精品解析：山东省青岛市青岛大学附属中学2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023−2024学年度第二学期期末阶段性检测 七年级数学试题 （满分：120分考试 时间：120分钟） 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分，每题只有一个正确答案 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形，据此即可作答． 【详解】解：A、 不是轴对称图形，故该选项是错误的； B、 不是轴对称图形，故该选项是错误的； C、 是轴对称图形，故该选项是正确的； D、 不是轴对称图形，故该选项是错误的； 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，积的乘方，完全平方公式，合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 3. 如图，∠BCD＝95°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（ ） A. ∠α+∠β＝95° B. ∠β﹣∠α＝95° C. ∠α+∠β＝85° D. ∠β﹣∠α＝85° 【答案】D 【解析】 【分析】过点C作CF∥AB，然后利用两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补进行推理证明即可. 【详解】解：过点C作CF∥AB ∵AB∥DE，CF∥AB ∴AB∥DE∥CF ∴∠BCF=∠α ∠DCF+∠β=180° ∴∠BCD＝∠BCF +∠DCF ∴∠α+180°-∠β=95° ∴∠β﹣∠α＝85° 故选：D 【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质进行推理证明是本题的解题关键. 4. 将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水，即可求出小水杯内水面的高度与注水时间的函数图象． 【详解】将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断A、D一定错误， 用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间h不变，当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，h随t的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度h不再变化． 故选：B． 【点睛】本题考查了函数图象．解题的关键在于理解题意，抽象出函数图象． 5. 如图，在边长为1的小正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，若向正方形网格中投针，落在△ABC内部的概率是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用正方形的面积减去四个易求得三角形的面积，即可确定△ABC面积，用△ABC面积除以正方形的面积即可. 【详解】解：正方形的面积＝4×4＝16， 三角形ABC的面积＝ ＝5， 所以落在△ABC内部的概率是， 故选D． 【点睛】本题考查运用概率公式求概率，其关键在于掌握通过面积比，求概率. 6. 如图， 在△ABC和△DEC中， 已知CB=CE, 还需添加两个条件才能使△ABC≌△ DEC，不能添加的一组条件是（ ） A. AC=DC，AB=DE B. AC=DC， ∠A=∠D C. AB=DE，∠B=∠E D. ∠ACD=∠BCE，∠B=∠E 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，依据三角全等判定的定理（SSS、SAS、ASA、AAS），即可； 【详解】由题知：； A选项，、、，满足定理：SSS，使，故A正确； B选项，、、，不满足定理，使，故B不正确； C选项，、、，满足定理：SAS，使，故C正确； D选项，∵，∴、、，满足定理：ASA，使，故D正确； 故选：B 【点睛】本题考查三角形的全等判定，关键在熟练掌握各判定定理的条件和方法； 7. 如图所示的运算程序中，若开始输入的的值为15，则第一次输出的结果为18，第2次输出的结果为9，…，则第2024次输出的结果为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，首先分别求出第3次、第4次、第5次、第6次、第7次输出的结果，从而得出从第四次开始，每两次输出为一个循环，再由，即可得到答案，弄清题中的规律是解此题的关键． 【详解】解：第一次输出结果：把代入得：， 第二次输出结果：把代入得：， 第三次输出结果：把代入得：， 第四次输出结果：把代入得：， 第五次输出结果：把代入得：， 第六次输出结果：把代入得：， 第七次输出结果：把代入得：， ……， 从第四次开始，每两次输出为一个循环， ， 第2024次输出的结果为6， 故选：C． 8. 如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数为（　　） A. 44° B. 66° C. 88° D. 92° 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 9. 如图，在中，，，面积是30，的垂直平分线分别交边于E、F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（ ） A. 13 B. 12 C. 10 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，三线合一，连接，得到，，根据三角形的面积求出的长，根据周长，以及，求出最小值即可． 【详解】解：连接， ∵，，点D为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴周长， ∴周长的最小值为13； 故选A． 二、填空题：本题共7小题，共21分． 10. 原子很小，个氧原子的直径大约为，将用科学记数法表示为_______． 【答案】1.48×10−10 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】＝1.48×10−10． 故答案为：1.48×10−10． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 11. 如图所示． 因为，所以________________， 根据是_________________； 【答案】 ①. ②. ③. 内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，根据内错角相等，两直线平行，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴（内错角相等，两直线平行）； 故答案为：，，内错角相等，两直线平行． 12. 如图，将正方形纸板制成一个七巧板，拼成如图所示的“小鸟”图案，头部（阴影部分）的面积为，则“小鸟”图案中身体（空白部分）的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】设正方形的边长为，根据七巧板的特征表示出小鸟头部（阴影部分）的面积，根据题意头部（阴影部分）的面积为，解得大正方形的面积，即可求出最后结果． 【详解】解：设正方形的边长为， 根据七巧板的特征，图中大的等腰三角形斜边为， 利用勾股定理，直角边， 大的等腰直角三角形的面积为， 空白部分小等腰直角三角形直角边为， 空白部分小等腰直角三角形面积为， 阴影部分面积， ， ， 即正方形的面积为， “小鸟”图案中身体（空白部分）的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了组合图形的面积，涉及到勾股定理的应用，七巧板图形的特征，找到题中的等量关系列出式子求解，是解答本题的关键． 13. 在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，其中有5个黄球，4个蓝球．若随机摸出一个蓝球的概率为 ，则随机摸出一个红球的概率为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】设红球有个，根据“随机摸出一个蓝球的概率为 ”，可以求出红球的个数，最后根据概率公式即可得出随机摸出一个红球的概率． 【详解】解：设红球有个， 随机摸出一个蓝球的概率为 ， ， 解得：， 经检验，是所列方程的解， ∴红球有3个， ∴随机摸出一个红球的概率为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 14. 一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s(m)与时间t(s)的数据如下表： 时间t(s) 1 2 3 4 … 距离s(m) 2 8 18 32 … 写出用t表示s的关系式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用表格表示变量之间的关系以及二次函数的图形运动，通过观察发现：距离都为偶数，应都与2有关，所以表中数据的规律可以确定为t秒时，距离为．即可得出答案． 【详解】解：根据题意表格中得数值，即 ∵1秒时，距离为2； 2秒时，距离为； 3秒时，距离为； 4秒时，距离为； 以此类推得：t秒时，距离为． 故答案为：． 15. 如图，在中，的垂直平分线分别与交于点D、E，的垂直平分线分别与交于点F、G，，，则的周长是________． 【答案】34 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，再根据三角形周长公式推出的周长，据此可得答案． 【详解】解：∵分别是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∵，， ∴的周长为34， 故答案为：34． 16. 已知：如图，中，点D是边上一点，，，平分，且于E，与相交于点F，若于H，交E于点G．有以下结论：①；②；③若连接，则；④点G是的中点；⑤与成轴对称．以上五个结论中正确的是：________．（填序号） 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】证明，判断①，角平分线结合全等三角形的性质，判断②，连接，三线合一，全等三角形的性质，结合等边对等角，得到，判断③，中垂线的性质，结合斜边大于直角边，判断④，证明，得到垂直平分，判断⑤． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴，故①正确； ∵平分， ∴， ∴；故②错误； 连接， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴垂直平分，， ∴，，故③正确； 在中，， ∴，故④错误； ∵，平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴与成轴对称，故⑤正确； 故答案为：①③⑤ 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，成轴对称等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等，是解题的关键． 三、作图题（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 17. 如图，车站O位于两条公路的交汇处，在公路上还有一个车站C，现要在两条公路之间修一个中转站P，使它到两条公路的距离相等，且到两个车站的距离也相等．请你在图中作出点P的位置． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线和角平分线的实际应用，点P到两条公路的距离相等，则点P在的角平分线，点P到两个车站的距离相等，则点P在线段的垂直平分线上，据此作图即可． 【详解】解：如图所示，分别作线段的垂直平分线和的角平分线，二者的交点P即为所求． 四、解答题（共8个小题，共68分） 18. 计算题： （1） （2） （3）用简便方法计算：； （4）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1） （2） （3） （4）； 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，化简求值： （1）先计算单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，再合并同类项即可； （2）先用平方差公式进行计算，再用完全平方公式计算即可； （3）利用完全平方公式进行简算即可； （4）先计算多项式除以单项式，再代值计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 ； 【小问3详解】 原式 ； 【小问4详解】 原式 ． 当，时 原式． 19. 某种油菜籽在相同条件下的发芽实验结果如下表： 每批粒数n 100 150 200 500 800 1 000 发芽的粒数m 65 111 136 345 560 700 发芽的频率 0.65 0.74 0.68 0.69 a b （1）a＝ ，b＝ ； （2）这种油菜籽发芽的概率估计值是多少？请简要说明理由； （3）如果该种油菜籽发芽后的成秧率为90%，则在相同条件下用10 000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗多少棵？ 【答案】（1）0.70，0.70；（2）0.70，（3）6 300棵 【解析】 【分析】（1）用发芽粒数除以每批粒数即可算出a，b的值； （2）根据在相同条件下，多次实验，某一事件的发生频率近似等于概率即可得出答案； （3）用种子数乘以发芽率再乘以成秧率即可． 【详解】（1）a==0.70， b==0.70； （2）∵发芽的频率接近0.70, ∴概率估计值为0.70， 理由：在相同条件下，多次实验，某一事件的发生频率近似等于概率； （3）10000×0.70×90%＝6300（棵）， 答：在相同条件下用10000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗6300棵． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，掌握知识点是解题关键． 20. 我国古代数学的许多发现都位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中之一．如图2，杨辉三角给出了（n为正整数）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序排列）．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数等． （1）按上述规律，展开式中共有 项，第三项是 ； （2）请直接写出展开式 ． （3）利用上面的规律计算：． 【答案】（1）5， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据展开式的系数规律可得答案； （2）先根据规律写出，再把a＝1，b＝y代入即可； （3）根据前面的规律可得原式等于，再计算即可． 【小问1详解】 解：由杨辉三角的系数规律可得， ， ∴展开式共有5项，第三项是， 故答案为：5，． 小问2详解】 解：∵， 当a＝1，b＝y时，原式＝． 故答案为：． 【小问3详解】 解：由“杨辉三角”可知， 原式＝ ． 【点睛】此题考查了多项式乘法中的规律探究，数学常识，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则，弄清“杨辉三角”的系数规律是解本题的关键． 21. 如图，在中，于点D， 于点E，、 相交于点H，．试说明： （1）． （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用同角的余角相等，得到，再利用垂直和，即可证明； （2）根据等腰三角形三线合一，得到，再根据全等的性质，，即可得解． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴ （ASA）； 【小问2详解】 ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形的性质．通过已知条件证明三角形全等是解题的关键． 22. 若和均为大于小于的角，且，则称和互为“伙伴角”．根据这个约定，解答下列问题： （1）若和互为“伙伴角”，当时，求的度数； （2）如图，将一长方形纸片沿着对折（点P在线段上，点E在线段上）使点B落在点，若与互为“伙伴角”，求的度数． 【答案】（1）70度 （2）80度或40度 【解析】 【分析】此题主要考查了折叠的性质，角的计算，绝对值的意义，准确识图，理解绝对值的意义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． （1）根据互为“伙伴角”定义得，则或，将代入得的度数； （2）由折叠的性质得，根据与互为“伙伴角”得，则或，再根据得或，由此可得的度数． 【小问1详解】 解：（1）∵和互为“伙伴角”， ∴， ∴或， ∴或， ∵， ∴或， ∵和均为大于小于的角， ∴； 【小问2详解】 解：由折叠的性质得：， ∵与互为“伙伴角”， ∴， ∴或， ∴或， ∵，， ∴， ∴或， 由，解得：， 由，解得：， 综上所述：的度数为或． 23. 超市现有两类精美笔记本出售，由于A类笔记本销售情况不好，现开展如下活动，如果一次性购买A类笔记本超过10本，则超过10本的部分每本将优惠1.5元，B类笔记本保持原售价．已知一次性购买A类笔记本或一次性购买B类笔记本的费用y（单位：元）与购买数量x（单位：本）之间的图象关系如图所示，请结合图象，回答下列问题： （1）当时，A类笔记本售价________元/本，B类笔记本售价_________元/本：当时，________本时，一次性购买A类笔记本与一次性购买B类笔记本的销售额相同． （2）超市现对B类笔记本也采用类似的活动方案．如果一次性购买B类笔记本超过30本，则超过30本的部分每本将享受七五折优惠．已知初2025级某班现一次性从该超市购买了A类笔记本与B类笔记本共80本用于班级奖励，其中购买的A类笔记本的数量超过了10本，共花费元．聪明的你知道该班购买了多少本B类笔记本吗? 【答案】（1）5，4，30 （2）该班购买了35本或25本B类笔记本． 【解析】 【分析】（1）根据函数图象可得A类笔记本与B类笔记本的售价，根据一次性购买A类笔记本与一次性购买B类笔记本的销售额相同列出方程，解方程即可求解； （2）设初2025级某班购买了m本B类笔记本，则购买了本A类笔记本，分和两种情况，根据共花费元列方程即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，当时，A类笔记本售价为元/本，B类笔记本售价为元/本， 当时，由题意可得，， 解得，即购买30本时，一次性购买A类笔记本与一次性购买B类笔记本的销售额相同． 故答案为：5，4，30 【小问2详解】 设初2025级某班购买了m本B类笔记本，则购买了本A类笔记本， 当时，由题意可得，， 解得， 当时，由题意得， ， 解得， 答：该班购买了35本或25本B类笔记本． 【点睛】此题考查了从函数图象获取信息，一元一次方程应用，解题的关键是读懂题意，正确列出一元一次方程． 24. 问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．因为高相同，所以，于是． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． （1）【深入探究】 如图2，点D在的边上，点P在上． ①若是的中线，______． ②若，则______． （2）【拓展延伸】 如图3，分别延长四边形的各边，使得A，B，C，D分别为的中点，依次连接E，F，G，H得四边形． ①：直接写出，与之间的等量关系；_______ ②：若，则_______． 【答案】（1）① ② （2）① ②30 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线，掌握三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形是题的关键． （1）①根据中线的性质可得，点为的中点，推得是的中线，，得到，即可得出结果； ②设边上的高为，根据三角形的面积公式可得，，即可推得，同理推得，即可求得，即可证明； （2）①连接，，，根据中线的判定和性质可得，，，，推得，，即可求得，即可证明， ②由①可得，同理可证得，根据，即可推得，即可求解． 【小问1详解】 解：①证明：∵是的中线， ∴，点为的中点， ∴是的中线， ∴， ∴， 即， ∴ ②， 解：设边上的高为， 则，， ∵， ∴， 同理， 则， 即， ∴． 【小问2详解】 ①证明：连接，，，如图： ∵点、、、分别为、、、的中点， ∴，，，分别为，，，的中线， ∴，，，， ∴， ∵， 即； ②由①可得，同理可证得， ， 即， ∵， ∴． 25. 已知，在中，，D，A，E三点都在直线m上，， （1）如图①，若，则与的数量关系为 ，，与的数量关系为 ； （2）如图②，当不垂直于时，（1）中的结论是否成立？请说明理由： （3）如图③，若只保持点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为．是否存在x，使得与全等？若存在，直接写出x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）成立，理由见解析 （3）存在，或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、平角的定义以及分类讨论等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）由平角的定义和三角形内角和定理得，再由证明，得，即可解决问题； （2）同（1）得，得，即可得出结论； （3）分或两种情形，分别根据全等三角形的性质求出t的值，即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∴． ∵ ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：成立，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 存在，理由如下： 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴． 当时， ∴， ∴． 综上所述，存在x，使得与全等，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023−2024学年度第二学期期末阶段性检测 七年级数学试题 （满分：120分考试 时间：120分钟） 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分，每题只有一个正确答案 1. 下列图形中，是轴对称图形是（　　） A B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，∠BCD＝95°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（ ） A. ∠α+∠β＝95° B. ∠β﹣∠α＝95° C. ∠α+∠β＝85° D. ∠β﹣∠α＝85° 4. 将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在边长为1小正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，若向正方形网格中投针，落在△ABC内部的概率是(　　) A. B. C. D. 6. 如图， 在△ABC和△DEC中， 已知CB=CE, 还需添加两个条件才能使△ABC≌△ DEC，不能添加的一组条件是（ ） A. AC=DC，AB=DE B. AC=DC， ∠A=∠D C. AB=DE，∠B=∠E D. ∠ACD=∠BCE，∠B=∠E 7. 如图所示的运算程序中，若开始输入的的值为15，则第一次输出的结果为18，第2次输出的结果为9，…，则第2024次输出的结果为（ ） A 3 B. 4 C. 6 D. 9 8. 如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数为（　　） A. 44° B. 66° C. 88° D. 92° 9. 如图，在中，，，面积是30，的垂直平分线分别交边于E、F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（ ） A. 13 B. 12 C. 10 D. 6 二、填空题：本题共7小题，共21分． 10. 原子很小，个氧原子的直径大约为，将用科学记数法表示为_______． 11. 如图所示． 因为，所以________________， 根据是_________________； 12. 如图，将正方形纸板制成一个七巧板，拼成如图所示的“小鸟”图案，头部（阴影部分）的面积为，则“小鸟”图案中身体（空白部分）的面积为________． 13. 在一个不透明口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，其中有5个黄球，4个蓝球．若随机摸出一个蓝球的概率为 ，则随机摸出一个红球的概率为___________． 14. 一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s(m)与时间t(s)的数据如下表： 时间t(s) 1 2 3 4 … 距离s(m) 2 8 18 32 … 写出用t表示s的关系式：________． 15. 如图，在中，的垂直平分线分别与交于点D、E，的垂直平分线分别与交于点F、G，，，则的周长是________． 16. 已知：如图，中，点D是边上一点，，，平分，且于E，与相交于点F，若于H，交E于点G．有以下结论：①；②；③若连接，则；④点G是的中点；⑤与成轴对称．以上五个结论中正确的是：________．（填序号） 三、作图题（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 17. 如图，车站O位于两条公路的交汇处，在公路上还有一个车站C，现要在两条公路之间修一个中转站P，使它到两条公路的距离相等，且到两个车站的距离也相等．请你在图中作出点P的位置． 四、解答题（共8个小题，共68分） 18. 计算题： （1） （2） （3）用简便方法计算：； （4）先化简，再求值：，其中，． 19. 某种油菜籽在相同条件下的发芽实验结果如下表： 每批粒数n 100 150 200 500 800 1 000 发芽的粒数m 65 111 136 345 560 700 发芽的频率 0.65 0.74 0.68 0.69 a b （1）a＝ ，b＝ ； （2）这种油菜籽发芽的概率估计值是多少？请简要说明理由； （3）如果该种油菜籽发芽后的成秧率为90%，则在相同条件下用10 000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗多少棵？ 20. 我国古代数学的许多发现都位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中之一．如图2，杨辉三角给出了（n为正整数）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序排列）．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数等． （1）按上述规律，展开式中共有 项，第三项是 ； （2）请直接写出的展开式 ． （3）利用上面的规律计算：． 21. 如图，在中，于点D， 于点E，、 相交于点H，．试说明： （1）． （2）． 22. 若和均为大于小于的角，且，则称和互为“伙伴角”．根据这个约定，解答下列问题： （1）若和互为“伙伴角”，当时，求的度数； （2）如图，将一长方形纸片沿着对折（点P在线段上，点E在线段上）使点B落在点，若与互为“伙伴角”，求的度数． 23. 超市现有两类精美笔记本出售，由于A类笔记本销售情况不好，现开展如下活动，如果一次性购买A类笔记本超过10本，则超过10本的部分每本将优惠1.5元，B类笔记本保持原售价．已知一次性购买A类笔记本或一次性购买B类笔记本的费用y（单位：元）与购买数量x（单位：本）之间的图象关系如图所示，请结合图象，回答下列问题： （1）当时，A类笔记本售价________元/本，B类笔记本售价_________元/本：当时，________本时，一次性购买A类笔记本与一次性购买B类笔记本的销售额相同． （2）超市现对B类笔记本也采用类似的活动方案．如果一次性购买B类笔记本超过30本，则超过30本的部分每本将享受七五折优惠．已知初2025级某班现一次性从该超市购买了A类笔记本与B类笔记本共80本用于班级奖励，其中购买的A类笔记本的数量超过了10本，共花费元．聪明的你知道该班购买了多少本B类笔记本吗? 24. 【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．因为高相同，所以，于是． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． （1）【深入探究】 如图2，点D在的边上，点P在上． ①若是的中线，______． ②若，则______． （2）【拓展延伸】 如图3，分别延长四边形的各边，使得A，B，C，D分别为的中点，依次连接E，F，G，H得四边形． ①：直接写出，与之间的等量关系；_______ ②：若，则_______． 25. 已知，在中，，D，A，E三点都在直线m上，， （1）如图①，若，则与的数量关系为 ，，与的数量关系为 ； （2）如图②，当不垂直于时，（1）中的结论是否成立？请说明理由： （3）如图③，若只保持点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为．是否存在x，使得与全等？若存在，直接写出x的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$