2024年河北省中考数学真题解析

2024年河北省中考数学试卷 一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1～6小题各3分，7～16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列运算正确的是（　　） A．a7﹣a3＝a4 B．3a2•2a2＝6a2 C．（﹣2a）3＝﹣8a3 D．a4÷a4＝a 3．（3分）如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（　　） A．AD⊥BC B．AC⊥PQ C．△ABO≌△CDO D．AC∥BD 4．（3分）下列数中，能使不等式5x﹣1＜6成立的x的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（3分）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是△ABC的（　　） A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线 6．（3分）如图是由11个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（　　） A． B． C． D． 7．（2分）节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（　　） A．若x＝5，则y＝100 B．若y＝125，则x＝4 C．若x减小，则y也减小 D．若x减小一半，则y增大一倍 8．（2分）若a，b是正整数，且满足＝，则a与b的关系正确的是（　　） A．a+3＝8b B．3a＝8b C．a+3＝b8 D．3a＝8+b 9．（2分）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a＝（　　） A．1 B．﹣1 C．+1 D．1或+1 10．（2分）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，点M是AC的中点，连接BM并延长交AE于点D，连接CD． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠3． ∵∠CAN＝∠ABC+∠3，∠CAN＝∠1+∠2，∠1＝∠2， ∴①______． 又∵∠4＝∠5，MA＝MC， ∴△MAD≌△MCB（②______）． ∴MD＝MB．∴四边形ABCD是平行四边形． 若以上解答过程正确，①，②应分别为（　　） A．∠1＝∠3，AAS B．∠1＝∠3，ASA C．∠2＝∠3，AAS D．∠2＝∠3，ASA 11．（2分）直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于点M，N，如图所示，则α+β＝（　　） A．115° B．120° C．135° D．144° 12．（2分）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形ABCD位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 13．（2分）已知A为整式，若计算﹣的结果为，则A＝（　　） A．x B．y C．x+y D．x﹣y 14．（2分）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为120°时，扇面面积为S，该折扇张开的角度为n°时，扇面面积为Sn，若m＝，则m与n关系的图象大致是（　　） A． B． C． D． 15．（2分）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（　　） A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“■”表示5 C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为4100a+1025 16．（2分）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“和点”P（2，1）按上述规则连续平移3次后，到达点P3（2，2），其平移过程如下：． 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q16（﹣1，9），则点Q的坐标为（　　） A．（6，1）或（7，1） B．（15，﹣7）或（8，0） C．（6，0）或（8，0） D．（5，1）或（7，1） 二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18～19小题各4分，每空2分） 17．（2分）某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89，73，90，86，75，86，89，95，89，以上数据的众数为 　 　． 18．（4分）已知a，b，n均为正整数． （1）若n＜＜n+1，则n＝　 　； （2）若n﹣1＜＜n，n＜＜n+1，则满足条件的a的个数总比b的个数少 　 　个． 19．（4分）如图，△ABC的面积为2，AD为BC边上的中线，点A，C1，C2，C3是线段CC4的五等分点，点A，D1，D2是线段DD3的四等分点，点A是线段BB1的中点． （1）△AC1D1的面积为 　 　； （2）△B1C4D3的面积为 　 　． 三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20．（9分）如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为﹣4，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12． （1）计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值； （2）当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值． 21．（9分）甲、乙、丙三张卡片正面分别写有a+b，2a+b，a﹣b，除正面的代数式不同外，其余均相同． （1）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当a＝1，b＝﹣2时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率； （2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率． 第一次 和 第二次 a+b 2a+b a﹣b a+b 2a+2b 2a 2a+b a﹣b 2a 22．（9分）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离BQ＝4m，仰角为α；淇淇向前走了3m后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为β，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB＝CD＝1.6m，点P到BQ的距离PQ＝2.6m，AC的延长线交PQ于点E．（注：图中所有点均在同一平面） （1）求β的大小及tanα的值； （2）求CP的长及sin∠APC的值． 23．（10分）情境 图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的．该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示． （说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余） 操作 嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形． 如图3，嘉嘉沿虚线EF，GH裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题： （1）直接写出线段EF的长； （2）直接写出图3中所有与线段BE相等的线段，并计算BE的长． 探究 淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形． 请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的BC边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段PQ）的位置，并直接写出BP的长． 24．（10分）某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试．考虑多种因素影响，需将测试的原始成绩x（分）换算为报告成绩y（分）．已知原始成绩满分150分，报告成绩满分100分、换算规则如下： 当0≤x＜p时，y＝； 当p≤x≤150时，y＝+80． （其中p是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线）公司规定报告成绩为80分及80分以上（即原始成绩为p及p以上）为合格． （1）甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若p＝100，求甲、乙的报告成绩； （2）丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分，请推算p的值； （3）下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表： 原始成绩（分） 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 人数 1 2 2 5 8 10 7 16 20 15 9 5 ①直接写出这100名员工原始成绩的中位数； ②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率． 25．（12分）已知⊙O的半径为3，弦MN＝2．△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝3．在平面上，先将△ABC和⊙O按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在⊙O上，点C在⊙O内），随后移动△ABC，使点B在弦MN上移动，点A始终在⊙O上随之移动．设BN＝x． （1）当点B与点N重合时，求劣弧的长； （2）当OA∥MN时，如图2，求点B到OA的距离，并求此时x的值； （3）设点O到BC的距离为d． ①当点A在劣弧上，且过点A的切线与AC垂直时，求d的值； ②直接写出d的最小值． 26．（13分）如图，抛物线C1：y＝ax2﹣2x过点（4，0），顶点为Q．抛物线C2：y＝﹣（x﹣t）2+t2﹣2（其中t为常数，且t＞2），顶点为P． （1）直接写出a的值和点Q的坐标． （2）嘉嘉说：无论t为何值，将C1的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在C2上． 淇淇说：无论t为何值，C2总经过一个定点． 请选择其中一人的说法进行说理． （3）当t＝4时， ①求直线PQ的解析式； ②作直线l∥PQ，当l与C2的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的横坐标． （4）设C1与C2的交点A，B的横坐标分别为xA，xB，且xA＜xB，点M在C1上，横坐标为m（2≤m≤xB）．点N在C2上，横坐标为n（xA≤n≤t），若点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，直接用含t和m的式子表示n． 2024年河北省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1～6小题各3分，7～16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据﹣4＜﹣2＜﹣1＜0＜1可得答案． 【解答】解：∵﹣4＜﹣2＜﹣1＜0＜1， ∴选项A的折线统计图符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了折线统计图，掌握有理数大小比较方法是解答本题的关键． 2．（3分）下列运算正确的是（　　） A．a7﹣a3＝a4 B．3a2•2a2＝6a2 C．（﹣2a）3＝﹣8a3 D．a4÷a4＝a 【分析】利用合并同类项的法则，单项式乘单项式的法则，积的乘方的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可． 【解答】解：A、a7与﹣a3不属于同类项，不能合并，故A不符合题意； B、3a2•2a2＝6a4，故B不符合题意； C、（﹣2a）3＝﹣8a3，故C符合题意； D、a4÷a4＝1，故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 3．（3分）如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（　　） A．AD⊥BC B．AC⊥PQ C．△ABO≌△CDO D．AC∥BD 【分析】根据△ABO和△CDO关于直线PQ对称得出△ABO≌△CDO，PQ⊥AC，PQ⊥BD，然后逐项判断即可． 【解答】解：如图，连接AC、BD， ∵△ABO和△CDO关于直线PQ对称， ∴△ABO≌△CDO，PQ⊥AC，PQ⊥BD， ∴AC∥BD， 故B、C、D选项正确， AD不一定垂直BC，故A选项不一定正确， 故选：A． 【点评】本题考查轴对称的性质，关于某条直线对称的两个三角形全等，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 4．（3分）下列数中，能使不等式5x﹣1＜6成立的x的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先求解不等式，再确定满足不等式的选项． 【解答】解：解不等式5x﹣1＜6， 得x＜． 故选：A． 【点评】本题考查了一元一次不等式的解法．会求解一元一次不等式是解决本题的关键． 5．（3分）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是△ABC的（　　） A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线 【分析】根据作图痕迹判断出线段BD是三角形ABC的高即可． 【解答】解：由作图可知BD⊥AC，故线段BD是△ABC的高． 故选：B． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，三角形的角平分线，直线和高，三角形的中位线等知识，解题的关键是读懂图象信息． 6．（3分）如图是由11个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【解答】解：从左边看，一共有三列，从左到右小正方形的个数分别是3、1、1． 故选：D． 【点评】本题主要考查了简单组合体的三视图，掌握组合体的三视图是解题的关键． 7．（2分）节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（　　） A．若x＝5，则y＝100 B．若y＝125，则x＝4 C．若x减小，则y也减小 D．若x减小一半，则y增大一倍 【分析】根据题意列出反比例函数，然后逐项计算判断即可． 【解答】解：由题意得，； A、若x＝5，则y＝＝100，正确，故此选项不符合题意； B、若y＝125，则，解得x＝4，正确，故此选项不符合题意； C、若x减小，则y增大，原说法错误，故此选项符合题意； D、若x减小一半，即y'＝，所以y增大一倍，正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，根据题意列出反比例函数解析式是解题的关键． 8．（2分）若a，b是正整数，且满足＝，则a与b的关系正确的是（　　） A．a+3＝8b B．3a＝8b C．a+3＝b8 D．3a＝8+b 【分析】根据合并同类项法则和同底数幂的乘法法则得8×2a＝28b，即2a+3＝28b，即可得出答案． 【解答】解：根据已知得，8×2a＝28b， 即2a+3＝28b， ∴a+3＝8b． 故选：A． 【点评】本题考查了合并同类项法则和同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键． 9．（2分）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a＝（　　） A．1 B．﹣1 C．+1 D．1或+1 【分析】根据题意得关于a的一元二次方程a2﹣2a＝1，解方程即可得出答案． 【解答】解：根据题意得，a2﹣2a＝1， 解得a＝1±， ∵a＞0， ∴a＝+1． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是关键． 10．（2分）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，点M是AC的中点，连接BM并延长交AE于点D，连接CD． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠3． ∵∠CAN＝∠ABC+∠3，∠CAN＝∠1+∠2，∠1＝∠2， ∴①______． 又∵∠4＝∠5，MA＝MC， ∴△MAD≌△MCB（②______）． ∴MD＝MB．∴四边形ABCD是平行四边形． 若以上解答过程正确，①，②应分别为（　　） A．∠1＝∠3，AAS B．∠1＝∠3，ASA C．∠2＝∠3，AAS D．∠2＝∠3，ASA 【分析】由AB＝AC，得∠ABC＝∠3，因为∠CAN＝∠ABC+∠3＝∠1+∠2，且∠1＝∠2，所以∠2＝∠3，而MA＝MC，∠4＝∠5，即可根据“ASA”证明△MAD≌△MCB，得MD＝MB，则四边形ABCD是平行四边形，于是得到问题的答案． 【解答】证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠3， ∵∠CAN＝∠ABC+∠3，∠CAN＝∠1+∠2，∠1＝∠2， ∴∠2＝∠3， ∵点M是AC的中点， ∴MA＝MC， 在△MAD和△MCB中， ， ∴△MAD≌△MCB（ASA）， ∴MD＝MB， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∴①，②分别为∠2＝∠3，ASA， 故选：D． 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明△MAD≌△MCB是解题的关键． 11．（2分）直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于点M，N，如图所示，则α+β＝（　　） A．115° B．120° C．135° D．144° 【分析】先求出正六边形的每个内角为120°，再根据六边形MBCDEN的内角和为720°即可求解∠ENM+∠NMB的度数，最后根据邻补角的意义即可求解． 【解答】解：正六边形每个内角为：， 而六边形MBCDEN的内角和也为（6﹣2）×180°＝720°， ∴∠B+∠C+∠D+∠E+∠ENM+∠NMB＝720°， ∴∠ENM+∠NMB＝720°﹣4×120°＝240°， ∵β+∠ENM+α+∠NMB＝180°×2＝360°， ∴α+β＝360°﹣240°＝120°， 故选：B． 【点评】本题考查了多边形的内角和，正多边形的每个内角，邻补角，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 12．（2分）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形ABCD位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【分析】设A（a，b），AB＝m，AD＝n，可得D（a，b+n），B（a+m，b），C（a+m，b+n），再结合新定义与分式的值的大小比较即可得到答案． 【解答】解：设A（a，b），AB＝m，AD＝n， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝n，AB＝CD＝m， ∴D（a，b+n），B（a+m，b），C（a+m，b+n）， ∵，而， ∴该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B； 故选：B． 【点评】本题考查的是矩形的性质，坐标与图形的性质，解答本题的关键是理解题意，直观观察和数形结合分析图象． 13．（2分）已知A为整式，若计算﹣的结果为，则A＝（　　） A．x B．y C．x+y D．x﹣y 【分析】由﹣＝可得Ax＝（x﹣y）（x+y）+y2，故Ax＝x2，从而A＝x． 【解答】解：∵﹣＝， ∴＝+， ∴＝+， ∴Ax＝（x﹣y）（x+y）+y2， ∴Ax＝x2， ∴A＝x； 故选：A． 【点评】本题考查分式混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质和等式的性质． 14．（2分）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为120°时，扇面面积为S，该折扇张开的角度为n°时，扇面面积为Sn，若m＝，则m与n关系的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】设该扇面所在的圆的半径为R，根据扇形的面积公式表示出πR2＝3S，进一步得出Sn＝＝，再代入m＝即可得出结论， 【解答】解：设该扇面所在的圆的半径为R， S＝＝， ∴πR2＝3S， ∵该折扇张开的角度为n°时，扇形面积为Sn， ∴Sn＝＝＝， ∴m＝＝＝＝， ∴m是n的正比例函数， ∵n≥0， ∴它的图象是过原点的一条射线， 故选：C． 【点评】本题考查了正比例函数的应用，扇形的面积，掌握扇形的面积公式是解题的关键， 15．（2分）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（　　） A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“■”表示5 C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为4100a+1025 【分析】设一个三位数与一个两位数分别为100x+10y+z和10m+n，则mz＝20，nz＝5，ny＝2，nx＝a，即m＝4n，可确定n＝1，y＝2时，则m＝4，z＝5，x＝a，由题意可判断A、B选项，根据题意可得运算结果可以表示为：1000（4a+1）+100a+25＝4100a+1025，故可判断C、D选项． 【解答】解：设一个三位数与一个两位数分别为100x+10y+z和10m+n，如图2： 则由题意得：mz＝20，nz＝5，ny＝2，nx＝a， ∴，即m＝4n， ∴当n＝2，y＝1 时，z＝2.5不是正整数，不符合题意，故舍去； 当n＝1，y＝2时，则m＝4，z＝5，x＝a，如图3： ∴A、“20”左边的数是2×4＝8，故本选项不符合题意； B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意； ∴a上面的数应为4a，如图4： ∴运算结果可以表示为：1000（4a+1）+100a+25＝4100a+1025， ∴D选项符合题意， 当a＝2时，计算的结果大于6000， 故C选项不符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键． 16．（2分）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“和点”P（2，1）按上述规则连续平移3次后，到达点P3（2，2），其平移过程如下：． 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q16（﹣1，9），则点Q的坐标为（　　） A．（6，1）或（7，1） B．（15，﹣7）或（8，0） C．（6，0）或（8，0） D．（5，1）或（7，1） 【分析】先找出规律若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，按照Q16的反向运动理解去分类讨论：①Q16先向右1个单位，不符合题意；②Q16先向下1个单位，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为（6，1），那么最后一次若向右平移则为（7，1），向左平移则为（5，1）． 【解答】解：根据已知：点P3（2，2）横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到P4（2，3），此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到P5（1，3），此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又向上平移1个单位………，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，再按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移； 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q16（﹣1.9），则按照“和点”Q16 反向运动16次即可，可以分为两种情况： ①Q16先向右1个单位得到Q15（0，9），此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是Q15向右平移1个单位得到Q16，故矛盾，不成立； ②Q16先向下1个单位得到Q15（﹣1，8），此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个 单位得到Q16，故符合题意， ∴点Q16先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为（﹣1+7，9﹣8），即（6，1）， ∴最后一次若向右平移则为（7，1），若向左平移则为（5，1）， 故选：D． 【点评】本题考查了坐标内点的平移运动，读懂题意，熟练掌握平移与坐标关系，利用反向运动理解是解决本题的关键． 二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18～19小题各4分，每空2分） 17．（2分）某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89，73，90，86，75，86，89，95，89，以上数据的众数为 　89　． 【分析】找出出现次数最多的数是众数． 【解答】解：出现次数最多的是89，因此众数为89． 故答案为：89． 【点评】本题考查众数，理解众数的意义是正确解答的前提． 18．（4分）已知a，b，n均为正整数． （1）若n＜＜n+1，则n＝　3　； （2）若n﹣1＜＜n，n＜＜n+1，则满足条件的a的个数总比b的个数少 　2　个． 【分析】（1）利用夹逼法估算的取值范围，即可求出n的值； （2）先将不等式两边平方，分别得到a、b的取值范围，即可得出答案． 【解答】解：（1）∵， ∴， ∵n＜＜n+1，n为正整数， ∴n＝3； 故答案为：3； （2）∵n﹣1＜＜n， ∴（n﹣1）2＜a＜n2， ∴a的取值范围为n2﹣（n﹣1）2＝n2﹣n2+2n﹣1＝2n﹣1， ∵n＜＜n+1， ∴n2＜b＜（n+1）2， ∴b的取值范围为（n+1）2﹣n2＝n2+2n+1﹣n2＝2n+1， ∵（2n+1）﹣（2n﹣1）＝2， ∴满足条件的a的个数总比b的个数少2个， 故答案为：2． 【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握夹逼法估算无理数的大小是解题的关键． 19．（4分）如图，△ABC的面积为2，AD为BC边上的中线，点A，C1，C2，C3是线段CC4的五等分点，点A，D1，D2是线段DD3的四等分点，点A是线段BB1的中点． （1）△AC1D1的面积为 　1　； （2）△B1C4D3的面积为 　7　． 【分析】（1）证明△AC1D1≌△ACD（SAS），即可得出结果； （2），分别求出它们的面积即可． 【解答】解：（1）连接B1D1、B1D2、B1C2、B1C3、C3D3， ∵△ABC的面积为2，AD为BC边上的中线， ∴， ∵点A，C1，C2，C3是线段CC4的五等分点， ∴， ∵点A，D1，D2是线段DD3的四等分点， ∴， ∵点A是线段BB1的中点， ∴， 在△AC1D1和△ACD中， ， ∴△AC1D1≌△ACD（SAS）， ∴，∠C1D1A＝∠CDA， ∴△AC1D1的面积为1， 故答案为：1； （2）在△AB1D1和△ABD中， ， ∴△AB1D1≌△ABD（SAS）， ∴，∠B1D1A＝∠BDA， ∵∠BDA+∠CDA＝180°， ∴∠B1D1A+∠C1D1A＝180°， ∴C1、D1、B1三点共线， ∴， ∵AC1＝C1C2＝C2C3＝C3C4， ∴， ∵AD1＝D1D2＝D2D3，， ∴， 在△AC3D3和△ACD中， ，∠C3AD3＝∠CAD， ∴△C3AD3∽△CAD， ∴， ∴， ∵AC1＝C1C2＝C2C3＝C3C4， ∴， ∴， ∴△B1C4D3的面积为7， 故答案为：7． 【点评】本题考查了三角形中线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等分点的意 义，三角形的面积，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20．（9分）如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为﹣4，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12． （1）计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值； （2）当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值． 【分析】（1）计算﹣4+2+32即可，根据数轴上两点之间的距离公式先求出AB、AC的长，再计算比值即可； （2）先求出DE、DF的长，根据题意列出，然后计算即可． 【解答】解：（1）∵点A，B，C所对应的数依次为﹣4，2，32， ∴A，B，C三点所对应的数的和为﹣4+2+32＝30， ∵AB＝2﹣（﹣4）＝6，AC＝32﹣（﹣4）＝36， ∴； （2）由数轴得，DE＝x﹣0＝x，DF＝12﹣0＝12， 由题意得，， ∴， ∴x＝2． 【点评】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式是解题的关键． 21．（9分）甲、乙、丙三张卡片正面分别写有a+b，2a+b，a﹣b，除正面的代数式不同外，其余均相同． （1）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当a＝1，b＝﹣2时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率； （2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率． 第一次 和 第二次 a+b 2a+b a﹣b a+b 2a+2b 2a 2a+b a﹣b 2a 【分析】（1）当a＝1，b＝﹣2时，a+b＝﹣1，2a+b＝0，a﹣b＝3．从三张卡片中随机抽取一张，共有3种等可能的结果，其中取出的卡片上代数式的值为负数的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）根据题意把表格补充完整，由表格可得出所有等可能的结果数以及和为单项式的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）当a＝1，b＝﹣2时，a+b＝﹣1，2a+b＝0，a﹣b＝3． 从三张卡片中随机抽取一张，共有3种等可能的结果，其中取出的卡片上代数式的值为负数的结果有1种， ∴取出的卡片上代数式的值为负数的概率为． （2）补全表格如下： 第一次 和 第二次 a+b 2a+b a﹣b a+b 2a+2b 3a+2b 2a 2a+b 3a+2b 4a+2b 3a a﹣b 2a 3a 2a﹣2b 共有9种等可能的结果，其中和为单项式的结果有：2a，3a，2a，3a，共4种， ∴和为单项式的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式、整式的加减、多项式与单项式，熟练掌握列表法与树状图法、概率公式、整式的加减、多项式与单项式的概念是解答本题的关键． 22．（9分）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离BQ＝4m，仰角为α；淇淇向前走了3m后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为β，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB＝CD＝1.6m，点P到BQ的距离PQ＝2.6m，AC的延长线交PQ于点E．（注：图中所有点均在同一平面） （1）求β的大小及tanα的值； （2）求CP的长及sin∠APC的值． 【分析】（1）根据题意先求解 CE＝PE＝1m，再结合等腰三角形的性质与正切的定义可得答案； （2）利用勾股定理先求解 ，过C作CH⊥AP于H，结合 ，设CH＝x m，则AH＝4x m，再建立方程求解x，即可得到答案． 【解答】解：（1）由题意可得：PQ⊥AE，PQ＝2.6m，AB＝CD＝EQ＝1.6m，AE＝BQ＝4（m），AC＝BD＝3（m）， ∴CE＝4﹣3＝1（m），PE＝2.6﹣1.6＝1（m），∠CEP＝90°． ∴CE＝PE． ∴β＝∠PCE＝45°；． （2）∵CE＝PE＝1m，∠CEP＝90°， ∴． 如图，过C作 CH⊥AP于H， ∵，设CH＝x m，则AH＝4x m， ∴x2+（4x）2＝AC2＝9． ∴，． ∴． ∴． 【点评】本题主要考查的是解直角三角形的应用，理解仰角与俯角的含义以及三角函数的定义是解本题的关键． 23．（10分）情境 图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的．该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示． （说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余） 操作 嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形． 如图3，嘉嘉沿虚线EF，GH裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题： （1）直接写出线段EF的长； （2）直接写出图3中所有与线段BE相等的线段，并计算BE的长． 探究 淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形． 请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的BC边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段PQ）的位置，并直接写出BP的长． 【分析】（1）如图，过G'作G′K⊥FH′于K，结合题意可得：四边形FOG′K为矩形，可得FO＝KG'，由拼接可得：HF＝FO＝KG'，可得△AHG，△H′G′D，△AFE为等腰直角三角形，△G′KH′为等腰直角三角形，设H′K＝KG'＝x，则H′G′＝H′D＝x，再进一步解答即可； （2）由△AFE为等腰直角三角形可得，EF＝AF＝1；求解，再分别求解GE，AH，GH，可得答案；如图，以B为圆心，BO为半径画弧交BC于P′，交AB于Q′，则直线P'Q'为分割线，或以C圆心，CO为半径画弧，交BC于P，交CD于Q，则直线PQ为分割线，再进一步求解BP的长即可． 【解答】解：（1）如图，过G′作G′K⊥FH′于K，结合题意可得：四边形FOG′K为矩形， ∴FO＝KG'， 由拼接可得：HF＝FO＝KG'， 由正方形的性质可得：∠A＝45°， ∴△AHG，ΔH′G'D，△AFE为等腰直角三角形， ∴△GKH'为等腰直角三角形， 设H′K＝KG'＝x， ∴H′G′＝H′D＝x， ∴，HF＝FO＝x， ∵正方形的边长为2， ∴对角线的长， ∴， ∴， 解得：， ∴； （2）∵△AFE为等腰直角三角形，EF＝AF＝1； ∴， ∴， ∵，， ∴BE＝GE＝AH＝GH； 如图，以B为圆心，BO为半径画弧交BC于P'，交AB于Q'，则直线P'Q'为分割线， 此时，，符合要求， 或以C圆心，CO为半径画弧，交BC于P，交CD于Q，则直线PQ为分割线， 此时，， ∴， 综上：BP的长为或． 【点评】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，本题要求学生的操作能力要好，想象能力强，有一定的难度． 24．（10分）某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试．考虑多种因素影响，需将测试的原始成绩x（分）换算为报告成绩y（分）．已知原始成绩满分150分，报告成绩满分100分、换算规则如下： 当0≤x＜p时，y＝； 当p≤x≤150时，y＝+80． （其中p是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线）公司规定报告成绩为80分及80分以上（即原始成绩为p及p以上）为合格． （1）甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若p＝100，求甲、乙的报告成绩； （2）丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分，请推算p的值； （3）下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表： 原始成绩（分） 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 人数 1 2 2 5 8 10 7 16 20 15 9 5 ①直接写出这100名员工原始成绩的中位数； ②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率． 【分析】（1）利用换算规则的公式解答即可； （2）设丙的原始成绩为x1分，则丁的原始成绩为（x1﹣40）分，利用分类讨论的方法依据换算规则的公式解答即可； （3）①利用中位数的定义解答即可； ②当p＞130时，利用换算规则的公式解答即可；当p≤130时，则，由表格得到原始成绩为110及110以上的人数为100﹣5＝95，利用合格率的公式解答即可． 【解答】解：（1）当p＝100时，甲的报告成绩为： （分）， 乙的探告成绩为： （分）； （2）设丙的原始成绩为x1分，则丁的原始成绩为（x1﹣40）分， ①0≤x＜p时，y丙＝92＝…①， ， 由①﹣②得：， ∴， ∴，故不成立，舍； ②p≤x1﹣40≤150 时，y丙＝92＝+80…③， ……④， 由③﹣④得：， ∴p＝． ∴92＝+80， ∴， ∴，故不成立，舍； ③0≤x1﹣40＜p，p≤x1≤150 时， y丙＝92＝+80…⑤， ……⑥， 联立⑤⑥解得：p＝125，x1＝140，且符合题意， 综上所述p＝125； （3）①共计100名员工，且成绩已经排列好， ∴中位数是第50，51名员工成绩的平均数， 由表格得第50，51名员工成绩都是130分， ∴中位数为130； ②当p＞130时，则， 解得 ， 故不成立，舍； 当p≤130时， 则， 解得p＝110，符合题意， ∴．由表格得到原始成绩为110及110以上的人数为100﹣（1+2+2）＝95， ∴合格率为：． 【点评】本题考查了函数关系式，自变量与函数值，中位数的定义，合格率，解分式方程，熟练知识点正确理解题意是解决本题的关键． 25．（12分）已知⊙O的半径为3，弦MN＝2．△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝3．在平面上，先将△ABC和⊙O按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在⊙O上，点C在⊙O内），随后移动△ABC，使点B在弦MN上移动，点A始终在⊙O上随之移动．设BN＝x． （1）当点B与点N重合时，求劣弧的长； （2）当OA∥MN时，如图2，求点B到OA的距离，并求此时x的值； （3）设点O到BC的距离为d． ①当点A在劣弧上，且过点A的切线与AC垂直时，求d的值； ②直接写出d的最小值． 【分析】（1）如图，连接OA，OB，先证明△AOB 为等边三角形，再利用等边三角形的性质结合弧长公式 可得答案； （2）过B作BI⊥OA于I，过O作OH⊥MN于H，连接MO，证明四边形BIOH是矩形，可得BH＝OI，BI＝OH，再结合勾股定理可得答案； （3）①如图，由过点A的切线与AC垂直，可得AC过圆心，过O作OJ⊥BC于J，过O作OK⊥AB 于K，而∠ABC＝90°，可得四边形KO．JB为矩形，可得 OJ＝KB，再进一步利用勾股定理与锐角三角函数可得答案； ②如图，当B为MN中点时，过O作OL⊥B′C′于L，过O作OJ⊥BC于J，OL＞OJ，此时OI最短，如图，过A作AQ⊥OB于Q，而AB＝AO＝3，证明BQ＝OQ＝1，求解，再结合等角的三角函数可得答案． 【解答】解：如图，连接OA，OB， ∵⊙O的半径为3，AB＝3， ∴OA＝OB＝AB＝3， ∴△AOB 为等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∴ 的长为＝π， ∴劣弧的长为π； （2）过B作BI⊥OA于I，过O作OH⊥MN于H，连接MO，如图： ∵OA∥MN， ∴∠IBH＝∠BHO＝∠HOI＝∠BIO＝90°， ∴四边形BIOH是矩形， ∴BH＝OI，BI＝OH， ∵，OH⊥MN， ∴， 而OM＝3， ∴， ∴点B到OA的距离为2； ∵AB＝3，BI⊥OA， ∴， ∴， ∴； （3）①过O作OJ⊥BC于J，过O作OK⊥AB于K，如图： ∵∠ABC＝90°，过点A的切线与AC垂直， ∴AC过圆心， ∴四边形KOJB为矩形， ∴OJ＝KB， ∵AB＝3，， ∴， ∴， ∴， ∴，即 ； ②如图，当B为MN中点时，过O作OL⊥B′C′于L，过O作OJ⊥BC于J， ∵∠OJL＞90°， ∴OL＞OJ，故当B为MN中点时，d最短小， 过A作AQ⊥OB于Q， ∵B为MN中点， ∴OB⊥MN， 同（2）可得OB＝2， ∴BQ＝OQ＝1， ∴， ∵∠ABC＝90°＝∠AQB， ∴∠OBJ+∠ABO＝90°＝∠ABO+∠BAQ， ∴∠OBJ＝∠BAQ， ∴tan∠OBJ＝tan∠BAQ， ∴， 设OJ＝m，则 ， ∵OJ2+BJ2＝OB2， ∴， 解得： （m的负值已舍去）， ∴CJ 的最小值为 ，即d的最小值为． 【点评】本题属于圆的综合题，难度很大，考查了勾股定理的应用，矩形的判定与性质，垂径定理的应用：锐角三角函数的应用，切线的性质，熟练的利用数形结合的方法，作出合适的辅助线是解本题的关键． 26．（13分）如图，抛物线C1：y＝ax2﹣2x过点（4，0），顶点为Q．抛物线C2：y＝﹣（x﹣t）2+t2﹣2（其中t为常数，且t＞2），顶点为P． （1）直接写出a的值和点Q的坐标． （2）嘉嘉说：无论t为何值，将C1的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在C2上． 淇淇说：无论t为何值，C2总经过一个定点． 请选择其中一人的说法进行说理． （3）当t＝4时， ①求直线PQ的解析式； ②作直线l∥PQ，当l与C2的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的横坐标． （4）设C1与C2的交点A，B的横坐标分别为xA，xB，且xA＜xB，点M在C1上，横坐标为m（2≤m≤xB）．点N在C2上，横坐标为n（xA≤n≤t），若点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，直接用含t和m的式子表示n． 【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式，再化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）把Q（2，﹣2）向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为（0，﹣2），再检验即可，再根据函数化为，可得函数过定点； （3）①先求解P的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； ②如图，当（等于6两直线重合不符合题意），可得，可得交点，交点，再进一步求解即可； （4）如图，由题意可得C2是由C1通过旋转180°，再平移得到的，两个函数图象的形状相同，如图，连接AB交PQ于L，连接AQ，BQ，AP，BP，可得四边形APBQ是平行四边形，当点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，此时M与B重合，N与A重合，再进一步利用中点坐标公式解答即可． 【解答】解：（1）∵抛物线过点（4，0），顶点为Q， ∴16a﹣8＝0， 解得， ∴抛物线为， ∴Q（2，﹣2）； （2）把Q（2，﹣2）向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为（0，﹣2）， 当x＝0时，， ∴（0，﹣2）在C2上， ∴嘉嘉说法正确； ＝， 当x＝0时，y＝﹣2， ∴， 过定点（0，﹣2）， ∴淇淇说法正确； （3）①当t＝4时，， ∴顶点P（4，6）， 而Q（2，﹣2）， 设PQ为y＝cx+f， ∴， 解得， ∴PQ为y＝4x﹣10； ②如图，当（等于6两直线重合不符合题意）， ∴， ∴交点，交点， 由直线l∥PQ， 设直线l为y＝4x+b， ∴， 解得， ∴直线l为， 当时，， 此时直线l与x轴交点的横坐标为， 同理当直线l过点， 直线l为， 当时，， 此时直线l与x轴交点的横坐标为． （4）∵，， ∴C2是由C1通过旋转180°，再平移得到的，两个函数图象的形状相同， 如图，连接AB交PQ于L，连接AQ，BQ，AP，BP， ∴四边形APBQ是平行四边形， 当点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，此时M与B重合，N与A重合， ∵P（2，﹣2），， ∴L的横坐标为，，， ∴L的横坐标为， ∴， 解得n＝2+t﹣m． 【点评】本题考查的是二次函数的综合应用，主要考查利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，一次函数的综合应用，二次函数的平移与旋转，以及特殊四边形的性质，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/24 16:19:19；用户：Troy；邮箱：305657440@qq.com；学号：290269 学科网（北京）股份有限公司 $$