精品解析：重庆市江津区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023−2024学年下期期末检测 八年级数学试卷（A） （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 友情提示：1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答． 2．作答前请你先通览全卷且认真阅读答题卡上的注意事项． 3．作答时，请你认真审题，做到先易后难；作答后，要注意检查．祝你成功！ 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A B. C. D. 2. 以下不能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. 3. 某校有11名同学参加了中学生规范汉字书写大赛的初赛，他们的成绩各不相同，在统计这些同学的成绩后取前5名代表学校参加复赛．如果小新只知道自己的成绩，想判断自己能否进入复赛，那么他需要知道这组数据的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 频数 4. 一艘快艇先从甲地航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地航行返回到甲地，横坐标表示航行的时间，纵坐标表示轮船与甲地的距离，则下列说法错误的是（ ） A. 快艇从乙地到甲地的平均速度为 B. 快艇乙地停留了 C. 快艇从乙地返回甲地的平均速度大于去时的速度 D. 甲、乙两地相距 5. 下列命题中，真命题（ ） A. 对角线垂直的四边形是菱形 B. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 有一个内角为直角的平行四边形是正方形 6. 估计的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 7. 如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和等边三角形拼接而成．第①个图案有4个等边三角形和1个正方形，第②个图案有7个等边三角形和2个正方形，第③个图案有10个等边三角形和3个正方形，……，按此规律排列下去，第⑨个图形中等边三角形的个数为（ ） A. 22 B. 24 C. 28 D. 30 8. 关于的一次函数和的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点、分别为边、上的点，连接、，平分，若．当时，则的度数为（ ） A B. C. D. 10. 通过学习二次根式和乘法公式后，可以发现： 当，时，∵，∴， 当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： ①当时，的最小值为2；②当时，的最小值为5； ③如图，某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成长方形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少需要．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若最简二次根式和能合并，则______． 12. 如果甲、乙两组身高数据的方差分别为，，那么______组的身高比较整齐． 13. 一根竹子高1丈（1丈=10尺），折断后竹子顶端落地，落地处在离竹子底端4尺处．则折断处离地面的高度是______尺． 14. 如图，一次函数与一次函数的图像交于点，则关于的不等式的解集是______． 15. 如图，四边形中，对角线，，、、分别是、、的中点，若，则______． 16. 如图，在菱形中，连接，过点作的垂线交的延长线于点，若，，且为的中点，则菱形的周长为______． 17. 一次函数不经过四象限，且关于的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数的值之和为______． 18. 设为正整数，对于一个四位正整数，若千位与百位的数字之和等于，十位与个位的数字之和等于，则称这样的数为“级放大数”．例如正整数2636中，因为，，所以2636是“8级放大数”，其中．最小的“4级放大数”是______；若一个“6级放大数”的千位数字与十位数字之积为6，且这个数能被19整除，则满足条件的数是______． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 学习了三角形的中位线定理后，小辉进行了拓展性研究．他发现，连接梯形两腰中点的线段也具有类似的性质．探究过程如下： （1）用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点，连接，连接并延长交线段的延长线于点．（不写作法，只保留作图痕迹） （2）已知：在四边形中，，中点，为中点． 猜想：，且． 证明：∵是中点， ∴ ∵ ∴ ① 在和中 ， ∴ ∴ ② ，且 ∵是的中点 又是的中点 ∴为的中位线 ∴且 ③ ∴ ∵ ∴ 请你根据该探究过程完成下面命题： 连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且等于 ④ ． 21. 2024年5月17日，江津区召开创建全国文明城区交通秩序提升工作部署会议，进一步提升我区创建全国文明城区工作水平，打造安全、文明、有序的道路交通环境．为调查道路交通环境在学生家长中的满意程度，在甲、乙两所中学中进行了满意度调查（单位：分，满分100分，分数越高越受欢迎）．现在从甲、乙两个中学中各随机抽取10名学生家长的满意度得分数据进行整理、描述和分析（满意度得分用表示，共分为A、B、C、D四个等级：，，，）．下面给出了部分信息： 甲中学10名学生家长满意度得分数据：97，97，94，94，93，87，87，87，77，67． 乙中学10名学生家长中B等级所有满意度得分数据：89，86，86，86． 甲、乙中学抽取的学生家长满意度得分统计表： 学校 平均数 中位数 众数 甲 88 90 a 乙 88 b 86 乙中学抽取的学生家长满意度得分扇形统计图： 请根据以上信息解答： （1）______，______，______； （2）你认为哪所中学的学生家长对道路交通环境更满意？请说明理由．（写出一条即可） （3）若甲、乙两校共有8000人参加此次满意度调查，请你估计非常满意该道路交通环境的学生家长有多少人？ 22. 近些年“抖音直播带货”迅速成为热潮．某手机专卖店计划购进甲、乙两种手机膜共100件且两种商品都有，并在抖音平台进行销售，其中进价、售价如下表： 甲手机膜 乙手机膜 进价（元/件） 4 24 售价（元/件） 9 49 设该专卖店购进甲手机膜件，甲、乙手机膜全部销售完后共获得利润元． （1）求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）若购进的总成本不超过1500元，且购进的手机膜全部售出，怎样进货可使所获利润最大？并求出最大利润． 23. 如图，甲、乙两艘海军舰艇同时从位于南北方向的海岸线上某港口出发，各自沿一固定方向对某岛巡航，若甲军舰每小时航行24海里，乙军舰每小时航行32海里． （1）若甲、乙两军舰离开港口1个小时后分别位于、处，且相距40海里，如果知道甲军舰沿北偏东方向航行，你知道乙军舰沿哪个方向航行吗？请说明理由． （2）甲军舰在处执行任务，乙军舰还需沿方向行驶到处执行任务，若位于的南偏西方向，乙军舰能在20分钟内，到达处执行任务吗？请说明理由．（提示：） 24. 已知正方形，，点是的中点，点沿着运动，运动到点停止，运动速度为每秒1个单位长度，的面积为，运动时间为． （1）请直接写出与之间的函数表达式，并写出对应的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出与的函数图像，并写出该函数的一条性质； （3）已知的图像如图所示，结合图像，当时，直接写出的取值范围． 25. 如图，直线分别交轴和轴于点和点，直线过点且与轴交于点，且． （1）求直线的解析式； （2）若点为线段上一动点，当时，求点的坐标； （3）若、为平面内两点，满足四边形为正方形，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 26. 如图，在中，，为边上一点，连接，． （1）如图1，求证：是的中点； （2）如图2，点为上一点，若，求证：； （3）如图3，若，，点为直线上一动点，以为直角边作等腰直角，连接和，请直接写出的最小值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023−2024学年下期期末检测 八年级数学试卷（A） （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 友情提示：1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答． 2．作答前请你先通览全卷且认真阅读答题卡上的注意事项． 3．作答时，请你认真审题，做到先易后难；作答后，要注意检查．祝你成功！ 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴． 故选D． 2. 以下不能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理．根据直角三角形中最大角是直角，勾股定理及其逆定理即可求解． 【详解】解：、，不能判定是直角三角形，故符合题意； 、设，，， ∵，∴， ∴能判定是直角三角形，不符合题意； 、∵， ∴能判定是直角三角形，不符合题意； 、，且， ∴，即， ∴能判定是直角三角形，不符合题意； 故选：． 3. 某校有11名同学参加了中学生规范汉字书写大赛的初赛，他们的成绩各不相同，在统计这些同学的成绩后取前5名代表学校参加复赛．如果小新只知道自己的成绩，想判断自己能否进入复赛，那么他需要知道这组数据的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 频数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了运用中位数作决策，将数据按小到大或大到小排序后，位于中间位置的数为中位数，结合题意，即可作答． 【详解】解：∵统计这些同学的成绩后取前5名代表学校参加复赛． ∴只有排在前5名就可以进入复赛，故他需要知道这组数据中位数， 故选：B． 4. 一艘快艇先从甲地航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地航行返回到甲地，横坐标表示航行的时间，纵坐标表示轮船与甲地的距离，则下列说法错误的是（ ） A. 快艇从乙地到甲地的平均速度为 B. 快艇在乙地停留了 C. 快艇从乙地返回甲地的平均速度大于去时的速度 D. 甲、乙两地相距 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查点的坐标，看懂图象，获取信息是解题的关键．根据函数图象逐个分析即可． 【详解】解：A．快艇从乙地到甲地的平均速度为，故本选项符合题意； B．快艇在乙地停留了，故本选项不符合题意； C．快艇从甲地到乙地的平均速度为，，故本选项不符合题意； D．甲、乙两地相距，故本选项不符合题意； 故选：A． 5. 下列命题中，真命题是（ ） A. 对角线垂直的四边形是菱形 B. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 有一个内角为直角的平行四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可． 【详解】解：A：对角线垂直且平分的四边形是菱形，故选项A是假命题； B：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项B是假命题； C：对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C是真命题； D：有一个内角为直角的平行四边形是矩形，故选项D是假命题； 故选：C． 6. 估计的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算和估算无理数的大小，能估算出的大小是解此题的关键．先根据二次根式的乘法法则进行计算，再估算出的大小，再求出的大小即可． 【详解】解： ， ， ， 即的值应在4到5之间． 故选：B 7. 如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和等边三角形拼接而成．第①个图案有4个等边三角形和1个正方形，第②个图案有7个等边三角形和2个正方形，第③个图案有10个等边三角形和3个正方形，……，按此规律排列下去，第⑨个图形中等边三角形的个数为（ ） A. 22 B. 24 C. 28 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类问题，解答时根据图意找到规律，再逐步进行计算．观察所给图形，找到图中三角形数量的规律，再将的取值代入规律表达式进行计算即可． 【详解】解：观察所给图形可知，第1个图案中等边三角形的个数为：； 第2个图案中等边三角形的个数为：； 第3个图案中等边三角形的个数为：； 所以第个图案中等边三角形的个数为个； 当时，， 故选：C 8. 关于的一次函数和的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象．根据题意，利用分类讨论的方法和一次函数的性质，可以判断哪个选项中的图象是正确的． 【详解】解：当时， 一次函数的图象经过第一、二、三象限，的图象经过第一、二、三象限，没有选项符合要求； 当时， 一次函数的图象经过第一、三、四象限，的图象经过第一、二、四象限，选项B符合要求； 当时， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，的图象经过第一、三、四象限，没有选项符合要求； 当时， 一次函数的图象经过第二、三、四象限，的图象经过第二、三、四象限，没有选项符合要求； 故选：B． 9. 如图，在正方形中，点、分别为边、上的点，连接、，平分，若．当时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，由正方形的性质可得，，，进而由可得，，再由角平分线的定义得，又证明可得，最后利用角的和差关系即可求解，掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：． 10. 通过学习二次根式和乘法公式后，可以发现： 当，时，∵，∴， 当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： ①当时，的最小值为2；②当时，的最小值为5； ③如图，某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成长方形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少需要．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的计算，分别根据，依次将①②中的等式进行变形，即可进行判断，对于③，先设设花圃的宽为，篱笆的总长为，得到y关于x的表达式，再进行变形，即可得到答案． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， 故①正确； ②∵； ∴； 故②正确； 设花圃的宽为，篱笆的总长为， 则， 故③正确； 故选：D． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若最简二次根式和能合并，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式、最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据同类二次根式的定义进行解题即可． 【详解】解：最简二次根式和能合并， ， ． 故答案为：4． 12. 如果甲、乙两组身高数据的方差分别为，，那么______组的身高比较整齐． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．据此比较甲、乙两组身高数据的方差的大小即可得答案．熟练掌握方差的意义是解题关键． 【详解】解： ∴甲组的身高比较整齐． 故答案为：甲． 13. 一根竹子高1丈（1丈=10尺），折断后竹子顶端落地，落地处在离竹子底端4尺处．则折断处离地面的高度是______尺． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据题意正确列方程是解题的关键．设折断处离地面的高度是x尺，则竹子顶端到折断处的长为尺，根据勾股定理列方程并求解即可． 【详解】设折断处离地面的高度是x尺，则竹子顶端到折断处的长为尺， 根据勾股定理，得：， 解得：， 答：折断处离地面的高度是尺． 故答案为：． 14. 如图，一次函数与一次函数的图像交于点，则关于的不等式的解集是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，正确理解一次函数与一元一次不等式间的关系是解题的关键．从函数的角度看，就是寻求使的值大于的自变量的取值范围，即在两直线交点的左侧部分自变量的值是不等式的解集，由此即得答案． 【详解】根据图象得，当时，， 即关于的不等式的解集是． 故答案：． 15. 如图，四边形中，对角线，，、、分别是、、的中点，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中位线定理和勾股定理，由分别是的中点，得，， ，，然后证明，再根据勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵分别是的中点， ∴，， ，， ∵，， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在菱形中，连接，过点作的垂线交的延长线于点，若，，且为的中点，则菱形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质和勾股定理，先根据勾股定理计算出，从而得到菱形的边长，即可求出周长． 【详解】解：在直角三角形中， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴菱形的周长为， 故答案为：26． 17. 一次函数不经过四象限，且关于的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数的值之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，分式方程的解，先利用一次函数的图象和分式方程的解为正数求出的取值范围，再求出的整数值，进而即可求解，掌握一次函数的图象和正确求出分式方程的解是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数不经过四象限， ∴， 解得， 分式方程两边乘以得，， 解得， ∵分式方程的解为正数， ∴， 解得， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的取值范围为且， ∴的整数值为，，， ∴所有满足条件的整数的值之和为， 故答案为：． 18. 设为正整数，对于一个四位正整数，若千位与百位的数字之和等于，十位与个位的数字之和等于，则称这样的数为“级放大数”．例如正整数2636中，因为，，所以2636是“8级放大数”，其中．最小的“4级放大数”是______；若一个“6级放大数”的千位数字与十位数字之积为6，且这个数能被19整除，则满足条件的数是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查新定义的应用．理解新定义的意义是解决本题的关键．结合所给两个条件判断出所求的数是解决本题的难点．因为是“4级放大数”，那么千位与百位的数字之和等于4，千位数字可选数字1，则百位数字为3；十位与个位数字的和为5，十位可选最小的数字0，则个位数字为5，那么可得最小的“4级放大数”；设“6级放大数”的千位数字为，十位数为，判断出其他数位上的数字，根据这个数千位数字与十位数字之积为6以及这个数能被19整除可得所求的数． 【详解】解：是“4级放大数”， ． 求最小的“4级放大数”， 千位数字可选数字1， 百位数字为3． 十位与个位数字的和为5， 十位可选最小的数字0， 个位数字为5． 最小的“4级放大数”为：； 设“6级放大数”千位数字为，十位上的数字为，则百位数字为，个位上的数字为． 千位数字与十位数字之积为6， （不合题意，舍去）或或或． “6级放大数”为6016或2434或3325． 这个数能被19整除，上述3个数只有3325是19的整数倍， “6级放大数”为：3325． 故答案为：1305，3325． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意考查了二次根式的混合运算，先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式． （2）根据题意考查了二次根式的混合运算，先利用平方差和完全平方公式计算，再计算加减即可． 【小问1详解】 解：， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ． 20. 学习了三角形的中位线定理后，小辉进行了拓展性研究．他发现，连接梯形两腰中点的线段也具有类似的性质．探究过程如下： （1）用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点，连接，连接并延长交线段的延长线于点．（不写作法，只保留作图痕迹） （2）已知：在四边形中，，为中点，为中点． 猜想：，且． 证明：∵是中点， ∴ ∵ ∴ ① 在和中 ， ∴ ∴ ② ，且 ∵是的中点 又是的中点 ∴为的中位线 ∴且 ③ ∴ ∵ ∴ 请你根据该探究过程完成下面命题： 连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且等于 ④ ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，梯形中位线定理，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图： （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法以及题意作图即可； （2）根据已给推理过程结合全等三角形性质与判定定理和三角形中位线定理证明即可． 【小问1详解】 解：作图如下： 【小问2详解】 解：证明：∵是中点， ∴ ∵ ∴， 在和中 ， ∴, ∴，且, ∴是的中点, 又是的中点, ∴为的中位线 ∴且, ∴, ∵， ∴， ∴连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且等于上底加下底的一半， 故答案为：；；；上底加下底的一半． 21. 2024年5月17日，江津区召开创建全国文明城区交通秩序提升工作部署会议，进一步提升我区创建全国文明城区工作水平，打造安全、文明、有序的道路交通环境．为调查道路交通环境在学生家长中的满意程度，在甲、乙两所中学中进行了满意度调查（单位：分，满分100分，分数越高越受欢迎）．现在从甲、乙两个中学中各随机抽取10名学生家长的满意度得分数据进行整理、描述和分析（满意度得分用表示，共分为A、B、C、D四个等级：，，，）．下面给出了部分信息： 甲中学10名学生家长满意度得分数据：97，97，94，94，93，87，87，87，77，67． 乙中学10名学生家长中B等级所有满意度得分数据：89，86，86，86． 甲、乙中学抽取的学生家长满意度得分统计表： 学校 平均数 中位数 众数 甲 88 90 a 乙 88 b 86 乙中学抽取的学生家长满意度得分扇形统计图： 请根据以上信息解答： （1）______，______，______； （2）你认为哪所中学的学生家长对道路交通环境更满意？请说明理由．（写出一条即可） （3）若甲、乙两校共有8000人参加此次满意度调查，请你估计非常满意该道路交通环境的学生家长有多少人？ 【答案】（1）87；；10 （2）甲中学的学生家长对道路交通环境更满意，理由见解析 （3）估计非常满意该道路交通环境的学生家长有3600人 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图，求中位数，平均数，用样本估计总体等等： （1）根据众数的定义即可求出a，先求出乙中学A等级的人数，进而求出C等级的人数即可求出m；根据中位数定义可知，乙中学处在第5名和第6名的得分将落在B等级中，结合中位数定义即可作答； （2）根据乙中学的众数和中位数都比甲中学的高即可得到答案； （3）用乘以样本中的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵甲中学10名学生满意度得分为87分的人数最多， ∴甲中学10名学生满意度得分的众数， 乙中学10名学生满意度得分在A等级的人数为人， 则C等级有（人）， ∴， ∴； 把乙中学D等级1人、C等级1人、B等级4人、A等级4人， 将10名学生满意度得分从低到高排列，处在第5名和第6名的得分将落在B等级中， ∵乙中学10名学生家长中B等级所有满意度得分数据：86，86，86，89． ∴第5名和第6名的得分分别为86分，89分， ∴乙中学10名学生满意度得分的中位数， 故答案为：；；10； 【小问2详解】 解：甲中学的学生家长对道路交通环境更满意，理由如下： ∵甲中学的中位数和众数都比乙中学的高， ∴甲中学的学生家长对道路交通环境更满意． 【小问3详解】 解：人， ∴估计非常满意该道路交通环境的学生家长有3600人． 22. 近些年“抖音直播带货”迅速成为热潮．某手机专卖店计划购进甲、乙两种手机膜共100件且两种商品都有，并在抖音平台进行销售，其中进价、售价如下表： 甲手机膜 乙手机膜 进价（元/件） 4 24 售价（元/件） 9 49 设该专卖店购进甲手机膜件，甲、乙手机膜全部销售完后共获得利润元． （1）求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）若购进的总成本不超过1500元，且购进的手机膜全部售出，怎样进货可使所获利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1） （2）应购进甲种手机膜45件，乙种手机膜55件，所获利润最大，最大利润为1600元 【解析】 【分析】本题考查一次函数应用，一元一次不等式的应用． （1）根据题意即可列出与的函数关系式； （2）根据题意列出，再结合（1）中一次函数性质分析即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∴与的函数关系式为， 【小问2详解】 解：∵购进的总成本不超过1500元， 由题意得：，解得：， ∴， 在表达式中， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取最大值，最大值为：元， 答：应购进甲种手机膜45件，乙种手机膜55件，所获利润最大，最大利润为1600元 23. 如图，甲、乙两艘海军舰艇同时从位于南北方向海岸线上某港口出发，各自沿一固定方向对某岛巡航，若甲军舰每小时航行24海里，乙军舰每小时航行32海里． （1）若甲、乙两军舰离开港口1个小时后分别位于、处，且相距40海里，如果知道甲军舰沿北偏东方向航行，你知道乙军舰沿哪个方向航行吗？请说明理由． （2）甲军舰在处执行任务，乙军舰还需沿方向行驶到处执行任务，若位于的南偏西方向，乙军舰能在20分钟内，到达处执行任务吗？请说明理由．（提示：） 【答案】（1）乙军舰沿南偏东方向航行，理由见解析 （2）乙军舰能在20分钟内，能到达处执行任务，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查方位角问题，勾股定理，勾股定理逆定理，三角形内角和等． （1）根据题意求出，，，再利用勾股定理逆定理得到，再利用三角形内角和即可得到本题答案； （2）先求出，再利用勾股定理求出，继而得到本题答案． 【小问1详解】 解：乙军舰沿南偏东方向航行，理由如下： 由题意得：，（海里），（海里） 在中， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， 答：乙军舰沿南偏东方向航行． 【小问2详解】 解：乙军舰能在20分钟内，能到达处执行任务，理由如下： ， 由题意得：， 在中，， ∴（海里）， ∴（海里）， ∴（海里）， ∴， ∵， ∴乙军舰能在20分钟内到达处执行任务． 24. 已知正方形，，点是的中点，点沿着运动，运动到点停止，运动速度为每秒1个单位长度，的面积为，运动时间为． （1）请直接写出与之间的函数表达式，并写出对应的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出与的函数图像，并写出该函数的一条性质； （3）已知的图像如图所示，结合图像，当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）画图见解析，性质：当时，随增大而减小；当时，随增大而增大 （3）或 【解析】 【分析】（1）分别根据点P在上和点P在上两种情况进行讨论即可； （2）用描点法画出函数图像，然后结合图像写出函数的一条性质即可； （3）先求出时t的值，再根据图像解答即可． 【小问1详解】 解：当时，点P在上，， ∵， ∴， 当时，点P在上，， ∴， ∴， 从图像可得：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， 当时，， 函数的图像如下图所示， 【小问3详解】 解：当，时，， 解得， 当，时，， 解得， 两个函数的图像如下图所示， ∴当或时，． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，求出函数解析式是解答本题的关键． 25. 如图，直线分别交轴和轴于点和点，直线过点且与轴交于点，且． （1）求直线的解析式； （2）若点为线段上一动点，当时，求点的坐标； （3）若、为平面内两点，满足四边形为正方形，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，正方形判定和性质，全等三角形的性质和判定、坐标与图形、三角形的面积等，数形结合，分类讨论是解题关键． （1）根据直线与坐标轴的交点求出点A坐标，再利用待定系数法求解； （2）首先求出点B坐标，再设点，由，即可求解； （3）首先根据当正方形在右侧时或在左侧时，两种情况，画出图形，过P点作轴，结合一线三垂直模型证明，从而求解． 【小问1详解】 解：交轴和轴于点和点， 当时，解得，， 当时，解得，， ∵， ∴， ∴ 设直线的解析式为，将，代入， 则，解得：， ∴直线的解析式为：； 【小问2详解】 解：设点，如图，连接， 则， ∵， ∴ ∴ 解得， 故点； 【小问3详解】 解： 当正方形在右侧时，如图3（1），过P点作轴， ∵在正方形中， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 故点 当正方形在左侧时，如图3（2）， 同理可得： ，， 故， 综上所述：满足条件的点或． 26. 如图，在中，，为边上一点，连接，． （1）如图1，求证：是的中点； （2）如图2，点为上一点，若，求证：； （3）如图3，若，，点为直线上一动点，以为直角边作等腰直角，连接和，请直接写出的最小值 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）首先求出，然后由平行线的性质得到，结合题意得到，，即可得到是的中点； （2）在上取点G，使，根据题意证明出，得到，然后证明出是等腰直角三角形，得到，即可证明出； （3）过点A在下方作，使，首先证明出，得到点G在直线上运动，当时，有最小值，然后得到，证明出四边形是矩形，然后求出，，勾股定理求出，进而求解即可． 【小问1详解】 ∵在中，， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴是的中点； 【小问2详解】 如图所示，在上取点G，使 ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴； 【小问3详解】 如图所示，过点A在下方作，使 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点G在直线上运动 设与交于点N ∴当时，有最小值 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴四边形是矩形 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． ∴的最小值为． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，含角直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $