以，所以得证. 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，考查利用导数解决函数极值问题，考查利用导数证明不等式，第（2）问解题的关键是将要证明的不等式多次转化，然后构造函数，利用函数的单调性证明，考查数学转化思想和计算能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $