2024年湖南省中考数学真题解析

2024年湖南省中考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（3分）在日常生活中，若收入300元记作+300元，则支出180元应记作（　　） A．+180元 B．+300元 C．﹣180元 D．﹣480元 2．（3分）据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家．将4015000用科学记数法表示应为（　　） A．0.4015×107 B．4.015×106 C．40.15×105 D．4.015×107 3．（3分）如图，该纸杯的主视图是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）下列计算正确的是（　　） A．3a2﹣2a2＝1 B．a3÷a2＝a（a≠0） C．a2•a3＝a6 D．（2a）3＝6a3 5．（3分）计算×的结果是（　　） A．2 B．7 C．14 D． 6．（3分）下列命题中，正确的是（　　） A．两点之间，线段最短 B．菱形的对角线相等 C．正五边形的外角和为720° D．直角三角形是轴对称图形 7．（3分）如图，AB，AC为⊙O的两条弦，连接OB，OC，若∠A＝45°，则∠BOC的度数为（　　） A．60° B．75° C．90° D．135° 8．（3分）某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，141．这组数据的中位数是（　　） A．130 B．158 C．160 D．192 9．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点．下列结论中，错误的是（　　） A．DE∥BC B．△ADE∽△ABC C．BC＝2DE D．S△ADE＝S△ABC 10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若x，y均为整数，则称点P为“整点”，特别地，当（其中xy≠0）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”．已知点P（2a﹣4，a+3）在第二象限，下列说法正确的是（　　） A．a＜﹣3 B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．（3分）计算：﹣（﹣2024）＝　 　． 12．（3分）有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“”“”“”“”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“”的概率是 　 　． 13．（3分）分式方程＝1的解为 　 　． 14．（3分）若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为 　 　°． 15．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 　 　． 16．（3分）在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即f＝（k为常数，k≠0）．若某乐器的弦长l为0.9米，振动频率f为200赫兹，则k的值为 　 　． 17．（3分）如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线段BE，BF，使BE＝BF；分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，在∠ABC内，两弧交于点P，作射线BP，交AD于点M，过点M作MN⊥AB于点N．若MN＝2，AD＝4MD，则AM＝　 　， 18．（3分）如图，图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其平面示意图．已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l．若BC＝4分米，OB＝12分米，∠BOE＝60°，则点C到水平线l的距离CF为 　 　分米（结果用含根号的式子表示）． 三、解答题：本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（6分）计算：|﹣3|+（﹣）0+cos60°﹣． 20．（6分）先化简，再求值：•+，其中x＝3． 21．（8分）某校为了解学生五月份参与家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查．家务劳动的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等．学校德育处根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图： 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次被抽取的学生人数为 　 　人： （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是 　 　°； （4）若该校有学生1200人，请估计该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数． 22．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边AB上，　 　． 请从“①∠B＝∠AED；②AE＝BE，AE＝CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： （1）求证：四边形BCDE为平行四边形； （2）若AD⊥AB，AD＝8，BC＝10，求线段AE的长． 23．（9分）某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富．已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元． （1）求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价； （2）该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？ 24．（9分）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点E作GH⊥CE，并沿EH方向前进到点F，用皮尺测得EF的长为4米； ③在点F处用测角仪测得∠CFG＝60.3°，∠BFG＝45°，∠AFG＝21.8°； ④用计算器计算得：sin60.3°≈0.87，cos60.3°≈0.50，tan60.3°≈1.75，sin21.8°≈0.37，cos21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1）求线段CE和BC的长度； （2）求底座的底面ABCD的面积． 25．（10分）已知二次函数y＝﹣x2+c的图象经过点A（﹣2，5），点P（x1，y1），Q（x2，y2）是此二次函数的图象上的两个动点． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图1，此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D，连接AC，DQ，PQ．若x2＝x1+3，求证：的值为定值； （3）如图2，点P在第二象限，x2＝﹣2x1，若点M在直线PQ上，且横坐标为x1﹣1，过点M作MN⊥x轴于点N，求线段MN长度的最大值． 26．（10分）【问题背景】 已知点A是半径为r的⊙O上的定点，连接OA，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°）得到OE，连接AE，过点A作⊙O的切线l，在直线l上取点C，使得∠CAE为锐角． 【初步感知】 （1）如图1，当α＝60°时，∠CAE＝　 　°； 【问题探究】 （2）以线段AC为对角线作矩形ABCD，使得边AD过点E，连接CE，对角线AC，BD相交于点F． ①如图2，当AC＝2r时，求证：无论α在给定的范围内如何变化，BC＝CD+ED总成立： ②如图3，当AC＝r，＝时，请补全图形，并求tanα及的值． 2024年湖南省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（3分）在日常生活中，若收入300元记作+300元，则支出180元应记作（　　） A．+180元 B．+300元 C．﹣180元 D．﹣480元 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【解答】解：“正”和“负”相对，所以，若收入300元记作+300元，则支出180元应记作﹣180元． 故选：C． 【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． 2．（3分）据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家．将4015000用科学记数法表示应为（　　） A．0.4015×107 B．4.015×106 C．40.15×105 D．4.015×107 【分析】把一个大于10的数表示成a×10n的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整数）；n的值为小数点向左移动的位数．根据科学记数法的定义，即可得到答案． 【解答】解：4015000＝4.015×106． 故选：B． 【点评】本题考查了科学记数法—表示较大的数，掌握把一个大于10的数表示成a×10n的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整数）是关键． 3．（3分）如图，该纸杯的主视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【解答】解：从正面看，可得选项A的图形． 故选：A． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义，明确从正面看得到的图形是主视图． 4．（3分）下列计算正确的是（　　） A．3a2﹣2a2＝1 B．a3÷a2＝a（a≠0） C．a2•a3＝a6 D．（2a）3＝6a3 【分析】分别根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法法则，幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一判断即可． 【解答】解：A、3a2﹣2a2＝a2，原计算错误，不符合题意； B、a3÷a2＝a（a≠0），正确，符合题意； C、a2•a3＝a5，原计算错误，不符合题意； D、（2a）3＝8a3，原计算错误，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法与除法，幂的乘方与积的乘方，熟知以上运算法则是解题的关键． 5．（3分）计算×的结果是（　　） A．2 B．7 C．14 D． 【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【解答】解：×＝． 故选：D． 【点评】本题考查的是二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法法则是解题的关键． 6．（3分）下列命题中，正确的是（　　） A．两点之间，线段最短 B．菱形的对角线相等 C．正五边形的外角和为720° D．直角三角形是轴对称图形 【分析】根据两点之间，线段最短、菱形的性质、正多边形的外角和、轴对称图形的概念判断即可． 【解答】解：A、两点之间，线段最短，命题正确，符合题意； B、菱形的对角线互相垂直，但不一定相等，故本选项命题错误，不符合题意； C、正五边形的外角和为360°，故本选项命题错误，不符合题意； D、直角三角形不一定是轴对称图形，故本选项命题错误，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 7．（3分）如图，AB，AC为⊙O的两条弦，连接OB，OC，若∠A＝45°，则∠BOC的度数为（　　） A．60° B．75° C．90° D．135° 【分析】根据圆周角定理即可解决问题． 【解答】解：∵， ∴∠A＝． 又∵∠A＝45°， ∴∠BOC＝2×45°＝90°． 故选：C． 【点评】本题主要考查了圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系，熟知圆周角定理是解题的关键． 8．（3分）某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，141．这组数据的中位数是（　　） A．130 B．158 C．160 D．192 【分析】先将上述数据按照从小到大的顺序排列，根据中位数的定义可知：第3位的数据是中位数． 【解答】解：先将上述数据按照从小到大的顺序排列：130，141，158，179，192， ∴这组数据的中位数是158， 故选：B． 【点评】本题考查的是中位数，熟练掌握中位数的相关定义和计算方法是解题的关键． 9．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点．下列结论中，错误的是（　　） A．DE∥BC B．△ADE∽△ABC C．BC＝2DE D．S△ADE＝S△ABC 【分析】根据题中所给条件可得出△ADE与△ABC相似，再根据相似三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：∵点D，E分别为边AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，BC＝2DE． 故A、C选项不符合题意． ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC． 故B选项不符合题意． ∵△ADE∽△ABC， ∴， 则． 故D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形的面积及三角形中位线定理，熟知相似三角形的判定与性质是解题的关键． 10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若x，y均为整数，则称点P为“整点”，特别地，当（其中xy≠0）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”．已知点P（2a﹣4，a+3）在第二象限，下列说法正确的是（　　） A．a＜﹣3 B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 【分析】根据点P（2a﹣4，a+3）在第二象限得2a﹣4＜0，a+3＞0，解得﹣3＜a＜2，由此可对选项A进行判断；根据“整点”定义得a＝﹣2，﹣1，0，1，进而得当a＝﹣2时，点P（﹣8，1）；当a＝﹣1时，点P（﹣6，2）；当a＝0时，点P（﹣4，3）；当a＝1时，点P（﹣2，4），由此可对选项B进行判断；根据“超整点”的定义得：当a＝1时，点P（﹣2，4）是“超整点”，由此可对选项C进行判断；根据当点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和为6可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：∵点P（2a﹣4，a+3）在第二象限， ∴，解得：﹣3＜a＜2， 故选项A不正确，不符合题意； ∵点P（2a﹣4，a+3）为“整点”， ∴a为整数， 又∵﹣3＜a＜2， ∴a＝﹣2，﹣1，0，1， 当a＝﹣2时，2a﹣4＝﹣8，a+3＝1，此时点P（﹣8，1）； 当a＝﹣1时，2a﹣4＝﹣6，a+3＝2，此时点P（﹣6，2）； 当a＝0时，2a﹣4＝﹣4，a+3＝3，此时点P（﹣4，3）； 当a＝1时，2a﹣4＝﹣2，a+3＝4，此时点P（﹣2，4）； ∴“整点”P的个数是4个， 故选项B不正确，不符合题意； 根据“超整点”的定义得：当a＝1时，点P（﹣2，4）是“超整点”， ∴点P为“超整点”，则点P的个数为1个， 故选项C正确，符合题意； 当点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和为：|﹣2|+|4|＝6， 故选项D不正确，不符合题意． 故选：C． 【点评】此题主要考查了点的坐标，一元一次不等式组的应用，理解点的坐标，“整点”及“超整点”的定义，熟练掌握解一元一次不等式组的方法与技巧是解决问题的关键． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．（3分）计算：﹣（﹣2024）＝　2024　． 【分析】根据相反数的概念解答即可． 【解答】解：﹣（﹣2024）＝2024， 故答案为：2024． 【点评】本题考查的是相反数，多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正． 12．（3分）有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“”“”“”“”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“”的概率是 　　． 【分析】直接根据概率公式解答即可． 【解答】解：∵共有四枚棋子，“”有一个， ∴从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“”的概率是． 故答案为：． 【点评】本题考查的是概率公式，熟记概率公式是解题的关键． 13．（3分）分式方程＝1的解为 　x＝1　． 【分析】观察可得最简公分母是（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 【解答】解：方程的两边同乘（x+1），得 2＝x+1， 解得x＝1． 检验：把x＝1代入（x+1）＝2≠0． ∴原方程的解为：x＝1． 【点评】本题考查了分式方程的解法，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根． 14．（3分）若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为 　100　°． 【分析】根据等腰三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：由题知， ∵等腰三角形的一个底角的度数为40°， ∴这个等腰三角形的另一个底角的度数为40°， ∴等腰三角形的顶角的度数为：180°﹣2×40°＝100°． 故答案为：100． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟知等腰三角形的性质是解题的关键． 15．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 　2　． 【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣8k＝0，然后解关于k的方程即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝16﹣8k＝0， 解得：k＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握Δ＝0有两个相等的实数根是解题的关键． 16．（3分）在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即f＝（k为常数，k≠0）．若某乐器的弦长l为0.9米，振动频率f为200赫兹，则k的值为 　180　． 【分析】把l＝0.9，f＝200，代入解析式，即可求出k的值． 【解答】解：当l＝0.9，f＝200时，200＝， ∴k＝180． 故答案为：180． 【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式和反比例函数的定义，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式是关键． 17．（3分）如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线段BE，BF，使BE＝BF；分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，在∠ABC内，两弧交于点P，作射线BP，交AD于点M，过点M作MN⊥AB于点N．若MN＝2，AD＝4MD，则AM＝　6　， 【分析】由作图过程可知，BP为∠ABC的平分线，结合角平分线的性质可得MD＝MN＝2，则AD＝4MD＝8，进而可得AM＝AD﹣MD＝6． 【解答】解：由作图过程可知，BP为∠ABC的平分线， ∵AD是边BC上的高， ∴AD⊥BC， ∵MN⊥AB， ∴MD＝MN＝2． ∴AD＝4MD＝8， ∴AM＝AD﹣MD＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查作图—基本作图、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键． 18．（3分）如图，图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其平面示意图．已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l．若BC＝4分米，OB＝12分米，∠BOE＝60°，则点C到水平线l的距离CF为 　　分米（结果用含根号的式子表示）． 【分析】延长DC交l于点H，连接OC，根据题意及解三角形确定，，再由等面积法即可求解． 【解答】解：延长DC交l于点H，连接OC， 在Rt△OBH中，∠BOH＝90°﹣60°＝30°，OB＝12dm， ∴（dm），（dm）， ∵S△OBH＝S△OCH+S△OBC， ∴， ∴， ∴（dm）， 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理，解三角形及利用三角形等面积法求解，作出辅助线是解题关键． 三、解答题：本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（6分）计算：|﹣3|+（﹣）0+cos60°﹣． 【分析】根据绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、算术平方根计算即可． 【解答】解：原式＝3+1+﹣2 ＝． 【点评】本题考查的是实数的运算，掌握绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、算术平方根的概念是解题的关键． 20．（6分）先化简，再求值：•+，其中x＝3． 【分析】先计算分式的乘法，再计算分式的加法得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值． 【解答】解：原式＝•+ ＝+ ＝， 当x＝3时， 原式＝＝． 【点评】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式． 21．（8分）某校为了解学生五月份参与家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查．家务劳动的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等．学校德育处根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图： 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次被抽取的学生人数为 　100　人： （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是 　36　°； （4）若该校有学生1200人，请估计该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数． 【分析】（1）由“1项”人数及其百分比可得总人数； （2）根据各项目人数之和等于总人数求出“3项”的人数，补全图形即可； （3）用360°乘“4项及以上”部分所占比例即可求出“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数； （4）用总人数乘样本中与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数所占百分比即可得出答案． 【解答】解：（1）本次被抽取的学生人数为：30÷30%＝100（人）， 故答案为：100； （2）“3项”的人数为：100﹣3﹣30﹣42﹣10＝15（人）， 补全条形统计图如下： （3）在扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是360°×＝36°， 故答案为：36； （4）1200×＝300（人）， 答：估计该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数大约为300人． 【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 22．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边AB上，　①或②　． 请从“①∠B＝∠AED；②AE＝BE，AE＝CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： （1）求证：四边形BCDE为平行四边形； （2）若AD⊥AB，AD＝8，BC＝10，求线段AE的长． 【分析】（1）证明BC∥DE或BE＝CD，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得DE＝BC＝10，再由勾股定理求出AE的长即可． 【解答】解：（1）选择①或②，证明如下： 选择①，∵∠B＝∠AED， ∴BC∥DE， ∵AB∥CD， ∴四边形BCDE为平行四边形； 选择②，∵AE＝BE，AE＝CD， ∴BE＝CD， ∵AB∥CD， ∴四边形BCDE为平行四边形； 故答案为：①或②； （2）由（1）可知，四边形BCDE为平行四边形， ∴DE＝BC＝10， ∵AD⊥AB， ∴∠A＝90°， ∴AE＝＝＝6， 即线段AE的长为6． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理得知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 23．（9分）某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富．已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元． （1）求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价； （2）该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？ 【分析】（1）设脐橙树苗的单价为x元，黄金贡柚树苗的单价为y元，根据购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设可以购买脐橙树苗m棵，则购买黄金贡柚树苗（1000﹣m）棵，根据总费用不超过38000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）设脐橙树苗的单价为x元，黄金贡柚树苗的单价为y元， 由题意得：， 解得：， 答：脐橙树苗的单价为50元，黄金贡柚树苗的单价为30元； （2）设可以购买脐橙树苗m棵，则购买黄金贡柚树苗（1000﹣m）棵， 由题意得：50m+30（1000﹣m）≤38000， 解得：m≤400， 答：最多可以购买脐橙树苗400棵． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找出数量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 24．（9分）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点E作GH⊥CE，并沿EH方向前进到点F，用皮尺测得EF的长为4米； ③在点F处用测角仪测得∠CFG＝60.3°，∠BFG＝45°，∠AFG＝21.8°； ④用计算器计算得：sin60.3°≈0.87，cos60.3°≈0.50，tan60.3°≈1.75，sin21.8°≈0.37，cos21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1）求线段CE和BC的长度； （2）求底座的底面ABCD的面积． 【分析】（1）根据题意得，即可确定CE长度，再由∠BFG＝45°得出BE＝EF＝4米，即可求解； （2）过点A作AM⊥GH于点M，继续利用正切函数确定AB＝ME＝6米，即可求解面积． 【解答】解：（1）∵GH⊥CE，EF的长为4米，∠CFG＝60.3°， ∴， ∴CE＝7（米）； ∵∠BFG＝45°， ∴BE＝EF＝4米， ∴CB＝CE﹣BE＝3（米）； （2）过点A作AM⊥GH于点M，如图所示： ∵∠AFG＝21.8°， ∴， ∵AM＝BE＝4米， ∴MF＝10米， ∴AB＝ME＝10﹣4＝6米， ∴底座的底面ABCD的面积为：3×6＝18（平方米）． 【点评】本题考查了解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键． 25．（10分）已知二次函数y＝﹣x2+c的图象经过点A（﹣2，5），点P（x1，y1），Q（x2，y2）是此二次函数的图象上的两个动点． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图1，此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D，连接AC，DQ，PQ．若x2＝x1+3，求证：的值为定值； （3）如图2，点P在第二象限，x2＝﹣2x1，若点M在直线PQ上，且横坐标为x1﹣1，过点M作MN⊥x轴于点N，求线段MN长度的最大值． 【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：5＝﹣4+c，即可求解； （2）由S△PDQ＝PD×（xQ﹣xP）＝（﹣+9+x1﹣3）（x2﹣x1）＝（﹣+x1+6），同理可得：S△ADC＝CD×（xD﹣xA）＝（﹣+x1+6），即可求解； （3）求出线PQ的表达式为：y＝x1（x﹣x1）﹣+9＝xx1﹣2+9，则MN＝（x1﹣1）x1﹣2+9＝﹣（x1+）2+≤，即可求解． 【解答】（1）解：将点A的坐标代入抛物线表达式得：5＝﹣4+c， 则c＝9， 即抛物线的表达式为：y＝﹣x2+9； （2）证明：为定值，理由： 令y＝﹣x2+9，则x＝±3，则点B（3，0）， 由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝﹣x+3， 设点P、Q、D的表达式分别为：（x1，﹣+9）、（x2，﹣+9）、（x1，﹣x1+3）， 则S△PDQ＝PD×（xQ﹣xP）＝（﹣+9+x1﹣3）（x2﹣x1）＝（﹣+x1+6）， 同理可得：S△ADC＝CD×（xD﹣xA）＝（﹣+x1+6）， 则＝3为定值； （3）解：点P、Q的表达式分别为：（x1，﹣+9）、（﹣2x1，﹣4+9）， 由点P、Q的坐标得，直线PQ的表达式为：y＝x1（x﹣x1）﹣+9＝xx1﹣2+9， 则MN＝yM＝（x1﹣1）x1﹣2+9＝﹣（x1+）2+≤， 故MN的最大值为：． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到面积的计算、二次函数的图象和性质，理解题意和熟悉函数的性质是解题的关键． 26．（10分）【问题背景】 已知点A是半径为r的⊙O上的定点，连接OA，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°）得到OE，连接AE，过点A作⊙O的切线l，在直线l上取点C，使得∠CAE为锐角． 【初步感知】 （1）如图1，当α＝60°时，∠CAE＝　30　°； 【问题探究】 （2）以线段AC为对角线作矩形ABCD，使得边AD过点E，连接CE，对角线AC，BD相交于点F． ①如图2，当AC＝2r时，求证：无论α在给定的范围内如何变化，BC＝CD+ED总成立： ②如图3，当AC＝r，＝时，请补全图形，并求tanα及的值． 【分析】（1）根据等腰△AOE的角度和切线的性质即可求出∠CAE＝30°； （2）因为AD＝BC，且AD＝AE+ED，要证BC＝CD+ED，实际要证CD＝AE，根据我们证线段相等的思路：①同一个三角形证等腰②不同三角形证全等，可证△OAE≌△FCD即可； （3）由AC＝得tanα＝，再作OH⊥AE，证△OEH∽△CED得到，通过设边长，再利用勾股定理表示CD2建立勾股方程即可找到线段之间的关系． 【解答】（1）解：∵α＝60°，OA＝OE， ∴∠OAE＝∠OEA＝α＝60°， ∵AC与圆相切， ∴∠OAC＝90°， ∴∠CAE＝30°． 故答案为：30． （2）证明：∵四边形ABCD是矩形，AC＝2r， ∴OA＝OE＝CF＝DF＝r， ∵∠OAC＝∠ADC＝90°， ∴∠OAE+∠CAD＝∠ACD+∠CAD， ∴∠OAE＝∠ACD， ∵OA＝OE，CF＝DF， ∴∠OAE＝∠OEA＝∠ACD＝∠CDF， 在△OAE和△FCD中， ， ∴△OAE≌△FCD（AAS）， ∴AE＝CD， ∵AD＝AE+ED， ∴BC＝CD+ED． 即无论α在给定的范围内如何变化，BC＝CD+ED总成立． （3）解：补全图形如图， ∵AC是切线， ∴∠OAC＝90°， ∵AC＝， ∴tanα＝． 设OA＝3m，则AC＝＝4m，OC＝5m， ∵＝，OE＝OA＝3m， ∴CE＝2m，OE+CE＝5m＝OC， 即点E在线段OC上， 如图，过O作OH⊥AE，垂足为H，则AH＝EH， ∵∠OHE＝90°＝∠D，∠OEH＝∠CED， ∴△OEH∽△CED， ∴， 设EH＝AH＝3a，则DE＝2a， ∴AD＝AH+EH+ED＝8a， 在Rt△ACD中，CD2＝AC2﹣AD2＝16m2﹣64a2， 在Rt△CED中，CD2＝CE2﹣ED2＝4m2﹣4a2， ∴16m2﹣64a2＝4m2﹣4a2，解得a＝m， ∴AB＝AD＝m，CD＝＝m＝AB， ∴＝＝． 【点评】本题主要考查了圆的综合题以及切线的性质、锐角三角函数、相似的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/25 21:42:34；用户：Troy；邮箱：305657440@qq.com；学号：290269 学科网（北京）股份有限公司 $$