精品解析：江苏省常州市联盟学校2023-2024学年高一下学期期末调研数学试题

常州市联盟学校2023—2024学年度第二学期期末调研 高一年级数学试卷 2024.6 考试时间120分钟 满分150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的实部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，由此可得出复数的实部. 【详解】复数，故复数的实部为. 故选：A. 2. 某学校高一年级选择“物化生”、“物化地”、“物化政”和“史政地”组合的同学人数分别为240、120、90和150．现采用分层抽样的方法选出20位同学进行一项调查研究，则“史政地”组合中选出的同学人数为（ ） A. 8 B. 4 C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据分层抽样计算规则计算可得. 【详解】依题意“史政地”组合中选出的同学人数为人. 故选：D 3. 已知直线是不同的直线，平面，，是不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案． 【详解】对于A，若，，则或与相交或与异面，故A错误； 对于B，若，，则或，故B错误； 对于C，若，，由直线与平面垂直的性质可得，故C正确； 对于D，若，，则或与相交，故D错误． 故选：C． 4. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意及正弦定理可得的值，再由角的范围，可得角的大小 【详解】因为 由正弦定理可得 在中，， 可得，而 可得 故选：A． 5. 在2021年东京奥运会女子10米气步枪项目中，杨倩凭借出色的表现获得冠军．她前10枪的成绩（单位：环）分别为：10.2，10.9，10.5，10.0，10.3，10.5，10.8，10.5，10.1，10.9．基于这些数据，我们可以计算出前10枪成绩的第75百分位数为（ ） A. 10.2 B. 10.5 C. 10.65 D. 10.8 【答案】D 【解析】 【分析】将数据从小到大排序，再结合百分位数的定义与计算方法，即可求解. 【详解】根据题意，数据从小到大排序为：， 可得，所以前10枪成绩的第75百分位数为第8个数据，即为. 故选：D. 6. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到，结合，利用两角和正弦公式，即可求解. 【详解】因为，可得， 又因为，可得，所以， 由 . 故选：B. 7. 已知向量和满足，，向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】先由向量在向量上的投影向量求出，然后求解即可. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为， 所以， 所以，所以， 所以，得， 所以， 故选：B 8. 如图，在长方体中，，，，点P是长方体表面上的动点，若，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先找到与BD1垂直的平面，从而得到点P的轨迹即为该面与长方体的交线，即可由三角形面积公式求解. 【详解】连接相交于，取的中点，连接， 由于平面，平面，故， 又，故，平面， 故平面，平面，故， 由，，故， 在中，， 在中，， 故，进而得， 故，由于，故， 又平面，故平面 故点的轨迹为线段，其轨迹所围成的图形为三角形； 其中， 故三角形面积为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一条青果巷，半部常州史！这个“江南名士第一巷”，不仅历史文化底蕴深厚，而且红色文化资源密集．基于此，某中学积极响应，举行了一次“红色青果”知识竞赛．学校在竞赛后，随机抽查了100人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的有（ ） A. 样本的众数为75 B. 样本的平均数为68.5 C. 样本的中位数为75 D. 估计该校学生中得分超过80分的约占20% 【答案】AB 【解析】 【分析】由图求得的值，再根据频率分布直方图中平均数，众数以及中位数的计算公式即可逐项判断． 【详解】依题意，，解得， 选项A，∵最高小矩形的中点横坐标为75，∴众数是75，故A正确； 选项B，平均数为，故B正确； 选项C，∵，∴样本的中位数为70，故C错误； 选项D，估计该校学生中得分超过80分的约占，故D错误． 故选：AB． 10. 已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列结论正确的有（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若，则 C. 若，则A与B相互独立 D. 若A与B相互独立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据互斥事件和独立事件的定义判断. 【详解】已知事件A，B发生的概率分别为，， 对于A，若A与B互斥，则，A选项正确； 对于B，若，则，B选项错误； 对于C，若， 则，有A与B相互独立，C选项正确； 对于D，若A与B相互独立，有， 则，D选项正确. 故选：ACD. 11. 已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2、4，侧棱长为2，则关于此正四棱台的结论正确的有（ ） A. 侧面积 B. 体积为 C. 侧面与底面所成角的正切值为 D. 外接球的表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知求出棱台的斜高与高，求出侧面积与体积判断A与B；求出侧面与底面所成角的正切值判断C；分析外接球的球心位置，设其半径为R，结合四棱台的几何结构可得关于R的方程，求出R的值，计算外接球的体积判断D即可． 【详解】如图所示， 正四棱台的上、下底面的边长分别为2、4，侧棱长为2，则斜高为， 侧面积为，故A错误； 正四棱台，上底面的中心为，下底面的中心为． 连接，其上、下底面的边长分别为2，4，得． 过点作，使并交与点，侧棱长为2， 则，则有， 则正四棱台的体积，故B正确； 侧面与底面所成角的正切值为，故C正确； 由于，则该棱台的外接球的球心在的延长线上. 设其外接球的球心为G，半径为R，则有， 则有，解得. 故其外接球的表面积为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，且，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】因为，， 所以， 又，所以，解得 故答案为： 13. 已知圆锥的体积为（单位：），且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是______（单位：）． 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，高为，母线为，根据圆锥的体积公式，弧长公式得到方程组，解得即可. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线为， 依题意，解得. 故答案为： 14. 一只不透明的袋子中装有形状、大小都相同的5个小球，其中2个黄球、2个白球、1个红球．先后从中无放回地取两次小球，每次随机取出2个小球，记下颜色计算得分，得分规则如下：“2个小球颜色相同”加1分，“2个小球颜色一黄一白”得0分，“2个小球中有红球”减1分，则“两次得分和为0分”的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】分第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”，或第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”，或两次均为“2个小球颜色一黄一白”，三种情况计算即可，分别计算可得结论. 【详解】“两次得分和为0分”可能的情况有第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”， 或第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”，或两次均为“2个小球颜色一黄一白”， 第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”， 记黄球为，2个白球为、1个红球为， 利用枚举法可知从中一次取2个小球为， 共有10种取法，而颜色相同的取法有两种， 故第一次取2个小球颜色相同的概率为，第二次取2个小球中有红球的概率为， 所以第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”的概率为． 第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”， 第一次取2个小球中有红球的概率为，第二次2个小球颜色相同的概率为， 所以第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”的概率为． 两次均为“2个小球颜色一黄一白”， 第一次取2个小球，“2个小球颜色一黄一白”的概率为， 第二次取2个小球，“2个小球颜色一黄一白”的概率为， 所以两次均为“2个小球颜色一黄一白”的概率为． 所以两次先后取2个小球，得分为零分的概率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，求下列各式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）8 （2）7 【解析】 【分析】（1）直接利用三角函数的定义求出三角函数的值，由二倍角公式以及弦切互化即可求解 （2）利用正切的和差角公式，即可代入求解． 【小问1详解】 已知,,故 所以， 故 【小问2详解】 由得：． 16. 记内角，，的对边分别为，，，已知，． （1）求的值； （2）若，且，求面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出，再判断为锐角，即可求出、，从而求出，即可得解； （2）依题意可得，将两边平方，结合及数量积的运算律求出、，再由面积公式计算可得. 【小问1详解】 因为，由余弦定理可得， 又，所以， 又因为，由正弦定理可得，则，所以为锐角， 又，所以， 所以 ， 所以． 【小问2详解】 由（1）可得，，且， 因， 所以 ， 所以，， 所以． 17. 如图，在正三棱柱中，点D是BC的中点，． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线到平面的距离． 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点O，连接，易得，再由线面平行的判定定理，即可得证； （2）先证明，，从而知平面，再由面面垂直的判定定理，即可得证； （3）先将问题转化为求点B到的距离，再利用等体积法求解即可． 【小问1详解】 连接，交点O，连接，则O是的中点， 因为D是的中点，所以， 又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 因为为等边三角形，且D是的中点， 所以，由正三棱柱的性质知，平面， 因为平面，所以， 又平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面. 【小问3详解】 由（1）知平面， 以直线到平面的距离等价于点B到平面的距离， 由（2）知平面，所以点A到平面的距离为， 而2， 4， 设点B到平面ADC1的距离为d， 因为， 所以，即，解得d， 所以直线A1B到平面ADC1的距离为． 18. 为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投1个球．先由其中一人投篮，若投篮不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况，则比赛结束，且此人获胜．经过抽签决定，甲先开始投篮．已知甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且两人每次投篮的结果均互不干扰． （1）求甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率； （2）求比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对总次数分情况讨论，结合相互独立事件的概率公式及条件概率公式计算可得； （2）分甲赢得比赛与乙赢得比赛两类讨论，根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得. 【小问1详解】 若甲、乙投篮总次数为次，则乙不可能获胜； 若甲、乙投篮总次数为次且乙获胜，则第一次甲未投中，乙投中第2、3次， 所以； 若甲、乙投篮总次数为次乙获胜，则第一次甲投中、第二次甲未投中，乙投中第3、4次， 所以； 若甲、乙投篮总次数为次且甲获胜，则第一次、第二次甲均投中， 所以； 若甲、乙投篮总次数为次，则甲不能获胜， 若甲、乙投篮总次数为次且甲获胜，则第一次甲未投中，第二次乙未投中，第三次、第四次甲均投中， 所以； 记甲、乙投篮总次数不超过4次为事件A，乙获胜为事件， 则，， 所以甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜概率为； 【小问2详解】 若比赛结束时甲赢得比赛且甲恰好投了2次篮，则甲连续投中次，则概率； 若比赛结束时乙赢得比赛，又甲恰好投了2次篮， ①甲投中第一次，第二次甲未投中，乙投中第3、4次，则； ②甲第一次未投中，第二次乙未投中，第3次甲未投中，第4、5次乙投中， 则； ④甲第一次未投中，第二次乙投中，第3次乙未投中，第4甲未投中，第5、6次乙投中， 则； 综上可得比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率. 【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键是分析得甲恰好投了2次篮的所有情况，从而结合独立事件的概率公式即可得解. 19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面． （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）如图，已知在三棱锥中，平面ABC，，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为． ①求直线PC与直线AB所成角的余弦值； ②若点Q在棱PB上运动，求直线CQ与平面ABC所成的角的最大值． 【答案】（1）2 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据离散曲率的定义计算即可 （2）①首先证明，再由点处的离散曲率可求出，从而其它相应的线段都可计算， 把与平移至中位线处，得出为异面直线与的夹角或其补角，在用余弦定理求解即可. ②首先是把线面角做出，设，再把角的三角函数值表示成的函数，最后转化为函数最值问题. 【小问1详解】 由离散曲率的定义得：， ， ， ， 四个式子相加得：. 【小问2详解】 ①如图，分别取的中点，连接，显然有， 所以为异面直线与的夹角或其补角，设，因为，所以，， 因为平面，平面，所以，，，， 因为，，所以平面，又因为平面，所以， 由点处的离散曲率为可得， 所以，，，而，， 所以，故异面直线与的夹角的余弦值为. ②如图，过点做交与，连接，因为平面，所以平面， 则为直线与平面所成的角，设， 在中， 因为，所以，所以， 故， 当分母最小时，最大，即最大，此时，即（与重合），，所以的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过题目所给的新定义求出，从而计算出各边的长度，求与平面所成的角的最大值，首先是把线面角做出，设，再把角的三角函数值表示成的函数，转化为函数最值问题，求最值是把式子经过适当的变形最终转化为二次函数最值问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 常州市联盟学校2023—2024学年度第二学期期末调研 高一年级数学试卷 2024.6 考试时间120分钟 满分150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的实部为（ ） A. B. C. D. 2. 某学校高一年级选择“物化生”、“物化地”、“物化政”和“史政地”组合的同学人数分别为240、120、90和150．现采用分层抽样的方法选出20位同学进行一项调查研究，则“史政地”组合中选出的同学人数为（ ） A. 8 B. 4 C. 3 D. 5 3. 已知直线是不同的直线，平面，，是不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，则（ ） A B. C. D. 5. 在2021年东京奥运会女子10米气步枪项目中，杨倩凭借出色的表现获得冠军．她前10枪的成绩（单位：环）分别为：10.2，10.9，10.5，10.0，10.3，10.5，10.8，10.5，10.1，10.9．基于这些数据，我们可以计算出前10枪成绩的第75百分位数为（ ） A. 10.2 B. 10.5 C. 10.65 D. 10.8 6. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量和满足，，向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 12 8. 如图，在长方体中，，，，点P是长方体表面上的动点，若，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于（） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一条青果巷，半部常州史！这个“江南名士第一巷”，不仅历史文化底蕴深厚，而且红色文化资源密集．基于此，某中学积极响应，举行了一次“红色青果”知识竞赛．学校在竞赛后，随机抽查了100人成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的有（ ） A. 样本的众数为75 B. 样本的平均数为68.5 C. 样本中位数为75 D. 估计该校学生中得分超过80分的约占20% 10. 已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列结论正确的有（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若，则 C. 若，则A与B相互独立 D. 若A与B相互独立，则 11. 已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2、4，侧棱长为2，则关于此正四棱台的结论正确的有（ ） A. 侧面积为 B. 体积为 C. 侧面与底面所成角正切值为 D. 外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，且，则实数______． 13. 已知圆锥的体积为（单位：），且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是______（单位：）． 14. 一只不透明的袋子中装有形状、大小都相同的5个小球，其中2个黄球、2个白球、1个红球．先后从中无放回地取两次小球，每次随机取出2个小球，记下颜色计算得分，得分规则如下：“2个小球颜色相同”加1分，“2个小球颜色一黄一白”得0分，“2个小球中有红球”减1分，则“两次得分和为0分”的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，求下列各式的值． （1）； （2）． 16. 记内角，，的对边分别为，，，已知，． （1）求的值； （2）若，且，求面积． 17. 如图，在正三棱柱中，点D是BC的中点，． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线到平面的距离． 18. 为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投1个球．先由其中一人投篮，若投篮不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况，则比赛结束，且此人获胜．经过抽签决定，甲先开始投篮．已知甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且两人每次投篮的结果均互不干扰． （1）求甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率； （2）求比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率． 19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面． （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）如图，已知在三棱锥中，平面ABC，，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为． ①求直线PC与直线AB所成角的余弦值； ②若点Q在棱PB上运动，求直线CQ与平面ABC所成的角的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $