第04讲 空间向量及其运算（七大题型）-2024年暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

第04讲 空间向量及其运算 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：空间向量的有关概念 1、空间向量 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或||. 知识点诠释： （1）空间中点的一个平移就是一个向量； （2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。 2、几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 0 单位向量 任意 1 相反向量 相反 相等 a的相反向量：－a 的相反向量： 相等向量 相同 相等 a＝b 知识点二：空间向量的线性运算 (1)向量的加法、减法 空间向量的运算 加法 ＝＋＝a＋b 减法 ＝－＝a－b 加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (2)空间向量的数乘运算 ①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 当λ>0时，λa与向量a方向相同； 当λ<0时，λa与向量a方向相反； 当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍． ②运算律 结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a. 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 知识点诠释： （1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并； （2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则． （3）空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即： 因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：； 知识点三：共线问题 共线向量 (1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． (2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a. (3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb. (4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa. 知识点诠释：此定理可分解为以下两个命题： （1）存在唯一实数，使得； （2）存在唯一实数，使得，则． 注意：不可丢掉，否则实数就不唯一． （3）共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行；（进而证线面平行） ②证明三点共线。 注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。 知识点四：向量共面问题 共面向量 (1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y. （4）共面向量定理的用途： ①证明四点共面 ②线面平行（进而证面面平行）。 知识点五：空间向量数量积的运算 空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积为0. (2)常用结论(a，b为非零向量) ①a⊥b⇔a·b＝0. ②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2. ③cos〈a，b〉＝. (3)数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 知识点诠释： （1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同． （2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定． （3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆． 知识点六：利用数量积证明空间垂直关系 当a⊥b时，a·b＝0. 知识点七：夹角问题 1、定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。 根据空间两个向量数量积的定义：， 那么空间两个向量、的夹角的余弦。 知识点诠释： （1）规定: （2）特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向;如果,那么与垂直,记作。 2、利用空间向量求异面直线所成的角 异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。 在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。 知识点八：空间向量的长度 1、定义： 在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模： 将其推广： ；。 2、利用向量求线段的长度。 将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。 【典例例题】 题型一：空间向量的有关概念及线性运算 【典例1-1】（2024·高二·新疆·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，互为相反向量，则 C．空间中两平行向量相等 D．在四边形ABCD中， 【典例1-2】（2024·高二·山东日照·阶段练习）下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【变式1-1】（2024·高二·福建泉州·期中）在正方体中，与向量相反的向量是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·高二·甘肃·期中）在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·高二·河南·阶段练习）在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 题型二：共线向量定理的应用 【典例2-1】（2024·高二·全国·专题练习）有下列命题： ①若，则四点共线； ②若，则三点共线； ③若为不共线的非零向量，，则； ④若向量是三个不共面的向量，且满足等式，则． 其中是真命题的序号是 (把所有真命题的序号都填上)． 【典例2-2】（2024·高二·全国·单元测试）在正方体中，点E，F分别是底面和侧面的中心，若，则 ． 【变式2-1】（2024·高二·上海·课后作业）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为 ． 【变式2-2】（2024·高二·江苏·课后作业）若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为 . 【变式2-3】（2024·高一·全国·单元测试）设是不共线的向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则实数k为 ． 题型三：共面向量及应用 【典例3-1】（2024·高二·江苏宿迁·期中）下列命题正确的是（    ） A．若是空间任意四点，则有 B．若表示向量的有向线段所在的直线为异面直线，则向量一定不共面 C．若共线，则表示向量与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点与不共线的三点、、，若（其中、、），则、、、四点共面 【典例3-2】（2024·高二·云南临沧·阶段练习）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·高二·浙江杭州·期末）对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 【变式3-2】（2024·高二·江苏·阶段练习）已知向量不共面，则使向量共面的实数x的值是（    ） A． B． C． D．4 【变式3-3】（2024·高二·江苏泰州·阶段练习）为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式3-4】（2024·高二·福建厦门·阶段练习）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，，与平面交于点，则（    ） A． B． C． D． 题型四：空间向量的数量积 【典例4-1】（2024·高二·上海·阶段练习）由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示），点是正方形的中心，则向量（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 【典例4-2】（2024·高二·河南·阶段练习）如图，在正四棱柱中，，，，，分别是所在棱的中点，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【变式4-1】（2024·高二·江苏连云港·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，则 【变式4-2】（2024·高二·河北邢台·阶段练习）某圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，是底面圆的一条直径，是侧面上一动点，则的最小值为 ． 【变式4-3】（2024·高二·江苏·课后作业）如图，在三棱锥中，平面，，，． (1)确定在平面上的投影向量，并求； (2)确定在上的投影向量，并求． 【变式4-4】（2024·高二·江苏·课前预习）已知正四面体的棱长为1，如图所示. (1)确定向量在直线上的投影向量，并求·； (2)确定向量在平面上的投影向量，并求. 【变式4-5】（2024·高二·山西吕梁·期末）如图所示，平行六面体中，，.    (1)用向量表示向量，并求； (2)求. 题型五：利用空间向量的数量积求两向量的夹角 【典例5-1】（2024·高二·江苏南通·阶段练习）空间四边形中，，，，且异面直线与成，则异面直线与所成角的大小为 . 【典例5-2】（2024·高二·山东烟台·阶段练习）在平行六面体中，，，为与的交点. (1)用向量表示； (2)求线段的长及向量与的夹角. 【变式5-1】（2024·高二·安徽滁州·期末）已知是两个空间向量，若，，则＝ . 【变式5-2】（2024·高二·河北张家口·期末）已知平行六面体的所有棱长都相等，且，则直线与直线所成角的余弦值为 . 题型六：利用空间向量的数量积求线段的长度 【典例6-1】（2024·高二·安徽滁州·期末）在四棱柱中，，，，则 . 【典例6-2】（2024·高二·福建漳州·阶段练习）在平行六面体中，，，，，，则 【变式6-1】（2024·高二·上海·期中）如图，圆柱的底面半径为2，高为分别是上、下底面圆周上的两个点，若，则 . 【变式6-2】（2024·高二·云南临沧·阶段练习）在矩形中，，现将沿对角线折起，得到四面体，若异面直线与所成角为，则 . 【变式6-3】（2024·高二·江苏·阶段练习）已知空间向量两两夹角为，且，则 ． 【变式6-4】（2024·高二·江西·期末）已知A，B，C，P为空间内不共线的四点，G为的重心． (1)证明：； (2)若向量，，的模长均为2，且两两夹角为，求． 题型七：利用空间向量的数量积证垂直 【典例7-1】（2024·高二·全国·课后作业）如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都为a，点M，N分别是AB，CD的中点．证明：．    【典例7-2】（2024·高二·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，G、H分别是侧面和的中心．设，，． (1)用向量、、表示、； (2)求； (3)判断与是否垂直． 【变式7-1】（2024·高二·山东泰安·期中）如图，在平行六面体中，，，，M，N分别为，中点． (1)求的长； (2)证明：． 【过关测试】 1．（2024·高二·山西晋中·期末）在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·高二·江苏南通·期末）在三棱锥中，已知，是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高二·贵州遵义·期末）如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（2024·高二·河北石家庄·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高二·全国·课后作业）已知为空间任意一点，满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 6．（2024·高二·云南玉溪·期末）已知O，A，B，C为空间中不共面的四点，且，若P，A，B，C四点共面，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·高二·江苏盐城·期末）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，若正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 8．（2024·高二·广东广州·期末）在下列条件中，一定能使空间中的四点共面的是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·高二·陕西·阶段练习）在正四棱台中，，，，，，若平面，则 ．    10．（2024·高二·贵州黔南·期中）设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为 . 11．（2024·高二·全国·课后作业）在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则 ． 12．（2024·高二·江苏·阶段练习）如图，有一长方形的纸片，的长度为4 cm，的长度为3 cm，现沿它的一条对角线把它折叠成的二面角，则折叠后 ，线段的长是 cm. 13．（2024·高二·湖南长沙·期末）如图所示，已知平面，则 ．    14．（2024·高二·山东潍坊·期中）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，. (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，，求的值. 15．（2024·高二·重庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．        (1)求； (2)求的长． 16．（2024·高二·湖北·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，． (1)求的长． (2)求异面直线与所成的角的余弦值． 17．（2024·高二·重庆黔江·阶段练习）如图，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，E是AC上的点，且，． (1)求证：； (2)求直线BD与AC所成角的大小． 18．（2024·高二·全国·专题练习）如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足，点P满足. (1)用向量表示； (2)求. 19．（2024·高二·全国·课后作业）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且.求： (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 20．（2024·高二·广东江门·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为．求： (1)的长； (2)与夹角的余弦值． 21．（2024·高二·四川成都·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，且 (1)用空间的一个基底表示，并求的长； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 22．（2024·高二·浙江杭州·期中）如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足，点P满足． (1)用向量，，表示； (2)求． 23．（2024·高二·吉林松原·期中）已知空间四边形中，，求的值. 24．（2024·高二·重庆开州·阶段练习）如图，棱长为1的正四面体OABC中，，点M满足，点N为BC中点，    (1)用表示； (2)求. 25．（2024·高二·全国·专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)判断与是否垂直． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 空间向量及其运算 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：空间向量的有关概念 1、空间向量 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或||. 知识点诠释： （1）空间中点的一个平移就是一个向量； （2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。 2、几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 0 单位向量 任意 1 相反向量 相反 相等 a的相反向量：－a 的相反向量： 相等向量 相同 相等 a＝b 知识点二：空间向量的线性运算 (1)向量的加法、减法 空间向量的运算 加法 ＝＋＝a＋b 减法 ＝－＝a－b 加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (2)空间向量的数乘运算 ①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 当λ>0时，λa与向量a方向相同； 当λ<0时，λa与向量a方向相反； 当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍． ②运算律 结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a. 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 知识点诠释： （1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并； （2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则． （3）空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即： 因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：； 知识点三：共线问题 共线向量 (1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． (2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a. (3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb. (4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa. 知识点诠释：此定理可分解为以下两个命题： （1）存在唯一实数，使得； （2）存在唯一实数，使得，则． 注意：不可丢掉，否则实数就不唯一． （3）共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行；（进而证线面平行） ②证明三点共线。 注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。 知识点四：向量共面问题 共面向量 (1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y. （4）共面向量定理的用途： ①证明四点共面 ②线面平行（进而证面面平行）。 知识点五：空间向量数量积的运算 空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积为0. (2)常用结论(a，b为非零向量) ①a⊥b⇔a·b＝0. ②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2. ③cos〈a，b〉＝. (3)数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 知识点诠释： （1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同． （2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定． （3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆． 知识点六：利用数量积证明空间垂直关系 当a⊥b时，a·b＝0. 知识点七：夹角问题 1、定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。 根据空间两个向量数量积的定义：， 那么空间两个向量、的夹角的余弦。 知识点诠释： （1）规定: （2）特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向;如果,那么与垂直,记作。 2、利用空间向量求异面直线所成的角 异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。 在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。 知识点八：空间向量的长度 1、定义： 在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模： 将其推广： ；。 2、利用向量求线段的长度。 将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。 【典例例题】 题型一：空间向量的有关概念及线性运算 【典例1-1】（2024·高二·新疆·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，互为相反向量，则 C．空间中两平行向量相等 D．在四边形ABCD中， 【答案】D 【解析】对于A，向量不可以比较大小，所以A错误； 对于B, 若，互为相反向量，则，故B错误； 对于C，两向量相等需要向量的方向相同，且长度相同，故C错误； 对于D，四边形ABCD中，，故D正确. 故选：D 【典例1-2】（2024·高二·山东日照·阶段练习）下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【答案】A 【解析】选项A：因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与的长度相等，所以A正确； 选项B：将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误； 选项C：空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误； 选项D：两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量与的模相等，所以D错误； 故选：A. 【变式1-1】（2024·高二·福建泉州·期中）在正方体中，与向量相反的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图所示，可知是的相反向量. 故选：A 【变式1-2】（2024·高二·甘肃·期中）在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在空间四边形ABCD中，E为BC的中点，则， 所以. 故选：C 【变式1-3】（2024·高二·河南·阶段练习）在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】, 故选:A 题型二：共线向量定理的应用 【典例2-1】（2024·高二·全国·专题练习）有下列命题： ①若，则四点共线； ②若，则三点共线； ③若为不共线的非零向量，，则； ④若向量是三个不共面的向量，且满足等式，则． 其中是真命题的序号是 (把所有真命题的序号都填上)． 【答案】②③④ 【解析】①中，若，根据共线向量的定义，可得或四点共线， 所以①不正确； ②中，若，且和由公共点点，所以三点共线，所以②正确； ③中，由，可得，所以，所以③正确； ④中，由，可得，所以，所以④正确． 故答案为：②③④. 【典例2-2】（2024·高二·全国·单元测试）在正方体中，点E，F分别是底面和侧面的中心，若，则 ． 【答案】/－0.5 【解析】如图，连接，， 则点E在上，点F在上， 易知，且， ∴，即，∴． 故答案为： 【变式2-1】（2024·高二·上海·课后作业）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为 ． 【答案】 【解析】因为，， 可得， 又因为三点共线，可设，即， 因为不共线，可得，解得， 所以实数的值为. 故答案为：. 【变式2-2】（2024·高二·江苏·课后作业）若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为 . 【答案】－/ 【解析】由题意知，存在实数λ使得， 即，解得. 故答案为： 【变式2-3】（2024·高一·全国·单元测试）设是不共线的向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则实数k为 ． 【答案】 【解析】由，，得， 由A，B，D三点共线，得，而，因此，解得， 所以实数k为. 故答案为： 题型三：共面向量及应用 【典例3-1】（2024·高二·江苏宿迁·期中）下列命题正确的是（    ） A．若是空间任意四点，则有 B．若表示向量的有向线段所在的直线为异面直线，则向量一定不共面 C．若共线，则表示向量与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点与不共线的三点、、，若（其中、、），则、、、四点共面 【答案】A 【解析】由空间向量的加法运算可知，故A正确； 空间中任意两个向量都共面，故B错误； 若共线，则表示向量与的有向线段所在直线平行或重合，故C错误； 若，且，则、、、四点共面，故D错误； 故选：A 【典例3-2】（2024·高二·云南临沧·阶段练习）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，所以三个向量共面，排除； 对于B，，所以三个向量共面，排除； 对于D，，所以三个向量共面，排除. 故选：C. 【变式3-1】（2024·高二·浙江杭州·期末）对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 【答案】B 【解析】由，可得， 即，根据平面向量的基本定理，可得共面， 又因为三个向量有公共点，所以四点共面. 故选：B. 【变式3-2】（2024·高二·江苏·阶段练习）已知向量不共面，则使向量共面的实数x的值是（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【解析】因为共面，所以存在实数，使得，所以，解得. 故选：A. 【变式3-3】（2024·高二·江苏泰州·阶段练习）为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，可化简为：，即， 由于，，，四点共面，则，解得：； 故选：C 【变式3-4】（2024·高二·福建厦门·阶段练习）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，，与平面交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设， 因为， 所以， 又因为四点共面，所以， 解得，即. 故选：A. 题型四：空间向量的数量积 【典例4-1】（2024·高二·上海·阶段练习）由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示），点是正方形的中心，则向量（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【解析】由正四棱柱性质可知，向量在上的投影向量为， 由数量积的几何意义可知，. 故选：A 【典例4-2】（2024·高二·河南·阶段练习）如图，在正四棱柱中，，，，，分别是所在棱的中点，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【解析】由向量投影的概念，表示向量在上的投影， 因为垂直于平面,所以 因为（其中）， 所以. 故选：D. 【变式4-1】（2024·高二·江苏连云港·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，则 【答案】 【解析】因为平面，面， 所以，所以， 又，所以， . 故答案为：. 【变式4-2】（2024·高二·河北邢台·阶段练习）某圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，是底面圆的一条直径，是侧面上一动点，则的最小值为 ． 【答案】-1 【解析】设圆锥底面圆的圆心O，则， 则圆锥的高， ， 当垂直于过P点的母线时，长最小，即为， 故的最小值为， 故答案为：-1 【变式4-3】（2024·高二·江苏·课后作业）如图，在三棱锥中，平面，，，． (1)确定在平面上的投影向量，并求； (2)确定在上的投影向量，并求． 【解析】（1）因为平面，所以在平面上的投影向量为， 因为平面，面，可得，所以， 因为，所以， 所以 . （2）由（1）知：，， 所以在上的投影向量为： ， 由数量积的几何意义可得：. 【变式4-4】（2024·高二·江苏·课前预习）已知正四面体的棱长为1，如图所示. (1)确定向量在直线上的投影向量，并求·； (2)确定向量在平面上的投影向量，并求. 【解析】（1）在正四面体OABC中，取OB的中点P，连接，则有， 因此即为在直线上的投影向量. 所以· （2）在正四面体中，设O在底面内的投影为Q，易知Q为底面中心，则平面, 连接并延长交于M，则M为中点，， 且即为平面内的投影向量. ∴ 【变式4-5】（2024·高二·山西吕梁·期末）如图所示，平行六面体中，，.    (1)用向量表示向量，并求； (2)求. 【解析】（1）根据空间向量的线性运算，可得， 可得 ， 所以. （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以 . 题型五：利用空间向量的数量积求两向量的夹角 【典例5-1】（2024·高二·江苏南通·阶段练习）空间四边形中，，，，且异面直线与成，则异面直线与所成角的大小为 . 【答案】/ 【解析】因为异面直线与成角，则与夹角为或， 又，. 两边平方，得， 即， 或， （或舍去）. 即与夹角为，所以异面直线与所成角为. 故答案为：. 【典例5-2】（2024·高二·山东烟台·阶段练习）在平行六面体中，，，为与的交点. (1)用向量表示； (2)求线段的长及向量与的夹角. 【解析】（1）因为为与的交点，所以， 又因为， 所以. （2）因为 ，所以， 因为，所以 . 所以，即两向量的夹角为. 【变式5-1】（2024·高二·安徽滁州·期末）已知是两个空间向量，若，，则＝ . 【答案】/0.125 【解析】由题意得，， 则，即，则 则， 故答案为： 【变式5-2】（2024·高二·河北张家口·期末）已知平行六面体的所有棱长都相等，且，则直线与直线所成角的余弦值为 . 【答案】0 【解析】因为，所以四边形为平行四边形， 所以，所以直线与直线所成角和直线与直线所成的角相等， 又因为，所以 ， 所以直线与直线垂直，即直线与直线所成角的余弦值为0. 故答案为：0. 题型六：利用空间向量的数量积求线段的长度 【典例6-1】（2024·高二·安徽滁州·期末）在四棱柱中，，，，则 . 【答案】3 【解析】由题意知，所以 ， 即， 解得，即. 故答案为：3. 【典例6-2】（2024·高二·福建漳州·阶段练习）在平行六面体中，，，，，，则 【答案】 【解析】因为， 所以 ， 故. 故答案为：. 【变式6-1】（2024·高二·上海·期中）如图，圆柱的底面半径为2，高为分别是上、下底面圆周上的两个点，若，则 . 【答案】 【解析】因为分别是圆柱的上下底面的中心， 所以, 又因为圆柱的底面半径为2，高为5，， 且， 所以， ， ， 所以， 故答案为：. 【变式6-2】（2024·高二·云南临沧·阶段练习）在矩形中，，现将沿对角线折起，得到四面体，若异面直线与所成角为，则 . 【答案】或 【解析】如图所示，在矩形中，，可得， 则， 在四面体中，设与的夹角为， 因为异面直线与所成角为，则或， 由 ，所以或. 故答案为：或 【变式6-3】（2024·高二·江苏·阶段练习）已知空间向量两两夹角为，且，则 ． 【答案】 【解析】依题意，， 则 ， . 故答案为：. 【变式6-4】（2024·高二·江西·期末）已知A，B，C，P为空间内不共线的四点，G为的重心． (1)证明：； (2)若向量，，的模长均为2，且两两夹角为，求． 【解析】（1）证明：因为G是的重心，所以， 则， 即. （2）由（1）得， 所以， ，即． 题型七：利用空间向量的数量积证垂直 【典例7-1】（2024·高二·全国·课后作业）如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都为a，点M，N分别是AB，CD的中点．证明：．    【解析】证明：由题意可知，，且向量，，两两的夹角均为，连接AN，则， ∴ ， ∴，即． 【典例7-2】（2024·高二·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，G、H分别是侧面和的中心．设，，． (1)用向量、、表示、； (2)求； (3)判断与是否垂直． 【解析】（1）根据空间向量的运算法则，可得， . （2）根据空间向量的运算法则和数量积的运算公式，可得， 则. （3）根据空间向量的运算法则，可得； 则， 所以与垂直． 【变式7-1】（2024·高二·山东泰安·期中）如图，在平行六面体中，，，，M，N分别为，中点． (1)求的长； (2)证明：． 【解析】（1）设，，，则，，，， ． 因为 ， 所以 （2）证明：因为 ， 所以． 【过关测试】 1．（2024·高二·山西晋中·期末）在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 . 故选：C 2．（2024·高二·江苏南通·期末）在三棱锥中，已知，是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】连接，因为是线段的中点，所以 因为，所以 所以 故选：D 3．（2024·高二·贵州遵义·期末）如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由点在上，且，知；由为的中点，知. 所以. 故选：C. 4．（2024·高二·河北石家庄·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A选项，因为，故不共面，A错误； B选项，设， 故，无解，故不共面，B正确； C选项，设， 则，解得，故共面，C错误； D选项，， 则，解得，故共面，D错误. 故选：B 5．（2024·高二·全国·课后作业）已知为空间任意一点，满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】因为为空间任意一点，， 所以， 所以， 因为A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面， 所以，解得． 故选：C． 6．（2024·高二·云南玉溪·期末）已知O，A，B，C为空间中不共面的四点，且，若P，A，B，C四点共面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为P，A，B，C四点共面，所以，所以. 故选:C． 7．（2024·高二·江苏盐城·期末）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，若正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解析】由四点共面，可知，即， 由， ，当且仅当，即时等号成立， 故选：B 8．（2024·高二·广东广州·期末）在下列条件中，一定能使空间中的四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，中，，A不是； 对于B，中，，B不是； 对于C，化为，，C不是； 对于D，中，，D是. 故选：D 9．（2024·高二·陕西·阶段练习）在正四棱台中，，，，，，若平面，则 ．    【答案】/0.75 【解析】如图所示： 连接，设，平面平面， 因为平面，且平面， 所以； 因为四棱台底面为正方形，且，， 所以，， 从而， 又因为，， 所以， ， 因为， 所以. 故答案为：. 10．（2024·高二·贵州黔南·期中）设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为 . 【答案】/ 【解析】∵，，， ∴， 又∵A，C，D三点共线，∴， ∵，不共线，∴， ∴，∴. 故答案为： 11．（2024·高二·全国·课后作业）在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则 ． 【答案】/ 【解析】因为正方体中，， 设，又， 所以，即， 因为A、E、F三点共线，所以，解得，即. 故答案为：. 12．（2024·高二·江苏·阶段练习）如图，有一长方形的纸片，的长度为4 cm，的长度为3 cm，现沿它的一条对角线把它折叠成的二面角，则折叠后 ，线段的长是 cm. 【答案】 【解析】如图所示，作，，垂足分别为，，则，， ，，折叠后，，，的长度保持不变， 所以，， 因为二面角为直二面角，，平面平面， 平面，所以平面，平面，所以， 所以， 因为 ， 所以，即. 故答案为：； 13．（2024·高二·湖南长沙·期末）如图所示，已知平面，则 ．    【答案】12 【解析】， , 因为平面，平面， 所以，， 所以， 则. 故答案为： 14．（2024·高二·山东潍坊·期中）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，. (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，，求的值. 【解析】（1）， ， 故 ∵点E为AD的中点， 故. （2）由题意得， 故， 故 . 15．（2024·高二·重庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．        (1)求； (2)求的长． 【解析】（1）. （2）因为， 所以 ， 所以的长为. 16．（2024·高二·湖北·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，． (1)求的长． (2)求异面直线与所成的角的余弦值． 【解析】（1） ， 所以， 即的长为. （2） ， 又由余弦定理得， 所以设所求异面直线所成角为，. 17．（2024·高二·重庆黔江·阶段练习）如图，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，E是AC上的点，且，． (1)求证：； (2)求直线BD与AC所成角的大小． 【解析】（1）证明：是底面圆的直径，，； 由圆柱可得：母线底面，底面，； 又，平面，平面， 又平面，． （2），， ， 由（1）知母线底面，，， 又，， ，由题知，， 设直线BD与AC所成角为，则 ， 而，所以，故直线BD与AC所成角的大小为. 18．（2024·高二·全国·专题练习）如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足，点P满足. (1)用向量表示； (2)求. 【解析】（1）因为M是棱BC的中点，点N满足，点P满足. 所以； （2）因为正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1， 所以，， 所以， 所以 ，所以. 19．（2024·高二·全国·课后作业）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且.求： (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 【解析】（1）由题意得， 所以 ； （2） 所以 ， ，, ， 故， 由于异面直线所成角的范围为大于小于等于， 所以直线与AC所成角的余弦值为. 20．（2024·高二·广东江门·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为．求： (1)的长； (2)与夹角的余弦值． 【解析】（1）设，，，由题意知：，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即的长为， （2）∵， ∴， ∴， ， ∴， 即与夹角的余弦值为． 21．（2024·高二·四川成都·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，且 (1)用空间的一个基底表示，并求的长； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【解析】（1）由题，，，构成空间的一个基底． 因为， 所以 ， 所以． （2）又，， 所以 ∴ ∴异面直线与所成的角为，余弦值为0． 22．（2024·高二·浙江杭州·期中）如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足，点P满足． (1)用向量，，表示； (2)求． 【解析】（1）因为M是棱BC的中点，点N满足，点P满足． 所以． （2）因为四面体OABC是正四面体，则， ， ， 所以． 23．（2024·高二·吉林松原·期中）已知空间四边形中，，求的值. 【解析】， 24．（2024·高二·重庆开州·阶段练习）如图，棱长为1的正四面体OABC中，，点M满足，点N为BC中点，    (1)用表示； (2)求. 【解析】（1）连接，如图所示： 因为，， 所以. （2）因为正四面体的棱长为1，所以， 所以 ， 所以. 25．（2024·高二·全国·专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)判断与是否垂直． 【解析】（1）正方体中，， 故. （2）由题意， ， ， 故与垂直. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$