2024年上海市中考数学真题解析

2024年上海市中考数学试卷 一、选择题（每题4分，共24分） 1．（4分）如果x＞y，那么下列正确的是（　　） A．x+5≤y+5 B．x﹣5＜y﹣5 C．5x＞5y D．﹣5x＞﹣5y 2．（4分）函数的定义域是（　　） A．x＝2 B．x≠2 C．x＝3 D．x≠3 3．（4分）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（　　） A．x2﹣6x＝0 B．x2﹣9＝0 C．x2﹣6x+6＝0 D．x2﹣6x+9＝0 4．（4分）科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的是（　　） 种类 甲种类 乙种类 丙种类 丁种类 平均数 2.3 2.3 2.8 3.1 方差 1.05 0.78 1.05 0.78 A．甲种类 B．乙种类 C．丙种类 D．丁种类 5．（4分）四边形ABCD为矩形，过A、C作对角线BD的垂线，过B、D作对角线AC的垂线．如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（　　） A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 6．（4分）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点P在ABC内，分别以ABP为圆心画圆，圆A半径为1，圆B半径为2，圆P半径为3，圆A与圆P内切，圆P与圆B的关系是（　　） A．内含 B．相交 C．外切 D．相离 二、填空题（每题4分，共48分） 7．（4分）计算：（4x2）3＝　 　． 8．（4分）计算：（a+b）（b﹣a）＝　 　． 9．（4分）已知，则x＝　 　． 10．（4分）科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为2×105GB，一张普通唱片的容量约为25GB，则蓝光唱片的容量是普通唱片的 　 　倍．（用科学记数法表示） 11．（4分）若正比例函数y＝kx的图象经过点（7，﹣13），则y的值随x的增大而 　 　.（选填“增大”或“减小”） 12．（4分）在菱形ABCD中，∠ABC＝66°，则∠BAC＝　 　°． 13．（4分）某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元．则投入80万元时，销售量为 　 　万元． 14．（4分）一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同．随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是，则袋子中至少有 　 　个绿球． 15．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，E为对角线AC上一点，设，若AE＝2EC，则＝　 　（结果用含，的式子表示）． 16．（4分）博物馆为展品准备了人工讲解、语音播报和AR增强三种讲解方式，博物馆共回收有效问卷1000张，其中700人没有讲解需求，剩余300人中需求情况如图所示（一人可以选择多种）．那么在总共2万人的参观中，需要AR增强讲解的人数约有 　 　人． 17．（4分）在平行四边形ABCD中，∠ABC是锐角，将CD沿直线l翻折至AB所在直线，对应点分别为C′，D′，若AC′：AB：BC＝1：3：7，则cos∠ABC＝　 　． 18．（4分）对于一个二次函数y＝a（x﹣m）2+k（a≠0）中存在一点P（x′，y′），使得x′﹣m＝y′﹣k≠0，则称2|x′﹣m|为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 　 　． 三、简答题（共78分，其中第19～22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分） 19．（10分）计算：． 20．（10分）解方程组：． 21．（10分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（k为常数且k≠0）上有一点A（﹣3，m），且与直线y＝﹣2x+4交于另一点B（n，6）． （1）求k与m的值； （2）过点A作直线l∥x轴与直线y＝﹣2x+4交于点C，求sin∠OCA的值． 22．（10分）同学用两幅三角板拼出了如图的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠）． （1）求：①两个直角三角形的直角边（结果用h表示）； ②平行四边形的底、高和面积（结果用h表示）； （2）请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求：①不与给定的图形状相同；②画出三角形的边． 23．（12分）如图所示，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE⊥BD． （1）求证：AD2＝DE•DC； （2）F为线段AE延长线上一点，且满足，求证：CE＝AD． 24．（12分）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和B（5，0）． （1）求平移后新抛物线的表达式； （2）直线x＝m（m＞0）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q； ①如果PQ小于3，求m的取值范围； ②记点P在原抛物线上的对应点为P′，如果四边形P′BPQ有一组对边平行，求点P的坐标． 25．（14分）在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在边AB上，且． （1）如图1所示，点F在边CD上，且，联结EF，求证：EF∥BC； （2）已知AD＝AE＝1； ①如图2所示，联结DE，如果△ADE外接圆的圆心恰好落在∠B的平分线上，求△ADE的外接圆的半径长； ②如图3所示，如果点M在边BC上，联结EM、DM、EC，DM与EC交于N．如果∠DMC＝∠CEM，BC＝4，且CD2＝DM•DN，求边CD的长． 2024年上海市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每题4分，共24分） 1．（4分）如果x＞y，那么下列正确的是（　　） A．x+5≤y+5 B．x﹣5＜y﹣5 C．5x＞5y D．﹣5x＞﹣5y 【分析】利用不等式的性质逐项判断即可． 【解答】解：如果x＞y，两边同时加上5得x+5＞y+5，则A不符合题意； 如果x＞y，两边同时减去5得x﹣5＞y﹣5，则B不符合题意； 如果x＞y，两边同时乘5得5x＞5y，则C符合题意； 如果x＞y，两边同时乘﹣5得﹣5x＜﹣5y，则D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查不等式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 2．（4分）函数的定义域是（　　） A．x＝2 B．x≠2 C．x＝3 D．x≠3 【分析】根据题意可得x﹣3≠0，解得x的取值范围即可． 【解答】解：由题意得x﹣3≠0， 解得：x≠3， 故选：D． 【点评】本题考查函数自变量的取值范围，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 3．（4分）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（　　） A．x2﹣6x＝0 B．x2﹣9＝0 C．x2﹣6x+6＝0 D．x2﹣6x+9＝0 【分析】求出x2﹣6x＝0的根为x＝0或x＝6，x2﹣9＝0的根为x＝3或x＝﹣3，可知A，B不符合题意；由x2﹣6x+6＝0得Δ＝36﹣24＝12＞0，知C不符合题意；由x2﹣6x+9＝0知Δ＝36﹣36＝0，知D符合题意． 【解答】解：x2﹣6x＝0的根为x＝0或x＝6， ∴x2﹣6x＝0有两个不等实数根，故A不符合题意； x2﹣9＝0的根为x＝3或x＝﹣3， ∴x2﹣9＝0有两个不等实数根，故B不符合题意； 由x2﹣6x+6＝0知Δ＝36﹣24＝12＞0， ∴x2﹣6x+6＝0有两个不等实数根，故C不符合题意； 由x2﹣6x+9＝0知Δ＝36﹣36＝0， ∴x2﹣6x+9＝0有两个相等实数根，故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查解一元二次方程和一元二次方程的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程有两个相等实数根需满足Δ＝0． 4．（4分）科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的是（　　） 种类 甲种类 乙种类 丙种类 丁种类 平均数 2.3 2.3 2.8 3.1 方差 1.05 0.78 1.05 0.78 A．甲种类 B．乙种类 C．丙种类 D．丁种类 【分析】先找出平均数小的种类，再根据方差的意义即可得出答案． 【解答】解：∵甲种类和乙种类开花时间最短， ∴从甲种类和乙种类进行选， ∵甲的方差大于乙的方差， ∴开花时间最短的并且最平稳的是乙种类． 故选：B． 【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 5．（4分）四边形ABCD为矩形，过A、C作对角线BD的垂线，过B、D作对角线AC的垂线．如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（　　） A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 【分析】根据矩形的性质得到AC＝BD，S△ABC＝S△BCD＝S△ADC＝S△BAD，根据三角形的面积公式得到AE＝BF＝CG＝DH，再根据菱形的判定定理判断即可． 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AC＝BD，S△ABC＝S△BCD＝S△ADC＝S△BAD， ∵AE⊥BD，BF⊥AC，CG⊥BD，DH⊥AC， ∴AE＝BF＝CG＝DH， ∴四个垂线可以拼成一个菱形， 故选：A． 【点评】本题考查的是矩形的性质、菱形的判定、三角形的面积计算，熟记四条边相等的四边形是菱形是解题的关键． 6．（4分）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点P在ABC内，分别以ABP为圆心画圆，圆A半径为1，圆B半径为2，圆P半径为3，圆A与圆P内切，圆P与圆B的关系是（　　） A．内含 B．相交 C．外切 D．相离 【分析】根据题意，作出图形，数形结合，即可得到答案． 【解答】解：∵圆A半径为1，圆P半径为3，圆A与圆P内切， ∴圆A含在圆P内，即PA＝3﹣1＝2， ∴P在以A为圆心、2为半径的圆与△ABC边相交形成的弧上运动，如图所示： ∴当到P'位置时，圆P与圆B圆心距离PB最大，为， ∵， ∴圆P与圆B相交， 故选：B． 【点评】本题考查圆与圆的位置关系，点与圆的位置关系，涉及勾股定理，熟记圆的位置关系是解决问题的关键． 二、填空题（每题4分，共48分） 7．（4分）计算：（4x2）3＝　64x6　． 【分析】幂的乘方，底数不变指数相乘． 【解答】解：（4x2）3＝64x6， 故答案为：64x6． 【点评】本题考查了幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 8．（4分）计算：（a+b）（b﹣a）＝　b2﹣a2　． 【分析】根据平方差公式进行计算即可． 【解答】解：（a+b）（b﹣a） ＝（b+a）（b﹣a） ＝b2﹣a2， 故答案为：b2﹣a2． 【点评】本题考查平方差公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 9．（4分）已知，则x＝　1　． 【分析】根据算术平方根的定义，进行计算． 【解答】解：∵， ∴2x﹣1＝1， ∴x＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了算术平方根的定义，利用两边平方进行解题即可． 10．（4分）科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为2×105GB，一张普通唱片的容量约为25GB，则蓝光唱片的容量是普通唱片的 　8×103　倍．（用科学记数法表示） 【分析】利用科学记数法的定义列式计算即可． 【解答】解：2×105＝200000， 则200000÷25＝8000＝8×103， 即蓝光唱片的容量是普通唱片的8×103倍， 故答案为：8×103． 【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 11．（4分）若正比例函数y＝kx的图象经过点（7，﹣13），则y的值随x的增大而 　减小　.（选填“增大”或“减小”） 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出k的值，由k＝﹣＜0，利用正比例函数的性质，可得出y的值随x的增大而减小． 【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过点（7，﹣13）， ∴﹣13＝7k， 解得：k＝﹣． ∵k＝﹣＜0， ∴y的值随x的增大而减小． 故答案为：减小． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，牢记“当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小”是解题的关键． 12．（4分）在菱形ABCD中，∠ABC＝66°，则∠BAC＝　57　°． 【分析】由菱形的性质得到AB＝BC，推出∠BAC＝∠BCA，而∠ABC＝66°，由三角形内角和定理即可求出∠BAC的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， ∴∠BAC＝∠BCA， ∵∠ABC＝66°， ∴∠BAC＝（180°﹣66°）＝57°． 故答案为：57． 【点评】本题考查菱形的性质，关键是由菱形的性质推出AB＝BC． 13．（4分）某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元．则投入80万元时，销售量为 　4500　万元． 【分析】设y＝ke+b，根据当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，可得y＝50x+500，令x＝80得y＝50×80+500＝4500． 【解答】解：设y＝ke+b， ∵当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元， ∴， 解得， ∴y＝50x+500， 当x＝80时，y＝50×80+500＝4500， 故答案为：4500． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是用待定系数法求出一次函数解析式． 14．（4分）一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同．随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是，则袋子中至少有 　3　个绿球． 【分析】直接由概率公式即可得出结论． 【解答】解：∵一个袋子中有若干个白球和绿球，随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是， ∴袋子中至少有3个绿球， 故答案为：3． 【点评】本题考查了概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键． 15．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，E为对角线AC上一点，设，若AE＝2EC，则＝　　（结果用含，的式子表示）． 【分析】由AE＝2EC得出，再根据平面向量三角形运算法则求出，再由平行四边形的性质即可得出结果． 【解答】解：∵，AE＝2CE， ∴， 又∵， ∴＝， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴＝， 故答案为：． 【点评】本题考查了平面向量，平行四边形的性质，熟记平面向量的三角形运算法则是解题的关键． 16．（4分）博物馆为展品准备了人工讲解、语音播报和AR增强三种讲解方式，博物馆共回收有效问卷1000张，其中700人没有讲解需求，剩余300人中需求情况如图所示（一人可以选择多种）．那么在总共2万人的参观中，需要AR增强讲解的人数约有 　2000　人． 【分析】用总人数乘以需要AR增强讲解的人数所占的百分比即可． 【解答】解：在总共2万人的参观中，需要AR增强讲解的人数约有20000××＝2000（人）． 故答案为：2000． 【点评】本题考查了条形统计图，要充分运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题． 17．（4分）在平行四边形ABCD中，∠ABC是锐角，将CD沿直线l翻折至AB所在直线，对应点分别为C′，D′，若AC′：AB：BC＝1：3：7，则cos∠ABC＝　或　． 【分析】分别考虑C'在AB之间时和C′在BA的延长线上时两种情况，根据题意假设出每条线段的长度，根据翻折的性质可知各个角之间的关系，即可求解． 【解答】解：当C′在AB之间时，如图， 根据AC'：AB：BC＝1：3：7，不妨设AC'＝1，AB＝3，BC＝7， 由翻折的性质知：∠FCD＝∠FC'D'， ∵CD沿直线l翻折至AB所在直线， ∴∠BC′F+∠FC′D′＝∠FCD+∠FBA， ∴∠BC′F＝∠FBA， ∴， 过F作AB的垂线交于E， ∴， ∴， 当C′在BA的延长线上时，如图， 根据AC′：AB：BC＝1：3：7，不妨设AC'＝1，AB＝3，BC＝7， 同理知：， 过点F作AB的垂线交于E， ∴， ∴， 故答案为：或． 【点评】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，求余弦值，等腰三角形的判定及性质，解题的关键是利用分类讨论的思想进行求解． 18．（4分）对于一个二次函数y＝a（x﹣m）2+k（a≠0）中存在一点P（x′，y′），使得x′﹣m＝y′﹣k≠0，则称2|x′﹣m|为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 　4　． 【分析】先将抛物线化为顶点式，再根据题意即可求得抛物线“开口大小”． 【解答】解：∵抛物线＝﹣（x﹣）2+， ∴x′﹣＝﹣（x′﹣）2+﹣， 解得x′﹣＝﹣2， ∴抛物线“开口大小”为2|x′﹣|＝2×|﹣2|＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查二次函数的性质、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 三、简答题（共78分，其中第19～22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分） 19．（10分）计算：． 【分析】先化简绝对值，二次根式，零指数幂，再根据实数的运算法则进行计算． 【解答】解： ＝ ＝ ＝． 【点评】本题考查了绝对值，二次根式，零指数幂等，掌握化简法则是解题的关键． 20．（10分）解方程组：． 【分析】由①得出（x﹣4y）（x+y）＝0，求出x﹣4y＝0或x+y＝0，求出x＝4y或x＝﹣y，把x＝4y代入②得出4y+2y＝6，求出y＝1，求出x，再把x＝﹣y代入②得出﹣y+2y＝6，再求出x即可． 【解答】解：， 由①，得（x﹣4y）（x+y）＝0， x﹣4y＝0或x+y＝0， x＝4y或x＝﹣y， 把x＝4y代入②，得4y+2y＝6， 解得：y＝1， 即x＝4×1＝4； 把x＝﹣y代入②，得﹣y+2y＝6， 解得：y＝6， 即x＝﹣6， 所以方程组的解是，． 【点评】本题考查了解高次方程，能根据x2﹣3xy﹣4y2＝0求出x﹣4y＝0或x+y＝0是解此题的关键． 21．（10分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（k为常数且k≠0）上有一点A（﹣3，m），且与直线y＝﹣2x+4交于另一点B（n，6）． （1）求k与m的值； （2）过点A作直线l∥x轴与直线y＝﹣2x+4交于点C，求sin∠OCA的值． 【分析】（1）将点B坐标代入一次函数解析式求出n，再将点B坐标代入反比例函数解析式求出k值，最后将点A坐标代入反比例函数解析式求出m即可； （2）求出点C坐标，根据正弦函数定义直接写出结果即可． 【解答】解：（1）点B（n，6）在直线y＝﹣2x+4图象上， ∴﹣2n+4＝6，解得n＝﹣1， ∴B（﹣1，6）， ∵B（﹣1，6）在反比例函数图象上， ∴k＝﹣6， ∴反比例函数解析式为y＝﹣， ∵点A（﹣3，m）在反比例函数图象上， ∴m＝﹣＝2． ∴m＝2． （2）在函数y＝﹣2x+4中，当y＝2时，x＝1， ∴C（1，2）， ∴OC＝， ∴sin∠OCA＝＝． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． 22．（10分）同学用两幅三角板拼出了如图的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠）． （1）求：①两个直角三角形的直角边（结果用h表示）； ②平行四边形的底、高和面积（结果用h表示）； （2）请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求：①不与给定的图形状相同；②画出三角形的边． 【分析】（1）①解直角三角形即可求解；②由题意可知四边形MNGH是矩形，利用线段的和差可求出矩形的边长，进而可求出面积； （2）根据题意画出图形即可． 【解答】解：（1）①如图，△ABC为等腰直角三角板，∠ACB＝90°，则， 如图，△DEF为含30°的直角三角形板，∠DEF＝90°，∠F＝30°，D＝60°，则EF＝2h，； 综上，等腰直角三角板直角边为 ，含 30° 的直角三角形板直角边为2h和 ； ②由题意可知∠MNG＝∠NGH＝∠GHM＝∠HMN＝90°， ∴四边形MNGH是矩形， 由图可得，，， ∴， 故小平行四边形的底为 ，高为 ，面积为 ， （2）如图，即为所作图形． 【点评】本题考查了解直角三角形，矩形的判定，矩形的面积，图形设计，正确识图是解题的关键． 23．（12分）如图所示，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE⊥BD． （1）求证：AD2＝DE•DC； （2）F为线段AE延长线上一点，且满足，求证：CE＝AD． 【分析】（1）由矩形性质得到∠BAD＝90°，∠ADE＝90°，AB＝DC，由角的互余得到∠ABD＝∠DAE，从而确定△ADE∽△BAD，利用相似三角形性质得到AD2＝DE•DC； （2）由矩形性质，结合题中条件，利用等腰三角形的判定与性质得到 OA＝OD＝EF＝CF，∠ODA＝∠OAD，∠FEC＝∠FCE，进而由三角形全等的判定与性质即可得到． 【解答】证明：（1）∵矩形ABCD， ∴∠BAD＝90°，∠ADE＝90°，AB＝DC， ∴∠ABD+∠ADB＝90°， ∵AE⊥BD， ∴∠DAE+∠ADB＝90°， ∴∠ABD＝∠DAE， ∵∠BAD＝∠ADE＝90°， ∴△ADE∽△BAD， ∴， ∴AD2＝DE•BA， ∵AB＝DC， ∴AD2＝DE•DC； （2）连接AC，交BD于点O， ∵矩形ABCD， ∴∠ADE＝90°， ∴∠DAE+∠AED＝90°， ∵AE⊥BD， ∴∠DAE+∠ADB＝90°， ∴∠ADB＝∠AED， ∵∠FEC＝∠AED， ∴∠ADO＝∠FEC， ∵矩形ABCD， ∴， ∴， ∴OA＝OD＝EF＝CF， ∴∠ADO＝∠OAD，∠FEC＝∠FCE， ∵∠ADO＝∠FEC， ∴∠ADO＝∠OAD＝∠FEC＝∠FCE， 在△ODA和△FEC中， ， ∴△ODA≌△FEC（AAS）， ∴CE＝AD． 【点评】本题考查了矩形综合，涉及矩形性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题的关键． 24．（12分）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和B（5，0）． （1）求平移后新抛物线的表达式； （2）直线x＝m（m＞0）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q； ①如果PQ小于3，求m的取值范围； ②记点P在原抛物线上的对应点为P′，如果四边形P′BPQ有一组对边平行，求点P的坐标． 【分析】（1）设平移抛物线后得到的新抛物线为，把和B（5，0）代入，可得答案； （2）①如图，设，则，，结合PQ小于3，可得，结合x＝m（m＞0），从而可得答案； ②先确定平移方式为：向右平移2个单位，向下平移3个单位，由题意可得：P在B的右边，当BP′∥PQ时，可得，结合平移的性质可得答案如图，当P′Q∥BP时，则∠P′QT＝∠BPT，过P'作P′S⊥QP于S，证明△P'SQ∽△BTP，可得，设，则，，，再建立方程求解即可． 【解答】解：（1）设平移抛物线后得到的新抛物线为， 把和B（3，0）代入， 可得：，解得：， ∴新抛物线为； （2）①如图，设，则， ∴， ∵PQ小于3， ∴， ∴x＜1， ∵x＝m（m＞0）， ∴0＜m＜1； ②， ∴平移方式为：向右平移2个单位，向下平移3个单位， 由题意可得：P在B的右边，当BP′∥PQ时， ∴BP′⊥x轴， ∴xP′＝xB＝5， ∴， 由平移的性质可得：，即； 如图，当P′Q∥BP时，则∠P′QT＝∠BPT，过P′作P′S⊥QP于S， ∴∠P'SQ＝∠BTP＝90°， ∴△P'SQ∽△BTP， ∴， 设，则，，， ∴， 解得：x＝1（不符合题意舍去）； 综上：． 【点评】本题属于二次函数的综合题，抛物线的平移，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 25．（14分）在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在边AB上，且． （1）如图1所示，点F在边CD上，且，联结EF，求证：EF∥BC； （2）已知AD＝AE＝1； ①如图2所示，联结DE，如果△ADE外接圆的圆心恰好落在∠B的平分线上，求△ADE的外接圆的半径长； ②如图3所示，如果点M在边BC上，联结EM、DM、EC，DM与EC交于N．如果∠DMC＝∠CEM，BC＝4，且CD2＝DM•DN，求边CD的长． 【分析】（1）添加辅助线，转移比例线段，得到，从而证出EF∥BC； （2）利用三角形外接圆得性质得出△AOE≌△AOD，再根据BO平分∠ABC得出∠AOB＝90，然后得出相似，求出半径OA的长度； （3）最后一问难度较大，首先将条件转化成线段和角度关系，由CD2＝DM•DN，很容易找到△DCN∽△DMC，再根据这个相似结论证出△BEM∽△BPC，多组相似转化，再利用勾股定理建立方程，求出未知数． 【解答】（1）证明：延长DE和CB交于点G， ∵AD∥BC， ∴， ∵AE＝AB，DF＝ ∴，， ∴， ∴EF∥BC． （2）①记点O为△ADE外接圆圆心，过点O作OF⊥AE于点F，连接OA，OD，OE． ∵点O为△ADE外接圆的圆心， ∴OA＝OE＝OD， ∴AF＝EF＝AE＝， ∵AE＝AB， ∴AB＝3AE＝3， ∵AE＝AD，0E＝OD，OA＝OA， ∴△AOE≌△AOD（SSS）， ∴∠EAO＝∠DAO， ∵BO平分∠ABC， ∴∠ABO＝∠CBO， ∵AD∥BC， ∴∠DAB+∠ABC＝180°， ∴2∠EAO+2∠ABO＝180°，即∠EAO+∠ABO＝90°， ∴∠AOB＝90°， ∵OF⊥AE， ∴∠AFO＝∠AOB＝90°， ∵∠FAO＝∠OAB， ∴△FAO∽△OAB， ∴，即AO2＝AF•AB＝， ∴AO＝， ∴△ADE外接圆半径为． ②延长BA，CD交于点P，过点E作EQ⊥BC，垂足为点Q． ∵AD∥BC， ∴△PAD∽△PBC， ∴， 由①知AB＝3， ∴， ∴PA＝1， ∵CD2＝DM•DN， ∴， ∵∠CDN＝∠MDC， ∴△DCN∽△DMC， ∴∠DCN＝∠CMD， ∵∠DMC＝∠CEM， ∴∠CEM＝∠DCN， ∴EM∥CD， ∴， 由AB＝3，AE＝1得，BE＝2， ∴， ∴BM＝MC＝2， ∴△BEM∽△BPC， ∴， 设ME＝2a，则PC＝4a， ∵AD∥BC， ∴， ∴PD＝a，DC＝3a， ∵EM∥CD， ∴△ENM∽△CND， ∴， 设EN＝2b，则CN＝3b， ∵∠DMC＝∠CEM，∠ECM＝∠MCN， ∴△CNM∽△CME， ∴，即CM2＝CN•CE， ∴4＝3b•5b，解得b＝， ∴CE＝， 在Rt△BQE中，由勾股定理可得： BE2﹣BQ2＝CN2﹣CQ2， ∴4﹣BQ2＝（）2﹣（4﹣BQ）2， 解得BQ＝， ∴EQ2＝BE2﹣BQ2＝， ∵QM＝BM﹣BQ＝2﹣＝， ∴在Rt△EQM中，由勾股定理可得，EM＝， ∵， ∴DC＝． 【点评】本题主要考查了圆的综合题，同时也考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，三角形的外接圆等知识点，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/20 11:11:50；用户：Troy；邮箱：305657440@qq.com；学号：290269 学科网（北京）股份有限公司 $$