第03讲 概率的综合运用（五大题型）-2024年暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

第03讲 概率的综合运用 【题型归纳目录】 【知识点梳理】 知识点1、古典概型 （1）古典概型 考察这些试验的共同特征，就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性．可以发现，它们具有如下共同特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型(classical models of probability)，简称古典概型． （2）概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率 P(A)＝＝. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 知识点2、概率的基本性质 一般地，概率有如下性质： 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0. 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么 P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)． 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)． 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 知识点3、事件A与B相互独立 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． （1）事件A与B是相互独立的，那么A与， 与B， 与也是否相互独立. （2）相互独立事件同时发生的概率：P(AB)＝P(A)P(B). 【典例例题】 题型一：古典概型 【典例1-1】（2024·高一·江苏南京·期末）为了解某地居民的月收入情况，某社会机构调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图，每组数据以区间中点值为代表. (1)求频率分布直方图中a的值. (2)求月收入的平均数、75 百分位数. (3)现按月收入分层， 在[2000， 3000)和[3000， 4000)这两个收入段中， 按比例分配分层随机抽样方法抽出6人进一步了解情况，再从中任选2人进行专访.求选中的2人来自不同收入段的概率. 【典例1-2】（2024·高一·辽宁朝阳·阶段练习）今年11月份宜春中学组织120名青年教职工参加健康知识竞赛，现将120名教工的竞赛成绩整理后画出的频率分布直方图如图所示： (1)求实数的值： (2)试利用频率分布直方图的组中值估算这次健康知识竞赛的平均成绩； (3)从这次健康知识竞赛成绩落在区间内的教职工中，随机选取2名教工到翰林社区开展“学知识、健体魄”活动.已知这次健康知识竞赛成绩落在区间内的教工中恰有2名男性，求至少有1名男性教工被选中的概率. 【变式1-1】（2024·高一·安徽阜阳·期末）随着社会经济的发展，物业管理这个行业发展迅猛，某小区居民代表组织居民对所属物业公司的服务进行问卷调查，随机选取了200户居民的问卷评分（得分都在分内，满分100分），并将评分按照分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图. 注：本次评分不低于80分的居民支持所属物业公司延续服务；成绩低于80分的居民支持更换新物业公司. (1)求这200户居民本次问卷评分的中位数； (2)若该小区共有居民1200户，试估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有多少户？ (3)按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在内的住户中选取5户，再从这5户中任意选取2户，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率. 【变式1-2】（2024·高一·浙江绍兴·期末）某机构对甲、乙两个工厂生产的一批零件随机抽取部分进行尺寸检测，统计所得数据分别画出了如下频率分布直方图： 根据乙工厂零件尺寸的频率分布直方图估计事件“乙工厂生产的零件尺寸不低于60cm”的频率为0.70． (1)估计甲工厂生产的这批零件尺寸的平均值； (2)求乙工厂频率分布直方图中a，b的值，并求乙工厂被测零件尺寸的中位数(结果保留两位小数)； (3)现采用分层抽样的方法，从甲工厂生产的零件中随机抽取尺寸在[40，50)和[70，80)内的零件3个，从乙工厂生产的零件中随机抽取尺寸在[40，50)和[80，90)内的零件5个，再从抽得的8个零件中任取2个，求这两个零件的尺寸都在[40，50)内的概率． 题型二：概率的基本性质 【典例2-1】（2024·高一·江西吉安·期末）已知事件A，B是互斥事件，，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2024·高一·福建福州·期末）已知，，如果，那么（    ） A．0.18 B．0.42 C．0.6 D．0.7 【变式2-1】（2024·高一·贵州贵阳·期末）已知事件，互斥，若，.则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·高一·福建宁德·期末）设为两个互斥事件，且，，则下列各式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024·高一·福建厦门·期末）某班共有48名同学，其中12名同学精通乐器，8名同学擅长舞蹈，从该班中任选一名同学了解其艺术特长．设事件“选中的同学精通乐器”，“选中的同学擅长舞蹈”，若，则（    ） A． B． C． D． 题型三：事件的独立性 【典例3-1】（2024·高一·河南郑州·期末）某公司招聘考试分笔试与面试两部分进行，每部分成绩只记“合格”与“不合格”，两部分成绩都合格者则被公司录取.已知甲､乙､丙三人在笔试部分合格的概率分别为，在面试部分合格的概率分别为，所有考试是否合格相互之间没有影响.假设甲､乙､丙三人都同时参加了笔试和面试，则三人中只有一人被录取的概率是（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2024·高一·全国·专题练习）甲、乙、丙三人参加“社会主义核心价值观”演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（   ） A．14 B． C． D． 【变式3-1】（2024·高一·江苏苏州·期末）一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球.设事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到黑球”，“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”. (1)用数组表示可能的结果，是第一次摸到的球的标号，是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间； (2)分别求事件A，B，C发生的概率； (3)求事件A，B，C中至少有一个发生的概率. 【变式3-2】（2024·高一·全国·专题练习）在数学考试中，小明的成绩(取整数)不低于90分的概率是0.18，在[80,89]的概率是0.51，在[70,79]的概率是0.15，在[60,69]的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，计算： (1)小明在数学考试中成绩不低于70分的概率； (2)小明数学考试及格(60分及以上)的概率． 【变式3-3】（2024·高一·北京西城·期末）每年的3月21日是世界睡眠日，充足的睡眠、均衡的饮食和适当的运动，是国际社会公认的三项健康标准.某校高一某班学生某天睡眠时间的频率分布直方图如图所示（样本数据分组为，单位：小时）.    (1)求图中的值，估计该校高一学生该天睡眠时间不小于9小时的频率； (2)从该校高一学生中随机抽取2人，用频率估计概率，计算这两位学生至少有1人该天睡眠时间不小于9小时的概率. 题型四：随机模拟 【典例4-1】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期末）进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下： 116  785  812  730  134  452  125  689  024  169 334  217  109  361  908  284  044  147  318  027 若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2024·高一·陕西咸阳·期末）某种心脏手术成功率为0.9，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率.先利用计算器或计算机产生09之间取整数值的随机数，由于成功率是0.9，故我们用0表示手术不成功，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示手术成功，再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生如下10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（    ） A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.6 【变式4-1】（2024·高一·全国·课后作业）已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8，现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数，根据以下数据估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率为（    ） 7527     0293     7140     9857 0347     4373     8636     6947 1417     4698     0371     6233 2616     8045     6011     3661 9597     7424     7610     4281 A．0.852 B．0.8192 C．0.8 D．0.75 【变式4-2】（2024·高一·陕西渭南·期末）欲利用随机数表从00，01，02，…，59这些编号中抽取一个容量为6的样本，抽取方法是从下面的随机数表的第1行第11列开始向右读取，每次读取两位，直到取足样本，则第4个被抽取的样本的编号为 【变式4-3】（2024·高一·全国·课后作业）袋子中有四个小球，分别写有“中､华､民､族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两个字都取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用代表“中､华､民､族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为 . 题型五：概率的综合运用 【典例5-1】（2024·高一·江苏宿迁·期末）某企业准备购进新型机器以提高生产效益.根据调查得知，使用该新型机器生产产品的质量是用质量指标值来衡量的，按质量指标值划分产品等级的标准如图表1. 图表1 质量指标值 或 或 等级 一等品 二等品 三等品 现从该新型机器生产的产品中随机抽取200件作为样本，检测其质量指标值，得到如图表2所示的频率分布直方图. (1)用分层抽样的方法从样本质量指标值在区间和内的产品中随机抽取6件，再从这6件中任取2件作进一步研究，求这2件产品都取自区间的概率； (2)根据市场调查得到该新型机器生产的产品的销量数据如图表3： 图表3 产品等级 一等品 二等品 三等品 销售率 单件产品原售价 20元 15元 10元 未按原价售出的产品统一按原售价的全部售出 （产品各等级的销售率为等级产品销量与其对应产量的比值） 已知该企业购进新型机器的前提条件是，该机器生产的产品同时满足下列两个条件： ①质量指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）不低于300. ②单件产品平均利润不低于4元. 已知该新型机器生产的产品的成本为10元/件，月产量为2000件，根据图表1、图表2、图表3信息，分析该新机器是否达到企业的购进条件. 【典例5-2】（2024·高一·福建厦门·期末）为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表： 游戏一 游戏二 游戏三 箱子中球的 颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 （红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”） 取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球 获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为获胜 (1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； (2)一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大． 【变式5-1】（2024·高一·河南平顶山·期末）某商场为鼓励大家消费，举行摸奖活动，规则如下：凭购物小票一张，每满58元摸奖一次，从装有除颜色外完全相同的1个红球和4个白球的箱子中一次性随机摸出两个小球，若两球中含有红球，则为中奖，否则为不中奖.每次摸奖完毕后，把小球放回箱子中.甲､乙共有购物小票一张，购物金额为m元，两人商量，先由一人摸奖，若中奖，则继续摸奖，若不中奖，就由对方接着摸奖，并通过掷一枚质地均匀的硬币决定第一次由谁摸奖. (1)若，求这两人中奖的概率； (2)若，求第一次由甲摸奖，最后一次也是甲摸奖的概率. 【变式5-2】（2024·高一·河北邢台·期末）甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为，负的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立． (1)求第三局结束时乙获胜的概率； (2)求甲获胜的概率． 【变式5-3】（2024·高一·福建厦门·期末）某学校组织校园安全知识竞赛.在初赛中有两轮答题，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分若两轮总积分不低于60分则晋级复赛. 小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5.在A类的5个问题中，小明只能答对4个问题；在B类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响. (1)求小明在第一轮得40分的概率； (2)以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？ 【变式5-4】（2024·高三·河南·阶段练习）甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为的方框表示第场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第场比赛的胜者称为“胜者”，负者称为“负者”，第6场为决赛，获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为 ，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同. （Ⅰ）求甲获得冠军的概率； （Ⅱ）求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率. 【过关测试】 1．（2024·高一·山东烟台·期末）若随机事件，互斥，且，，则（    ） A．0 B．0.18 C．0.6 D．0.9 2．（2024·高一·湖南怀化·期末）已知事件与事件互斥，记事件为事件对立事件.若，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高二·江苏常州·阶段练习）学生甲想参加某高中校蓝球投篮特长生考试，测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没有投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一球，则直接录取，若第一次没有投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不预录取.已知学生甲在罚球线处投篮命中率为，在三分线处投篮命中率为，假设学生甲每次投进与否互不影响.则学生甲共投篮三次就结束考试得概率为（  ） A． B． C． D． 4．（2024·高一·全国·假期作业）如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黄球（只有颜色不同）若干个，有放回地从中任取1球，取了10次有7个白球，估计袋中数量较多的是 球. 5．（2024·高二·湖北荆门·期末）在一次羽毛球男子单打比赛中，运动员甲、乙进入了决赛．比赛规则是三局两胜制．根据以往战绩，每局比赛甲获胜概率为0.4，乙获胜概率为0.6，利用计算机模拟实验，产生内的整数随机数，当出现随机数1或2时，表示一局比赛甲获胜，现计算机产生15组随机数为：421，231，344，114，522，123，354，535，425，232，233，351，122，153，533，据此估计甲获得冠军的概率为 ． 6．（2024·高二·四川绵阳·阶段练习）甲、乙两名运动员进入男子羽毛球单打决赛，假设比赛打满3局，赢得2局或3局者胜出，用计算机产生1~5之间的随机数，当出现随机数1，2，3时，表示一局比赛甲获胜；否则，乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，产生20组随机数： 423 123 423 344 114 453 525 332 152 342 534 443 512 541 125 432 334 151 314 354 据此估计甲获得冠军的概率为 ； 7．（2024·高一·江苏扬州·期末）某保险公司为了给年龄在20~70岁的民众提供某种医疗保障，设计了一款针对某疾病的保险.现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，并按年龄段分成了五组，其频率分布直方图如图所示，每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表所示： 年龄 保费（单位：元） (1)若采用分层抽样的方法，从年龄段在和内的参保人员中共抽取6人进行问卷调查，再从中选取2人进行调查对该种保险的满意度，求这2人中恰好有1人年龄段在内的概率. (2)由于10000人参加保险，该公司每年为此项保险支出的各种费用为200万元.为使公司不亏本，则年龄段的参保人员每人每年需要缴纳的保费至少为多少元？ 8．（2024·高一·湖北鄂州·期末）第33届奥林匹克运动会将于2024年7月26日至2024年8月11日在法国巴黎举行，某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人． (1)根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者． ①若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； ②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这m人中35～45岁所有人的年龄的方差． 9．（2024·高一·浙江湖州·期末）若某袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件“第一次摸到红球”，事件“第二次摸到红球”． (1)求和的值； (2)求两次摸到的不都是红球的概率． 10．（2024·高一·江苏南通·期末）某班学生日睡眠时间（单位：h）的频率分布表如下： 分组 [7，7.5） [7.5，8） [8，8.5） [8.5，9] 频数 4 x 20 y 频率 a b 0.4 0.12 (1)计算该班学生的平均日睡眠时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)用比例分配的分层随机抽样方法，从该班日睡眠时间在和的学生中抽取5人．再从抽取的5人中随机抽取2人，求2人中至少有1人的日睡眠时间在[7，7.5）的概率． 11．（2024·高二·湖北·阶段练习）2023年9月3日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利78周年纪念日，某市宣传部组织市民积极参加“学习党史”知识竞赛，并从所有参赛市民中随机抽取了50人，统计了他们的竞赛成绩，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求出图中x的值： (2)求这50位市民竞赛成绩的平均数和上四分位数： (3)若成绩不低于80分的评为“优秀市民”，从这50名市民中的“优秀市民”中任选两名参加座谈会，求这两名市民至少有一人获得90分及以上的概率． 12．（2024·高一·浙江宁波·期末）某高校的社团招聘面试中有 4 道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是 若每位面试者共有四次机会，一旦2次答对抽到的题目，则面试通过：否则就一直抽题到第4次为止，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的. (1)求李明第三次答题通过面试的概率； (2)求李明最终通过面试的概率. 13．（2024·高一·浙江宁波·期末）品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试.一种通常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记忆淡忘后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序偏离程度的高低对其酒味鉴别能力进行评价.现设，分别以表示第一次排序时被排为的三种酒在第二次排序时的序号，并令则是对两次排序的偏离程度的一种描述.若两轮测试都有，则该品酒师被授予“特级品酒师”称号；若两轮测试都有，且至少有一轮测试出现，则该品酒师被授予“一级品酒师”称号. (1)用下列表格形式写出第二次排序时所有可能的排序结果，并求出相应的值； (2)甲参加了两轮测试，两轮测试结果相互独立，记事件“甲被授予一级品酒师称号”，求； (3)甲连续两年都参加了两轮测试，两年测试结果相互独立，记事件“在这两年中甲至少有一次被授予特级品酒师称号”，求. 14．（2024·高一·江苏连云港·期末）已知三种不同的元件，其中元件正常工作的概率分别为，每个元件是否正常工作不受其他元件的影响． (1)用元件连接成系统（如左图），当元件都正常工作时，系统正常工作．求系统正常工作的概率； (2)用元件连接成系统（如右图），当元件正常工作且中至少有一个正常工作时，系统正常工作．若系统正常工作的概率为，求元件正常工作的概率． 15．（2024·高一·福建厦门·阶段练习）新高考实行“”选科模式，其中“3”为必考科目，语文、数学、外语所有学生必考；“1”为首选科目，从物理、历史中选择一科；“2”为再选科目，从化学、生物学、地理、思想政治中任选两科.某大学的某专业要求首选科目为物理，再选科目中化学、生物学至少选一科. (1)写出所有选科组合的样本空间.从所有选科组合中随机选一种组合，并且每种组合被选到的可能性相等，求所选组合符合该大学某专业报考条件的概率； (2)甲、乙两位同学独立进行选科，求两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件的概率. 16．（2024·高一·广西南宁·期末）一个袋子中有标号分别为1，2，3，4，5的5个小球，除标号外没有其他差异． (1)从袋中不放回依次摸出2个球．若摸出的两个球标号和为质数，则甲胜，反之，则乙胜；你认为该游戏是否公平？说明你的理由． (2)甲、乙两人轮流摸球，每次有放回地摸取一球，每人至多摸两次，由甲先开始．甲、乙约定：先摸出标号1者获胜，随后游戏终止．求甲获胜的概率． 17．（2024·高一·江苏南京·期末）某市高一年级数学期末考试，满分为100分，为做好分析评价工作，现从中随机抽取100名学生成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40和100之间，将数据按照，，，，，分成6组，制成如图所示的频率直方图． (1)求频率直方图中m的值，并估计这100名学生的平均成绩； (2)若成绩在 的为A等级，的为B等级，其他为C等级， ①在这100名学生中用分层抽样的方法在A，B，C三个等级中抽取25人，求从B等级中抽取的人数． ②以样本估计总体，用频率代替概率，从该市所有参加考试的高一年级学生中随机抽取3人，求至少有一人为B等级的概率．（注：当总体数比较大时，不放回抽取可视为有放回抽取） 20．（2024·山东·模拟预测）已知，，，四名选手参加某项比赛，其中，为种子选手，，为非种子选手，种子选手对非种子选手种子选手获胜的概率为，种子选手之间的获胜的概率为，非种子选手之间获胜的概率为．比赛规则：第一轮两两对战，胜者进入第二轮，负者淘汰；第二轮的胜者为冠军. (1)若你是主办方，则第一轮选手的对战安排一共有多少不同的方案？ (2)选手与选手相遇的概率为多少？ (3)以下两种方案，哪一种种子选手夺冠的概率更大？ 方案一：第一轮比赛种子选手与非种子选手比赛； 方案二：第一轮比赛种子选手与种子选手比赛． 21．（2024·河南商丘·模拟预测）近两年旅游业迎来强劲复苏，外出旅游的人越来越多．两家旅游公司过去6个月的利润率统计如下： 利润率 月数公司 -5% A公司 3 2 1 B公司 2 2 2 利润率，盈利为正，亏损为负，且每个月的成本不变． (1)比较两家旅游公司过去6个月平均每月利润率的大小； (2)用频率估计概率，且假设两家旅游公司每个月的盈利情况是相互独立的，求未来的某个月两家旅游公司至少有一家盈利的概率． 22．（2024·河南洛阳·模拟预测）Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展.某学校举行了相关Matlab专业知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为． (1)求和的值； (2)试求两人共答对3道题的概率． 23．（2024·河北沧州·三模）甲、乙、丙三人进行台球比赛，比赛规则如下：先由两人上场比赛，第三人旁观，一局结束后，败者下场作为旁观者，原旁观者上场与胜者比赛，按此规则循环下去.若比赛中有人累计获胜3局，则该人获得最终胜利，比赛结束，三人经过抽签决定由甲、乙先上场比赛，丙作为旁观者.根据以往经验，每局比赛中，甲、乙比赛甲胜概率为，乙、丙比赛乙胜概率为，丙、甲比赛丙胜概率为，每局比赛相互独立且每局比赛没有平局. (1)比赛完3局时，求甲、乙、丙各旁观1局的概率； (2)已知比赛进行5局后结束，求甲获得最终胜利的概率. 24．（2024·高一·云南楚雄·期末）袋中装有大小完全相同的6个红球，3个蓝球，其中有2个红球和1个蓝球上面标记了数字1，其他球标记了数字2. (1)每次有放回地任取1个小球，连续取两次，求取出的2个球恰有1个红球且两球的数字和为3的概率； (2)从袋中不放回地依次取2个小球，每次取1个，记事件第一次取到的是红球，事件第二次取到了标记数字1的球，求，并判断事件与事件是否相互独立. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 概率的综合运用 【题型归纳目录】 【知识点梳理】 知识点1、古典概型 （1）古典概型 考察这些试验的共同特征，就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性．可以发现，它们具有如下共同特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型(classical models of probability)，简称古典概型． （2）概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率 P(A)＝＝. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 知识点2、概率的基本性质 一般地，概率有如下性质： 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0. 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么 P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)． 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)． 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 知识点3、事件A与B相互独立 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． （1）事件A与B是相互独立的，那么A与， 与B， 与也是否相互独立. （2）相互独立事件同时发生的概率：P(AB)＝P(A)P(B). 【典例例题】 题型一：古典概型 【典例1-1】（2024·高一·江苏南京·期末）为了解某地居民的月收入情况，某社会机构调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图，每组数据以区间中点值为代表. (1)求频率分布直方图中a的值. (2)求月收入的平均数、75 百分位数. (3)现按月收入分层， 在[2000， 3000)和[3000， 4000)这两个收入段中， 按比例分配分层随机抽样方法抽出6人进一步了解情况，再从中任选2人进行专访.求选中的2人来自不同收入段的概率. 【解析】（1）由，解得， （2）设月收入的平均数为x,则 ， 设75 百分位数为m，则 ， 解方程得. （3）在[2000， 3000)的人数为人 在[3000， 4000)的人数为人 按比例分配分层随机抽样方法抽出6人中，在[2000， 3000)中抽2人，记为；在[300， 400)中抽4人； 从6人中任选2人结果有 ,共有15个； 选中的2人来自不同收入段有共有8个， 所以选中的2人来自不同收入段的概率为. 【典例1-2】（2024·高一·辽宁朝阳·阶段练习）今年11月份宜春中学组织120名青年教职工参加健康知识竞赛，现将120名教工的竞赛成绩整理后画出的频率分布直方图如图所示： (1)求实数的值： (2)试利用频率分布直方图的组中值估算这次健康知识竞赛的平均成绩； (3)从这次健康知识竞赛成绩落在区间内的教职工中，随机选取2名教工到翰林社区开展“学知识、健体魄”活动.已知这次健康知识竞赛成绩落在区间内的教工中恰有2名男性，求至少有1名男性教工被选中的概率. 【解析】（1），解得； （2）由频率分布直方图可知： 分， 所以这次知识竞赛的平均成绩是71分. （3）这次知识竞赛成绩落在区间内的教工有名. 记“至少有一个男性教工被选中”为事件A， 记这6人为，，，，，号，其中男性教工为1，2号， 则样本空间 ， ， 所以. 故至少有1名男性教工被选中的概率为. 【变式1-1】（2024·高一·安徽阜阳·期末）随着社会经济的发展，物业管理这个行业发展迅猛，某小区居民代表组织居民对所属物业公司的服务进行问卷调查，随机选取了200户居民的问卷评分（得分都在分内，满分100分），并将评分按照分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图. 注：本次评分不低于80分的居民支持所属物业公司延续服务；成绩低于80分的居民支持更换新物业公司. (1)求这200户居民本次问卷评分的中位数； (2)若该小区共有居民1200户，试估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有多少户？ (3)按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在内的住户中选取5户，再从这5户中任意选取2户，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率. 【解析】（1）由图知，，解得. 评分在的频率为； 评分在的频率为，故中位数在之间. 设这200户居民本次问卷评分的中位数为， 则， 解得， 故这200户居民本次问卷评分的中位数为. （2）由图知，评分在的频率为， 故可估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的概率约为0.4， 估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有户. （3）由（1）知，评分在的频数为， 评分在的频数为. 按比例分配的分层抽样的方法从中选取5户， 则评分在内被抽取户， 分别记为，评分在内被抽取户，分别记为. 从中任意选取2户，有，共10种选法， 其中至少有1户支持所属物业公司延续服务的选法有，共9种， 这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率. 【变式1-2】（2024·高一·浙江绍兴·期末）某机构对甲、乙两个工厂生产的一批零件随机抽取部分进行尺寸检测，统计所得数据分别画出了如下频率分布直方图： 根据乙工厂零件尺寸的频率分布直方图估计事件“乙工厂生产的零件尺寸不低于60cm”的频率为0.70． (1)估计甲工厂生产的这批零件尺寸的平均值； (2)求乙工厂频率分布直方图中a，b的值，并求乙工厂被测零件尺寸的中位数(结果保留两位小数)； (3)现采用分层抽样的方法，从甲工厂生产的零件中随机抽取尺寸在[40，50)和[70，80)内的零件3个，从乙工厂生产的零件中随机抽取尺寸在[40，50)和[80，90)内的零件5个，再从抽得的8个零件中任取2个，求这两个零件的尺寸都在[40，50)内的概率． 【解析】（1）由频率分布直方图可知，甲工厂生产的这批零件尺寸的平均值为. （2）因为“乙工厂生产的零件尺寸不低于60cm”的频率为0.70， 即，解得， 再由频率分布直方图的性质可知 ，解得， 因为， ， 所以中位数位于之间， 设中位数为，则， 解得. 即乙工厂被测零件尺寸的中位数为. （3）由分层抽样可知，甲工厂抽取尺寸在[40，50)为个， 则甲工厂抽取尺寸在[70，80)为个， 乙工厂抽取尺寸在[40，50)为个， 则乙工厂抽取尺寸在[80，90)为个， 所以抽得的8个零件中[40，50)个数为个，记为， 另外4个零件记为， 设事件E为抽取的两个零件的尺寸都在[40，50)内， 所有情况为， ， ，， ，共28种， 其中满足条件的为，共6种， 则. 所以抽取的两个零件的尺寸都在[40，50)内的概率为. 题型二：概率的基本性质 【典例2-1】（2024·高一·江西吉安·期末）已知事件A，B是互斥事件，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，， ∴， ∵事件A，B是互斥事件， ∴． 故选：C 【典例2-2】（2024·高一·福建福州·期末）已知，，如果，那么（    ） A．0.18 B．0.42 C．0.6 D．0.7 【答案】C 【解析】由于，所以. 故选：C. 【变式2-1】（2024·高一·贵州贵阳·期末）已知事件，互斥，若，.则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于事件，互斥， 则， 所以，选项A正确. 故选：A 【变式2-2】（2024·高一·福建宁德·期末）设为两个互斥事件，且，，则下列各式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为两个互斥事件，，， 所以，即，且. 故选：B． 【变式2-3】（2024·高一·福建厦门·期末）某班共有48名同学，其中12名同学精通乐器，8名同学擅长舞蹈，从该班中任选一名同学了解其艺术特长．设事件“选中的同学精通乐器”，“选中的同学擅长舞蹈”，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题知，， 因为， 所以，即，解得. 故选：C 题型三：事件的独立性 【典例3-1】（2024·高一·河南郑州·期末）某公司招聘考试分笔试与面试两部分进行，每部分成绩只记“合格”与“不合格”，两部分成绩都合格者则被公司录取.已知甲､乙､丙三人在笔试部分合格的概率分别为，在面试部分合格的概率分别为，所有考试是否合格相互之间没有影响.假设甲､乙､丙三人都同时参加了笔试和面试，则三人中只有一人被录取的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意甲被录取的概率，乙被录取的概率，丙被录取的概率， 所以三人中只有一人被录取的概率. 故选：D 【典例3-2】（2024·高一·全国·专题练习）甲、乙、丙三人参加“社会主义核心价值观”演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（   ） A．14 B． C． D． 【答案】D 【解析】设甲、乙、丙获得一等奖的概率分别是，，， 则不获一等奖的概率分别是，，， 则这三人中恰有两人获得一等奖的概率为： ， 这三人都获得一等奖的概率为， 所以这三人中至少有两人获得一等奖的概率. 故选：D. 【变式3-1】（2024·高一·江苏苏州·期末）一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球.设事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到黑球”，“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”. (1)用数组表示可能的结果，是第一次摸到的球的标号，是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间； (2)分别求事件A，B，C发生的概率； (3)求事件A，B，C中至少有一个发生的概率. 【解析】（1）样本空间，共有12个基本事件； （2）事件A的基本事件为：共6个基本事件，所以， 事件B的基本事件为：共3个基本事件，所以， 事件C的基本事件为：共4个基本事件，所以， （3）事件A，B，C中至少有一个发生的基本事件为：共9个基本事件， 所以. 【变式3-2】（2024·高一·全国·专题练习）在数学考试中，小明的成绩(取整数)不低于90分的概率是0.18，在[80,89]的概率是0.51，在[70,79]的概率是0.15，在[60,69]的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，计算： (1)小明在数学考试中成绩不低于70分的概率； (2)小明数学考试及格(60分及以上)的概率． 【解析】（1）分别记小明的成绩“不低于90分”“[80,89]”“[70,79]”“[60,69]”为事件B，C，D，E，这四个事件彼此互斥． 则小明的成绩不低于70分的概率是. （2）解法一：小明数学考试及格的概率是. 解法二：小明数学考试不及格的概率是0.07，所以小明数学考试及格的概率是. 【变式3-3】（2024·高一·北京西城·期末）每年的3月21日是世界睡眠日，充足的睡眠、均衡的饮食和适当的运动，是国际社会公认的三项健康标准.某校高一某班学生某天睡眠时间的频率分布直方图如图所示（样本数据分组为，单位：小时）.    (1)求图中的值，估计该校高一学生该天睡眠时间不小于9小时的频率； (2)从该校高一学生中随机抽取2人，用频率估计概率，计算这两位学生至少有1人该天睡眠时间不小于9小时的概率. 【解析】（1）因为， 所以； 该校高一学生该天睡眠时间不少于9小时的频率为： . （2）由题知，该校高一学生该天睡眠时间为小时的频率分别为： ，，，，， 用频率估计概率，该校高一学生该天睡眠时间为小时的概率分别为，，，，， 记从该校高一学生中随机抽取2人，这两位学生至少有一人该天睡眠时间不小于9小时为事件， 则. 题型四：随机模拟 【典例4-1】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期末）进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下： 116  785  812  730  134  452  125  689  024  169 334  217  109  361  908  284  044  147  318  027 若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知表示今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数有： 116  812  730  217  109  361  284  147  318  027共10个， 故今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是， 故选：B 【典例4-2】（2024·高一·陕西咸阳·期末）某种心脏手术成功率为0.9，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率.先利用计算器或计算机产生09之间取整数值的随机数，由于成功率是0.9，故我们用0表示手术不成功，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示手术成功，再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生如下10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（    ） A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.6 【答案】B 【解析】由题意，10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心脏手术全部成功”的有：812,832,569,683,271,989, 537,925,故8个， 故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为. 故选：B. 【变式4-1】（2024·高一·全国·课后作业）已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8，现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数，根据以下数据估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率为（    ） 7527     0293     7140     9857 0347     4373     8636     6947 1417     4698     0371     6233 2616     8045     6011     3661 9597     7424     7610     4281 A．0.852 B．0.8192 C．0.8 D．0.75 【答案】D 【解析】因为射击4次至多击中2次对应的随机数组为7140,1417,0371,6011,7610,共5组, 所以射击4次,即可求得至少击中3次的概率. 射击4次至多击中2次对应的随机数组为7140,1417,0371,6011,7610,共5组, 射击4次,至少击中3次的概率为. 故选：D 【变式4-2】（2024·高一·陕西渭南·期末）欲利用随机数表从00，01，02，…，59这些编号中抽取一个容量为6的样本，抽取方法是从下面的随机数表的第1行第11列开始向右读取，每次读取两位，直到取足样本，则第4个被抽取的样本的编号为 【答案】10 【解析】从随机数表的第1行第11列开始向右读取，每次读取两位编号有：16，95，55，67，……，不大于59的有16，55，19，10，……，第4个被抽取的样本的编号为10. 故答案为：10 【变式4-3】（2024·高一·全国·课后作业）袋子中有四个小球，分别写有“中､华､民､族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两个字都取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用代表“中､华､民､族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为 . 【答案】 【解析】由随机产生的随机数可知恰好抽取三次就停止的有，共4组随机数， 所以恰好抽取三次就停止的概率约为， 故答案为： 题型五：概率的综合运用 【典例5-1】（2024·高一·江苏宿迁·期末）某企业准备购进新型机器以提高生产效益.根据调查得知，使用该新型机器生产产品的质量是用质量指标值来衡量的，按质量指标值划分产品等级的标准如图表1. 图表1 质量指标值 或 或 等级 一等品 二等品 三等品 现从该新型机器生产的产品中随机抽取200件作为样本，检测其质量指标值，得到如图表2所示的频率分布直方图. (1)用分层抽样的方法从样本质量指标值在区间和内的产品中随机抽取6件，再从这6件中任取2件作进一步研究，求这2件产品都取自区间的概率； (2)根据市场调查得到该新型机器生产的产品的销量数据如图表3： 图表3 产品等级 一等品 二等品 三等品 销售率 单件产品原售价 20元 15元 10元 未按原价售出的产品统一按原售价的全部售出 （产品各等级的销售率为等级产品销量与其对应产量的比值） 已知该企业购进新型机器的前提条件是，该机器生产的产品同时满足下列两个条件： ①质量指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）不低于300. ②单件产品平均利润不低于4元. 已知该新型机器生产的产品的成本为10元/件，月产量为2000件，根据图表1、图表2、图表3信息，分析该新机器是否达到企业的购进条件. 【解析】（1）因为质量指标值在区间和内的频率分别为， 可知样本中质量指标值在区间有件，设为； 质量指标值在区间内有件，设为， 则这6件中任取2件，则样本空间 ， 可知， 记“这2件产品都取自区间”为事件A， 则，可知， 所以. （2）由频率分布直方图可知，产品质量指标值的平均数为 故满足认购条件①； 再分析该产品的单价平均利润值： 由频率分布直方图可知，新型机器生产的产品为一､二､三等品的概率估计值分别为： ， 故2000件产品中，一､二､三等品的件数估计值为：件， 一等品的利润元， 二等品的利润元， 三等品的利润元， 则2000件产品的总利润为：元， 故2000件产品的单件平均利润的估计值为， 故不满足认购条件②. 综上，该新型机器没有达到该企业的认购条件. 【典例5-2】（2024·高一·福建厦门·期末）为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表： 游戏一 游戏二 游戏三 箱子中球的 颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 （红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”） 取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球 获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为获胜 (1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； (2)一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大． 【解析】（1）设事件“游戏一获胜”，“游戏二获胜”，“游戏三获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间为，则， 因为，所以，．所以游戏一获胜的概率为． 游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间， 则，因为， 所以，所以，所以游戏二获胜的概率为． （2）设“先玩游戏二，获得书券”，“先玩游戏三，获得书券”， 则，且，，互斥，相互独立， 所以 又，且，，互斥， 所以 若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率大，则， 所以，即． 进行游戏三时，不放回地依次取出两个球的所有结果如下表：      第二次第一次 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 当时，，舍去 当时，，满足题意， 因此的所有可能取值为． 【变式5-1】（2024·高一·河南平顶山·期末）某商场为鼓励大家消费，举行摸奖活动，规则如下：凭购物小票一张，每满58元摸奖一次，从装有除颜色外完全相同的1个红球和4个白球的箱子中一次性随机摸出两个小球，若两球中含有红球，则为中奖，否则为不中奖.每次摸奖完毕后，把小球放回箱子中.甲､乙共有购物小票一张，购物金额为m元，两人商量，先由一人摸奖，若中奖，则继续摸奖，若不中奖，就由对方接着摸奖，并通过掷一枚质地均匀的硬币决定第一次由谁摸奖. (1)若，求这两人中奖的概率； (2)若，求第一次由甲摸奖，最后一次也是甲摸奖的概率. 【解析】（1）记1个红球为个白球分别为. 则从箱子中随机摸出两球，样本点有：，共10个样本点 其中含有红球的为：，共4个样本点， 所以在一次摸奖中，中奖概率为. 当时，甲､乙两人只能摸奖一次，所以他们中奖的概率为. （2）当时，他们可以摸奖4次. 记事件第次由甲摸奖为，记第一次由甲摸奖，最后一次也是甲摸奖为事件， 则， 所以 【变式5-2】（2024·高一·河北邢台·期末）甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为，负的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立． (1)求第三局结束时乙获胜的概率； (2)求甲获胜的概率． 【解析】（1）设事件A为“第三局结束乙获胜” 由题意知，乙每局获胜的概率为，不获胜的概率为．            若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．   故 （2）设事件B为“甲获胜”． 若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时的概率．    若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．     此时的概率．             若第四局结束甲得两分获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况：（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜），（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）．            此时的概率           若第四局结束甲以积分获胜，则乙的积分为0分，总共有4种情况：（胜，平，平，平），（平，胜，平，平），（平，平，胜，平），（平，平，平，胜）．           此时的概率             故 【变式5-3】（2024·高一·福建厦门·期末）某学校组织校园安全知识竞赛.在初赛中有两轮答题，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分若两轮总积分不低于60分则晋级复赛. 小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5.在A类的5个问题中，小明只能答对4个问题；在B类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响. (1)求小明在第一轮得40分的概率； (2)以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？ 【解析】（1）对A类的5个问题进行编号：，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答， 则有共种， 设小明只能答对4个问题的编号为：， 则小明在第一轮得40分，有共种， 则小明在第一轮得40分的概率为：； （2）由（1）知，小明在第一轮得40分的概率为， 则小明在第一轮得0分的概率为：， 依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于60分 当第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分时， 小芳和小明晋级复赛的概率分别为： ； ； 当第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分时， 小芳和小明晋级复赛的概率分别为： ；； 当第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分时， 小芳和小明晋级复赛的概率分别为： ；； 当第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分时， 小芳晋级复赛的概率分别为： ； 小芳晋级复赛的概率为：； 小明晋级复赛的概率为：； ， 小明更容易晋级复赛. 【变式5-4】（2024·高三·河南·阶段练习）甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为的方框表示第场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第场比赛的胜者称为“胜者”，负者称为“负者”，第6场为决赛，获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为 ，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同. （Ⅰ）求甲获得冠军的概率； （Ⅱ）求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率. 【解析】（Ⅰ）甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况： 1胜3胜6胜；1负4胜5胜6胜；1胜3负5胜6胜. 所以甲获得冠军的概率为. （Ⅱ）若乙的决赛对手是甲，则两人参加的比赛结果有两种情况： 甲：1胜3胜，乙：1负4胜5胜； 甲：1负4胜5胜，乙：1胜3胜. 所以甲与乙在决赛相遇的概率为. 若乙的决赛对手是丙，则两人只可能在第3场和第6场相遇，两人参加的比赛的结果有两种情况： 乙：1胜3胜，丙：2胜3负5胜； 乙：1胜3负5胜，丙：2胜3胜. 同时考虑甲在第4场和第5场的结果，乙与丙在第3场和第6场相遇的概率为 . 丁与丙的情况相同，所以乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为 . 【过关测试】 1．（2024·高一·山东烟台·期末）若随机事件，互斥，且，，则（    ） A．0 B．0.18 C．0.6 D．0.9 【答案】D 【解析】随机事件，互斥，且，， 所以， 故选：D. 2．（2024·高一·湖南怀化·期末）已知事件与事件互斥，记事件为事件对立事件.若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为事件与事件互斥，所以， 所以. 故选：B 3．（2024·高二·江苏常州·阶段练习）学生甲想参加某高中校蓝球投篮特长生考试，测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没有投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一球，则直接录取，若第一次没有投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不预录取.已知学生甲在罚球线处投篮命中率为，在三分线处投篮命中率为，假设学生甲每次投进与否互不影响.则学生甲共投篮三次就结束考试得概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】记事件表示“甲在罚球线处投篮，第次投进”，事件表示“甲在三分线处投篮，第次投进，事件表示“甲共投篮三次就结束考试”. 则， 故选：B 4．（2024·高一·全国·假期作业）如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黄球（只有颜色不同）若干个，有放回地从中任取1球，取了10次有7个白球，估计袋中数量较多的是 球. 【答案】白 【解析】取了10次有7个白球，则取出白球的频率是0.7，估计其概率是0.7，那么取出黄球的概率约是0.3，取出白球的概率大于取出黄球的概率，所以估计袋中数量较多的是白球. 故答案为：白 5．（2024·高二·湖北荆门·期末）在一次羽毛球男子单打比赛中，运动员甲、乙进入了决赛．比赛规则是三局两胜制．根据以往战绩，每局比赛甲获胜概率为0.4，乙获胜概率为0.6，利用计算机模拟实验，产生内的整数随机数，当出现随机数1或2时，表示一局比赛甲获胜，现计算机产生15组随机数为：421，231，344，114，522，123，354，535，425，232，233，351，122，153，533，据此估计甲获得冠军的概率为 ． 【答案】 【解析】由计算机产生的15组数据中，甲获得冠军的数据有421，231，114，522，123，232，122，共7组， 据此估计甲获得冠军的概率为． 故答案为：. 6．（2024·高二·四川绵阳·阶段练习）甲、乙两名运动员进入男子羽毛球单打决赛，假设比赛打满3局，赢得2局或3局者胜出，用计算机产生1~5之间的随机数，当出现随机数1，2，3时，表示一局比赛甲获胜；否则，乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，产生20组随机数： 423 123 423 344 114 453 525 332 152 342 534 443 512 541 125 432 334 151 314 354 据此估计甲获得冠军的概率为 ； 【答案】/ 【解析】由题意得甲获胜的情况有: 423， 123， 423， 114， 332， 152， 342， 512， 125， 432， 334， 151， 314， 共13种， 所以估计甲获得冠军的概率为. 故答案为： 7．（2024·高一·江苏扬州·期末）某保险公司为了给年龄在20~70岁的民众提供某种医疗保障，设计了一款针对某疾病的保险.现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，并按年龄段分成了五组，其频率分布直方图如图所示，每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表所示： 年龄 保费（单位：元） (1)若采用分层抽样的方法，从年龄段在和内的参保人员中共抽取6人进行问卷调查，再从中选取2人进行调查对该种保险的满意度，求这2人中恰好有1人年龄段在内的概率. (2)由于10000人参加保险，该公司每年为此项保险支出的各种费用为200万元.为使公司不亏本，则年龄段的参保人员每人每年需要缴纳的保费至少为多少元？ 【解析】（1）由得， 设“抽取2人中恰好有1人年龄段在内”为事件. 由题设可知，年龄在和内的频率分别为0.16和0.32，则抽取的6人中，年龄在内的有2人，年龄在内的有4人. 记年龄在内2位参保人员为，年龄在的4位参保人员为，则从6人中任取2人，样本空间，共包含15个样本点，共包含8个样本点，所以. （2）保险公司每年收取的保费为： ， 所以要使公司不亏本，则，即，解得，所以年龄段需要缴纳的保费至少为250元. 8．（2024·高一·湖北鄂州·期末）第33届奥林匹克运动会将于2024年7月26日至2024年8月11日在法国巴黎举行，某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人． (1)根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者． ①若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； ②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这m人中35～45岁所有人的年龄的方差． 【解析】（1）设这人的平均年龄为， 则（岁）； （2）①：由频率分布直方图可知各组的频率之比为， 第四组应抽取人，记为A，，，甲， 第五组抽取人，记为，乙， 对应的样本空间为，，,甲），,乙），，，,甲）， ,乙），，,甲）,乙），，（甲,乙），（甲,，（乙,，共15个样本点． 设事件“甲、乙两人至少一人被选上”， 则,甲），,乙），,甲），,乙），,甲），,乙），（甲,乙），（甲,，（乙,，共有9个样本点， 所以； ②：设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，， 则，，，， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为； 则， ， 因此第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10， 据此可估计这人中年龄在岁的所有人的年龄方差约为10. 9．（2024·高一·浙江湖州·期末）若某袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件“第一次摸到红球”，事件“第二次摸到红球”． (1)求和的值； (2)求两次摸到的不都是红球的概率． 【解析】（1）将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5． 第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果， 第二次摸球时都有4种等可能的结果． 将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果， 第一次摸到红球的可能结果有8种，即， 所以． 第二次摸到红球的可能结果也有8种，即， 所以． （2）事件“两次摸到都是红球”包含2个可能结果，即， 则两次摸到都是红球的概率， 故两次摸到的不都是红球的概率． 10．（2024·高一·江苏南通·期末）某班学生日睡眠时间（单位：h）的频率分布表如下： 分组 [7，7.5） [7.5，8） [8，8.5） [8.5，9] 频数 4 x 20 y 频率 a b 0.4 0.12 (1)计算该班学生的平均日睡眠时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)用比例分配的分层随机抽样方法，从该班日睡眠时间在和的学生中抽取5人．再从抽取的5人中随机抽取2人，求2人中至少有1人的日睡眠时间在[7，7.5）的概率． 【解析】（1）因为容量， 所以， 所以该班学生的平均日睡眠时间为 ； （2）由（1）知，该班日睡眠时间在和频率比为， 由比例分配的分层随机抽样方法，分别从和两组的学生中抽取2人，3人， 记中抽取的2人为，中抽取的3人为， 设“2人中至少有1人的睡眠时间在”为事件， 则， ， 所以发生的概率， 所以2人中至少有1人的日睡眠时间在[7，7.5）的概率为. 11．（2024·高二·湖北·阶段练习）2023年9月3日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利78周年纪念日，某市宣传部组织市民积极参加“学习党史”知识竞赛，并从所有参赛市民中随机抽取了50人，统计了他们的竞赛成绩，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求出图中x的值： (2)求这50位市民竞赛成绩的平均数和上四分位数： (3)若成绩不低于80分的评为“优秀市民”，从这50名市民中的“优秀市民”中任选两名参加座谈会，求这两名市民至少有一人获得90分及以上的概率． 【解析】（1）由频率分布直方图可知：， . （2）由得：， 设市民竞赛成绩的上四分位数为a， 则， ， （3）由频率分布直方图可知：50名市民中有“优秀市民”12人， 其中8人成绩在不高于90分，记为， 有4人成绩在90分以上，记为． 从“优秀市民”中任选两名参加座谈会，用集合表示这个试验的一个样本点， 因此该试验的样本空间为， 其中， 事件 “两名市民至少有一人获得90分及以上”，则 ，其中， . 12．（2024·高一·浙江宁波·期末）某高校的社团招聘面试中有 4 道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是 若每位面试者共有四次机会，一旦2次答对抽到的题目，则面试通过：否则就一直抽题到第4次为止，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的. (1)求李明第三次答题通过面试的概率； (2)求李明最终通过面试的概率. 【解析】（1）由题意得：前2次有一次答对，第3次答对， 所以李明第三次答题通过面试的概率为： （2）李明最终通过面试的概率. 13．（2024·高一·浙江宁波·期末）品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试.一种通常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记忆淡忘后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序偏离程度的高低对其酒味鉴别能力进行评价.现设，分别以表示第一次排序时被排为的三种酒在第二次排序时的序号，并令则是对两次排序的偏离程度的一种描述.若两轮测试都有，则该品酒师被授予“特级品酒师”称号；若两轮测试都有，且至少有一轮测试出现，则该品酒师被授予“一级品酒师”称号. (1)用下列表格形式写出第二次排序时所有可能的排序结果，并求出相应的值； (2)甲参加了两轮测试，两轮测试结果相互独立，记事件“甲被授予一级品酒师称号”，求； (3)甲连续两年都参加了两轮测试，两年测试结果相互独立，记事件“在这两年中甲至少有一次被授予特级品酒师称号”，求. 【解析】（1）列举出第二次排序时所有可能的及相应的值列表如下： （2）由（1）可知，， 设甲参加第一轮测试值记为，第二轮测试值记为， 所以 . （3）由（1）可知，， 则两轮测试中被授予“特级品酒师”称号的概率， 所以. 14．（2024·高一·江苏连云港·期末）已知三种不同的元件，其中元件正常工作的概率分别为，每个元件是否正常工作不受其他元件的影响． (1)用元件连接成系统（如左图），当元件都正常工作时，系统正常工作．求系统正常工作的概率； (2)用元件连接成系统（如右图），当元件正常工作且中至少有一个正常工作时，系统正常工作．若系统正常工作的概率为，求元件正常工作的概率． 【解析】（1）记元件正常工作为事件，元件正常工作为事件， 系统正常工作为事件，则，， 所以； （2）记元件正常工作为事件，系统正常工作为事件， 则 ， 解得，即元件正常工作的概率为. 15．（2024·高一·福建厦门·阶段练习）新高考实行“”选科模式，其中“3”为必考科目，语文、数学、外语所有学生必考；“1”为首选科目，从物理、历史中选择一科；“2”为再选科目，从化学、生物学、地理、思想政治中任选两科.某大学的某专业要求首选科目为物理，再选科目中化学、生物学至少选一科. (1)写出所有选科组合的样本空间.从所有选科组合中随机选一种组合，并且每种组合被选到的可能性相等，求所选组合符合该大学某专业报考条件的概率； (2)甲、乙两位同学独立进行选科，求两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件的概率. 【解析】（1）依题意，样本空间为{物化生，物化地，物化政，物生地，物生政，物地政，史化生，史化地，史化政，史生地，史生政，史地政}，， 记事件“所选组合符合该大学某专业报考条件”，则{物化生，物化地，物化政，物生地，物生政}，，所以. （2）记事件“甲符合该大学某专业报考条件”， 事件“乙符合该大学某专业报考条件”， 事件“甲、乙两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件”， 由（1）可知，， 所以. 16．（2024·高一·广西南宁·期末）一个袋子中有标号分别为1，2，3，4，5的5个小球，除标号外没有其他差异． (1)从袋中不放回依次摸出2个球．若摸出的两个球标号和为质数，则甲胜，反之，则乙胜；你认为该游戏是否公平？说明你的理由． (2)甲、乙两人轮流摸球，每次有放回地摸取一球，每人至多摸两次，由甲先开始．甲、乙约定：先摸出标号1者获胜，随后游戏终止．求甲获胜的概率． 【解析】（1）游戏公平，理由如下． 摸出的两个球标号和为质数的组合有，，，，共种， 即两个球标号和为质数的事件数为， 试验总的事件数为， 所以甲胜的概率为，所以游戏公平； （2）甲获胜的事件有：①甲第一次就摸到1号球， ②甲第一次未摸到1号球，乙第一次未摸到1号球，甲第二次摸到1号球， 所以甲获胜的概率为． 17．（2024·高一·江苏南京·期末）某市高一年级数学期末考试，满分为100分，为做好分析评价工作，现从中随机抽取100名学生成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40和100之间，将数据按照，，，，，分成6组，制成如图所示的频率直方图． (1)求频率直方图中m的值，并估计这100名学生的平均成绩； (2)若成绩在 的为A等级，的为B等级，其他为C等级， ①在这100名学生中用分层抽样的方法在A，B，C三个等级中抽取25人，求从B等级中抽取的人数． ②以样本估计总体，用频率代替概率，从该市所有参加考试的高一年级学生中随机抽取3人，求至少有一人为B等级的概率．（注：当总体数比较大时，不放回抽取可视为有放回抽取） 【解析】（1）由频率直方图知(0.004＋0.022＋0.030＋0.028＋m＋0.004)×10＝1， ∴0.012 易知，，，，，相应的频率分别为 18．04，0.22，0.30，0.28，0.12，0.04 ， ∴100名同学的平均成绩估计值为： 19．04×45＋0.22×55＋0.30×65＋0.28×75＋0.12×85＋0.04×95＝68.4. （2）①由(1)知A等级的频率为0.04，A等级的人数为100×0.04＝4人， B等级的频率为(0.28＋0.12)＝0.4，B等级的人数为100×0.4＝40人， C等级的频率为(0.04＋0.22＋0.30)＝0.56，C等级的人数为100×0.56＝56人， ∴抽取25人中B等级中的人数为25×＝10人. ②用频率代替概率，所以抽取一次，B等级被抽中的概率为0.4 ， 抽取三次都没有抽中B等级的概率＝(1－0.4)3＝0.216， 所以随机抽取3人至少有一人为B等级的概率＝1－0.216＝0.784. 20．（2024·山东·模拟预测）已知，，，四名选手参加某项比赛，其中，为种子选手，，为非种子选手，种子选手对非种子选手种子选手获胜的概率为，种子选手之间的获胜的概率为，非种子选手之间获胜的概率为．比赛规则：第一轮两两对战，胜者进入第二轮，负者淘汰；第二轮的胜者为冠军. (1)若你是主办方，则第一轮选手的对战安排一共有多少不同的方案？ (2)选手与选手相遇的概率为多少？ (3)以下两种方案，哪一种种子选手夺冠的概率更大？ 方案一：第一轮比赛种子选手与非种子选手比赛； 方案二：第一轮比赛种子选手与种子选手比赛． 【解析】（1）第一轮选手的对战情况分别为，，，故总方案数3； （2）设事件“选手与选手相遇”， 当对战为时，，两选手相遇的概率为1； 当对战为时，，两选手相遇的概率为； 当对战为时，，两选手相遇的概率为； 抽到三种对战的概率均为，则. 综上可知选手与选手相遇的概率为. （3）设采用方案一，二种子选手夺冠的概率分别为，，则 采用方案一，假设分组为， 第一轮两种子选手获胜，则第二轮种子选手一定夺冠：， 第一轮选手获胜，第二轮获胜：， 第一轮选手获胜，第二轮获胜：， 第一轮选手获胜，则种子选手不能获胜， 所以； 采用方案二：假设分组为， 第一轮选手获胜，第二轮获胜：， 第一轮选手获胜，第二轮获胜：， 第一轮选手获胜，第二轮获胜：， 第一轮选手获胜，第二轮获胜：， 则，所以， 因此方案一种子选手夺冠的概率更大. 21．（2024·河南商丘·模拟预测）近两年旅游业迎来强劲复苏，外出旅游的人越来越多．两家旅游公司过去6个月的利润率统计如下： 利润率 月数公司 -5% A公司 3 2 1 B公司 2 2 2 利润率，盈利为正，亏损为负，且每个月的成本不变． (1)比较两家旅游公司过去6个月平均每月利润率的大小； (2)用频率估计概率，且假设两家旅游公司每个月的盈利情况是相互独立的，求未来的某个月两家旅游公司至少有一家盈利的概率． 【解析】（1）A公司过去6个月平均每日的利润率为， B公司过去6个月平均每月的利润率为， 因为， 所以A公司过去6个月平均每月的利润率大于B公司过去6个月平均每月的利润率． （2）A公司过去6个月盈利的频率为， B公司过去6个月盈利的频率为， 用频率代替概率，可知两公司未来某个月盈利的概率分别为． 设两家旅游公司盈利分别为事件，由题知与相互独立， 所以所求概率为． 22．（2024·河南洛阳·模拟预测）Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展.某学校举行了相关Matlab专业知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为． (1)求和的值； (2)试求两人共答对3道题的概率． 【解析】（1）由题意可得 即解得或 由于，所以． （2）设甲同学答对了道题乙同学答对了道题． 由题意得，，． 设甲、乙二人共答对3道题，则． 由于和相互独立，与互斥， 所以 所以甲、乙两人共答对3道题的概率为. 23．（2024·河北沧州·三模）甲、乙、丙三人进行台球比赛，比赛规则如下：先由两人上场比赛，第三人旁观，一局结束后，败者下场作为旁观者，原旁观者上场与胜者比赛，按此规则循环下去.若比赛中有人累计获胜3局，则该人获得最终胜利，比赛结束，三人经过抽签决定由甲、乙先上场比赛，丙作为旁观者.根据以往经验，每局比赛中，甲、乙比赛甲胜概率为，乙、丙比赛乙胜概率为，丙、甲比赛丙胜概率为，每局比赛相互独立且每局比赛没有平局. (1)比赛完3局时，求甲、乙、丙各旁观1局的概率； (2)已知比赛进行5局后结束，求甲获得最终胜利的概率. 【解析】（1）由题可知，甲、乙、丙各旁观1局只需讨论前两局的胜负情况，可分为： 甲胜乙、丙胜甲；乙胜甲，丙胜乙. 设甲、乙比赛甲胜，乙、丙比赛乙胜，丙、甲比赛丙胜分别为事件，，，则，，相互独立， 设比赛完3局时，甲、乙、丙各旁观1局为事件，则， 则， 所以甲、乙、丙各旁观1局的概率为. （2）设甲、乙、丙第局比赛获胜分别为事件，，，， 设比赛完5局甲获得最终胜利为事件，则 ， ， ， ， ， ， 所以. 所以，已知比赛进行5局后结束，甲获得最终胜利的概率为 . 24．（2024·高一·云南楚雄·期末）袋中装有大小完全相同的6个红球，3个蓝球，其中有2个红球和1个蓝球上面标记了数字1，其他球标记了数字2. (1)每次有放回地任取1个小球，连续取两次，求取出的2个球恰有1个红球且两球的数字和为3的概率； (2)从袋中不放回地依次取2个小球，每次取1个，记事件第一次取到的是红球，事件第二次取到了标记数字1的球，求，并判断事件与事件是否相互独立. 【解析】（1）第一次取到的是红球，第二次取到的是蓝球且两球的数字和为3，即抽到红1蓝2或者红2蓝1的概率：， 第一次取到的是蓝球，第二次取到的是红球且两球的数字和为3即抽到的是蓝2红1或者蓝1红2的概率， 则所求的概率为. （2）“第一次取到的是红球”的概率， “第二次取到了标记数字1的球”即取到的是数字2,1或者1,1，,概率， “第一次取到红球且第二次取到了标记数字1的球”即抽到的为红1数字1或者红2数字1，概率. 因为成立，所以事件与事件相互独立. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$