第05讲 全称量词与存在量词（思维导图+3知识点+6考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高一数学暑假提升精品讲义（人教A版2019必修第一册）

第05讲 全称量词与存在量词 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解全称量词与存在量词的含义，并能掌握全称量词命题与存在量词命题的概念； 2．能用数学符号表示两种命题，能准确判断两类命题的真假，及判定方法； 3．理解含有一个量词的命题的否定的意义，能准确表达含有一个量词的命题否定. 知识点 1 全称量词与全称量词命题 1、全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“”表示． 【注意】（1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定； （2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都”． 2、全称量词命题 （1）定义：含有全称量词的命题，称为全称量词命题． （2）符号表示：通常，将含有变量的语句用，，，…表示，变量的取值范围用表示，那么，全称量词命题“对中任意一个，成立”可用符号简记为． 【注意】（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题； （2）一个全称量词命题可以包含多个变量； （3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来． 如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行” ． 3、判断全称量词命题真假 若为真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立； 若为假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可． 知识点 2 存在量词与存在量词命题 1、存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“”表示． 【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等． 2、存在量词命题 （1）定义：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题． （2）符号表示：存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为 【注意】（1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题； （2）一个存在量词命题可以包含多个变量； （3）有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征都是存在量词命题． 3、判断存在量词命题真假 只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个命题为真，否则为假． 知识点 3 全称量词命题与存在量词命题的否定 1、命题的否定： （1）定义：一般的，对一个命题进行否定，就可以的到一个新的命题，这一新命题就成为原命题的否定．命题p的否定可用“”来表示，读作“非p”或p的否定． （2）命题的否定与原命题的真假关系：p的否定与p“一真一假” 命题p 真 假 假 真 （3）常见正面词语的否定： 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个 2、全称量词命题与存在量词命题的否定 命题类型 全称量词命题 存在量词命题 形式 否定形式 结论 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题 考点一：全称量词命题、存在量词命题的辨析 例1．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-1】（23-24高一上·陕西·月考）（多选）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．， B．存在一个菱形是正方形 C．每个命题都可以判断真假 D．所有等边三角形的三条高都相等 【变式1-2】（23-24高一上·陕西西安·月考）（多选）下列命题是存在量词命题的是（    ） A．能被5整除的整数都是偶数 B．有的偶数是质数 C．梯形的对角线相等 D．某些平行四边形不是菱形 【变式1-3】（23-24高一上·湖南长沙·月考）（多选）下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．有些自然数是13的约数 B．正方形是菱形 C．能被6整除的数也能被3整除 D．存在，使得 考点二：全称量词命题、存在量词命题的真假 例2. （23-24高一上·北京·期中）下列命题是假命题是（    ） A．， B．，使得成立 C．， D．所有的菱形都是平行四边形 【变式2-1】（22-23高一上·江苏宿迁·月考）（多选）下列命题中真命题的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）（多选）下列命题中正确的是（ ） A．， B．至少有一个整数，它既不是合数也不是质数 C．是无理数，是无理数 D．存在，使得 【变式2-3】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）（多选）下列命题中，真命题的是（    ） A． B．平行四边形的对角线互相平分 C．对任意的，都有 D．菱形的两条对角线相等 考点三：全称量词命题的否定 例3. （22-23高一下·新疆乌鲁木齐·月考）命题的否定为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高一下·河南·开学考试）“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一下·重庆沙坪坝·月考）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-3】（23-24高一下·四川成都·开学考试）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 考点四：存在量词命题的否定 例4. （23-24高一下·广东江门·月考）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高一上·全国·专题练习）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-2】（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（22-23高一下·江苏苏州·开学考试）命题“，”的否定是（ ） A．， B．， C．， D．， 考点五：根据全称量词命题的真假求参数 例5. （22-23高一下·湖南长沙·月考）若命题“”为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高一上·黑龙江佳木斯·期中）（多选）已知命题，.若为假命题，则实数的值可以是（    ） A． B． C．0 D． 【变式5-2】（23-24高一上·云南昆明·期中）若命题“”是真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高一上·江苏徐州·期中）命题“，”，若命题是真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点六：根据存在量词命题的真假求参数 例6. （23-24高一下·四川泸州·期中）命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 . 【变式6-1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）（多选）已知命题，为假命题，则a可能的取值有（    ） A． B． C．0 D．1 【变式6-2】（23-24高一上·山东潍坊·月考）已知“，”为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24高一上·陕西渭南·期末）已知命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（23-24高一上·全国·课后作业）下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．同位角相等 C．任何实数都存在相反数 D．存在实数没有倒数 2．（23-24高一上·陕西榆林·月考）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．至少有一个整数x，使得是质数 C．每个四边形的内角和都是360° D．， 3．（23-24高一上·山西大同·月考）命题“为偶数”，下列说法正确的是（    ） A．该命题是假命题 B．该命题是真命题 C．该命题的否定为：不是偶数 D．该命题的否定为：不是偶数 4．（23-24高一下·山西临汾·月考）命题“”的否定是（    ） A．不存在 B． C． D． 5．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知命题：是素数，则为（    ） A．不是素数 B．不是素数 C．不是素数 D．不是素数 6．（23-24高一上·青海海东·月考）若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高一上·浙江金华·月考）下列命题中，是全称量词命题的有（    ） A．至少有一个，使成立 B．对任意的，都有成立 C．对所有的，都有不成立 D．存在，使成立 8．（23-24高一上·广东韶关·月考）下列命题中错误的有（   ） A．存在整数，使得 B．，一元二次方程无实数根 C． D．能被2整除 三、填空题 9．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知命题，则是 . 10．（23-24高一上·江苏苏州·月考）若命题“，使”是假命题，则实数的一个可能取值为 . 11．（23-24高一上·江苏苏州·月考）若命题“，使得”是真命题，则实数m的取值范围为 ． 四、解答题 12．（23-24高一上·陕西延安·月考）写出下列命题的否定，并判断其真假： （1），方程必有实根； （2），使得. 13．（22-23高一上·河南平顶山·月考）已知集合，，且． （1）若是真命题，求实数的取值范围； （2）若是真命题，求实数的取值范围． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 全称量词与存在量词 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解全称量词与存在量词的含义，并能掌握全称量词命题与存在量词命题的概念； 2．能用数学符号表示两种命题，能准确判断两类命题的真假，及判定方法； 3．理解含有一个量词的命题的否定的意义，能准确表达含有一个量词的命题否定. 知识点 1 全称量词与全称量词命题 1、全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“”表示． 【注意】（1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定； （2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都”． 2、全称量词命题 （1）定义：含有全称量词的命题，称为全称量词命题． （2）符号表示：通常，将含有变量的语句用，，，…表示，变量的取值范围用表示，那么，全称量词命题“对中任意一个，成立”可用符号简记为． 【注意】（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题； （2）一个全称量词命题可以包含多个变量； （3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来． 如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行” ． 3、判断全称量词命题真假 若为真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立； 若为假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可． 知识点 2 存在量词与存在量词命题 1、存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“”表示． 【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等． 2、存在量词命题 （1）定义：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题． （2）符号表示：存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为 【注意】（1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题； （2）一个存在量词命题可以包含多个变量； （3）有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征都是存在量词命题． 3、判断存在量词命题真假 只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个命题为真，否则为假． 知识点 3 全称量词命题与存在量词命题的否定 1、命题的否定： （1）定义：一般的，对一个命题进行否定，就可以的到一个新的命题，这一新命题就成为原命题的否定．命题p的否定可用“”来表示，读作“非p”或p的否定． （2）命题的否定与原命题的真假关系：p的否定与p“一真一假” 命题p 真 假 假 真 （3）常见正面词语的否定： 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个 2、全称量词命题与存在量词命题的否定 命题类型 全称量词命题 存在量词命题 形式 否定形式 结论 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题 考点一：全称量词命题、存在量词命题的辨析 例1．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】命题“，”为存在量词命题， 其否定为：，.故选：D 【变式1-1】（23-24高一上·陕西·月考）（多选）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．， B．存在一个菱形是正方形 C．每个命题都可以判断真假 D．所有等边三角形的三条高都相等 【答案】ACD 【解析】根据全称量词命题的概念，选项ACD都是全称量词命题，选项B是存在量词命题.故选：ACD 【变式1-2】（23-24高一上·陕西西安·月考）（多选）下列命题是存在量词命题的是（    ） A．能被5整除的整数都是偶数 B．有的偶数是质数 C．梯形的对角线相等 D．某些平行四边形不是菱形 【答案】BD 【解析】AC是全称量词命题，BD是存在量词命题．故选：BD. 【变式1-3】（23-24高一上·湖南长沙·月考）（多选）下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．有些自然数是13的约数 B．正方形是菱形 C．能被6整除的数也能被3整除 D．存在，使得 【答案】AD 【解析】对选项A，有些自然数是13的约数，“有些”是存在量词，故A正确. 对选项B，正方形是菱形表示：所有正方形是菱形，是全称命题，故B错误. 对选项C，能被6整除的数也能被3整除表示：一切能被6整除的数也能被3整除， 是全称命题，故C错误. 对选项D，存在，使得，“存在”是存在量词，故D正确.故选：AD 考点二：全称量词命题、存在量词命题的真假 例2. （23-24高一上·北京·期中）下列命题是假命题是（    ） A．， B．，使得成立 C．， D．所有的菱形都是平行四边形 【答案】C 【解析】对于A，显然，使成立，故A为真命题； 对于B，显然，使得成立，故B为真命题； 对于C，显然时，，故C为假命题； 对于D，显然所有菱形均是平行四边形，故D为真命题.故选：C 【变式2-1】（22-23高一上·江苏宿迁·月考）（多选）下列命题中真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A，，，所以，选项A是假命题； 对于B，时，，所以选项B是真命题； 对于C，由，得，所以选项C是真命题； 对于D，时，，所以选项D是假命题．故选：BC． 【变式2-2】（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）（多选）下列命题中正确的是（ ） A．， B．至少有一个整数，它既不是合数也不是质数 C．是无理数，是无理数 D．存在，使得 【答案】ABC 【解析】对于A，，，如，A正确； 对于B，至少有一个整数，它既不是合数也不是质数，例如数1满足条件，B正确； 对于C，是无理数，是无理数，如，C正确； 对于D，恒成立，即不存在，使得成立，D错误.故选：ABC 【变式2-3】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）（多选）下列命题中，真命题的是（    ） A． B．平行四边形的对角线互相平分 C．对任意的，都有 D．菱形的两条对角线相等 【答案】AB 【解析】对于A，方程的判别式，故A正确； 对于B，由平行四边形的性质可得对角线互相平分，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，菱形的对角线不一定相等，故D错误.故选：AB. 考点三：全称量词命题的否定 例3. （22-23高一下·新疆乌鲁木齐·月考）命题的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】命题的否定为：.故选：A. 【变式3-1】（23-24高一下·河南·开学考试）“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】“”的否定是“”.故选：B 【变式3-2】（23-24高一下·重庆沙坪坝·月考）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】命题“，”的否定是：，.故选：C. 【变式3-3】（23-24高一下·四川成都·开学考试）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题“”的否定是“”.故选：B. 考点四：存在量词命题的否定 例4. （23-24高一下·广东江门·月考）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】命题“”的否定为“”.故选：B 【变式4-1】（23-24高一上·全国·专题练习）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】命题“，”是特称量词命题，其否定是全称量词命题， 所以命题“，”的否定为：，.故选：C 【变式4-2】（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】命题“”的否定是“”.故选：C 【变式4-3】（22-23高一下·江苏苏州·开学考试）命题“，”的否定是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】命题“，”的否定是，．故选：A． 考点五：根据全称量词命题的真假求参数 例5. （22-23高一下·湖南长沙·月考）若命题“”为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知：是上述原命题的否定形式，故其为真命题， 则方程有实数根，即．故选：A． 【变式5-1】（23-24高一上·黑龙江佳木斯·期中）（多选）已知命题，.若为假命题，则实数的值可以是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】BC 【解析】若命题为真命题，则，解得， 则当命题为假命题时，.故选：BC 【变式5-2】（23-24高一上·云南昆明·期中）若命题“”是真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若命题“”是真命题， 则当时，不等式为对恒成立； 当时，要使得不等式恒成立，则，解得 综上，的取值范围为.故选：D. 【变式5-3】（23-24高一上·江苏徐州·期中）命题“，”，若命题是真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由命题为真命题，即不等式在上恒成立， 当，可得，所以.故选：B. 考点六：根据存在量词命题的真假求参数 例6. （23-24高一下·四川泸州·期中）命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】，，为真命题，故，解得， 故实数的取值范围是. 【变式6-1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）（多选）已知命题，为假命题，则a可能的取值有（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【解析】命题，为假命题，则，. 当时满足题意；当时，有，解得. 综上有故选：ABC 【变式6-2】（23-24高一上·山东潍坊·月考）已知“，”为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，又，此时，故.故选：A. 【变式6-3】（23-24高一上·陕西渭南·期末）已知命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于命题：“，”为假命题， 所以，解得.故选：D 一、单选题 1．（23-24高一上·全国·课后作业）下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．同位角相等 C．任何实数都存在相反数 D．存在实数没有倒数 【答案】D 【解析】根据全称量词和存在量词的定义可知， A选项，“平行四边形的对边相等”是所有的平行四边形性质，是全称量词命题； B选项，“同位角相等”是所有的同位角都相等，是全称量词命题； C选项，“任何实数都存在相反数”中的“任意”是全称量词，故其为全称量词命题； D选项，“存在实数没有倒数”中的“存在”为存在量词，其为存在量词命题.故选：D 2．（23-24高一上·陕西榆林·月考）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．至少有一个整数x，使得是质数 C．每个四边形的内角和都是360° D．， 【答案】C 【解析】选项A，B，D中，分别有“存在”，“至少”，“”这样的特称量词， 所以选项A，B，D都为特称命题， 选项C：因为有“每个”这样的全称量词，所以命题为全称命题.故选：C. 3．（23-24高一上·山西大同·月考）命题“为偶数”，下列说法正确的是（    ） A．该命题是假命题 B．该命题是真命题 C．该命题的否定为：不是偶数 D．该命题的否定为：不是偶数 【答案】B 【解析】当时，为偶数，故该命题为真命题，故错误，正确； 该命题的否定为：不是偶数，故C，D错误．故选：B. 4．（23-24高一下·山西临汾·月考）命题“”的否定是（    ） A．不存在 B． C． D． 【答案】B 【解析】由全称命题的否定是特称命题可得 命题“”的否定是“”.故选：B. 5．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知命题：是素数，则为（    ） A．不是素数 B．不是素数 C．不是素数 D．不是素数 【答案】D 【解析】因为存在量词命题的否定为全称量词命题， 所以为不是素数.故选：D. 6．（23-24高一上·青海海东·月考）若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若“”为真命题，则A错误， 又“”为假命题，则“”为真命题，则B,D错误， 则集合可以是.故选：C 二、多选题 7．（23-24高一上·浙江金华·月考）下列命题中，是全称量词命题的有（    ） A．至少有一个，使成立 B．对任意的，都有成立 C．对所有的，都有不成立 D．存在，使成立 【答案】BC 【解析】由全称量词命题的否定可知，BC选项中的命题为全称量词命题， AD选项中的命题不是全称量词命题.故选：BC. 8．（23-24高一上·广东韶关·月考）下列命题中错误的有（   ） A．存在整数，使得 B．，一元二次方程无实数根 C． D．能被2整除 【答案】ABC 【解析】对于A，由，得为偶数，而是奇数，显然等式不成立，A错误； 对于B，对于一切实数a，方程中，此方程必有实数根，B错误； 对于C，当时，，C错误； 对于D，，，是正奇数， 当为正偶数时，是正偶数，此时能被2整除，D正确.故选：ABC 三、填空题 9．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知命题，则是 . 【答案】. 【解析】命题，故是：. 10．（23-24高一上·江苏苏州·月考）若命题“，使”是假命题，则实数的一个可能取值为 . 【答案】（答案不唯一） 【解析】因为命题“，使”是假命题， 所以命题“，使”是真命题， 即方程有解， 所以，得， 故实数的一个可能取值为（满足即可）． 11．（23-24高一上·江苏苏州·月考）若命题“，使得”是真命题，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【解析】若命题“，使得”是真命题，也就是“方程有实数解”， ∴. 四、解答题 12．（23-24高一上·陕西延安·月考）写出下列命题的否定，并判断其真假： （1），方程必有实根； （2），使得. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】（1），方程未必有实根， 由于，方程必有实根，是真命题， 因此为假命题， （2），使得. 由于，所以恒成立，所以为真命题 13．（22-23高一上·河南平顶山·月考）已知集合，，且． （1）若是真命题，求实数的取值范围； （2）若是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由于是真命题，所以． 而，所以，解得，故的取值范围为． （2）因为，所以，解得． 由为真命题，得， 当时，或，解得． 因为，所以当时，； 所以当时，．故的取值范围为． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$