第18讲 函数的零点与方程的解（思维导图+3知识点+6考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高一数学暑假提升精品讲义（人教A版2019必修第一册）

第18讲 函数的零点与方程的解 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解函数零点的概念，了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系； 2．会求函数的零点； 3．掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数. 知识点 1 函数的零点 1、函数零点的概念：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点．即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值． 【要点辨析】 （1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； （2）函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标； （3）函数的零点就是方程的实数根． 2、函数的零点与方程的解的关系 函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标．所以方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 知识点 2 函数零点存在定理 1、函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 【要点辨析】 （1）定义不能确定零点的个数； （2）不满足定理条件时依然可能有零点； （3）定理中的“连续不断”是必不可少的条件； （4）定理反之是不成立的． 2、函数零点存在定理的几何意义 在闭区间上有连续不断的曲线，且曲线的起始点与终点分别在轴的两侧，则连续曲线与轴至少有一个交点． 3、函数零点存在定理的重要推论 （1）推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点． （2）推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则． 知识点 3 函数零点常用方法技巧 1、零点个数的判断方法 （1）直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点． （2）定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． （3）图象法： ①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数． ②两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数． （4）性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数． 2、判断函数零点所在区间的步骤 第一步：将区间端点代入函数求函数的值； 第二步：将所得函数值相乘，并进行符号判断； 第三步：若符号为正切在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点； 若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。 3、已知函数零点个数，求参数取值范围的方法 （1）直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解； （2）数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； （3）分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域（最值）问题求解． 考点一：求函数的零点（方程的根） 例1．（23-24高一上·江苏宿迁·月考）函数的零点为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高一上·福建三明·期中）函数的零点为（    ） A． B． C．0 D．1 【变式1-2】（23-24高一上·福建泉州·月考）函数的零点为（    ） A． B．2 C． D． 【变式1-3】（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知定义在上的是单调函数，且对任意恒有，则函数的零点为（    ） A． B． C．9 D．27 考点二：判断函数零点所在区间 例2.（23-24高一上·河北沧州·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高一下·四川达州·期中）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一下·江苏扬州·期末）方程的解所在区间为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高一下·浙江湖州·月考）函数的零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 考点三：由函数零点所在区间求参数 例3.（23-24高一上·四川雅安·月考）若函数在存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．∪ 【变式3-1】（22-23高一下·安徽·期中）函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（22-23高一上·重庆九龙坡·期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高一上·江苏南京·期末）已知的零点在区间，则（   ） A． B． C． D． 考点四：判断函数零点个数 例4.（23-24高一下·河南·开学考试）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式4-1】（22-23高一上·广东深圳·期末）函数在定义域内的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式4-2】（23-24高一下·河北保定·开学考试）函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-3】（23-24高一下·浙江·期中）已知函数则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点五：已知函数零点个数求参数 例5.（23-24高一上·山东济南·月考）若函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高一上·广东茂名·期中）已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高一上·河北保定·月考）已知函数，．若有2个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点六：函数的零点的分布 例6.（23-24高一上·山东淄博·月考）已知方程有两个不等正实根，则实数m的取值范围为（    ） A．或 B． C． D．或 【变式6-1】（23-24高一上·江苏常州·期中）已知关于x的方程的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数k的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高一上·江苏淮安·月考）已知函数在上有且只有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24高一上·湖南株洲·期末）. 已知函数的零点分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）函数的图象与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河南郑州·月考）函数零点是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（22-23高一上·江西上饶·月考）函数的零点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24高一下·贵州遵义·月考）函数的零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知二次函数的两个零点都在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·河南南阳·月考）设正实数，，分别满足，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高一上·云南·月考）若定义在上的连续不断的函数满足，则下列说法不正确的是（    ） A．在区间上有且只有一个零点 B．在区间上有零点 C．在区间上有且只有一个零点 D．在区间上没有零点 8．（23-24高一上·山西吕梁·月考）设函数，若关于x的方程有四个不同的解，且，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（23-24高一上·四川·期中）已知函数的零点在区间内，则 ． 10．（23-24高一上·湖北恩施·月考）设满足，满足，则 ． 11．（23-24高一上·湖南·月考）已知函数，若关于的方程只有一个实数根，则的取值范围为 ． 四、解答题 12．（23-24高一上·四川乐山·月考）已知函数是奇函数，当时，． (1)求的解析式； (2)判断函数的单调性； (3)若方程有三个不同的根，求的取值范围． 13．（23-24高三上·新疆阿克苏·月考）已知函数. (1)求函数恒过哪一个定点，写出该点坐标； (2)令函数，当时，证明：函数在区间上有零点. ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18讲 函数的零点与方程的解 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解函数零点的概念，了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系； 2．会求函数的零点； 3．掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数. 知识点 1 函数的零点 1、函数零点的概念：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点．即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值． 【要点辨析】 （1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； （2）函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标； （3）函数的零点就是方程的实数根． 2、函数的零点与方程的解的关系 函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标．所以方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 知识点 2 函数零点存在定理 1、函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 【要点辨析】 （1）定义不能确定零点的个数； （2）不满足定理条件时依然可能有零点； （3）定理中的“连续不断”是必不可少的条件； （4）定理反之是不成立的． 2、函数零点存在定理的几何意义 在闭区间上有连续不断的曲线，且曲线的起始点与终点分别在轴的两侧，则连续曲线与轴至少有一个交点． 3、函数零点存在定理的重要推论 （1）推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点． （2）推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则． 知识点 3 函数零点常用方法技巧 1、零点个数的判断方法 （1）直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点． （2）定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． （3）图象法： ①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数． ②两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数． （4）性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数． 2、判断函数零点所在区间的步骤 第一步：将区间端点代入函数求函数的值； 第二步：将所得函数值相乘，并进行符号判断； 第三步：若符号为正切在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点； 若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。 3、已知函数零点个数，求参数取值范围的方法 （1）直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解； （2）数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； （3）分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域（最值）问题求解． 考点一：求函数的零点（方程的根） 例1．（23-24高一上·江苏宿迁·月考）函数的零点为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，解得或， 故的零点为.故选：A 【变式1-1】（23-24高一上·福建三明·期中）函数的零点为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【解析】令，解得，故选:C. 【变式1-2】（23-24高一上·福建泉州·月考）函数的零点为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】令，得，则．故选：A 【变式1-3】（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知定义在上的是单调函数，且对任意恒有，则函数的零点为（    ） A． B． C．9 D．27 【答案】A 【解析】设，即， 因为，可得， 所以，解得，所以， 令，可得，即，解得.故选：A. 考点二：判断函数零点所在区间 例2.（23-24高一上·河北沧州·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的定义域为， 函数在上单调递增，函数在上单调递减， 所以在上单调递增． 由，， 所以函数的零点所在的区间是.故选：B． 【变式2-1】（23-24高一下·四川达州·期中）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为和均是R上的增函数，所以函数是R上的增函数， 又，，， 所以函数的零点所在区间为.故选：C. 【变式2-2】（23-24高一下·江苏扬州·期末）方程的解所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，在上连续，且单调递增， 对于A，因为，， 所以的零点不在内，所以A错误， 对于B，因为，， 所以的零点不在内，所以B错误， 对于C，因为，， 所以的零点在内，所以方程的解所在区间为，所以C正确， 对于D，因为，， 所以的零点不在内，所以D错误，故选：C 【变式2-3】（23-24高一下·浙江湖州·月考）函数的零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，， 且易得在单调递增， 所以在上有唯一的零点，且零点在区间内.故选：B 考点三：由函数零点所在区间求参数 例3.（23-24高一上·四川雅安·月考）若函数在存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．∪ 【答案】D 【解析】当时，，不存在零点； 当时，是一次函数，必然单调， 故只需即可，即，解得或， 即的取值范围是∪，故选：D 【变式3-1】（22-23高一下·安徽·期中）函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由在上单调递增，在上单调递增， 得函数在区间上单调递增， 因为函数在区间存在零点， 所以，即，解得， 所以实数m的取值范围是.故选：B. 【变式3-2】（22-23高一上·重庆九龙坡·期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】和在上是增函数， 在上是增函数， 只需即可，即，解得．故选：B. 【变式3-3】（23-24高一上·江苏南京·期末）已知的零点在区间，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，在上单调递增， 因为，， 则零点在区间上，可得.故选：C. 考点四：判断函数零点个数 例4.（23-24高一下·河南·开学考试）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】令，得， 画出函数与的图象， 可得这两个函数在上的图象有唯一公共点， 故的零点个数为1．故选：B 【变式4-1】（22-23高一上·广东深圳·期末）函数在定义域内的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】函数分别是R上的减函数和增函数，则函数是减函数， 而，， 所以函数在R上的零点个数是1.故选：B 【变式4-2】（23-24高一下·河北保定·开学考试）函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】当时，令，解得或； 当时，令，则，画出函数与函数的图象， 可知在上两函数图象有一个公共点，故的零点个数为3.故选：C 【变式4-3】（23-24高一下·浙江·期中）已知函数则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由题意可知，的零点个数可以转化为和函数的图象交点个数， 它们的函数图象如图所示.故选：C． 考点五：已知函数零点个数求参数 例5.（23-24高一上·山东济南·月考）若函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，由，得， 因为函数有两个不同的零点， 则当时，函数还有一个零点， 因为，所以， 所以实数a的取值范围是.故选：A 【变式5-1】（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由有两个不同的零点，即方程有两个不同的解， 即函数与的图象有两个不同的交点， 画出函数的图象，如图所示， 结合图象可得或，解或，即.故选：B. 【变式5-2】（23-24高一上·广东茂名·期中）已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】方程有三个不同的实数根，即函数与函数的图象有三个不同交点. 作函数的图象如下图所示， 由图可得，.所以实数的取值范围是：.故选：B. 【变式5-3】（23-24高一上·河北保定·月考）已知函数，．若有2个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】时，，函数在上单调递减，， 令可得，作出函数与函数的图象如图所示： 由上图可知，当时，函数与函数的图象有2个交点， 此时，函数有2个零点．因此，实数a的取值范围是．故选：D． 考点六：函数的零点的分布 例6.（23-24高一上·山东淄博·月考）已知方程有两个不等正实根，则实数m的取值范围为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【解析】因为方程有两个不等正实根，设两根为， 则等价于函数有两个不相等且大于0的零点， 所以或，故选：D 【变式6-1】（23-24高一上·江苏常州·期中）已知关于x的方程的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数k的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】记，由题意可知函数有两个零点，所以， 若，则为开口向上的二次函数， 要有两个零点且一个大于1一个小于1，则，得，故； 若，则为开口向下的二次函数， 要有两个零点且一个大于1一个小于1，则，得，故； 综上可知：或，即实数k的取值范围是. 故答案为： 【变式6-2】（23-24高一上·江苏淮安·月考）已知函数在上有且只有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数在上有且只有一个零点， 所以，即在上有且只有一个实根， 所以与的函数图象在时有一个公共点， 由于在单调递减， 所以，即.故选：D 【变式6-3】（23-24高一上·湖南株洲·期末）. 已知函数的零点分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数的零点分别为， 可转化为与三个函数的交点的横坐标为， 在同一坐标系下，画出函数与函数的图象， 如图所示， 结合图象可得：.故选：B. 一、单选题 1．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）函数的图象与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，解得， 所以函数的图象与轴的交点坐标是.故选：C. 2．（23-24高一上·河南郑州·月考）函数零点是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】当时，由解得； 当时，令，显然无实数解. 综上，函数的零点为0.故选：A 3．（22-23高一上·江西上饶·月考）函数的零点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】当时，， 则函数的零点个数为函数与函数，的交点个数， 作出两个函数的图象如下图所示， 由图可知，当时，函数的零点有两个， 当时，，可得或(舍去) 即当时，函数的零点有一个； 综上，函数的零点有三个.故选：C. 4．（23-24高一下·贵州遵义·月考）函数的零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， ， 可知，所以函数的零点所在的区间是，故选：C. 5．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知二次函数的两个零点都在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设， 因为二次函数的两个零点都在区间内， 所以，则，即， 故实数的取值范围是：.故选：C. 6．（23-24高一上·河南南阳·月考）设正实数，，分别满足，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知可得，，， 作出，，的大致图象如图所示. 它们与交点的横坐标分别为，，，由图可得.故选：D. 二、多选题 7．（23-24高一上·云南·月考）若定义在上的连续不断的函数满足，则下列说法不正确的是（    ） A．在区间上有且只有一个零点 B．在区间上有零点 C．在区间上有且只有一个零点 D．在区间上没有零点 【答案】ACD 【解析】由题意可知，，所以在区间上有零点， 但不确定有几个，故A错误，B正确； ，所以在区间上有零点，不确定有几个零点，故C错误； ，则不确定在区间是否有零点，故D错误.故选：ACD 8．（23-24高一上·山西吕梁·月考）设函数，若关于x的方程有四个不同的解，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由函数 ，作出函数的图象，如图所示， 因为关于x的方程 有四个不同的解，且， 结合图象，可得，且， 则，其中，所以，所以A不正确. 根据图象，要使得方程 有四个不同的解，可得，所以B正确； 因为，且，可得， 所以，可得， 又由，当且仅当时，等号成立， 显然，所以，所以C正确； 令，可得，结合图象，可得，所以D不正确.故选：BC. 三、填空题 9．（23-24高一上·四川·期中）已知函数的零点在区间内，则 ． 【答案】 【解析】因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为，，， 所以的零点在区间内，故. 故答案为：. 10．（23-24高一上·湖北恩施·月考）设满足，满足，则 ． 【答案】 【解析】设，则， 则变形为，即， 由题意知满足，则， 易知函数在上单调递增，所以此函数只有一个零点， 因为，所以， 又，所以，所以． 故答案为： 11．（23-24高一上·湖南·月考）已知函数，若关于的方程只有一个实数根，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】画出的大致图象，如图所示．关于的方程只有一个实数根， 结合图象可得的取值范围为． 故答案为： 四、解答题 12．（23-24高一上·四川乐山·月考）已知函数是奇函数，当时，． (1)求的解析式； (2)判断函数的单调性； (3)若方程有三个不同的根，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)的单调递减区间是，单调递增区间是，；(3) 【解析】（1）设，则，因为时，， 可得， 又因为函数是奇函数，所以，即， 所以函数的解析式为. （2）作出函数的图象，如图所示： 可得的单调递减区间是，单调递增区间是，    （3）要使得方程有三个不同的根， 即函数与的图象有三个不同的交点， 如图所示，可得，即的取值范围是．    13．（23-24高三上·新疆阿克苏·月考）已知函数. (1)求函数恒过哪一个定点，写出该点坐标； (2)令函数，当时，证明：函数在区间上有零点. 【答案】(1)恒过定点，坐标；(2)证明见解析 【解析】（1）由题意知函数，故， 令， 即函数恒过定点，该点坐标为； （2）证明：由题意， 当时，， 即， 则， 又，故函数在区间上有零点. ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$