1.3 探索三角形全等的条件（第2课时）（教学课件）-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版）

八年级苏科版数学上册 第一章 全等三角形 第二课时 角边角（ASA） 1.3 探索全等三角形的条件 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.理解并掌握三角形全等判定“角边角”条件的内容.（重点） 2.熟练利用“角边角”条件证明两个三角形全等. （难点） 3.通过探究判定三角形全等条件的过程，提高分析和解决问 题的能力. 情景导入 用纸板挡住了两个三角形的一部分，你能画出这两个三角形吗？如果能，你画的三角形与其他同学画的三角形能完全重合吗？ 在△ABC 和△ DEF中， ∴△ABC ≌△ DEF（SAS）． 文字表述：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 （简写成“边角边”或“SAS ”）． “边角边”判定方法 符号语言： AB = DE， ∠A =∠D， AC =AF ， 注：必须是两边“夹角” A B C D E F 旧知回顾 由此两个条件是否能判定两个三角形是全等三角形吗？ 若我们已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？ A B C A B C 图一 图二 “两角及夹边” “两角和其中一角的对边” 如图，ΔABC与ΔOPQ、ΔRST 能完全重合吗？ A B C 40° 60° 2.5 R S T 40° 60° 2.5 40° 60° 2.5 P O Q 1.探索证明三角形三角形全等的条件“角边角” 新知探究 已知ΔABC，用直尺和圆规作ΔDEF 使EF=BC，∠E=∠B，∠F=∠C. A B C D F 1.作EF=BC； M E G 2.在EF的同侧分别作∠MEF=∠B，∠NFE=∠C； ME和NF相交于点D，ΔDEF就是所求作的三角形. N 2.“角边角”定理的判定方法 文字表述：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）. 几何语言： ∠A=∠A′ （已知）， AB=A′ B′ （已知）， ∠B=∠B′ （已知）， 在△ABC和△A′ B′ C′中， ∴ △ABC≌△ A′ B′ C′ （ASA）. A B C D E F 概念归纳 找出图中的全等三角形，并说明理由. A B C 25° 7 P Q R 110° 50° 60° 75° 7 X Z Y 25° 7 ① ② ③ T W S 25° 7 F M N 110° 50° 70° 75° 7 G E D 25° 7 ④ ⑤ ⑥ 60° 练一练 例1 已知：∠ABC＝∠OCB，∠ACB＝ ∠OBC， 试说明：△ABC≌△OCB． ∠ABC＝∠OCB(已知）， BC＝CB（公共边）， ∠ACB＝∠OBC（已知）， 解： 在△ABC和△OCB中， ∴△ABC≌△OCB（ASA ）. B C A O 判定方法：两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等． 典例剖析 例2 如图，点F在AB上，点E在AC上，AB=AC, ∠B=∠C,试说明：AF=AE. A B C F E 分析：证明△ACF≌△ABE,就可以得出AF=AE. 解：在△ACF和△ABE中， ∠A=∠A（公共角 ）， AC=AB（已知）， ∠C=∠B （已知 ）， ∴ △ACF≌△ABE（ASA)， ∴AF=AE. 典例剖析 1. 如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF. 求证：△ABC≌△OPQ. 证明：在△ABC和△OPQ中， ∠A=∠O， BC=PQ， ∠B=∠P， ∴△ABC≌△OPQ（ASA）. A B P O C Q 你是不是这样证明的，辨一辨错在哪里？ 练一练 点拨：BC，EF不是已知两对角的夹边，在三角形中，知道两个角的关系，利用三角形内角和定理可以求得第三个角之间的关系.通过转化来构造“ASA”的判定条件. 证明：在△ABC和△DEF中， ∵∠A=∠D，∠B=∠E， ∠C=180°-∠A-∠B，∠F=180°-∠D-∠E， ∴∠C=∠F. 在△ABC和△DEF中， ∠B=∠E， BC=EF， ∠C=∠F， ∴△ABC≌△DEF（ASA）. 2.如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF. 求证：△ABC≌△DEF. A B E D C F 练一练 如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为点B，点D，∠1=∠2.求证：AB=AD. 分析：图中的两个三角形有公共边AC，有一对角相等可以选择“SAS”或者“ASA”.根据题意，有AB⊥BC，AD⊥DC，则构成∠ABC=∠ADC=90°.可以选择“ASA”，需要将已知角转化成两角及其夹边，即可求证. A B C D 1 2 练一练 如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为点B，点D，∠1=∠2. 求证：AB=AD. A B C D 1 2 证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC， ∴∠ABC=∠ADC=90°. ∵在△ABC和△ADC中，∠1=∠2，∠ABC=∠ADC， ∴∠ACB=∠ACD. 在△ABC和△ADC中， ∠1=∠2， AC=AC（公共边）， ∠ACB=∠ACD， ∴△ABC≌△ADC（ASA）， ∴AB=AD. 练一练 如图,已知AB∥DF,AC∥DE,BC=FE,且点B,E,C,F在一条直线上.求证:△ABC≌△DFE. 证明:∵AB∥DF,且点B,E,C,F在一条直线上, ∴∠B=∠F. ∵AC∥DE,∴∠ACB=∠DEF. 在△ABC和△DFE中, ∴△ABC≌△DFE(ASA). 练一练 B A E D F B 随堂练 B 随堂练 B 随堂练 AC＝DF或∠A＝∠D或∠B＝∠E等 随堂练 ③ A.S.A. 随堂练 随堂练 随堂练 C 分层练习-基础 4 分层练习-基础 A 分层练习-基础 ∠ACB＝∠F AB＝DE ∠A＝∠D 分层练习-基础 3 分层练习-基础 A B 分层练习-巩固 ∠BAD 3 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 夹边 A.S.A.(或角边角) A.S.A. 对边 A.A.S.(或角角边) 课堂反馈 ∠A＝∠D(答案不唯一) 课堂反馈 A.A.S. 课堂反馈 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 ASA 分类探讨 两角及其夹边分别相等 两角及其中一角的对边分别相等 三角形全等的判定 课堂小结 1．如图，AB∥CD，点C是BE的中点，直接应用“A.S.A.”证明△ABC≌△DCE还需要的条件是(　　) A．AB＝CD　　　　 B．∠ACB＝∠E C．∠A＝∠D D．AC＝DE 2．如图，已知△ABC的三条边、三个角，则甲、乙两个三角形中和△ABC全等的图形是(　　) A．甲 B．乙 C．甲和乙都是 D．都不是 3．在下列各组条件中，不能判断△ABC和△DEF全等的是(　　) A．AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠F B．AC＝DF，BC＝DE，∠B＝∠D C．AB＝DE，∠A＝∠D，∠B＝∠E D．∠A＝∠F，∠B＝∠E，AC＝DF 4．如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF＝CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是 (只需写一个，不添加辅助线)． 5．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带 去，理由是 . 6．如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠D，求证：CB＝CD. 证明：∵∠1＝∠2(已知)， ∴∠ACB＝∠ACD(等角的补角相等)．在△ABC和△ADC中，∵∠B＝∠D(已知)，∠ACB＝∠ACD，AC＝AC， ∴△ABC≌△ADC(A.A.S.)，∴CB＝CD(全等三角形对边相等)． 7．(宜宾中考)如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，AC∥DF.求证：BE＝CF. 证明：∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F，在△ABC和△DEF中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(∠A＝∠D,∠ACB＝∠F,AB＝DE))， ∴△ABC≌△DEF(A.A.S.)；∴BC＝EF，∴BC－CE＝EF－CE，∴BE＝CF. 8．下列条件中，不能判定△ABC和△DEF全等的是(　　) A．AC＝DF，BC＝EF，∠C＝∠F B．AB＝EF，∠A＝∠E，∠B＝∠F C．∠A＝∠F，∠B＝∠E，AC＝DE D．AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠F 9．如图，已知∠1＝∠2，AE⊥OB于点E，BD⊥OA于点D，交点为C，则图中全等三角形共有 对． 10．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF.给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF.其中正确的结论共有(　　) A．4个　 B．3个　 C．2个　 D．1个 11．如图所示，已知∠B＝∠DEF，BC＝EF，要证△ABC≌△DEF.若要以“A.S.A.”为依据，还缺条件 ；以“S.A.S.”为依据，还缺条件 ；以“A.A.S.”为条件，还缺条件 . 12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2 cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF＝5 cm，则AE＝ cm. 6．在△ABC和△EMN中，已知∠A＝50°，∠B＝60°，∠E＝70°，∠M＝60°，AC＝EN，则这两个三角形(　　) A．一定全等　　　　 B．一定不全等 C．不一定全等 D．以上都不对 7．如图，下列条件中能判定△ABC≌△DEF的是(　　) A．AC＝DF，BC＝EF，∠A＝∠D B．∠B＝∠E，∠C＝∠F，AC＝DF C．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F D．∠B＝∠E，∠C＝∠F，AC＝DE 8．如图，在△ABC中，BD＝EC，∠ADB＝∠AEC，∠B＝∠C，则∠CAE＝ . 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF＝5cm，则AE＝ cm. 13．如图，在△ABC中，D是BC边上的点(不与B、C重合)，F、E分别是AD及其延长线上的点且CF∥BE，请你添加一个条件，使△BDE≌△CDF(不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明． (1)你添加的条件是： . (2)证明． (1)解：不唯一，如：D是BC的中点； (2)证明：∵CF∥BE，∴∠EBD＝∠FCD.又∵BD＝DC，∠EDB＝∠FDC，∴△BDE≌△CDF(A.S.A.)． 14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，D是AC的中点．将一块含45°角的直角三角尺如图放置，使三角尺斜边的两个端点分别与A，D重合，连接BE，EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想． 解：BE＝EC，BE⊥EC. 证明：∵AC＝2AB，D是AC的中点，∴AB＝AD＝CD.∵∠EAD＝∠EDA＝45°，∴∠EAB＝∠EDC＝135°.∵EA＝ED， ∴△EAB≌△EDC(S.A.S.)，∴∠AEB＝∠DEC，BE＝EC，∴∠BEC＝∠AED＝90°，∴BE⊥EC. 15．如图所示，小强在河的一岸，要测河面一只船B与对岸码头A的距离，他的做法是：①在岸边确定一点C，使C与A、B在同一直线上，②在AC的垂直方向画线段CD，取中点O，③画DF⊥CD，使点F、O、A在同一直线上，④在线段DF上找到一点E，使E与O、B共线．他说只要测出线段EF的长就是船B与码头A的距离．他这样做有道理吗？为什么？ 解：小强的做法有道理． ∵AC⊥CD，DF⊥CD，∴∠C＝∠D＝90°. 又∵OC＝OD，∠AOC＝∠FOD(对顶角相等)，∴△ACO≌△FDO(A.S.A.)． ∴OA＝OF，∠A＝∠F(全等三角形的对应边对应角相等)．∵∠AOB＝∠FOE(对顶角相等)， ∴△AOB≌△FOE(A.S.A.)．∴EF＝AB(全等三角形的对应边相等)．∴只要测出线段EF的长就是船B与码头A的距离． 两角及其 分别相等的两个三角形全等，简记为： ． 1. 已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，则△ABC≌△A′B′C′的依据是 . 两角及其中一角的 分别相等的两个三角形全等，简记为： ． 2. (黔东南中考)如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知FB＝CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件 使得△ABC≌△DEF. 易错点：判断三角形全等的三组条件应注意对应位置． 3. 如图，若∠A＝∠B，∠1＝∠2，AD＝BC，则△AOD≌△BOC的依据是 . $$