2024年福建省中考数学真题解析

2024年福建省中考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（4分）下列实数中，无理数是（　　） A．﹣3 B．0 C． D． 2．（4分）据《人民日报》3月12日电，世界知识产权组织近日公布数据显示，2023年，全球PCT（《专利合作条约》）国际专利申请总量为27.26万件，中国申请量为69610件，是申请量最大的来源国．数据69610用科学记数法表示为（　　） A．6961×10 B．696.1×102 C．6.961×104 D．0.6961×105 3．（4分）如图是由长方体和圆柱组成的几何体，其俯视图是（　　） A． B． C． D． 4．（4分）在同一平面内，将直尺、含30°角的三角尺和木工角尺（CD⊥DE）按如图方式摆放，若AB∥CD，则∠1的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 5．（4分）下列运算正确的是（　　） A．a3•a3＝a9 B．a4÷a2＝a2 C．（a3）2＝a5 D．2a2﹣a2＝2 6．（4分）哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（　　） A． B． C． D． 7．（4分）如图，已知点A，B在⊙O上，∠AOB＝72°，直线MN与⊙O相切，切点为C，且C为的中点，则∠ACM等于（　　） A．18° B．30° C．36° D．72° 8．（4分）今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长4.7%，求去年第一季度社会消费品零售总额．若将去年第一季度社会消费品零售总额设为x亿元，则符合题意的方程是（　　） A．（1+4.7%）x＝120327 B．（1﹣4.7%）x＝120327 C． D． 9．（4分）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图．其中△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，OE⊥OF．下列推断错误的是（　　） A．OB⊥OD B．∠BOC＝∠AOB C．OE＝OF D．∠BOC+∠AOD＝180° 10．（4分）已知二次函数y＝x2﹣2ax+a（a≠0）的图象经过，B（3a，y2）两点，则下列判断正确的是（　　） A．可以找到一个实数a，使得y1＞a B．无论实数a取什么值，都有y1＞a C．可以找到一个实数a，使得y2＜0 D．无论实数a取什么值，都有y2＜0 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．（4分）因式分解：x2+x＝　 　． 12．（4分）不等式3x﹣2＜1的解集是 　 　． 13．（4分）学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图，则这12名学生测试成绩的中位数是 　 　．（单位：分） 14．（4分）如图，正方形ABCD的面积为4，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH的面积为 　 　． 15．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象与⊙O交于A，B两点，且点A，B都在第一象限．若A（1，2），则点B的坐标为 　 　． 16．（4分）无动力帆船是借助风力前行的．如图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角∠PDA为70°，帆与航行方向的夹角∠PDQ为30°，风对帆的作用力F为400N．根据物理知识，F可以分解为两个力F1与F2，其中与帆平行的力F1不起作用，与帆垂直的力F2又可以分解为两个力f1与f2，f1与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；f2与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：F＝AD＝400，则f2＝CD＝　 　．（单位：N）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77） 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）计算：． 18．（8分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC和CD上，且∠AEB＝∠AFD．求证：BE＝DF． 19．（8分）解方程：． 20．（8分）已知A、B两地都只有甲、乙两类普通高中学校．在一次普通高中学业水平考试中，A地甲类学校有考生3000人，数学平均分为90分；乙类学校有考生2000人，数学平均分为80分． （1）求A地考生的数学平均分； （2）若B地甲类学校数学平均分为94分，乙类学校数学平均分为82分，据此，能否判断B地考生数学平均分一定比A地考生数学平均分高？若能，请给予证明；若不能，请举例说明． 21．（8分）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣2，0），C（0，﹣2）． （1）求二次函数的表达式； （2）若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x轴于点D，△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，求点P的坐标． 22．（10分）如图，已知直线l1∥l2． （1）在l1，l2所在的平面内求作直线l，使得l∥l1∥l2，且l与l1间的距离恰好等于l与l2间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若l1与l2间的距离为2，点A，B，C分别在l，l1，l2上，且△ABC为等腰直角三角形，求△ABC的面积． 23．（10分）已知实数a，b，c，m，n满足，． （1）求证：b2﹣12ac为非负数； （2）若a，b，c均为奇数，m，n是否可以都为整数？说明你的理由． 24．（12分）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸ABCD，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中AE＝FB），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示． （1）直接写出的值； （2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是 　 　． （3）今有三种不同型号的矩形卡纸，其规格、单价如表所示： 卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ 规格（单位：cm） 30×40 20×80 80×80 单价（单位：元） 3 5 20 现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整AE，EF的比例，制作棱长为10cm的正方体礼品盒．如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用． （要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用） 25．（14分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，AE⊥OC，垂足为E，BE的延长线交于点F． （1）求的值； （2）求证：△AEB∽△BEC； （3）求证：AD与EF互相平分． 2024年福建省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（4分）下列实数中，无理数是（　　） A．﹣3 B．0 C． D． 【分析】无理数即无限不循环小数，据此即可求得答案． 【解答】解：﹣3，0是整数，是分数，它们不是无理数； 是无限不循环小数，它是无理数； 故选：D． 【点评】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．（4分）据《人民日报》3月12日电，世界知识产权组织近日公布数据显示，2023年，全球PCT（《专利合作条约》）国际专利申请总量为27.26万件，中国申请量为69610件，是申请量最大的来源国．数据69610用科学记数法表示为（　　） A．6961×10 B．696.1×102 C．6.961×104 D．0.6961×105 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【解答】解：69610＝6.961×104． 故选：C． 【点评】本题考查的是科学记数法的概念，即把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法． 3．（4分）如图是由长方体和圆柱组成的几何体，其俯视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【解答】解：这个立体图形的俯视图是一个圆，圆内部中间有一个矩形． 故选：C． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图是解题关键． 4．（4分）在同一平面内，将直尺、含30°角的三角尺和木工角尺（CD⊥DE）按如图方式摆放，若AB∥CD，则∠1的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【分析】由平行线的性质推出∠CDB＝∠ABF＝60°，由垂直的定义得到∠CDE＝90°，由平角定义求出∠1＝180°﹣60°﹣90°＝30°． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠CDB＝∠ABF＝60°， ∵CD⊥DE， ∴∠CDE＝90°， ∴∠1＝180°﹣60°﹣90°＝30°． 故选：A． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠CDB＝∠ABF． 5．（4分）下列运算正确的是（　　） A．a3•a3＝a9 B．a4÷a2＝a2 C．（a3）2＝a5 D．2a2﹣a2＝2 【分析】利用同底数幂乘法及除法法则，幂的乘方法则，合并同类项法则逐项判断即可． 【解答】解：a3•a3＝a6，则A不符合题意； a4÷a2＝a2，则B符合题意； （a3）2＝a6，则C不符合题意； 2a2﹣a2＝a2，则D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查同底数幂乘法及除法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 6．（4分）哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及和是偶数的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：列表如下： 2 3 5 2 （2，3） （2，5） 3 （3，2） （3，5） 5 （5，2） （5，3） 共有6种等可能的结果，其中和是偶数的结果有：（3，5），（5，3），共2种， ∴和是偶数的概率为． 故选：B． 【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 7．（4分）如图，已知点A，B在⊙O上，∠AOB＝72°，直线MN与⊙O相切，切点为C，且C为的中点，则∠ACM等于（　　） A．18° B．30° C．36° D．72° 【分析】根据C为的中点可求出∠AOC的度数，根据等腰三角形的性质得∠ACO＝72°，再由切线的性质可知∠OCM＝90°，即可求出∠ACM的度数． 【解答】解：∵C为的中点，∠AOB＝72°， ∴∠AOC＝∠BOC＝36°， ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠OAC＝72°， ∵直线MN与⊙O相切，切点为C， ∴∠OCM＝90°， ∴∠ACM＝∠OCM﹣∠ACO＝90°﹣72°＝18°， 故选：A． 【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理，掌握切线的性质、圆周角定理是解题的关键． 8．（4分）今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长4.7%，求去年第一季度社会消费品零售总额．若将去年第一季度社会消费品零售总额设为x亿元，则符合题意的方程是（　　） A．（1+4.7%）x＝120327 B．（1﹣4.7%）x＝120327 C． D． 【分析】利用今年第一季度社会消费品零售总额＝去年第一季度社会消费品零售总额×（1+4.7%），即可列出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：（1+4.7%）x＝120327． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及含百分数的一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 9．（4分）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图．其中△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，OE⊥OF．下列推断错误的是（　　） A．OB⊥OD B．∠BOC＝∠AOB C．OE＝OF D．∠BOC+∠AOD＝180° 【分析】先根据轴对称的性质得出△OAB≌△ODC，所以∠AOB＝∠COD，再由等腰三角形三线合一的性质可知∠AOE＝∠BOD＝∠AOB，∠COF＝∠DOF＝∠COD，故∠AOE＝∠BOE＝∠COF＝∠DOF，再由OE⊥OF即可判断A；由轴对称的性质可判断B；由全等三角形的性质可判断出C；根据A中的结论可判断D． 【解答】解：∵△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称， ∴△OAB≌△ODC， ∴∠AOB＝∠COD， ∵点E，F分别是底边AB，CD的中点， ∴∠AOE＝∠BOE＝∠AOB，∠COF＝∠DOF＝∠COD， ∴∠AOE＝∠BOE＝∠COF＝∠DOF， ∵OE⊥OF， ∴∠BOE+∠BOF＝90°， ∵∠BOE＝∠DOF， ∴∠DOF+∠BOF＝90°， ∴OB⊥OD，故A正确； ∵∠AOB与∠BOC的度数不能确定， ∴无法证明∠BOC与∠AOB的关系，故B错误； ∵△OAB≌△ODC，点E，F分别是底边AB，CD的中点， ∴OE＝OF，故C正确； ∵OB⊥OD， ∴∠BOC+∠COD＝90°①， ∵OE⊥OF， ∴∠COF+∠EOC＝90°， ∵∠COF＝∠AOE， ∴∠AOE+∠EOC＝90°， ∴OC⊥OA， ∴∠AOB+∠BOC＝90°②， ①+②得，∠BOC+∠COD+∠AOB+∠BOC＝180°， 即∠BOC+∠AOD＝180°，故D正确． 故选：B． 【点评】本题考查的是轴对称的性质，等腰三角形的性质及全等三角形的性质，熟知关于轴对称的两个三角形全等是解题的关键． 10．（4分）已知二次函数y＝x2﹣2ax+a（a≠0）的图象经过，B（3a，y2）两点，则下列判断正确的是（　　） A．可以找到一个实数a，使得y1＞a B．无论实数a取什么值，都有y1＞a C．可以找到一个实数a，使得y2＜0 D．无论实数a取什么值，都有y2＜0 【分析】根据题意得到二次函数开口向上，且对称轴为x＝a，顶点坐标为（a，a﹣a2），再分情况讨论，当a＞0时，当a0＜时，y1，y2的大小情况，即可解题． 【解答】解：∵二次函数解析式为y＝x2﹣2ax+a（a≠0）， ∴二次函数开口向上，且对称轴为x＝＝a，顶点坐标为（a，a﹣a2）， 当a＞0时，0＜＜a， ∴a﹣a2＜y1＜a， 当a＜0时，a＜＜0， ∴a﹣a2＜y1＜a， 故A、B错误，不符合题意； 当a＞0时，0＜a＜2a＜3a，由二次函数对称性可知点（0，a）和点（2a，a）关于对称轴对称，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，所以当x＝3a时，y2＞a＞0； 当a＜0时，3a＜2a＜a＜0，由二次函数对称性可知可知点（0，a）和点（2a，a）关于对称轴对称，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，所以当x＝3a时y2＞a，不一定大于0， 故C正确，符合题意；D错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的对称轴、顶点坐标的求法，以及增减性是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．（4分）因式分解：x2+x＝　x（x+1）　． 【分析】根据观察可知原式公因式为x，直接提取可得． 【解答】解：x2+x＝x（x+1）． 【点评】本题考查了提公因式法分解因式，通过观察可直接得出公因式，直接观察法是解此类题目的常用的方法． 12．（4分）不等式3x﹣2＜1的解集是 　x＜1　． 【分析】按照解一元一次不等式的一般步骤：移项，合并同类项，系数化成1，进行计算即可． 【解答】解：3x﹣2＜1， 3x＜1+2， 3x＜3， x＜1， ∴不等式3x﹣2＜1的解集是：x＜1， 故答案为：x＜1． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤． 13．（4分）学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图，则这12名学生测试成绩的中位数是 　90　．（单位：分） 【分析】根据条形统计图和中位数的定义求解即可． 【解答】解：这12名学生测试成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是90，因此中位数是＝90． 故答案为：90． 【点评】本题考查条形统计图和中位数，理解条形统计图和中位数的定义是正确解答的关键． 14．（4分）如图，正方形ABCD的面积为4，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH的面积为 　2　． 【分析】根据正方形的性质推出BE＝AF，BE∥AF得到平行四边形BHFA，推出AB∥HF，AB＝HF，同理得到BC＝EG，BC∥EG，推出HF⊥EG，根据三角形的面积公式求出即可． 【解答】解：连接HF、EG， ∵正方形ABCD的面积为4， ∴BC∥AD，BC＝AD， ∵H、F分别为边BC、DA的中点， ∴四边形BFHA是平行四边形， ∴AB＝HF，AB∥HF， 同理BC＝EG，BC∥EG， ∵AB⊥BC， ∴HF⊥EG， ∴四边形EFGH的面积是EG×HF＝×2×2＝2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查中点四边形的性质，平行四边形的性质和判定，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出HF、EG的长和HF⊥EG是解此题的关键． 15．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象与⊙O交于A，B两点，且点A，B都在第一象限．若A（1，2），则点B的坐标为 　（2，1）　． 【分析】根据反比例函数图象中心对称性质先求出直线AB解析式和反比例函数解析式，联立两个函数解析式求出交点坐标即可． 【解答】解：根据圆和反比例函数都是中心对称图形，点A与B关于直线y＝x对称， 设直线AB的解析式为y＝﹣x+b，将点A（1，2）坐标代入得， 2＝﹣1+b，解得b＝3， ∴直线AB解析式为y＝﹣x+3， ∵点A（1，2）在反比例函数图象上， ∴反比例函数解析式为y＝， 联立方程组，解得，． ∴B（2，1）． 故答案为：（2，1）． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的中心对称性质是关键． 16．（4分）无动力帆船是借助风力前行的．如图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角∠PDA为70°，帆与航行方向的夹角∠PDQ为30°，风对帆的作用力F为400N．根据物理知识，F可以分解为两个力F1与F2，其中与帆平行的力F1不起作用，与帆垂直的力F2又可以分解为两个力f1与f2，f1与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；f2与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：F＝AD＝400，则f2＝CD＝　128　．（单位：N）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77） 【分析】先求出∠ADQ＝40°，∠1＝∠PDQ＝30°，由AB//QD得∠BAD＝∠ADQ＝40°，求出F2＝BD＝AD•sin∠BAD＝256，求出∠BDC＝90°﹣∠1＝60°，在Rt△BCD中，根据f2＝CD＝BD•cos∠BDC即可求出答案． 【解答】解：如图， ∵∠PDA＝70°，∠PDQ＝30°， ∴∠ADQ＝∠PDA﹣∠PDQ＝70°﹣30°＝40°，∠1＝∠PDQ＝30°， ∵AB//QD， ∴∠BAD＝∠ADQ＝40°， 在Rt△ABD中，F＝AD＝400，∠ABD＝90°， ∴F2＝BD＝AD•sin∠BAD＝400•sin 40°＝400×0.64＝256， 由题意可知，BD⊥DQ， ∴∠BDC+∠1＝90°， ∴∠BDC＝90°﹣∠1＝60°， 在Rt△BCD中，BD＝256，∠BCD＝90°， ∴f2＝CD＝BD•cos∠BDC＝256×cos60°＝256×＝128， 故答案为：128． 【点评】此题考查了解直角三角形的应用，读懂题意，根据锐角三角函数的定义解直角三角形是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）计算：． 【分析】利用零指数幂，绝对值的性质，算术平方根的定义计算即可． 【解答】解：原式＝1+5﹣2 ＝6﹣2 ＝4． 【点评】本题考查实数的运算，零指数幂，绝对值，算术平方根，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 18．（8分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC和CD上，且∠AEB＝∠AFD．求证：BE＝DF． 【分析】由菱形的性质推出AB＝AD，∠B＝∠D．由AAS推出△ABE≌△ADF，即可证明BE＝DF． 【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D． 在△ABE和△ADF 中， ∴△ABE≌△ADF（AAS）， ∴BE＝DF． 【点评】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由菱形的性质推出△ABE≌△ADF． 19．（8分）解方程：． 【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【解答】解：原方程两边都乘（x+2）（x﹣2），去分母得：3（x﹣2）+（x+2）（x﹣2）＝x（x+2）， 整理得：3x﹣10＝2x， 解得：x＝10， 检验：当x＝10时，（x+2）（x﹣2）≠0， 故原方程的解为x＝10． 【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 20．（8分）已知A、B两地都只有甲、乙两类普通高中学校．在一次普通高中学业水平考试中，A地甲类学校有考生3000人，数学平均分为90分；乙类学校有考生2000人，数学平均分为80分． （1）求A地考生的数学平均分； （2）若B地甲类学校数学平均分为94分，乙类学校数学平均分为82分，据此，能否判断B地考生数学平均分一定比A地考生数学平均分高？若能，请给予证明；若不能，请举例说明． 【分析】（1）根据加权平均数公式解答即可； （2）根据题意举例解答即可． 【解答】解：（1）由题意，得A地考生的数学平均分为＝86（分）． （2）不能． 举例如下：如B地甲类学校有考生1000人，乙类学校有考生3000人，则B地考生的数学平均分为（分）， 因为85＜86，所以不能判断B地考生数学平均分一定比A地考生数学平均分高（答案不唯一，只要学生能作出正确判断，并且所举的例子能说明其判断即可）． 【点评】本题考查了加权平均数，众掌握加权平均数的计算公式是解答本题的关键． 21．（8分）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣2，0），C（0，﹣2）． （1）求二次函数的表达式； （2）若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x轴于点D，△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，求点P的坐标． 【分析】（1）依据题意，将A（﹣2，0），C（0，﹣2）代入 y＝x2+bx+c建立方程组求出b，c即可得解； （2）依据题意，设P（m，n）（m＜0，n＞0），又△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，从而可得 ，．，进而可得 ．，又CO＝2，可得n＝2CO＝4，进而建立方程求出m即可得解． 【解答】解：（1）由题意，将A（﹣2，0），C（0，﹣2）代入 y＝x2+bx+c得 ∴ ∴二次函数的表达式为y＝x2+x﹣2． （2）由题意，设P（m，n）（m＜0，n＞0）， 又△PDB的面积是△CDB的面积的2倍， ∴，． ∴． 又CO＝2， ∴n＝2CO＝4． 由m2+m﹣2＝4， ∴m1＝﹣3，m2＝2 （舍去）． ∴点P坐标为 （﹣3，4）． 【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征和待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 22．（10分）如图，已知直线l1∥l2． （1）在l1，l2所在的平面内求作直线l，使得l∥l1∥l2，且l与l1间的距离恰好等于l与l2间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若l1与l2间的距离为2，点A，B，C分别在l，l1，l2上，且△ABC为等腰直角三角形，求△ABC的面积． 【分析】（1）利用尺规作图方法，过直线l1上任意一点作l1的垂线，再根据垂直平分线的作法即可作出直线l； （2）分三种情况画出图形分别计算即可． 【解答】解：（1）如图1，直线l即为所求作的直线； （2）①当∠BAC＝90°，AB＝AC时，如图2， ∵l∥l1∥l2，直线l1 与 l2 间的距离为2，且l与 l1 间的距离等于l与 l2 间的距离， 根据图形的对称性可知：BC＝2， ∴， ∴， ②当∠ABC＝90°，BA＝BC 时， 如图3，分别过点A，C作直线 l1 的垂线，垂足为M，N， ∴∠AMB＝∠BNC＝90°， ∵l∥l1∥l2，直线l1 与 l2 间的距离为2，且l与 l1 间的距离等于l与 l2 间的距离， ∴CN＝2，AM＝1， ∵∠MAB+∠ABM＝90°，∠NBC+∠ABM＝90°， ∴∠MAB＝∠NBC， ∴△AMB≌△BNC（AAS）， ∴BM＝CN＝2， 在Rt△ABM中，由勾股定理得AB2＝AM2+BM2＝12+22＝5， ∴， ∴， ③当∠ACB＝90°，CA＝CB时，同理②可得， ， 综上所述，△ABC的面积为1或． 【点评】本题是三角形综合题，考查作图﹣基本作图，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，线段的垂直平分线作法、勾股定理等基础知识，解决本题的关键是利用分类讨论思想与整合思想． 23．（10分）已知实数a，b，c，m，n满足，． （1）求证：b2﹣12ac为非负数； （2）若a，b，c均为奇数，m，n是否可以都为整数？说明你的理由． 【分析】（1）根据题意，可得 b＝a（3m+n），c＝amn，将其代入原式中，再利用公式法与提公因式法进行因式分解，可得原式＝a2（3m﹣n）2，根据a，m，n是实数，可知a2（3m﹣n）2≥0，即可证b2﹣12ac 为非负数． （2）m，n不可能都为整数．理由如下：若m，n都为整数，其可能情况有：①m，n都为奇数；②m，n为整数，且其中至少有一个为偶数，分别进行论证讨论即可． 【解答】解：（1）证明：∵， ∴b＝a（3m+n），c＝amn， 则b2﹣12ac＝[a（3m+n）]2﹣12a2mn ＝a2（9m2+6mn+n2）﹣12a2mn ＝a2（9m2﹣6mn+n2） ＝a2（3m﹣n）2， ∵a，m，n是实数， ∴a2（3m﹣n）2≥0， ∴b2﹣12ac 为非负数． （2）m，n不可能都为整数． 理由如下：若m，n都为整数，其可能情况有：①m，n都为奇数；②m，n为整数，且其中至少有一个为偶数， ①当m，n都为奇数时，则3m+n必为偶数， 又∵， ∴b＝a（3m+n）， ∵a为奇数， ∴a（3m+n） 必为偶数，这与b为奇数矛盾； ②当m，n为整数，且其中至少有一个为偶数时，则mn必为偶数， 又∵， ∴c＝amn， ∵a为奇数， ∴amn必为偶数，这与c为奇数矛盾； 综上所述，m，n不可能都为整数． 【点评】本题考查的是因式分解的应用和整式的混合运算，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 24．（12分）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸ABCD，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中AE＝FB），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示． （1）直接写出的值； （2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是 　C　． （3）今有三种不同型号的矩形卡纸，其规格、单价如表所示： 卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ 规格（单位：cm） 30×40 20×80 80×80 单价（单位：元） 3 5 20 现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整AE，EF的比例，制作棱长为10cm的正方体礼品盒．如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用． （要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用） 【分析】（1）由折叠和题意可知，GH＝AE+FB，AH＝DH，四边形EFNM是正方形，得到EM＝EF，即 AG＝EF，即可求解； （2）根据几何体的展开图即可求解； （3）由题意可得，每张型号Ⅲ卡纸可制作10个正方体，每张型号Ⅱ卡纸可制作2个正方体，每张型号Ⅰ卡 纸可制作1个正方体，即可求解． 【解答】解：（1）如图2： 上述图形折叠后变成如图3： 由折叠和题意可知，GH＝AE+FB，AH＝DH， ∵四边形EFNM是正方形， ∴EM＝EF，即 AG＝EF， ∴GH+AG＝AE+FB+EF，即AH＝AB， ∵AH＝DH， ∴， ∴的值为2； （2）根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，而对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反， ∴C选项符合题意， 故答案为：C； （3）需要卡纸如表所示；理由如下： 卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ 需卡纸的数量（单位：张） 1 3 2 所用卡纸总费用（单位：元） 58 根据（1）和题意可得：卡纸每格的边长为5cm，如图4，则要制作一个边长为10cm的正方体的展开图形为： ∴型号Ⅲ卡纸，每张卡纸可制作10个正方体，如图5： 型号Ⅱ卡纸，每张这样的卡纸可制作2个正方体，如图6： 型号Ⅰ卡纸，每张这样的卡纸可制作1个正方体，如图7： ∴可选择型号Ⅲ卡纸2张，型号Ⅱ卡纸3张，型号Ⅰ卡纸1张，则10×2+2×3+1×1＝27（个）， ∴所用卡纸总费用为：20×2+5×3+3×1＝58（元）． 【点评】本题考查了几何体的展开与折叠，空间观念、推理能力、模型观念、创新意识等知识，掌握相关知识是解题的关键． 25．（14分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，AE⊥OC，垂足为E，BE的延长线交于点F． （1）求的值； （2）求证：△AEB∽△BEC； （3）求证：AD与EF互相平分． 【分析】（1）分别利用锐角三角函数，，代入数据解答即可得解； （2）过点B作 BM∥AE，交EO延长线于点M，如图1，首先证明△AOE≌△BOM（AAS），得到AE＝BM，OE＝OM，进一步推导出∠AEB＝∠BEC，∠BAE＝∠CBE，进而得证； （3）连接DE，DF．如图2，首先推导出△AOE∽△BDE，得到∠BED＝∠AEO＝90°，∠DEF＝90°，∠AFB＝∠DEF，AF∥DE，进一步推导出AE∥FD，进而得证． 【解答】解：（1）∵AB＝AC，且AB是⊙O的直径， ∴AC＝2AO， ∵∠BAC＝90°， 在Rt△AOC 中，， ∵AE⊥OC， 在Rt△AOE 中，， ∴， ∴； （2）证明：过点B作 BM∥AE，交EO延长线于点M，如图1， ∴∠BAE＝∠ABM，∠AEO＝∠BMO＝90°． ∵AO＝BO， ∴△AOE≌△BOM（AAS）， ∴AE＝BM，OE＝OM， ∵， ∴BM＝2OE＝EM， ∴∠MEB＝∠MBE＝45°， ∠AEB＝∠AEO+∠MEB＝135°， ∠BEC＝180°﹣∠MEB＝135°， ∴∠AEB＝∠BEC． ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝45°， ∴∠ABM＝∠CBE， ∴∠BAE＝∠CBE， ∴△AEB∽△BEC； （3）连接DE，DF．如图2， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝∠AFB＝90°，AB＝2AO． ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴BC＝2BD，∠DAB＝45°， 由（2）知，△AEB∽△BEC， ，∠EAO＝∠EBD， ∴△AOE∽△BDE， ∴∠BED＝∠AEO＝90°， ∴∠DEF＝90°， ∴∠AFB＝∠DEF， ∴AF∥DE， 由（2）知，∠AEB＝135°， ∴∠AEF＝180°﹣∠AEB＝45°． ∵∠DFB＝∠DAB＝45°， ∴∠DFB＝∠AEF， ∴AE∥FD， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∴AD与EF互相平分． 【点评】本题属于圆的综合题，主要考查等腰三角形及直角三角形的判定与性质、锐角三角函数、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等，解答本题的关键是作出辅助线，构造全等三角形或相似三角形． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/24 16:19:29；用户：Troy；邮箱：305657440@qq.com；学号：290269 学科网（北京）股份有限公司 $$