1.3 探索三角形全等的条件（第3课时）（教学课件） -2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版）

八年级苏科版数学上册 第一章 全等三角形 第三课时 角角边（AAS） 1.3 探索三角形全等的条件 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.理解并掌握三角形全等判定“角角边”（AAS） 条件的内容.（重点） 2.熟练利用“角角边”（AAS）条件证明两个三 角形全等.（难点） 情景导入 李磊同学踢球不小心把一块三角形的玻璃踢碎成了三块（如右图所示）,现在必须要到玻璃店中配一块完全一样的玻璃装上,那么带哪块去最省事？为什么？ “角边角”定理的判定方法 文字表述：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）. 几何语言： ∠A=∠A′ （已知）， AB=A′ B′ （已知）， ∠B=∠B′ （已知）， 在△ABC和△A′ B′ C′中， ∴ △ABC≌△ A′ B′ C′ （ASA）. A B C D E F 旧知回顾 用“角角边”（AAS）判定三角形全等 新知探究 如下图所示，三角形的两个内角分别为60°和45°，45°角所对的边为3cm，你能根据描述画出这个三角形吗? 3cm 60° 45° 课本思考题：如图，在△ ABC和△ MNP中，∠A=∠M， ∠B=∠N，BC=NP， △ ABC和△ MNP全等吗？为什么？ A B C M N P 思考探究 由三角形内角和定理可知∠C= ∠P. 根据“ASA”可以证明ΔΑBC ≌ ΔMNP. 文字表述：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”. ∠A=∠A′（已知）， ∠B=∠B′ （已知）， AC=A′C ′（已知）， 在△ABC和△A′B′C′中， ∴ △ABC≌△ A′ B′ C′ （AAS）. 概念归纳 几何语言： 注意：按照“角—角—边”的顺序书写. “角角边”定理的判定方法 课本例5．已知：如图，△ABC≌△ A B C  ，AD和A D 分别是△ABC和△ A B C 的高．求证：AD＝AD ． A B C D A B D C  分析： 要证AD＝AD，只要证出含有 AD、AD的△ ABD ≌ △ AB D 或△ ACD ≌ △ AC D . 要证△ ABD ≌ △ AB D ，已有∠ADB=∠AD B=90°，还需两个条件，利用△ABC≌△ A B C  可得AB=A B , ∠B=∠B. ┐ ┐ 典例剖析 证明： ∵ △ABC≌△ ABC （已知） ∴ AB= AB， ∠B= ∠ B （全等三角形的对应边相等，对应角相等） ∵ AD和AD分别是△ABC和△ ABC的高 ∴ ∠ADB= ∠ AD B  =900 在△ABD和△ AB D中， ∠B= ∠ B ，（已证明） ∠ADB= ∠ AD B  ，（已证明） AB= AB ， （已证明） ∴ △ ABD ≌ △ AB D （AAS）． ∴ AD＝AD （全等三角形对应边相等） 证明两线段相等可以证明含线段的两个三角形全等. 全等三角形的对应高相等. AA“ASA”和'AAS”的区别与联系 “S”的意义 书写格式 联系 ASA “S”是两角的夹边 把夹边相等写在两角相等的中间 由三角形的内角和定理可知，“ASA”和“AAS”可以互相转化 AAS “S”是其中一角的对边 把两角相等写在一起，边相等放在最后 概念归纳 1.如图，已知△ABC和△ADC中，∠B=∠D， 当添加一个条件 后，能判定△ABC≌△ADC. A B D C ∠BAC=∠DAC ∠ACB=∠ACD ∠B = ∠D AC = AC 一角及其对边分别相等 练一练 2.如图，已知AC=AD，∠1=∠2，要使△ABC≌△AED，可添加的条件是 ，依据是 . 1 2 A C D B E ∠BAC=∠EAD 一角一边（边是角的一边）即SA AB = AE ，（SAS） ∠C=∠D，（ASA） ∠B=∠E，（AAS） 练一练 证明两个三角形全等的方法： (1).两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(边角边或“SAS”)． (2).两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(角边角或“ASA”)． (3).两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(角角边或“AAS”)． 【思维点拨】证明两个三角形全等时，一共需要三组条 件，且其中至少需要有一组对应边相等. 概念归纳 例1.如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.试说明：(1)△BDA≌△AEC； 解：(1)∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°， ∴∠ABD＋∠BAD＝90°. ∵AB⊥AC， ∴∠BAD＋∠CAE＝90°， ∠ABD＝∠CAE. 在△BDA和△AEC中， ∠ADB=∠CEA=90°， ∠ABD＝∠CAE, AB＝AC， ∴△BDA≌△AEC(AAS). 典例剖析 (2)DE＝BD＋CE. ∴BD＝AE，AD＝CE， ∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE. 解：∵△BDA≌△AEC, 方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化． 例2.如图,已知AB=AC,AD=AE.求证:△BOD≌△COE. 证明:在△ABE和△ACD中, ∴△ABE≌△ACD(SAS).∴∠B=∠C. ∵AB=AC,AD=AE, ∴AB-AD=AC-AE,即BD=CE. 在△BOD和△COE中, ∴△BOD≌△COE(AAS). 典例剖析 1.如图，BE=CD，∠1=∠2，则AB=AC吗？为什么？ 1 B D A E 2 证明：∵∠2是△AEB的外角，∴∠AEB=180°-∠2. ∵∠1是△ADC的外角，∴∠ADC=180°-∠1. ∵∠1=∠2，∴ ∠AEB=∠ADC. 在△AEB和△ADC中， ∠A=∠A ∠AEB=∠ADC， BE=CD， ∴△AEB≌△ADC（AAS）. ∴AB=AC. 练一练 2.如图，点O是AB的中点，∠C=∠D，则△AOC和△BOD全等吗？请用两种方法证明. B A O D C 解：△AOC和△BOD全等，理由如下： ∵点O是AB的中点， ∴OA=OB. ∵在△AOC和△BOD中，∠C=∠D，∠AOC=∠BOD， ∴∠A=∠B（三角形内角和定理）. 在△AOC和△BOD中, ∠A=∠B， OA=OB， ∠AOC=∠BOD， ∴△AOC≌△BOD（ASA）. 练一练 2.如图，点O是AB的中点，∠C=∠D，则△AOC和△BOD全等吗？请用两种方法证明. B A O D C 解：△AOC和△BOD全等，理由如下： ∵点O是AB的中点， ∴OA=OB. ∵在△AOC和△BOD中， ∠C=∠D， ∠AOC=∠BOD， OA=OB， ∴△AOC≌△BOD（AAS）. 3.已知，如图，点E是AC上一点，AB=CE，AB//CD，∠ACB=∠D. 求证：BC=ED. 证明：∵AB//CD， ∴∠A=∠ECD. 在△ACB和△CDE中， ∠ACB=∠D， ∠A=∠ECD， AB=CE， ∴△ACB≌△CDE（AAS）. ∴BC=ED. A B E C D 练一练 判定一组三角形是否全等，首先根据已知条件或已经求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法确定缺什么条件，依据这个再去证什么条件，即可． 概念归纳 B 分层练习-基础 C 分层练习-基础 ASA AAS 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 C 分层练习-基础 C 分层练习-基础 AC＝BD(答案不唯一) 分层练习-基础 C 分层练习-巩固 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-拓展 分层练习-拓展 对边相等 角角边 AAS AAS 课堂反馈 课堂反馈 角角边 内容 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. （简写成 “ASA”) 应用 为证明线段和角相等提供了新的证法 注意 注意“角角边”、“角边角”中两角与边的区别 课堂小结 1．如图，已知∠1＝∠2，∠APC＝∠CPB，则下列结论错误的是(　　) A．PA＝PB B．P是CD中点 C．CD平分∠ADB D．∠DAP＝∠DBP 2．如图，AC和BD交于O，若OA＝OD，用“AAS”证明△AOB≌△DOC，可以添加(　　) A．AB＝DC B．OB＝OC C．∠B＝∠C D．∠A＝∠D 3．如图，AB⊥AD，CB⊥CD，填空：(填“ASA”或“AAS”) (1)已知AO＝CO，利用 可以判定△ABO≌△CDO； (2)已知∠ABD＝∠CDB，利用 可以判定△ABD≌△CDB. 4．如图，已知∠CAB＝∠DBA，∠CBD＝∠DAC.求证：BC＝AD. 解：∵∠CAB＝∠DBA，∠CBD＝∠DAC，∴∠DAB＝∠CBA，在△ADB与△BCA中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(∠CAB＝∠DBA,AB＝BA,∠DAB＝∠CBA))，∴△ADB≌△BCA(ASA)，∴BC＝AD. 5．(昆明中考)如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，∠B＝∠D，∠1＝∠2.求证：BC＝DE. 证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC，即∠BAC＝∠DAE.在△ABC和△ADE中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(∠BAC＝∠DAE,AB＝AD,∠B＝∠D))，∴△ABC≌△ADE(ASA)．∴BC＝DE. 6．如图，AB∥DE，AC∥DF，AC＝DF，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是(　　) A．AB＝DE B．∠B＝∠E C．EF＝BC D．EF∥BC 7．如图所示，∠C＝∠D，∠1＝∠2，AC与BD交于E点，则下列结论：(1)∠DAE＝∠CBE；(2)CE＝DE；(3)△DAE与△CBE不全等；(4)△AEB是等腰三角形．其中正确的是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，已知∠C＝∠D，∠ABC＝∠BAD，AC与BD相交于点O，请写出图中一组相等的线段 ． 9．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加一个条件：其中能判定△ABC≌△DEF的有(　　) ①AB＝DE；②AC＝DF；③∠A＝∠D；④BF＝EC. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ.求证：HN＝PM. 证明：∵MQ和NR是高，∴∠MRN＝∠MQP＝90°，∴∠PMQ＋∠P＝∠P＋∠PNR，∴∠PMQ＝∠PNR，∵MQ＝NQ，∴△MQP≌△NQH，∴HN＝PM. 11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为F，过点B作BD⊥BC，交CF的延长线于点D. (1)求证：AE＝CD； (2)若AC＝12cm，求BD的长． (1)证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠BCD＝90°，∵CF⊥AE，∴∠ACD＋∠CAF＝90°，∴∠BCD＝∠CAF，∵∠DBC＝∠ECA＝90°，BC＝AC，∴△DBC≌△ECA(ASA)，∴CD＝AE；　 (2)解：∵AC＝12cm，AE是BC边上的中线，∴BC＝12cm，∴BD＝CE＝6cm. 12．如图，已知在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过A的任一条直线AN，BD⊥AN于D，CE⊥AN于E. (1)说明：DE＝BD＋CE； (2)如将直线AN绕A点沿顺时针方向旋转，使它经过△ABC的内部，再作BD⊥AN于D，CE⊥AN于E，那么DE、DB、CE之间还存在等量关系吗？如存在，请说明你的结论． 解：(1)∵BD⊥AN，CE⊥AN，∴∠BDA＝∠AEC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠DAB＋∠CAE＝90°，∵∠ACE＋∠CAE＝90°，∴∠DAB＝∠ACE，∵AB＝AC，∴△ADB≌△CEA，∴AD＝EC，AE＝DB，∴DE＝AD＋AE＝BD＋EC，即DE＝BD＋EC；　 (2)存在．DE＝BD－EC，由△ADB≌△CEA，∴AD＝EC，BD＝AE，∴DE＝AE－AD＝BD－EC. 　利用“角角边”判定两个三角形全等 两角分别相等且其中一组等角的 的两个三角形全等，简写成“ ”或“ ”． 1.　如图，已知∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠F，AB＝DE，则△ABC≌△DEF的依据是 . 【题后反思】由所给出的条件寻求对应的三角形，结合题意，探索全等的条件. 利用“AAS”证明三角形全等． 【例2】如图所示，在△ABC中，AD是中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为E、F，试说明：BE＝CF. 【规范解答】在△ABC中，AD是中线，∴BD＝CD，∵CF⊥AD，BE⊥AD，∴∠CFD＝∠BED＝90°，又∠BDE＝∠CDF，∴△BDE≌△CDF.∴BE＝CF. $$