2024年贵州省中考数学真题解析

2024年贵州省中考数学试卷 一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1．（3分）下列有理数中最小的数是（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 2．（3分）“黔山秀水”写成下列字体，可以看作是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）计算2a+3a的结果正确的是（　　） A．5a B．6a C．5a2 D．6a2 4．（3分）不等式x＜1的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）一元二次方程x2﹣2x＝0的解是（　　） A．x1＝3，x2＝1 B．x1＝2，x2＝0 C．x1＝3，x2＝﹣2 D．x1＝﹣2，x2＝﹣1 6．（3分）为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为（﹣2，0），（0，0），则“技”所在的象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（3分）为了解学生的阅读情况，某校在4月23日世界读书日，随机抽取100名学生进行阅读情况调查，每月阅读两本以上经典作品的有20名学生，估计该校800名学生中每月阅读经典作品两本以上的人数为（　　） A．100人 B．120人 C．150人 D．160人 8．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　） A．AB＝BC B．AD＝BC C．OA＝OB D．AC⊥BD 9．（3分）小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是（　　） A．小星定点投篮1次，不一定能投中 B．小星定点投篮1次，一定可以投中 C．小星定点投篮10次，一定投中4次 D．小星定点投篮4次，一定投中1次 10．（3分）如图，在扇形纸扇中，若∠AOB＝150°，OA＝24，则的长为（　　） A．30π B．25π C．20π D．10π 11．（3分）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（　　） A．x＝y B．x＝2y C．x＝4y D．x＝5y 12．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是﹣3，顶点坐标为（﹣1，4），则下列说法正确的是（　　） A．二次函数图象的对称轴是直线x＝1 B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小 D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13．（4分）计算的结果是 　 　． 14．（4分）如图，在△ABC中，以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，交BC于点D，连接AD．若AB＝5，则AD的长为 　 　． 15．（4分）在元朝朱世杰所著的《算术启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，则快马追上慢马需要的天数是 　 　． 16．（4分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，AF．若sin∠EAF＝，AE＝5，则AB的长为 　 　． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（12分）（1）在①22，②|﹣2|，③（﹣1）0，④中任选3个代数式求和； （2）先化简，再求值：，其中x＝3． 18．（10分）已知点（1，3）在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）点（﹣3，a），（1，b），（3，c）都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小，并说明理由． 19．（10分）根据《国家体质健康标准》规定，七年级男生、女生50米短跑时间分别不超过7.7秒、8.3秒为优秀等次．某校在七年级学生中挑选男生、女生各5人进行集训，经多次测试得到10名学生的平均成绩（单位：秒）记录如下：男生成绩：7.61，7.38，7.65，7.38，7.38 女生成绩：8.23，8.27，8.16，8.26，8.32 根据以上信息，解答下列问题： （1）男生成绩的众数为 　 　，女生成绩的中位数为 　 　； （2）判断下列两位同学的说法是否正确． （3）教练从成绩最好的3名男生（设为甲，乙，丙）中，随机抽取2名学生代表学校参加比赛，请用画树状图或列表的方法求甲被抽中的概率． 20．（10分）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，∠ABC＝90°，有下列条件： ①AB∥CD，②AD＝BC． （1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形ABCD是矩形； （2）在（1）的条件下，若AB＝3，AC＝5，求四边形ABCD的面积． 21．（10分）为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生． 根据以上信息，解答下列问题： （1）种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？ （2）种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩？ 22．（10分）综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A； 第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水．（直线NN′为法线，AO为入射光线，OD为折射光线．） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，N′在同一平面内，测得AC＝20cm，∠A＝45°，折射角∠DON＝32°． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求BC的长； （2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据：sin32°≈0.52，cos32°≈0.84，tan32°≈0.62） 23．（12分）如图，AB为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在AB的延长线上，PC与半圆相切于点C，与OF的延长线相交于点D，AC与OF相交于点E，DC＝DE． （1）写出图中一个与∠DEC相等的角：　 　； （2）求证：OD⊥AB； （3）若OA＝2OE，DF＝2，求PB的长． 24．（12分）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）求y与x的函数表达式； （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 25．（12分）综合与探究：如图，∠AOB＝90°，点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA于点A． （1）【操作判断】 如图①，过点P作PC⊥OB于点C，根据题意在图①中画出PC，图中∠APC的度数为 　 　度； （2）【问题探究】 如图②，点M在线段AO上，连接PM，过点P作PN⊥PM交射线OB于点N，求证：OM+ON＝2PA； （3）【拓展延伸】 点M在射线AO上，连接PM，过点P作PN⊥PM交射线OB于点N，射线NM与射线PO相交于点F，若ON＝3OM，求的值． 2024年贵州省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1．（3分）下列有理数中最小的数是（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 【分析】根据有理数的大小比较法，即“正数＞0＞负数，两个负数，其绝对值大的反而小”，比较即可． 【解答】解：∵4＞2＞0＞﹣2， ∴最小的数是﹣2， 故选：A． 【点评】本题考查了有理数大小比较，熟记有理数的大小比较法则是解答本题的关键． 2．（3分）“黔山秀水”写成下列字体，可以看作是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可． 【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，故此选项符合题意； C．不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：B． 【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 3．（3分）计算2a+3a的结果正确的是（　　） A．5a B．6a C．5a2 D．6a2 【分析】原式合并同类项即可得到结果． 【解答】解：原式＝（2+3）a＝5a， 故选：A． 【点评】此题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解本题的关键． 4．（3分）不等式x＜1的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法解答即可． 【解答】解：不等式x＜1的解集在数轴上表示为：． 故选：C． 【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知在数轴上表示不等式解集的方法是解题的关键． 5．（3分）一元二次方程x2﹣2x＝0的解是（　　） A．x1＝3，x2＝1 B．x1＝2，x2＝0 C．x1＝3，x2＝﹣2 D．x1＝﹣2，x2＝﹣1 【分析】直接提取公因式x，进而分解因式解方程即可． 【解答】解：x2﹣2x＝0， x（x﹣2）＝0， 则x＝0或x﹣2＝0， 解得：x1＝2，x2＝0． 故选：B． 【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确分解因式是解题关键． 6．（3分）为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为（﹣2，0），（0，0），则“技”所在的象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】先根据题意确定平面直角坐标系，然后确定点的位置． 【解答】解：如图建立直角坐标系，则“技”在第一象限， 故选：A． 【点评】本题考查了坐标与图形，正确建立直角坐标系是解题的关键． 7．（3分）为了解学生的阅读情况，某校在4月23日世界读书日，随机抽取100名学生进行阅读情况调查，每月阅读两本以上经典作品的有20名学生，估计该校800名学生中每月阅读经典作品两本以上的人数为（　　） A．100人 B．120人 C．150人 D．160人 【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出算式800×，再计算即可． 【解答】解：800×＝160（人）， 故选：D． 【点评】本题考查用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，计算出该校800名学生中每月阅读经典作品两本以上的人数． 8．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　） A．AB＝BC B．AD＝BC C．OA＝OB D．AC⊥BD 【分析】利用平行四边形的性质一一判断即可解决问题． 【解答】解：A、平行四边形的邻边不相等，无法得到AB＝BC，故此选项不合题意； B、因为平行四边形的对边相等，故AD＝BC，故此选项符合题意； C、平行四边形的对角线不相等，无法得出AO＝BO，故此选项不合题意； D、平行四边形的对角线不垂直，无法得到AC⊥BD，故此选项不合题意． 故选：B． 【点评】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 9．（3分）小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是（　　） A．小星定点投篮1次，不一定能投中 B．小星定点投篮1次，一定可以投中 C．小星定点投篮10次，一定投中4次 D．小星定点投篮4次，一定投中1次 【分析】根据概率的定义判断即可． 【解答】解：A、小星定点投篮1次，不一定能投中，故符合题意； B、小星定点投篮1次，不一定可以投中，故不符合题意； C、小星定点投篮10次，不一定投中4次，故不符合题意； D、小星定点投篮4次，不一定投中1次，故不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了利用频率估计概率，正确地理解频率和概率的定义是解题的关键． 10．（3分）如图，在扇形纸扇中，若∠AOB＝150°，OA＝24，则的长为（　　） A．30π B．25π C．20π D．10π 【分析】根据弧长的计算公式即可解决问题． 【解答】解：因为∠AOB＝150°，OA＝24， 所以的长为：． 故选：C． 【点评】本题主要考查了弧长的计算，熟知弧长的计算公式是解题的关键． 11．（3分）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（　　） A．x＝y B．x＝2y C．x＝4y D．x＝5y 【分析】设“▲”的质量为z，根据甲、乙两个天平，分别列等式，再根据等式的基本性质将z消去得到x与y的关系式即可． 【解答】解：设“▲”的质量为z． 根据甲天平，得x+y＝y+2z①； 根据乙天平，得x+z＝x+2y②． 根据等式的基本性质1，将①的两边同时减y，得x＝2z③； 根据等式的基本性质1，将②的两边同时减x，得z＝2y④； 根据等式的基本性质2，将④的两边同时乘以2，得2z＝4y， ∴x＝4y． 故选：C． 【点评】本题考查等式的性质，掌握等式的2个基本性质是解题的关键． 12．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是﹣3，顶点坐标为（﹣1，4），则下列说法正确的是（　　） A．二次函数图象的对称轴是直线x＝1 B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小 D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 【分析】由题干条件可以得出二次函数解析式y＝﹣（x+1）2+4，再分别判断四个选项，也可以通过二次函数对称性去判断． 【解答】解：选项A：∵顶点坐标为（﹣1，4），∴对称轴为x＝﹣1，故选项A错误； 选项B：由对称性可知，（﹣3，0）关于x＝﹣1对称的点为（1，0），故选项B错误； 选项C：开口向下，当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，故选项C错误； 选项D：设二次函数解析式为y＝a（x+1）2+4，将（﹣3，0）代入得a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）2+4，令x＝0得y＝3，∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质、抛物线与x轴交点问题以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数基础知识是解题的关键． 二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13．（4分）计算的结果是 　　． 【分析】运用二次根式乘法法则进行计算、求解． 【解答】解：＝＝， 故答案为：． 【点评】此题考查了二次根式乘法的计算能力，关键是能准确理解并运用该法则进行正确地求解． 14．（4分）如图，在△ABC中，以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，交BC于点D，连接AD．若AB＝5，则AD的长为 　5　． 【分析】根据作一条线段等于已知线段的作法可得出AD＝AB，即可求解． 【解答】解：由作图可知：AD＝AB， ∵AB＝5， ∴AD＝5， 故答案为：5． 【点评】本题考查了尺规作图，掌握作一条线段等于已知线段的方法是解题的关键． 15．（4分）在元朝朱世杰所著的《算术启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，则快马追上慢马需要的天数是 　20天　． 【分析】设快马追上慢马需要的天数是x天，利用路程＝速度×时间，结合快马追上慢马时快马和慢马跑的路程相等，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设快马追上慢马需要的天数是x天， 根据题意得：240x＝150（12+x）， 解得：x＝20， ∴快马需要20天追上慢马． 故答案为：20天． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 16．（4分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，AF．若sin∠EAF＝，AE＝5，则AB的长为 　　． 【分析】过点E作EG⊥AF于点G，延长AF、BC交于点H，解直角三角形求出EG＝4，AG＝3，再证明△ADF≌△ABE（SAS），得AF＝AE＝5，进而证明△ADF≌△HCF（ASA），得AF＝HF＝5，AD＝CH，则AB＝BC＝CH，GH＝GF+HF＝7，然后由勾股定理求出EH＝，即可解决问题． 【解答】解：如图，过点E作EG⊥AF于点G，延长AF、BC交于点H， 则∠EGA＝∠EGH＝90°， ∵sin∠EAF＝＝，AE＝5， ∴EG＝4， ∴AG＝＝＝3， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AD＝AB＝BC＝CD，∠D＝∠B， ∵点E，F分别是BC，CD的中点， ∴BE＝CE＝BC，DF＝CF＝CD， ∴BE＝DF， ∴△ADF≌△ABE（SAS）， ∴AF＝AE＝5， ∴GF＝AF﹣AG＝2， ∵AD∥BC， ∴∠D＝∠FCH， 又∵∠AFD＝∠HFC， ∴△ADF≌△HCF（ASA）， ∴AF＝HF＝5，AD＝CH， ∴AB＝BC＝CH，GH＝GF+HF＝2+5＝7， ∴EH＝＝＝， ∴AB＝BC＝EH＝， 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（12分）（1）在①22，②|﹣2|，③（﹣1）0，④中任选3个代数式求和； （2）先化简，再求值：，其中x＝3． 【分析】（1）选取①①②③这3个数进行计算、求和； （2）先化简该分式，再将x＝3代入计算． 【解答】解：（1）选取①①②③这3个数进行求和得， 22+|﹣2|+（﹣1）0 ＝4+2+1 ＝7； （2）∵ ＝（x+1）（x﹣1）× ＝， ∴当x＝3时， 原式＝＝1． 【点评】此题考查了实数或分式的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算． 18．（10分）已知点（1，3）在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）点（﹣3，a），（1，b），（3，c）都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小，并说明理由． 【分析】（1）将点（1，3）代入，求得k的值，即可求出反比例函数表达式； （2）结合图象，判定a，b，c的大小或者将点（﹣3，a），（1，b），（3，c）代入函数中，求出a，b，c的值进行比较． 【解答】解：（1）将点（1，3）代入， 得：k＝3， ∴； （2）方法一：由图象得：b＞c＞a； 方法二：将点（﹣3，a），（1，b），（3，c）代入， 得：a＝﹣1，b＝3，c＝1， ∴b＞c＞a． 【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数表达式，反比例函数图象上点的特征，掌握反比例函数的增减性是解题的关键． 19．（10分）根据《国家体质健康标准》规定，七年级男生、女生50米短跑时间分别不超过7.7秒、8.3秒为优秀等次．某校在七年级学生中挑选男生、女生各5人进行集训，经多次测试得到10名学生的平均成绩（单位：秒）记录如下：男生成绩：7.61，7.38，7.65，7.38，7.38 女生成绩：8.23，8.27，8.16，8.26，8.32 根据以上信息，解答下列问题： （1）男生成绩的众数为 　7.38　，女生成绩的中位数为 　8.26　； （2）判断下列两位同学的说法是否正确． （3）教练从成绩最好的3名男生（设为甲，乙，丙）中，随机抽取2名学生代表学校参加比赛，请用画树状图或列表的方法求甲被抽中的概率． 【分析】（1）根据众数、中位数的定义可得答案． （2）由题意可知，5名男生中成绩最好的是7.38秒，5名女生的成绩不都是优秀等次，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及甲被抽中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意得，男生成绩的众数为7.38． 将5名女生的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第3名的成绩为8.26， ∴女生成绩的中位数为8.26． 故答案为：7.38；8.26． （2）5名男生中成绩最好的是7.38秒， 故小星同学的说法正确． 5名女生的成绩中超过8.3秒的有8.32秒， ∴5名女生的成绩不都是优秀等次， 故小红同学的说法不正确． （3）列表如下： 甲 乙 丙 甲 （甲，乙） （甲，丙） 乙 （乙，甲） （乙，丙） 丙 （丙，甲） （丙，乙） 共有6种等可能的结果，其中甲被抽中的结果有：（甲，乙），（甲，丙），（乙，甲），（丙，甲），共4种， ∴甲被抽中的概率为＝． 【点评】本题考查列表法与树状图法、众数、中位数，熟练掌握列表法与树状图法、众数、中位数的定义是解答本题的关键． 20．（10分）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，∠ABC＝90°，有下列条件： ①AB∥CD，②AD＝BC． （1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形ABCD是矩形； （2）在（1）的条件下，若AB＝3，AC＝5，求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据矩形 到现在得到∠ABC＝90°，根据勾股定理得到BC＝＝4，根据矩形的面积公式得到四边形ABCD的面积＝AB•BC＝3×4＝12． 【解答】（1）选择①，证明：∵AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形； 选择②，证明：∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∵AB＝3，AC＝5， ∴BC＝＝4， ∴四边形ABCD的面积＝AB•BC＝3×4＝12． 【点评】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键． 21．（10分）为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生． 根据以上信息，解答下列问题： （1）种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？ （2）种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩？ 【分析】（1）设种植1亩甲作物需要x名学生，种植1亩乙作物需要y名学生，根据“种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设种植甲作物m亩，则种植乙作物（10﹣m）亩，根据种植10亩甲、乙两种作物所需学生人数不超过55人，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设种植1亩甲作物需要x名学生，种植1亩乙作物需要y名学生， 根据题意得：， 解得：． 答：种植1亩甲作物需要5名学生，种植1亩乙作物需要6名学生； （2）设种植甲作物m亩，则种植乙作物（10﹣m）亩， 根据题意得：5m+6（10﹣m）≤55， 解得：m≥5， ∴m的最小值为5． 答：至少种植甲作物5亩． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 22．（10分）综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A； 第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水．（直线NN′为法线，AO为入射光线，OD为折射光线．） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，N′在同一平面内，测得AC＝20cm，∠A＝45°，折射角∠DON＝32°． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求BC的长； （2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据：sin32°≈0.52，cos32°≈0.84，tan32°≈0.62） 【分析】（1）根据等腰三角形的性质计算求值即可； （2）利用锐角三角函数求出DN的长，然后根据BD＝BN﹣DN计算即可． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠A＝45°， ∴∠B＝45°， ∴BC＝AC＝20cm； （2）由题可知ON＝EC＝AC＝10cm， ∴NB＝ON＝10cm， 又∵∠DON＝32°， ∴DN＝ON•tan∠DON＝10•tan32°≈10×0.62＝6.2cm， ∴BD＝BN﹣DN＝10﹣6.2＝3.8cm． 【点评】本题考查解直角三角形的实际应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 23．（12分）如图，AB为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在AB的延长线上，PC与半圆相切于点C，与OF的延长线相交于点D，AC与OF相交于点E，DC＝DE． （1）写出图中一个与∠DEC相等的角：　∠DCE　； （2）求证：OD⊥AB； （3）若OA＝2OE，DF＝2，求PB的长． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到结论； （2）连接OC，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，求得∠AOE＝90°，根据垂直的定义得到OD⊥AB； （3）设OE＝x，AO＝2x，根据勾股定理得到OD＝10，OC＝OB＝8，CD＝6，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】（1）解：∠DCE＝∠DEC， 理由：∵DC＝DE， ∴∠DCE＝∠DEC， 故答案为：∠DCE； （2）证明：连接OC， ∵PC与半圆相切于点C， ∴∠OCD＝90°， ∴∠DCE+∠ACO＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠ACO， ∵∠DCE＝∠DEC＝∠AEO， ∴∠A+∠AEO＝90°， ∴∠AOE＝90°， ∴OD⊥AB； （3）解：∵OA＝2OE， ∴设OE＝x，AO＝2x， ∴EF＝OF﹣OE＝x， ∴DE＝DC＝x+2，OD＝2x+2， ∵OC2+CD2＝OD2， ∴（2x）2+（x+2）2＝（2x+2）2， ∴x＝4或x＝0（不合题意舍去）， ∴OD＝10，OC＝OB＝8，CD＝6， ∵∠DOP＝∠OCD＝∠DOP＝90°， ∴∠D+∠DOC＝∠DOC+∠COP＝90°， ∴∠D＝∠COP， ∴△CDO∽△COP， ∴， ∴， ∴OP＝， ∴BP＝OP﹣OB＝． 【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 24．（12分）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）求y与x的函数表达式； （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 【分析】（1）设y与x的函数表达式为：y＝kx+b（k≠0），把表格中的两组数值代入可得k和b的值，即可求出y与x的函数关系式； （2）设日销售利润为w元，w＝每盒糖果的利润×销售量，把所得函数解析式整理为顶点式，可得糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少； （3）得到新的日销售利润的关系式，根据二次函数的性质，最大利润为392元，那么＝392．求得相应的m的值后，取合适的解即可． 【解答】解：（1）设y＝kx+b（k≠0）． ∴． 解得：． ∴y＝﹣2x+80； （2）设日销售利润为w元． w＝（x﹣10）（﹣2x+80） ＝﹣2x2+100x﹣800 ＝﹣2（x2﹣50x+625）﹣800+1250 ＝﹣2（x﹣25）2+450． 答：糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元； （3）w＝（x﹣10﹣m）（﹣2x+80） ＝﹣2x2+（100+2m）x﹣800﹣80m． ∵最大利润为392元， ∴＝392． 整理得：m2﹣60m+116＝0． （m﹣2）（m﹣58）＝0． 解得：m1＝2，m2＝58． 当m＝58时，x＝﹣＝54， ∴每盒糖果的利润＝54﹣10﹣58＝﹣14（元）． ∴舍去． 答：m＝2． 【点评】本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：二次函数的二次项系数小于0，求二次函数的最大值，可整理成y＝a（x﹣h）2+k，二次函数的最大值为k；也可整理成一般式：y＝ax2+bx+c，最大值为：． 25．（12分）综合与探究：如图，∠AOB＝90°，点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA于点A． （1）【操作判断】 如图①，过点P作PC⊥OB于点C，根据题意在图①中画出PC，图中∠APC的度数为 　90　度； （2）【问题探究】 如图②，点M在线段AO上，连接PM，过点P作PN⊥PM交射线OB于点N，求证：OM+ON＝2PA； （3）【拓展延伸】 点M在射线AO上，连接PM，过点P作PN⊥PM交射线OB于点N，射线NM与射线PO相交于点F，若ON＝3OM，求的值． 【分析】（1）依题意画出图形，证四边形OAPC是矩形即可求解； （2）过P作PC⊥OB于点C，证矩形OAPC是正方形，得出OA＝AP＝PC＝OC，再证△APM≌△CPN（ASA），得出AM＝CN，然后利用线段的和差关系以及等量代换即可证明； （3）分M在线段AO上和AO的延长线上讨论，利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【解答】（1）解：如图，PC即为所求． ∵∠AOB＝90°，PA⊥OA，PC⊥OB， ∴四边形OAPC是矩形， ∴∠APC＝90°， 故答案为：90． （2）证明：如图，过P作PC⊥OB于点C． 由（!）知四边形OAPC是矩形， ∵点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA，PC⊥OB， ∴PA＝PC， ∴矩形OAPC是正方形， ∴OA＝AP＝PC＝OC，∠APC＝90°， ∵PN⊥PM， ∴∠APM＝∠CPN＝90°﹣∠MPC， 又∠MAP＝∠CNP＝90°，AP＝CP， ∴△APM≌△CPN（ASA）， ∴AM＝CN， ∴OM+ON＝OM+AC+CN＝OM+AM+OC＝OA+OC＝2AP， ∴OM+ON＝2PA． （3）①当M在线段AO上时，如图，延长NM、PA交于点G． 由（2）知OM+ON＝2AP， 设OM＝x，则ON＝3x，OA＝AP＝2x． ∴AM＝AO﹣OM＝x＝OM， ∵∠MON＝∠MAG＝90°，∠OMN＝∠AMG， ∴△MON≌△MAG（ASA）， ∴AG＝ON＝3x， ∵AP∥OB， ∴△ONF∽△PGF， ∴＝， ∴， ∴； ②当M在AO的延长线上时，如图，过P作PC⊥OB于C，并延长交MN于G． 由（2）知，四边形OAPC是正方形， ∴OA＝AP＝PC＝OC，∠APC＝90°，PC∥AO， ∵PN⊥PM， ∠APM＝∠CPN＝90°﹣∠MPC， 又∵∠A＝∠PCN＝90°，AP＝CP， ∴△APM≌△CPN， ∴AM＝CN， ∴ON﹣OM＝OC+CN﹣OM＝AO+AM﹣OM＝2AO， ∵ON＝3OM＝x， ∴AO＝x，CN＝AM＝2x， ∵PC∥AO， ∴△CGN∽△OMN， ∴，即， ∴CG＝， ∵PC∥AO， ∴△OMF∽△PGF， ∴＝＝， ∴＝， ∴＝； 综上，的值为或． 【点评】本题考查了四边形综合，同时考查了矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线，构造全等三角形、相似三角形，合理分类讨论是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/25 21:42:27；用户：Troy；邮箱：305657440@qq.com；学号：290269 学科网（北京）股份有限公司 $$