精品解析：湖北省武汉市5G联合体2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

2023-2024学年度下学期武汉市重点中学5G联合体期末考试 高二数学试卷 命题学校：武汉市吴家山中学 命题教师：邱道 审题教师：胡显义 考试时间：2024年6月27日 试卷满分：150分 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求两个集合，再求并集. 【详解】，即， ，所以，即，所以. 故选：C 2. 设是可导函数，且，则在处的切线的斜率等于（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件得到，再利用导数的几何意义，即可求出结果. 【详解】因为，所以， 由导数的几何意义知，在处的切线的斜率为， 故选：B. 3. 已知变量与的数据如下表所示，若关于的经验回归方程是，则表中（ ） 1 2 3 4 5 10 11 13 15 A. 11 B. 12 C. 12.5 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】利用样本中心点求解即可. 【详解】， 因为经验回归方程经过样本中心， 所以， 解得. 故选：A. 4. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况（ ） A. 24 B. 36 C. 54 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据条件得到排列的要求，再按照受限制元素优先的原则，进行排列，即可求解. 【详解】由条件可知，甲和乙都不是第一名，乙也不是最后一名， 所以先排乙有3种方法，再排甲有3种方法，其他就是全排列种方法， 所以5人的名次排列有种方法. 故选：C 5. 的展开式中的系数是（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式定理的通项公式确定r的值即可求出系数. 【详解】因为的展开式中，通项公式 , 令，得，则， 又, 所以的系数为. 故选：A. 6. 柯西分布（Cauchy distribution）是一个数学期望不存在的连续型概率分布．记随机变量服从柯西分布为，其中当，时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为．已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据概率密度函数的对称性，结合条件，即可求解. 【详解】函数关于轴对称， 由可知，，且， 则，所以. 故选：D 7. 已知函数，则“有两个极值”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知有两个不等的实数解，转化为方程有两个实根，再次转化为的图象与有两个不同的交点，然后利用导数的单调区间，画出的图象，结合图象求解即可. 【详解】的定义域为，则， 因为有两个极值，所以有两个不等的实数解， 由，得， 令，， 则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 因为，， 所以当时，，当时，， 所以的图象如图所示， 由图可知当时，的图象与的图象有两个不同的交点，即有两个极值， 因为是的真子集， 所以“有两个极值”的一个必要不充分条件是， 故选：A 【点睛】关键点点睛：此题考查函数的极值，考查导数的应用，解题的关键是将问题转化为两函数图象有两个交点，考查数形结合的思想，属于较难题. 8. 已知,若,则的最小值等于( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先变形为，证明，再把问题转化为求直线上的动点到圆上动点距离的最小值. 【详解】由题设， 设,则， 当单调递减， 当单调递增， 所以，即， 综上，，即，所以， 设是直线上的点，是圆上的点， 而目标式为， 由，故. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 命题“对任意，”的否定是“存在，使得” B. “”的充分不必要条件是“” C. 设，则“且”是“”的充分不必要条件 D. 设，则“”是“”的充分不必要条件 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A选项，用量词命题的否定可得解；对于B选项，用集合法可以判断；对于C选项，用充分条件和必要条件的定义可以判断，对于D选项，用等价法可以判断. 【详解】对于A选项，命题“对任意，”的否定是“存在，使得”，故A错误； 对于B选项，或，因为⫋或，所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确； 对于C选项，充分性：当且时，，则，所以具有充分性， 必要性：令,，但“且”不成立，所以不具有必要性， 所以“且”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D选项，因为“”是“”的必要不充分条件，所以“”是“”的必要不充分条件，故D错误. 故选：BC 10. 将四个编号为1，2，3，4的小球放入四个分别标有1，2，3，4号的盒子中，则下列结论正确的有（ ） A. 共有256种放法 B. 恰有一个盒子不放球，共有72种放法 C. 恰有两个盒子不放球，共有84种放法 D. 没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号都不相同的放法共有9种 【答案】ACD 【解析】 【分析】按照分步乘法计数原理判断A，B，先分组、再分配，即可判断C，先确定编号为的球的放法，再确定与号球所放盒子的编号相同的球的放法，按照分步乘法计数原理判断D. 【详解】若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，共有种放法，故A正确； 恰有一个盒子不放球，先选一个盒子，再选一个盒子放两个球，则种放法，故B错误； 恰有两个盒子不放球，首先选出两个空盒子，再将四个球分为，或，两种情况， 故共种放法，故C正确； 编号为的球有种放法，编号为的球所放盒子的编号相同的球放入号或其他两个盒子， 共有，即种放法，故D正确． 故选：ACD． 11. 下列选项中正确的是（ ） A. 已知随机变量服从二项分布，则 B. 口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球．从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量，则的数学期望 C. 某射击运动员每次射击击中目标的概率为0.8，则在9次射击中，最有可能击中的次数是8次 D. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二项分布方差公式，以及方差的性质，即可判断A；代入超几何分布的期望公式，即可判断B；根据二项分布的概率，结合不等式，即可求解，判断C；根据和事件概率公式，以及条件概率公式，即可判断D. 【详解】A.，，，故A正确； B.为超几何分布，所以，故B正确； C.设最有可能击中次，则，， 则， 得，即或，故C错误； D.，则， ，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某市的5个区县，，，，地理位置如图所示，给这五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有______种． 【答案】96 【解析】 【分析】利用分步计数原理与分类计数原理可得结论. 【详解】第一步：从4种颜色中选3种颜色对三个区域着色有种方法， 第二步：对着色分两类，着色有2种方法，对着色有2种方法， 故不同的染色方案共有种． 故答案为：种. 13. 某学校组织学生进行数学强基答题比赛，已知共有2道A类试题，4道类试题，6道类试题，学生从中任选1道试题作答，学生甲答对这3类试题的概率分别为，，，学生甲答对试题的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用全概率公式进行求解. 【详解】学生甲答对试题的概率为. 故答案为： 14. 若对任意的，且，，则的最大值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可得，令，则，则可得在上递增，然后利用导数求出的递增区间，从而可求出的最大值. 【详解】因为，所以， 所以由，得， 所以， 所以， 令，则， 因为对任意的，且， 所以在上递增， 由，得， 由，得，得， 解得，所以的递增区间为， 所以的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查利用导数求函数的单调区间，解题的关键是将原不等式变形，然后构造函数，利用导数求函数的单调区间，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）若为真命题，即对于，即可. （2）若为真命题，即转化为对于，即可求出的范围，再分类讨论的真假即可解出. 【小问1详解】 若为真命题，即，使得不等式成立， 则对于，即可. 由于,，则. 【小问2详解】 若为真命题，即，不等式成立， 则对于，即可. 由于，，，解得 p、q有且只有一个是真命题，则或， 解得. 16. ，，，这组公式被称为积化和差公式，最早正式发表于16世纪天文学家乌尔索斯1588年出版的《天文学基础》一书中.在历史上，对数出现之前，积化和差公式被用来将乘除运算化为加减运算.在现代工程中，积化和差的重要应用在于求解傅里叶级数.为了解学生掌握该组公式的情况，在高一、高三两个年级中随机抽取了100名学生进行考查，其中高三年级的学生占，其他相关数据如下表： 合格 不合格 合计 高三年级的学生 54 高一年级的学生 16 合计 100 （1）请完成2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，分析“对公式的掌握情况”与“学生所在年级”是否有关？ （2）以频率估计概率，从该校高一年级学生中抽取3名学生，记合格的人数为，求的分布列和数学期望. 附：， 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）列联表见解析，认为“对公式的掌握情况”与“学生所在年级”有关 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据卡方的计算与临界值比较即可求解， （2）利用二项分布的概率公式即可求解概率以及期望公式求解. 【小问1详解】 由100名学生中高三年级的学生占，可知高三年级的学生有60人，高一年级的学生有40人. 补充完整的列联表，如下： 合格 不合格 合计 高三年级的学生 54 6 60 高一年级的学生 24 16 40 合计 78 22 100 提出零假设：“对公式的掌握情况”与“学生所在年级”无关. 根据列联表中的数据，得. 根据小概率值的独立性检验，我们推断H₀不成立，即认为“对公式的掌握情况”与“学生所在年级”有关，此推断犯错误的概率不大于0.001. 【小问2详解】 由（1）得，高一年级的学生对公式的掌握情况合格的频率为. 依题意，得， 则，， ，. 所以的分布列为 0 1 2 3 . 17. 甲、乙两人进行某棋类比赛，每局比赛时，若决出输赢则获胜方得2分，负方得0分；若平局则各得1分．已知甲在每局中获胜、平局、负的概率均为，且各局比赛结果相互独立． （1）若比赛共进行了三局，求甲获胜一局的概率； （2）若比赛共进行了三局，求甲得3分的概率； （3）规定比赛最多进行五局，若一方比另一方多得4分则停止比赛，求比赛局数的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）利用独立事件概率公式，列式求解； （2）首先分析甲得3分的事件，再根据互斥事件概率公式和独立事件概率公式，列式求解； （3）由题意可知，，根据随机变量表示事件的意义，根据概率求分布列，以及数学期望. 【小问1详解】 设“三局比赛后，甲胜一局”为事件A， 甲胜一局包含以下情形：三局中甲一胜两平局，三局中甲一胜两负，三局中甲一胜一平一负， 所以，或， 所以甲胜一局的概率为 【小问2详解】 设“三局比赛后，甲得3分”为事件B， 甲得3分包含以下情形：三局均为平局，三局中甲一胜一平一负， 所以， 所以甲得3分的概率为 【小问3详解】 依题意知，X的可能取值为2，3，4，5， ，, , ， 故X的分布列为： X 2 3 4 5 P 所以期望 18. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若关于的方程有两根（其中）， ①求的取值范围； ②当时，求的取值范围. 【答案】（1）的单调递增区间为的单调递减区间为 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）对求导，并判断导函数的正负，即可得到的单调性； （2）①可转化为，令，有，再借助的单调性，得到，令，借助的单调性，得到的大致图象，即可求得的取值范围；②借助的单调性，有，解不等式即可. 【小问1详解】 当时，，所以， 由解得，由解得， 故的单调递增区间为的单调递减区间为. 【小问2详解】 ①由，即，即， 令，上式为，因为， 所以在上单调递增，故等价于， 即在上有两根， 令，则， 由解得，由解得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以有极大值，且当时，， 其图象如图所示： 所以的取值范围为. ②由①得在上有两根，所以， 在区间上单调递增，在区间上单调递减， ，所以， 可得，所以，所以. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 19. 某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体情况，现有份血液样本（数量足够大），有以下两种检验方式： 方式一：逐份检验，需要检验次； 方式二：混合检验，将其中份血液样本混合检验，若混合血样无抗体，说明这份血液样本全无抗体，只需检验1次；若混合血样有抗体，为了明确具体哪份血液样本有抗体，需要对每份血液样本再分别化验一次，检验总次数为次．假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本有抗体的概率均为． （1）现有5份不同的血液样本，其中只有2份血液样本有抗体，采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率； （2）现取其中份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为；采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为． ①若，求关于的函数关系式； ②已知，以检验总次数的期望为依据，讨论采用何种检验方式更好？ 参考数据：，，，，． 【答案】（1） （2）①（且），②答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意确定3次检验的事件，利用有序排列，利用样本空间法，即可求解； （2）①根据和的取值，求两个随机变量的期望，利用期望相等，求解； ②根据①的结果，比较和的大小，通过构造函数，利用导数判断单调性，比较大小，从而得到结论. 【小问1详解】 设恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来为事件， 事件分为两种情况，一种是前两次检验中，其中一次检验出抗体，第三次检验出抗体，二是前三次均无抗体， 所以， 所以恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率为； 【小问2详解】 ①由已知得，的所有可能取值为1，， 所以， ， 所以， 若，则， 所以，， 所以，得， 所以P关于k的函数关系式（且）； ②由①知，， 若，则，所以，得， 所以（且） 令，则， 当时，，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为，， ， 所以不等式的解是且， 所以且时，，采用方案二混合检验方式好， 且时，，采用方案一逐份检验方式好， 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是求和，从而才可以建立等量关系或是不等式，为后面构造函数打下基础. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度下学期武汉市重点中学5G联合体期末考试 高二数学试卷 命题学校：武汉市吴家山中学 命题教师：邱道 审题教师：胡显义 考试时间：2024年6月27日 试卷满分：150分 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设是可导函数，且，则在处的切线的斜率等于（ ） A. 2 B. C. D. 3. 已知变量与的数据如下表所示，若关于的经验回归方程是，则表中（ ） 1 2 3 4 5 10 11 13 15 A. 11 B. 12 C. 12.5 D. 13 4. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况（ ） A. 24 B. 36 C. 54 D. 60 5. 的展开式中的系数是（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 6. 柯西分布（Cauchy distribution）是一个数学期望不存在的连续型概率分布．记随机变量服从柯西分布为，其中当，时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为．已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则“有两个极值”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 8. 已知,若,则的最小值等于( ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 命题“对任意，”的否定是“存在，使得” B. “”的充分不必要条件是“” C. 设，则“且”是“”的充分不必要条件 D. 设，则“”是“”的充分不必要条件 10. 将四个编号为1，2，3，4的小球放入四个分别标有1，2，3，4号的盒子中，则下列结论正确的有（ ） A. 共有256种放法 B. 恰有一个盒子不放球，共有72种放法 C. 恰有两个盒子不放球，共有84种放法 D. 没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号都不相同的放法共有9种 11. 下列选项中正确的是（ ） A. 已知随机变量服从二项分布，则 B. 口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球．从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量，则的数学期望 C. 某射击运动员每次射击击中目标的概率为0.8，则在9次射击中，最有可能击中的次数是8次 D. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某市的5个区县，，，，地理位置如图所示，给这五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有______种． 13. 某学校组织学生进行数学强基答题比赛，已知共有2道A类试题，4道类试题，6道类试题，学生从中任选1道试题作答，学生甲答对这3类试题的概率分别为，，，学生甲答对试题的概率为______． 14. 若对任意的，且，，则的最大值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 16. ，，，这组公式被称为积化和差公式，最早正式发表于16世纪天文学家乌尔索斯1588年出版的《天文学基础》一书中.在历史上，对数出现之前，积化和差公式被用来将乘除运算化为加减运算.在现代工程中，积化和差的重要应用在于求解傅里叶级数.为了解学生掌握该组公式的情况，在高一、高三两个年级中随机抽取了100名学生进行考查，其中高三年级的学生占，其他相关数据如下表： 合格 不合格 合计 高三年级的学生 54 高一年级的学生 16 合计 100 （1）请完成2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，分析“对公式的掌握情况”与“学生所在年级”是否有关？ （2）以频率估计概率，从该校高一年级学生中抽取3名学生，记合格的人数为，求的分布列和数学期望. 附：， 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 17. 甲、乙两人进行某棋类比赛，每局比赛时，若决出输赢则获胜方得2分，负方得0分；若平局则各得1分．已知甲在每局中获胜、平局、负的概率均为，且各局比赛结果相互独立． （1）若比赛共进行了三局，求甲获胜一局的概率； （2）若比赛共进行了三局，求甲得3分的概率； （3）规定比赛最多进行五局，若一方比另一方多得4分则停止比赛，求比赛局数的分布列与数学期望． 18. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若关于的方程有两根（其中）， ①求的取值范围； ②当时，求的取值范围. 19. 某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体情况，现有份血液样本（数量足够大），有以下两种检验方式： 方式一：逐份检验，需要检验次； 方式二：混合检验，将其中份血液样本混合检验，若混合血样无抗体，说明这份血液样本全无抗体，只需检验1次；若混合血样有抗体，为了明确具体哪份血液样本有抗体，需要对每份血液样本再分别化验一次，检验总次数为次．假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本有抗体的概率均为． （1）现有5份不同的血液样本，其中只有2份血液样本有抗体，采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率； （2）现取其中份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为；采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为． ①若，求关于的函数关系式； ②已知，以检验总次数的期望为依据，讨论采用何种检验方式更好？ 参考数据：，，，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $