2024年湖北省中考数学真题解析

2024年湖北省中考数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．（3分）在生产生活中，正数和负数都有现实意义．例如收20元记作+20元，则支出10元记作（　　） A．+10元 B．﹣10元 C．+20元 D．﹣20元 2．（3分）如图，是由4个相同的正方体组成的立方体图形，其主视图是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）2x•3x2的值是（　　） A．5x2 B．5x3 C．6x2 D．6x3 4．（3分）如图，直线AB∥CD，已知∠1＝120°，则∠2＝（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 5．（3分）不等式x+1≥2的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 6．（3分）下列各事件，是必然事件的是（　　） A．掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3 B．某同学投篮球，一定投不中 C．经过红绿灯路口时，一定是红灯 D．画一个三角形，其内角和为180° 7．（3分）《九章算术》中记载这样一个题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值x金，每只羊值y金，可列方程为（　　） A． B． C． D． 8．（3分）AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，且∠CAB＝50°．①以点B为圆心，适当长为半径作弧，交AB，BC于D，E；②分别以DE为圆心，大于DE为半径作弧，两弧交于点P；③作射线BP．则∠ABP＝（　　） A．40° B．25° C．20° D．15° 9．（3分）平面坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣4，6），将线段OA绕点O顺时针旋转90°，则点A的对应点A′的坐标为（　　） A．（4，6） B．（6，4） C．（﹣4，﹣6） D．（﹣6，﹣4） 10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（﹣1，﹣2），抛物线与y轴的交点位于x轴上方．以下结论正确的是（　　） A．a＜0 B．c＜0 C．a﹣b+c＝﹣2 D．b2﹣4ac＝0 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（3分）写一个比﹣1大的数 　 　． 12．（3分）中国古代杰出的数学家祖冲之、刘徽、赵爽、秦九韶、杨辉，从中任选一个，恰好是赵爽是概率是 　 　． 13．（3分）计算：＝　 　． 14．（3分）铁的密度约为7.9×103kg/m3，铁的质量m（kg）与体积V（m3）成正比例．一个体积为10m3的铁块，它的质量为 　 　kg． 15．（3分）△DEF为等边三角形，分别延长FD，DE，EF，到点A，B，C，使DA＝EB＝FC，连接AB，AC，BC，连接BF并延长交AC于点G．若AD＝DF＝2，则∠DBF＝　 　，FG＝　 　． 三、解答题（75分） 16．计算：（﹣1）×3++22﹣20240． 17．▱ABCD中，E，F为对角线AC上两点，且AE＝CF，连接BE，DF．求证BE＝DF． 18．小明为了测量树AB的高度，经过实地测量，得到两个解决方案： 方案一：如图（1），测得C地与树AB相距10米，眼睛D处观测树AB的顶端A的仰角为32°； 方案二：如图（2），测得C地与树AB相距10米，在C处放一面镜子，后退2米到达点E，眼睛D在镜子C中恰好看到树AB的顶端A． 已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树AB的高度．（结果保留整数，tan32°≈0.64） 19．为促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的体育活动．为了解学生引体向上的训练成果，调查了七年级部分学生，根据成绩，分成了ABCD四组，制成了不完整的统计图．分组：0≤A＜5，5≤B＜10，10≤C＜15，15≤D＜20． （1）A组的人数为 　 　； （2）七年级400人中，估计引体向上每分钟不低于10个的有多少人？ （3）从众数、中位数、平均数中任选一个，说明其意义． 20．一次函数y＝x+m经过点A（﹣3，0），交反比例函数y＝于点B（n，4）． （1）求m，n，k． （2）点C在反比例函数y＝第一象限的图象上，若S△AOC＜S△AOB，直接写出C的横坐标a的取值范围． 21．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在AC上，以OC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，且BD＝BC． （1）求证：AB是⊙O的切线． （2）连接OB交⊙O于点F，若AD＝，AE＝1，求弧CF的长． 22．学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42米，篱笆长80米．设垂直于墙的边AB长为x米，平行于墙的边BC为y米，围成的矩形面积为S米2． （1）求y与x，s与x的关系式． （2）围成的矩形花圃面积能否为750米2，若能，求出x的值． （3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值． 23．如图，矩形ABCD中，E，F在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使E的对称点P落在CD上，F的对称点为G，PG交BC于H． （1）求证：△EDP∽△PCH． （2）若P为CD中点，且AB＝2，BC＝3，求GH长． （3）连接BG，若P为CD中点，H为BC中点，探究BG与AB大小关系并说明理由． 24．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B，交y轴于C． （1）求b的值． （2）M为函数图象上一点，满足∠MAB＝∠ACO，求M点的横坐标． （3）将二次函数沿水平方向平移，新的图象记为L，L与y轴交于点D，记DC＝d，记L顶点横坐标为n． ①求d与n的函数解析式． ②记L与x轴围成的图象为U，U与△ABC重合部分（不计边界）记为W，若d随n增加而增加，且W内恰有2个横坐标与纵坐标均为整数的点，直接写出n的取值范围． 2024年湖北省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．（3分）在生产生活中，正数和负数都有现实意义．例如收20元记作+20元，则支出10元记作（　　） A．+10元 B．﹣10元 C．+20元 D．﹣20元 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【解答】解：“正”和“负”相对，所以，在生产生活中，正数和负数都有现实意义．例如收20元记作+20元，则支出10元记作﹣10元． 故选：B． 【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． 2．（3分）如图，是由4个相同的正方体组成的立方体图形，其主视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【解答】解：从正面看有两层，底层4个正方形，上层左边个正方形． 故选：A． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图． 3．（3分）2x•3x2的值是（　　） A．5x2 B．5x3 C．6x2 D．6x3 【分析】根据单项式乘单项式法则计算即可． 【解答】解：2x•3x2＝6x3． 故选：D． 【点评】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是关键． 4．（3分）如图，直线AB∥CD，已知∠1＝120°，则∠2＝（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【分析】由平行线的性质推出∠1+∠2＝180°，即可求出∠2的度数． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠1+∠2＝180°， ∵∠1＝120°， ∴∠2＝60°． 故选：B． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠1+∠2＝180°． 5．（3分）不等式x+1≥2的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】直接解一元一次不等式，再将解集在数轴上表示即可． 【解答】解：x+1≥2， 解得：x≥1， 在数轴上表示，如图所示： ． 故选：A． 【点评】此题主要考查了解一元一次不等式，正确解不等式是解题关键． 6．（3分）下列各事件，是必然事件的是（　　） A．掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3 B．某同学投篮球，一定投不中 C．经过红绿灯路口时，一定是红灯 D．画一个三角形，其内角和为180° 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【解答】解：A、掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3，是随机事件，不符合题意； B、某同学投篮球，一定投不中，是随机事件，不符合题意； C、经过红绿灯路口时，一定是红灯，是随机事件，不符合题意； D、画一个三角形，其内角和为180°，是必然事件，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 7．（3分）《九章算术》中记载这样一个题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值x金，每只羊值y金，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，列出二元一次方程组即可． 【解答】解：依据题意得：， 故选：A． 【点评】此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 8．（3分）AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，且∠CAB＝50°．①以点B为圆心，适当长为半径作弧，交AB，BC于D，E；②分别以DE为圆心，大于DE为半径作弧，两弧交于点P；③作射线BP．则∠ABP＝（　　） A．40° B．25° C．20° D．15° 【分析】根据直角所对的圆周角是90°得出∠ACB的度数，再由∠CAB＝50°得出∠ABC的度数，最后根据所画射线为∠ABC的角平分线即可解决问题． 【解答】解：∵AB为半圆O的直径， ∴∠ACB＝90°， 又∵∠CAB＝50°， ∴∠ABC＝40°． 根据作图步骤可知， BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝． 故选：C． 【点评】本题主要考查了圆周角定理，熟知圆周角定理是解题的关键． 9．（3分）平面坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣4，6），将线段OA绕点O顺时针旋转90°，则点A的对应点A′的坐标为（　　） A．（4，6） B．（6，4） C．（﹣4，﹣6） D．（﹣6，﹣4） 【分析】根据旋转的性质及全等三角形的性质求解． 【解答】解：过A作AC⊥y轴于点C，过A′作A′B⊥x轴于点B， 则：AC＝4，CO＝6，∠ACO＝∠A′BO＝90°， ∴∠A+∠AOC＝∠AOC+∠CAA′＝90°， ∴∠A＝∠COA′， ∵AO＝A′O， ∴△AOC≌△A′OB（AAS）， ∴A′B＝AC＝4，OB＝OC＝6， ∴A′（6，4）， 故选：B． 【点评】本题考查了坐标与图形变换﹣旋转，掌握旋转的性质及全等三角形的性质是解题的关键． 10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（﹣1，﹣2），抛物线与y轴的交点位于x轴上方．以下结论正确的是（　　） A．a＜0 B．c＜0 C．a﹣b+c＝﹣2 D．b2﹣4ac＝0 【分析】依据题意，由抛物线与y轴的交点位于x轴上方，可令x＝0，y＝c＞0，故可判断B；又抛物线的顶点为（﹣1，﹣2），从而可设抛物线为y＝a（x+1）2﹣2，即y＝ax2+2ax+a﹣2，故b＝2a，c＝a﹣2，结合c＞0， 故可判断A、D；由顶点为（﹣1，﹣2），从而当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝﹣2，故可判断C． 【解答】解：由题意，∵抛物线与y轴的交点位于x轴上方， ∴令x＝0，y＝c＞0，故B错误． 又抛物线的顶点为（﹣1，﹣2）， ∴可设抛物线为y＝a（x+1）2﹣2． ∴y＝ax2+2ax+a﹣2． ∴b＝2a，c＝a﹣2． ∵c＞0， ∴a﹣2＞0，即a＞2＞0，故A错误． ∵顶点为（﹣1，﹣2）， ∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝﹣2，故C正确． ∵b＝2a，c＝a﹣2， ∴b2﹣4ac＝4a2﹣4a（a﹣2）＝8a＞0，故D错误． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（3分）写一个比﹣1大的数 　0　． 【分析】根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数即可写出答案，答案不唯一． 【解答】解：比﹣1大的数如：0， 故答案为：0（答案不唯一）． 【点评】此题考查了有理数的大小比较，用到的知识点是正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数． 12．（3分）中国古代杰出的数学家祖冲之、刘徽、赵爽、秦九韶、杨辉，从中任选一个，恰好是赵爽是概率是 　　． 【分析】根据概率公式计算即可． 【解答】解：因为总共有5人， 所以从中任选一个，恰好是赵爽是概率是． 故答案为：． 【点评】此题考查概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝． 13．（3分）计算：＝　1　． 【分析】利用分式的加减法则计算即可． 【解答】解：原式＝ ＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查分式的加法运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 14．（3分）铁的密度约为7.9×103kg/m3，铁的质量m（kg）与体积V（m3）成正比例．一个体积为10m3的铁块，它的质量为 　7.9×104　kg． 【分析】依据题意，可得m＝ρV，从而m＝7.9×103V，又V＝10，代入计算可以得解． 【解答】解：由题意，m＝ρV， ∴m＝7.9×103V． 又V＝10， ∴m＝7.9×103×10＝7.9×104（kg）． 故答案为：7.9×104． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键． 15．（3分）△DEF为等边三角形，分别延长FD，DE，EF，到点A，B，C，使DA＝EB＝FC，连接AB，AC，BC，连接BF并延长交AC于点G．若AD＝DF＝2，则∠DBF＝　30°　，FG＝　　． 【分析】根据题干可得EB＝EF＝ED，∠DEF＝60°，利用外角性质和一个等腰三角形可得∠DBF＝30°；作CH⊥BG，交BG的延长线于点H，易证△AFG∽△CHG，根据相似比易求FG的长度． 【解答】解：∵△DEF为等边三角形，且DE＝EB， ∴DE＝BE＝EF，∠DEF＝∠DFE＝∠EDF＝60°， ∴∠DBF＝∠EFB＝30°， ∴∠AFB＝90°， 作CH⊥BG，交BG的延长线于点H， ∵∠CFH＝∠BFE＝30°，AD＝DF＝CF＝2， ∴CH＝CF＝1， ∴FH＝， ∵∠AFG＝∠CHG＝90°，∠AGF＝∠CGH， ∴△AFG∽△CHG， ∴， ∴FG＝FH＝． 故答案为：30°；． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质以及等边三角形的性质等相关知识是解题关键． 三、解答题（75分） 16．计算：（﹣1）×3++22﹣20240． 【分析】直接利用零指数幂的性质以及算术平方根、有理数的混合运算法则分别计算，进而得出答案． 【解答】解：原式＝﹣3+3+4﹣1 ＝3． 【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键． 17．▱ABCD中，E，F为对角线AC上两点，且AE＝CF，连接BE，DF．求证BE＝DF． 【分析】由平行四边形的性质得AB＝CD，AB∥CD，则∠BAE＝∠DCF，而AE＝CF，即可根据“SAS”证明△BAE≌△DCF，则BD＝DF． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BAE＝∠DCF， 在△BAE和△DCF中， ， ∴△BAE≌△DCF（SAS）， ∴BD＝DF． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△BAE≌△DCF是解题的关键． 18．小明为了测量树AB的高度，经过实地测量，得到两个解决方案： 方案一：如图（1），测得C地与树AB相距10米，眼睛D处观测树AB的顶端A的仰角为32°； 方案二：如图（2），测得C地与树AB相距10米，在C处放一面镜子，后退2米到达点E，眼睛D在镜子C中恰好看到树AB的顶端A． 已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树AB的高度．（结果保留整数，tan32°≈0.64） 【分析】方案一：根据解直角三角形求解； 方案二：根据相似三角形的性质求解． 【解答】解：方案一：过D作DE⊥AB于点E， 由题意得：CD⊥BC，AB⊥BC， ∴∠C＝∠B＝∠DEB＝90°， ∴四边形BCDE为矩形， ∴BE＝CD＝1.6m，DE＝BC＝10m， 在Rt△ADE中，tan∠ADE＝， ∴AE＝DEtan∠ADE≈0.64×10＝6.4m， ∴AB＝AE+EB＝1.6+6.4＝8m． 方案二：由题意得：CE＝2，BC＝10，DE＝1.6，∠E＝∠B＝90°，∠DCE＝∠ACB， ∴△ABC∽△DEC， ∴， 即：， 解得：AB＝8m． 答：树AB的高度为8米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握三角函数的定义及相似三角形的性质是解题的关键． 19．为促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的体育活动．为了解学生引体向上的训练成果，调查了七年级部分学生，根据成绩，分成了ABCD四组，制成了不完整的统计图．分组：0≤A＜5，5≤B＜10，10≤C＜15，15≤D＜20． （1）A组的人数为 　12人　； （2）七年级400人中，估计引体向上每分钟不低于10个的有多少人？ （3）从众数、中位数、平均数中任选一个，说明其意义． 【分析】（1）根据C组的人数和所占的百分比即可求出样本容量，用总人数减去其它组的频数即可求出A组的人数； （2）利用总人数400乘以每分钟不低于10个的人数所占的百分比即可； （3）根据平均数的意义判断即可（答案不唯一）． 【解答】解：（1）样本容量为14÷35%＝40， ∴A组的人数为40﹣10﹣14﹣4＝12（人）； 故答案为：12人； （2）400×＝180（人）， 答：估计引体向上每分钟不低于10个的有180人； （3）平均数为＝8.75（个）， 说明平均每人每分钟做引体向上8.75个（答案不唯一，言之有理即可）． 【点评】本题考查频数（率）分布直方图、用样本估计总体、加权平均数、众数、中位数以及统计量的选择，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体、平均数、众数、中位数的意义是解答本题的关键． 20．一次函数y＝x+m经过点A（﹣3，0），交反比例函数y＝于点B（n，4）． （1）求m，n，k． （2）点C在反比例函数y＝第一象限的图象上，若S△AOC＜S△AOB，直接写出C的横坐标a的取值范围． 【分析】（1）根据点与图象的关系列方程求解； （2）根据三角形的面积公式及数形结合求解． 【解答】解：（1）由题意得：﹣3+m＝0，n+m＝4，k＝4n， 解得：m＝3，n＝1，k＝4； （2）∵S△AOC＜S△AOB， ∴点B到x轴的距离大于点C到x轴的距离， ∴点C位于点B的右侧， ∴a＞1． 【点评】本题考出来反比例函数与一次函数的交点，掌握点与图象的关系及数形结合思想是解题的关键． 21．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在AC上，以OC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，且BD＝BC． （1）求证：AB是⊙O的切线． （2）连接OB交⊙O于点F，若AD＝，AE＝1，求弧CF的长． 【分析】（1）连接OD，利用全等三角形的性质得出∠ODB＝90°即可解决问题． （2）利用勾股定理求出⊙O的半径，再求出∠COF的度数，最后根据弧长公式即可解决问题． 【解答】（1）证明：连接OD， 在△BOD和△BOC中， ， ∴△BOD≌△BOC（SSS）， ∴∠BDO＝∠BCO， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BDO＝90°， 即OD⊥AB， 又∵点D在⊙O上， ∴AB是⊙O的切线． （2）解：令⊙O的半径为r， 在Rt△AOD中， （）2+r2＝（r+1）2， 解得r＝1， ∴AO＝2， ∴sinA＝， ∴∠A＝30°， ∴∠DOC＝120°． 又∵△BOD≌△BOC， ∴∠DOB＝∠COB＝60°， ∴弧CF的长为：． 【点评】本题主要考查了切线的判定与性质、勾股定理及弧长的计算，熟知切线的判定与性质、勾股定理及弧长的计算公式是解题的关键． 22．学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42米，篱笆长80米．设垂直于墙的边AB长为x米，平行于墙的边BC为y米，围成的矩形面积为S米2． （1）求y与x，s与x的关系式． （2）围成的矩形花圃面积能否为750米2，若能，求出x的值． （3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值． 【分析】（1）依据题意，2x+y＝80，从而y＝﹣2x+80，再由0＜﹣2x+80≤42，且x＞0，可得x的范围，又S＝AB•BC＝x（﹣2x+80），进而可以得解； （2）依据题意，令S＝﹣2x2+80x＝750，解方程即可判断得解； （3）依据题意，根据（2）S＝﹣2x2+80x＝﹣2（x﹣20）2+800，从而依据二次函数的性质即可判断得解． 【解答】解：（1）由题意，2x+y＝80， ∴y＝﹣2x+80． 由0＜﹣2x+80≤42，且x＞0， ∴19≤x＜40． 由题意，S＝AB•BC＝x（﹣2x+80）， ∴S＝﹣2x2+80x． （2）由题意，令S＝﹣2x2+80x＝750， ∴x＝15（舍去）或x＝25． 答：当x＝25时，围成的矩形花圃的面积为750米2． （3）由题意，根据（2）S＝﹣2x2+80x＝﹣2（x﹣20）2+800， 又∵﹣2＜0，且19≤x＜40， ∴当x＝20时，S取最大值为800． 答：围成的矩形花圃面积存在最大值，最大值为800米2，此时x的值为20． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 23．如图，矩形ABCD中，E，F在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使E的对称点P落在CD上，F的对称点为G，PG交BC于H． （1）求证：△EDP∽△PCH． （2）若P为CD中点，且AB＝2，BC＝3，求GH长． （3）连接BG，若P为CD中点，H为BC中点，探究BG与AB大小关系并说明理由． 【分析】（1）证明对应角相等，即可得到△EDP∽△PCH； （2）根据△EDP∽△PCH，求得PH的长度，从而得出GH长度； （3）延长AB，PG交于一点M，连接AP，先证明△MBH≌△PCH，得到相等的边，再根据△BMG∽△MAP，得出大小关系． 【解答】（1）证明：如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝∠C＝90°， ∴∠1+∠3＝90°， ∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在DC上， ∴∠EPH＝∠A＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∴∠3＝∠2， ∴△EDP∽△PCH； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝3，∠A＝∠D＝∠C＝90°， ∵P为CD中点， ∴， 设EP＝AP＝x， ∴ED＝AD﹣x＝3﹣x， 在Rt△EDP中，EP2＝ED2+DP2， 即x2＝（3﹣x）2+1， 解得， ∴， ∴， ∵△EDP∽△PCH， ∴， ∴， 解得， ∵PG＝AB＝2， ∴； （3）解：如图，延长AB，PG交于一点M，连接AP， ∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在CD上， ∴AP⊥EF，BG⊥直线EF， ∴BG∥AP， ∵AE＝EP， ∴∠EAP＝∠EPA， ∴∠BAP＝∠GPA， ∴△MAP是等腰三角形， ∴MA＝MP， ∵P为CD中点， ∴设DP＝CP＝y， ∴AB＝PG＝CD＝2y， ∵H为BC中点， ∴BH＝CH， ∵∠BHM＝∠CHP，∠CBM＝∠PCH， ∴△MBH≌△PCH（ASA）， ∴BM＝CP＝y，HM＝HP， ∴MP＝MA＝MB+AB＝3y， ∴， 在Rt△PCH中，， ∴， ∴， 在Rt△APD中，， ∵BG∥AP， ∴△BMG∽△MAP， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查了矩形与折叠，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 24．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B，交y轴于C． （1）求b的值． （2）M为函数图象上一点，满足∠MAB＝∠ACO，求M点的横坐标． （3）将二次函数沿水平方向平移，新的图象记为L，L与y轴交于点D，记DC＝d，记L顶点横坐标为n． ①求d与n的函数解析式． ②记L与x轴围成的图象为U，U与△ABC重合部分（不计边界）记为W，若d随n增加而增加，且W内恰有2个横坐标与纵坐标均为整数的点，直接写出n的取值范围． 【分析】（1）待定系数法求解即可； （2）设M（m，﹣m2+2m+3），作MN⊥x轴于点N，构造直角三角形，利用锐角三角函数或者相似建立关于m的方程求解即可； （3）①由二次函数平移可得出图象L的解析式为y＝﹣（x﹣n）2+4＝﹣x2+2nx﹣n2+4，从而得到CD＝d＝|﹣n2+4﹣3|＝|﹣n2+1|，再分类讨论去绝对值即可； ②根据题干条件得出整数点（0，1），（0，2），（1，1），再分别两两进行分类讨论，建立二次函数不等式即可解决． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+3与x轴交于（﹣1，0）， ∴0＝﹣1﹣b＝3，解得b＝2． （2）∵b＝2， ∴二次函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， 令y＝0，解得x＝﹣1或3， 令x＝0得y＝3， ∴A（﹣1.0），B（3，0），C（0，3），作MN⊥x轴于点N， 设M（m，﹣m2+2m+3）， 当点M在x轴上方时，如图1， ∵∠MAB＝∠ACO， ∴tan∠MAB＝tan∠ACO，即， ∴， 解得m＝或﹣1（舍去）， 当点M在x轴下方时，如图2， ∵∠MAB＝∠ACO， ∴tan∠MAB＝tan∠ACO，即， ∴＝， 解得m＝或﹣1（舍去）， 综上：m＝或m＝． （3）①∵将二次函数沿水平方向平移， ∴纵坐标不变是4， ∴图象L的解析式为y＝﹣（x﹣n）2+4＝﹣x2+2nx﹣n2+4， ∴D（0，﹣n2+4）， ∴CD＝d＝|﹣n2+4﹣3|＝|﹣n2+1|， ∴d＝， ②由①得d＝，则函数图象如图， ∵d随着n增加而增加， ∴﹣1≤n≤0或n≥1，△ABC中含（0，1），（0，2），（1，1）三个整点（不含边界）， 当W内恰有2个整数点（0，1），（0，2）时， 当x＝0时，yL＞2，当x＝1时，yL≤1， ∴， ∴﹣＜n＜，n≥1+或n≤1﹣， ∴﹣＜n＜1﹣， ∵﹣1≤n＜0 或n≥1， ∴﹣1≤n≤1﹣； 当W内恰有2个整数点（0，1），（1，1）时， 当x＝0时，1＜yL≤2，当x＝1时，yL＞1， ∴， ∴﹣＜n≤﹣或≤n＜，1﹣＜n＜1+， ∴， ∵﹣1≤n＜0 或n≥1， ∴； 当W内恰有2个整数点（0，2），（1，1）时，此种情况不存在，舍去． 综上，n的取值范围为﹣1≤n≤1﹣或． 【点评】本题主要考查了二次函数综合，包括用待定系数法求二次函数表达式及二次函数与线段交点的问题，也考查了二次函数与不等式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质以及数形结合法是解题关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/25 21:44:37；用户：Troy；邮箱：305657440@qq.com；学号：290269 学科网（北京）股份有限公司 $$