广西壮族自治区南宁市第二中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题

命题组：何国智李车听梁祺安 南宁二中2023-2024学年度下学期高一期末考试 数 学 (时间120分钟，共150分) 一、单进题（共8小愿，每小慰5分，共40分，每小题仅有一个正确选项） 1.已知复数=竿，则2的虚部为() A.-1 B.1 C.-2 D.2 2.下列各组向量中，可以作为基底的是() A.g=(0,0)E=(1,2) B.可=(-1,2)，E=(5,7) C.g=(3,5),=(6,10) D.可=(2，-3)，=(-6,9) 3.在正方体ABCD-A1B1CD1中，异面直线A1D与D,C所成的角为() A.月 B月 c. D.号 4.已知数据x1,2,3…,x8的平均数2=10，方差s子=10，则3x1+2,3x2+2,33+2,…,3阳+2 的平均数和方差s好分别为（) A.=32,53=90 B.y=32,s7=92 C.y=30,s3=90 D.y=30,s经=92 5.设a、B为不重合的两平面，n、m为不重合的两直线，则下列说法正确的是() A.m/a,n/a,且m,ncB,则B/a B.m/a,m⊥n,则n⊥a C.m⊥a,a⊥B,则m/B D.mla,mnn=P,则n与a不垂直 6.已知样本空间0=1,2,3,4,5,6,7,8，事件A=(1,2,3,4,事件B=(1,2,5,6,事件C=3,4,5,6,则下列 选项错误的是() A.A与B独立 B.B与C独立 C.A与C独立 D.P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 7.冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化 风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画 笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度.为了判 断冬“的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了△ABD.如图，测得AB5, BD-6,AC-4,AD-3,若点C恰好在边BD上，则sin ACD的值为(·) B. c D. 高一下期考数学试卷第1页（共4页） 扫描全能王创建 命题组：何国智李听梁就安 8.已知0为△ABc内一点，且满足30+40丽+50死=2丽+3C+环，则=（） A月 B. c. D.} 二、多逸题（共4小愿，每小愿5分，共20分，每小题有多个正确选项，全部选对得5分，部分选对阁 2分，有选错或不选得0分). 9.已知复数z1=1+1,z2=3+3弘，则下列说法正确的是() A.l+22l=16 B,31一2对应的点在复平面的第三象限 C.12为纯虚数 D.ER 10.在平行四边形ABCD中，AB=4,AD=2,∠BAD=60°，E是CD的中点，则() A.正=丽+而 B.A1=12 C.A正.BD=-6 D.丽在丽上的投影向量为A丽 11.某校举办了一次法律知识竞赛，为了解学生的法律知识举握程度，学校采用简单随机抽样从全校2400 名学生中抽取了一个容量为200的样本，已知样本的成绩全部分布在区间[45,95]内，根据调查结果绘 制学生成绩的频率分布直方图。对于该组数据，下列说法正确的是() 频率 组距 A.样本的众数为70 0.035 B.样本中得分在区间[75,8)内的学生人数的频率为0.03 C.用样本数据估计该校学生成绩在80分以上的人数约为600人 0.015 0.010 D.用样本数据估计该校学生成绩平均数约为71.5 0455565758595得分 12.如图所示，正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB=2A1B1=2AA1=12,点P在四边形ABCD内，点E 是AD上靠近点A的三等分点，则下列说法正确的是() A.AA1⊥平面A1BD B.该正四棱台的高为3V3 C.若A1P=3V6,则动点P的轨迹长度是10π D.过点E的平面a与平面DAC平行，则平面a截该正四棱台所得截面 多边形的面积为16√2 三、填空题（每小题5分，共20分）. 13.已知向量ā=(1，x),6=(4,-x),若a16,则x=▲ 14.3+1是关于x的方程x2-6x+m=0的一个根，则实数m=▲ 15.对某校学生体重进行调查，样本采用按男女比例分配的分层抽样.已知抽取女生30人，其平均数和方 差分别为2=52，s子=13；抽取男生20人，其平均数和方差分别为7=57，s子=11，则总样本平均 数为▲；总样本的方差为▲一 16.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,PA=1,AB=1,BC=V2,AC=V3,设三棱锥P-ABC外接 球体积为，则e人 高一下期考数学试卷第2页（共4页） 扫描全能王创建 命题组：何国智李听梁洪安 四、解容题（共0分解答应写出文字说明，证明过程成滴算步藻）， 17.(10分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足acos B=bcosA. (1)证明：△ABC为等腰三角形： ②)若c=5,cosC=号求△ABC的面积。 18.(12分)为各战运动会，射击队的甲、乙两位射击运动员开展了队内对抗赛。在对抗赛中两人各射 靶10次，每次命中的成绩（环数）如下： 甲476549107810 乙7586797678 (1)求甲运动员的样本数据的第85百分位数： (②)分别计算这两位运动员射击成绩的平均数和方差： (③)射击队教练希望利用此次射击成绩为依据，挑选一名运动员参加运动会，请你帮助数练分析两个 运动员的成绩，作出判断并说明理由 注：一组数据“，的平均数为x,它的方差为s2=[一对2+（出一习2+…+（名一习门 19.《12分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C中，B,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点. (I)证明：B,C,H,G四点共面：直线A1A,直线BG,直线CH三线共点： (2)证明：平面EFA1/平面BCHG. G 高一下期考数学试卷第3页（共4页） 扫描全能王创建 命题组：何国智李听梁淇安 20.(12分)一个不透明的袋中有3个红球，1个白球，球除了颜色外大小、质地均一致。设计了两个摸 球游戏，其规则如下表所示 游戏1 游戏： 2 摸球方式 不放回依次摸2球 有放回依次摸2球 若摸出的2球颜色相同，则甲获胜 获胜规则 若摸出的2球颜色不同，则乙获胜 (1)写出游戏1与游戏2的样本空间：分别求出在游戏1与游戏2中甲获胜的概率，并说明哪个游戏是 公平的： (2)甲与乙两人玩游戏2，约定每局胜利的人得2分，否则得0分，先得到4分的人获得比赛胜利，则 游戏结束.已知每局游戏结果互不影响，求甲获得比赛胜利的概率. 21.(12分)在四棱锥 P-ABCD 中， PA⊥ 平面 ABCD， ， 四边形ABCD为菱形， $$\angle A D C = 6 0 ^ { \circ } ， P A = A D =$$ 2，E为AD的中点. P (1)求证：平面 PCE⊥ 平面 PAD； (2)求 PC 与平面 PAD 所成的角的正切值； (3) 求钝二面角 B-PC-E 的余弦值. E D B C 22.(12分)在 △ABC 中，内角 A 1.B，C的对边分别为a，b，c，且 $$\sin 2 B = \sin A \left( \cos C + \frac { c } { a } \cos A \right)$$ (1)求角B的大小； (2)点D是 AC 上的一点， ∠ABD=∠CBD， ，且 BD=1， ，求 △ABC 周长的最小值， 高一下期考数学试卷第4页(共4页) 扫描全能王创建命题组：何国智李断梁淇安 南宁二中2023-2024学年度下学期高一期末考试 数学试题答案 1.已知复数z=2吧，则z的虚部为（) A,-1 B.1 C.-2 D.2 【解析】答案：C。2-=2-=1-2,虚部为-2 =2 2.下列各组向量中，可以作为基底的是() A.e=(0,0),e2=(1,2)B.e=(-1,2),e=(5,7) C.E=(3,5),=(6,10)D.e=(2,-3),e2=(-6,9) 【解析】答案：B。另外三组向量共线 3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线A1D与D1C所成的角为() A.3 B.4 c.8 D. 【答案】A【详解】正方体中，A1B/D1C,所以A1D与A1B所成的角即异面直线A1D与D1C所成的角，因为△A1BD为 正三角形，所以A1D与AB所成的角为所以异面直线AD与DC所成的角为 4.已知数据x1,x2,x3,,x8的平均数x=10,方差s子=10，则3x1+2,3x2+2,3x3+2,…,3x8+2的平均数) 和方差s吃分别为() A.y=32,s经=90 B.y=32,s经=92 C.y=30,s3=90 D.y=30,s3=92 【答案】A【详解】因为x1,x2,x3…,xg的平均数是10，方差是10，所以3x1+2,3x2+2,3x3+2,…,3x8+2的 平均数是3×10+2=32，方差是32×10=90.故选：A 5.设a、B为不重合的两平面，n、m为不重合的两直线，则下列说法正确的是( A.m/a,n/a,且m,ncB,则β/a B.m/a,m⊥n,则n⊥a C,.m⊥a,a⊥B,则m/B D.m⊥a,mnn=P,则n与a不垂直 【解析】答案：D A.缺少条件m∩n=P,错误 B.n与a夹角不固定，错误 C.可能会出现mcB,错误 D.m与n不重合，不可能有第二个交点，且m与n不平行，故n与a不垂直，正确 6.已知样本空间0=(1,2,3,4,5,6,7,8，事件A={1,2,3,4,事件B={1,2,5,6,事件C=3,4,5,6,则下列选项错误的 是() A.A与B独立 B.B与C独立 高一下期考数学试卷答案第1页（共12页） 命题组：何国智李断梁淇安 CA与C独立 D.P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 【解析】答案：D P(A=P(B)=P(C)=,P(AB)=P(BC)=P(AC)=}即A、B、C两两独立，但P(A)P(B)P(C)=君≠0=P(ABC), 故D错误，选择D。 7冬奥会会徽以汉字“冬“为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一 体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想。某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如 在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下，为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的 美学要求.该同学取端点绘制了△ABD,测得AB=5,BD=6,AC-4,AD=3,若点C恰好在边BD上，则sin∠ACD的 值为() B. D.V22 6 6 【答案】C 【架折1自超.在△4D中，由余该定里，m108.DD.2名-号因为LD8c@. 2AD·BD 所以sn∠ADB=-es乙AD8=-食=2，在」4CD中，由正弦定理4C AD sn∠ADB"sin ZACD,所以 4 3 2i4sin∠ACD,解得sim∠4CD= 6 8已知0为△ABC内一点，且满足30+40丽+50=2丽+3BC+C不，则2 A号 B时 c D喔 【解析】答案：B 原式化为30A+40B+50C=2(0B-0A+3(0C-0B)+(0A-0C),即40A+50B+30C=0 方法1：原式继续化为40A+50B=3C6,即0A+0=C0,延长C0至H点，令0所=0A+0B=C0, 即A,HB三点共线，则=2= 方法2：由养驰定理，50c:Soc:508=45:3,故==片 SAABC 9.已知复数z1=1+i,z2=3+3i,则下列说法正确的是( A.21+z2=16 B.Z1-22对应的点在复平面的第三象限 C.z1z2为纯虚数 D.E R 2 高一下期考数学试卷答案第2页（共12页） 命题组：何国智李听梁淇安 【解析】答案：BCD A.21+z2l=14+4i川=4v2,错误 B.Z1一Z2=-2-2i,对应的点在复平面的第三象限，正确 C乙122=(1+)(3+3)=6i,为纯虚数，正确 D哈=-eR,正确 10.在平行四边形ABCD中，AB=4,AD=2,∠BAD=60°，E是CD的中点，则() A.AE=AB+AD B.AE1=12 C.AE.BD=-6 D.AD在AB上的投影向量为AB 【答案】AC 【详解】 D 如图，设AB=a,AD=b,则1=4，=2，a.6=4×2×cos60°=4， 对于A项，AE=AD+DE=AD+DC=AD+AB,故A项正确： 对于B项，由A项可得，A正=ā+i,两边取平方， 1A正=Ca+2=+d:6+2=×16+4+4=12,则AE=2V3,故B项错误： 对于C项，因A正=ā+6，BD=-+6, 则A正.D=(a+而·(-+而=-2-拉，6+=-×16-×4+4=-6，故C项正确： 对于D项，而在丽上的投影向量为器丽=丽=丽放D项错误。 161 故选：AC 11某校举办了一次法律知识竞赛，为了解学生的法律知识掌握程度，学校采用简单随机抽样从全校2400名学生中 抽取了一个容量为200的样本，已知样本的成绩全部分布在区间[45,95]内，根据调查结果绘制学生成绩的频率分布 直方图。对于该组数据，下列说法正确的是 高一下期考数学试卷答案第3页（共12页） 命题组：何国智李断梁淇安 A.样本的众数为70 频率 组距 0.035 B.样本中得分在区间[75,85)内的学生人数的频率为0.03 C用样本数据估计该校学生成绩在80分以上的人数约为600人 0.015 0.010 D.用样本数据估计该校学生成绩平均数约为71.5 【解析】答案：ACD 455565758595得分 A.众数为区间[65,75)的中点横坐标70，正确 B.10×(0.010+0.015+0.035+m+0.010)=1,即m=0.03,频率为0.3 C样本中成绩在80分以上的频率为0.03×5+0.010×10=0.25，用样本估计总体，总体人数为2400人，其中成 绩在80分以上的人数约为2400×0.25=600，正确 D.样本平均数为0.01×50+0.15×60+0.35×70+0.3×80+0.1×90=71.5，正确 12.如图所示，正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB=2A1B1=2AA1=12,点P在四边形ABCD内，点E是AD上靠近 点A的三等分点，则下列说法正确的是() D A.AA1⊥平面A1BD B.该正四棱台的高为3√3 C.若A1P=3V6,则动点P的轨迹长度是10π D.过点E的平面a与平面D1AC平行，则平面α截该正四棱台所得截面多边形的面积为16√2 【答案】AD 【详解】对于A选项，因为A1B1IAB,所以∠A1BA=∠BA1B,由余弦定理可知AB2+AB2-M=AB+AB2-BB 2AB.AB 2AB1A18 43=+B,解得A,B=6N3,所以AA2+A,B2=AB3,即AA上A1B,同理可得AA1上A,D,又因为 12A1B A1DnA1B=A1,A1D、A1BC平面A1BD,所以AA1⊥平面A1BD,故A正确：对于B选项，如图①所示，过点A1作 A1H⊥AC,垂足为H,则四棱台的高为A1H,因为A1C1=6V2,AC=12V2,所以AH=3V2, 所以A,H=AA,2-AH=3V2,故B错误：对于C选项，由勾股定理得PH=√A,P2-A严=6，故点P的轨迹 为以H为圆心，以6为半径的圆在正方形内部的部分，如图②，其中HT=HK=3,故DT=BK=9,又SH=HL=6, 由勾股定理得ST=KL=3V3,由于品=告=V3,所以LSHT=LHK=号故LSHL=号故动点P的轨迹长度是 g×6=5,故C错误：对于D选项，如图O,分别在棱DC,DD,上取点N,M,使得DN:NC=DM:MD,=2:1, 易得平面MENI平面D1AC,所以△MEN即为平面a截该四棱台所得截面多边形，易知AD1=A1B=6V3,所以ME= NM=号AD,=4W3,EN=AC=8VZ,所以截面多边形的面积为8V2,故D正确，故选：AD. D 图①： D 图②： N 高一下期考数学试卷答案第4页（共12页） 命题组：何国智李断梁淇安 13.已知向量à=(1，x),五=(4，-x),若d1万，则x= 【解析】答案：2或-2 a1b,则a,6=1·4+x(-x)=x2-4=0,则x=2或-2 14.3+是关于x的方程x2-6x+m=0的一个根，则实数m= 【解析】答案：10 若一元二次方程存在虚数根，则该方程的两个根为共轭复数，即x1=3+,x2=3一为该方程的两根，由韦达定 理，四=(3+03-)=10 15.对某校学生体重进行调查，采用按样本量比例分配的分层抽样。己知抽取女生30人，其平均数和方差分别为 元=52，s子=13：抽取男生20人，其平均数和方差分别为=57，s号=11，则总样本平均数为；总样本的 方差为 【解析】答案：54：号（小数形式182也正确） 设五，s2分别为总样本均值和方差，2=器x+器)=54 2=813+(52-54)2]+器11+(57-54021=号=18.2 16.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,PA=1,AB=1,BC=√2，AC=V3,设三棱锥P-ABC外接球体积 为，则 【解析】答案：4V2π 由于AC2=AB2+BC2,故∠ABC=90°。将三棱锥P-ABC补形为边长分别为1,1，V2的长方体，则其外接球半 径R=2+12+反=1，V=R2=号bAac=号故，=4Wm I7.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足acos B=bcosA. (I)证明：△ABC为等腰三角形 (2)若c=5,cosC=号求△ABC的面积。 【详解】(1)因为acosB=bcos4,由正弦定理，所以si4 4cosB=cosAsinB…(1分) 则sin(A-B)=0. …(2分) A-B=0或A-B=π， 又AB∈(0，π)，所以-π<A-B<π， …(3分) 故A-B=0,即A=B …(4分) .△ABC为等腰三角形 …(5分) (2)由A=B,则a=b 高一下期考数学试卷答案第5页（共12页） 命题组：何国智李听梁淇安 cosC=2+2-c2=2a2-25= …(6分) 2ab 2a2 13 即a2=325 =用里 2 …(7分) sin C=v1-cos2C=5 3 ……(8分) SAABC =ab sinC …(9分) a sinc= …(10分) 18.为备战运动会，射击队的甲、乙两位射击运动员开展了队内对抗赛。在对抗赛中两人各射靶10次，每次命中 的成绩（环数）如下： 甲476549107810 乙7586797678 (1)求甲运动员的样本数据第85百分位数： (2)分别计算这两位运动员射击成绩的平均数和方差： (3)射击队教练希望利用此次射击成绩为依据，挑选一名运动员参加运动会，请你帮助教练分析两个运动员的成绩， 作出判断并说明理由。 注：一组数据，的平均数为x,它的方差为s2=【(:1-)2+(x2-习2+…+(xn一)] 【详解】(1)根据题意可知，： 把甲的数据按从小到大排列如下： 445677891010 …(1分) 因为85%×10-8.5 …(2分) 所以第9个数据是第85百分位数， …(3分) 所以第85百分位数为10. …(4分) (2)即=4+4+5+6+7+7+8+9+10+10)=7 …(5分) …(6分) (5+6+6+7+7+7+7+8+8+9)=7 x20 =【-7刀2×2+(8-7刀2+6-7刀2+10-7刀2×2+6-7刀2+(4-7×2+9-7刀]=46(8分) 2=6-7+6-7×2+0-7yx4+8-×2+9-刀]=12. (10分) (3)由(2)知，>2，xx 高一下期考数学试卷答案第6页（共12页） 命题组：何国智李断梁淇安 平均数 方差 命中9环及9环以上的次数 甲 4.6 3 7 1.2 ()因为两名运动员射击成绩的平均数相同，且s品>s号，则乙的成绩比甲稳定； ()因为两名运动员射击成绩的平均数相同，命中9环及9环以上的次数甲比乙多，所以，甲爆发力更强。 ()乙成绩在平均数上下波动：而甲处于上升势头，从第六次以后就没有比乙少的情况发生，甲更有潜力： 确定人选(11分)，说出理由(12分)，言之有理即可 19.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点.求证： (I)证明：B,C,H,G四点共面：直线A1A,直线BG,直线CH三线共点 (2)平面EFA1/平面BCHG. H B 【详解】(I):G,H分别是AB1,AC的中点 ∴.GH是△ABC的中位线，.GH/1BC 又在三棱柱ABC-A,B,C1中，BC1/BC (1分) ∴.由平行的传递性，GH/BC, …(2分) B,C,H,G四点共面. …(3分) 设P=BG nCH,下证P∈AA1 …(4分) BGC平面AA1B1B,CHC平面AA1C1C ÷P∈平面AA1B1B,P∈平面AA1C1C (5分) AA1=平面AA1B1Bn平面AA1C1C …(6分) ÷PEAA1,即AA1,BG,CH三线共点 …(7分) (2):E,F分别为AB,AC的中点， ÷EF/BC, …(8分) ,EFa平面BCHG,BCC平面BCHG, ∴，EFI/平面BCHG, …(9分) :在三棱柱ABC-AB,C1中，ABI1AB,AB=AB, 4G1/B,4G=号48-号4B=, .四边形AEBG是平行四边形，∴.AE/IGB, …(10分) ,AE4平面BCHG,GBc平面BCHG, .AE/1平面BCHG, …(11分) AENEF=E,AE,EFc平面EFA, 高一下期考数学试卷答案第7页（共12页） 命题组：何国智李断梁淇安 ∴.平面EFA,II平面BCHG. ……(12分) 20.一个不透明的袋中有3个红球，1个白球，球除了颜色外大小、质地均一致。设计了两个摸球游戏，其规则如下 表所示 游戏1 游戏2 摸球方式 不放回依次摸2球 有放回依次摸2球 若摸出的2球颜色相同，则甲获胜 获胜规则 若摸出的2球颜色不同，则乙获胜 (1)写出游戏1与游戏2的样本空间：求出在游戏1与游戏2中甲获胜的概率，并说明哪个游戏是公平的。 (2)甲与乙两人玩游戏2，约定每局胜利的人得2分，否则得0分，先得到4分的人获得比赛胜利，则游戏结束。 每局游戏结果互不影响，求甲获得比赛胜利的概率。 【解析】 (1)记三个红球为1,2,3号，记白球为w号，用(x,y)表示两次摸球的情况，记游戏1与游戏2的样本空间分别为21， 02 …(1分) n1=(1,2),(1,3),(1,w), n2={(1,1),(1,2),(1,3),(1,w) (2,1),(2,3),(2,w), (2,1),(2,2),(23).(2w), (3,1),(3,2),(3,w) (3,1),(3,2),(3,3),(3,w), (w,1),(w,2),(w,3)} (w,1),(w,2),(w,3),(w,w)} …(2分) 记A1=“在游戏1中甲获胜”，记A2=“在游戏2中甲获胜” A1={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)月 A2={(1,1),(1,2),(1,3).(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(w,w)} …(3分) …(4分) n() Pa)==8= …(5分) 故游戏1是公平的。… …(6分) (2)记B:=“甲获得第局游戏胜利”，1=1,2,3，记W=”“甲获得比赛胜利” …(7分) ),P(B)=5P(B)=吾，i=1,2,3 …(8分) P(W)=P(BB2 UBB2B3 UBB2B3)=P(BB2)+P(BB2B3)+P(BB2B3) =P(B1)P(B:)+P(B1)P(B2)P(B3)+P(B)P(B2)P(B3) …(10分) =5.5+3.5.+5..5= 88888888256 …(12分) 21.四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为菱形，∠ADC=60°，PA=AD=2,E为AD的中点. (I)求证：平面PCE⊥平面PAD: (2)求PC与平面PAD所成的角的正切值： (3)求钝二面角B-PC-E的余弦值. D 高一下期考数学试卷答案第8页（共12页） 命题组：何国智李听梁淇安 【解析】(1)证明：，四边形ABCD为菱形，DA=DC, ,∠ADC-60°，∴.△ADC为等边三角形，∴.CA=CD, 在△ADC中，E是AD中点，∴.CELAD, …(1分) ,PA⊥平面ABCD,CEC平面ABCD,.CE⊥PA, …(2分) ,PA04D=A,PAC平面PAD,ADC平面PAD, ∴.EC⊥平面PAD, (3分) ,CEC平面PCE,∴.平面PCE⊥平而PAD. …(4分) (2)解：EC⊥平面PAD,.斜线PC在平面内的射影为PE, 即∠CPE是PC与平面PAD所成角的平面角， …(5分) ,PA⊥平面ABCD,ADC平面ABCD,.PA⊥AD, 在Rt△PAE中，PE=VPA2+AEZ=V5,在Rt△CED中，CE=VCD2-ED2=√3， EC⊥平面PAD,PEC平面PAD,∴，EC⊥PE 在Rt△CEP中，tan∠CPE=cE=压， PE 5 …(6分) ∴PC与平面PAD所成角的正切值为压 …(7分) B (3)作BC中点M,以A为原点，AM为x轴，AD为y轴，AP为z轴建系 B(V3,-1,0),C(3,1,0),E(0,1,0),P0.,0,2) PB-3,-1,-2),PC-(31,-2),PE-(0,1,-2) 一(8分) 设-(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2)分别为平面PCB,平面PCE法向量 @丽=0即3-4-2%=0即m=20.v同- …(9分) m·P元=0(3x1+y-2z1=0 i:P呢=0.即32+2-22=0'即元=0,21) …(10分) i.P元=0' 高一下期考数学试卷答案第9页（共12页） 命题组：何国智李断梁淇安 cos<元，n>=m定=os 川河 35 …(11分) 则钝二面角B-PC一E的余弦值为-西 …(12分) 35 其他建系方法()：作CD中点N,以AB为x轴，AN为y轴，AP为z轴建系 B20,0.C3.0.E-2o.P00,2 P丽-2,0-2，p元-(1v32,P呢（←52 平面PCB法向量元=(1，停，1)，平面PCE法向量元=(-1，V3,1) 其他建系方法(G:作AC中点O,以OB为x轴，OC为y轴建系 B30.0,C0.1,0.E(--0.P01,2) P丽-W3,12.P元-0,22，PE(-号2 平面PCB法向量元=(1，V3,V3),平面PCE法向量元=(V3,-1,-1) 22.在△ABC中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,且sin2B=sinA(cosC+cosA (1)求角B的大小： (2)点D是AC上的一点，∠ABD=∠CBD,且BD=1,求△ABC周长的最小值. (1)由二倍角公式得，2 2sinBcosB=-simA(cosC+cosA) …(1分） 故由正弦定理得2 b cosB=a cosC+c cosA,2 sinB cosB=sinAcosC+sinC cosA=sinB,…(2分) 而B∈(0，π).sinB≠0， (3分) 故cosB=2' …(4分) 则B= 3 …(5分) 高一下期考数学试卷答案第10页（共12页）