天宏大联考2023年河南省中招第一次模拟考试试卷 数学

天宏大联考2023年河南省中招第一次模拟考试试卷 数学 注意事项： 1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答 在试卷上的答案无效。 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的. 1.一2的绝对值是( 1 1 A.2 B.-2 C.- 2 0.2 2.某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原 我 正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是( 厉 了 的 A.厉 B.害 C.了 D.我 3.下列计算结果正确的是( A2+5=5 B(-2)2=-1 4 C.(a-2)2=a2-4 D.ai÷a3=a3 4.纳米是一种长度单位，它用来表示微小的长度，1纳米为十亿分之一米，即10米.一种新 型病毒，长度仅500纳米左右（约为人类头发直径的百分之一），“500纳米”用科学记数法 表示为( A.5×10-1米 B.5×10-8米 C.5×109米 D.5×10-10米 5.如图，四边形ABCD是菱形，M,N分别是BC,CD两边上的点，不 能保证△ABM和△ADN一定全等的条件是() A.BM=DN B.∠BAM=∠DAN C.∠AMC=∠ANC D.AM-AN 6.关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征 甲：函数图象经过点（一1,1）： 乙：函数图象经过第四象限； 丙：当x>0时，y随x的增大而增大. 则这个函数表达式可能是( ) A.y=-x B.y=1 C.y=x2 D.y=- 数学试卷（一）第1页（共6页） 7.如图，CD是△ABC的高，按以下步骤作图： (1)分别以点A和点B为圆心，大于2AB的长为半径作弧，两弧相交于 G、H两点； (2)作直线GH交AB于点E; (3)在直线GH上截取EF=AE; (4)以点F为圆心，AF长为半径画圆交CD于点P. 则下列说法错误的是( A.AE=BE B.GH∥CD C.AB=√2EF D.∠APB=45° 8.若方程x2+2x+m十1=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是( A.-1 B.0 C.1 D.2 9.一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是( ) A.559 B.60° C.659 D.75 10.如图①，在口ABCD中，动点P从点B出发，沿折线BC→D→B运动，设点P经 过的路程为x,△ABP的面积为y,把 y y看作x的函数，函数的图象如图② D 所示，则图②中的4等于( 6 A.3√/15 B.46 1418 图① 图② C.14 D.18 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.分解因式：4一m2= x-2>- 3 12.不等式组 的解集是 3-x≤1 13.某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等.某天甲、乙两位乘客 同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是 14.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，以格点为圆心的三 段圆弧围成“叶状”阴影图形，则该阴影图形的面积等于 .(结 果保留π)》 15.如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1, Q ON=4,点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最 小值是 数学试卷（一）第2页（共6页） 三、解答题：（本大题共8个小题，共75分） 16.(1)(5分)计算：（π-1）°+√/12-2cos30° 2》6分)化简：1-1D÷+2+ x2-1 17.(9分)2023年春节“流浪地球2”在全国各大影院进行热播.为了激发学生的研究兴趣， 某校举行了科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生获奖情况进行统计，分为如 下5组（满分100分），A组：优秀奖，B组：三等奖.C组：二等奖，D组：一等奖，E组：特等 奖，并绘制了如下不完整的统计图.请结合统计图，解答下列问题： 学生成绩频数直方图 学生成绩扇形统计图 1频数/人 160 …T44 120 96 80 B C 40 20 15% 24% 0 A B C D E 成绩分 (1)本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩； (2)补全学生成绩频数直方图： (3)学校共有3000名学生，估计该校荣获一等奖及特等奖的学生共有多少人？ (4)学校将从获得满分的5名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加 周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的 概率. 18.(9分)如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx十b(k≠0)与反比例函数y= (a≠0)的图象交于第二、四象限A、B两点，过点A作AD⊥x轴于D,AD=8, 2 sin∠AOD=5,且点B的坐标为(m,-2). 4 (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)请直接写出满足kx+b>a的x的取值范围： 数学试卷（一）第3页（共6页） (3)E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，直接写出所有符合条件的E点坐标。 19.(9分)为了培养学生学以致用的能力，数学老师安排数学实践小组利用节假日时间到 现场测量一古建筑的牌隔悬挂的高度，如图1，大门上悬挂着巨大的匾额，图2中的线段 BC就是悬挂在墙壁AM上的匾额的截面示意图.已知BC=2米，∠MBC=37°.他们在 该古建筑底部所在的平地上，选取两个不同测量点D、E,分别测量了该牌匾端点的仰 角以及这两个测量点之间的距离.为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个 测量点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如 下表（不完整）. B 图1 图2 测量项目 第一次 第二次 平均值 ∠ADC 43° 47 45° 测量数据 ∠AEB 54.2° 51.8 53° D、E之间的距离 4.3m 4.5m 004 g4000 000.00 。0 (1)D、E之间距离的平均值是 (2)求匾额悬挂的高度AB的长.（参考数据：sin37°≈3 5,c0s37°≈4 ,ian37≈3) 20.(9分)疫情放开之后，销售行业的销售情况开始回暖，某商品经销店欲购进A、B两种纪 念品，用360元购进的A种纪念品与用450元购进的B种纪念品的数量相同，每件B种 纪念品的进价比A种纪念品的进价贵10元. (1)求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少元？ (2)若该商店A种纪念品每件售价50元，B种纪念品每件售价65元，这两种纪念品共 数学试卷（一）第4页（共6页） 购进200件，这两种纪念品全部售出后总获利不低于2400元，求A种纪念品最多购进多 少件？ 21.(9分)今年郑州市的中考体育，掷实心球是必考项目之一，如图1是一名男生投实心球 情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关 系如图2所示掷出时，起点处高度为。m,当水平距离为4m时，实心球行进至最高点 9 5m处 (1)求y关于x的函数表达式； (2)根据中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距 离大于等于9.7m时，即可得满分10分.该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由」 9 5 图1 图2 22.(10分)预警三角标志牌用于放置在车道上，告知后方来车前有停置车辆，如图1所示. 贝贝想制作类似此标志的图形，先使用反光材料设计一个物件，如图2所示，其中四边 形ABCD为长方形，AB、CD分别以AB、CD为直径的半圆，且灰色部分ABCD为反光 区域.接着，将三个图2的物件以图3的方式组合并固定，其中固定点O1、O2、O3皆与半 圆的圆心重合，且各半圆恰好与长方形的长边相切，而在图3左下方的局部放大图中， B、E皆为其切点，AB、EF皆为直径， 图1 45公分 4公分 B 图2 图3 数学试卷（一）第5页（共6页） 请根据上述资讯，回答下列问题： (1)图3中∠AO,F的度数为多少？ (2)根据图3的组合方式，求出可看见的反光区域面积为多少？请详细解释或完整写出 你的解题过程，并求出答案. 23.(10分)综合与实践 小明学习了图形的旋转之后，积极思考，利用两个大小不同的直角三角形与同学做起了 数学探究活动.如图1，在△ABC与△DEF中，AC=BC=a,∠C=90°，DF=EF=b, (a>b),∠F=90°. 【探索发现】 将两个三角形顶点C与顶点F重合，如图2，将△DEF绕点C旋转，他发现BE与AD 的数量关系一直不变，则线段BE与AD具有怎样的数量关系，请说明理由： 【深入思考】 将两个三角形的顶点C与顶点D重合，如图3所示将△DEF绕点C旋转， ①当B、F、E三点共线时，连接BF、AE,线段BF,CF、AE之间的数量关系为 ②如图4所示，连接AF、AE,若线段AC、EF交于点O,试探究四边形AECF能否为平 行四边形？如果能，求出α、b之间的数量关系，如果不能，试说明理由. 【拓展延伸】 如图5，将△DEF绕点C旋转，连接AF,取AF的中点M,连接EM,直接写出EM的最 大值和最小值。（用含a、b的式子表示 C(F C(D) C(D) C(D 图1 图2 图3 图4 图5 数学试卷（一）第6页（共6页）数学参考答案 第 页 共 12 页1 天宏大联考 2023 年河南省中招第一次模拟考试试卷 数学参考答案与评分标准 一、选择题：（每题 3 分共 30 分） 1.A 【解析】∵负数的绝对值是它的相反数，∴｜-2｜=2. 2.D 【解析】“我”字所在面与“国”字所在面相对，“厉”字所在面与“了”字所在面 相对，“害”字所在面与“的”字所在面相对． 3.D 【分析】根据二次根式的加减运算、完全平方公式、乘方运算以及整式的除法运算 即可得出答案． 【解答】解：A、 与 不是同类二次根式，故 A 不符合题意． B、原式＝4，故 B 不符合题意． C、原式＝a 2 ﹣4a+4，故 C不符合题意． D、原式＝a 3 ，故 D 符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查二次根式的加减运算、完全平方公式、乘方运算以及整式的除法运算， 本题属于基础题型． 4. A．【分析】绝对值小于 1 的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a×10 ﹣n ， 与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数 n 由原数左边起第一个不 为零的数字前面的 0的个数所决定． 【解答】解：∵1 纳米＝1×10﹣9米， ∴500 纳米＝500×10﹣9米＝5×10﹣7米． 故选：A． 【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a×10 ﹣n ，其中 1≤ |a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0的个数所决定． 5．D． 【分析】由菱形的性质和全等三角形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D， A、在△ABM 和△ADN 中， ，∴△ABM≌△ADN（SAS），故选项 A不符合题意； B、在△ABM 和△ADN 中， ，∴△ABM≌△ADN（ASA），故选项 B 不符合 题意； C、∵∠AMC＝∠ANC，∴∠AMB＝∠AND，在△ABM 和△ADN 中， ， ∴△ABM≌△ADN（AAS），故选项 C不符合题意； D、由 AB＝AD，AM＝AN，∠B＝∠D，不能判定△ABM 和△ADN 一定全等，故选项 D符合 题意； 故选：D． 【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定等知识，熟练掌握菱形的性质和全 等三角形的判定方法是解题的关键． 数学参考答案 第 页 共 12 页2 6.D【分析】结合给出的函数的特征，在四个选项中依次判断即可． 【解答】解：把点（﹣1，1）分别代入四个选项中的函数表达式，可得，选项 B 不符合 题意； 又函数过第四象限，而 y＝x 2 只经过第一、二象限，故选项 C 不符合题意； 对于函数 y＝﹣x，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小，与丙给出的特征不符合，故选项 A不符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查一次函数，反比例函数及二次函数的性质，根据题中所给特征依 次排除各个选项，排除法是中考常用解题方法． 7．C 【分析】根据作图过程可得 GH 是 AB 的垂直平分线，进而可以逐一判断． 【解答】解：根据作图过程可知：GH 是 AB 的垂直平分线， ∴AE＝BE，GH⊥AB，故 A选项正确； ∵CD 是△ABC 的高， ∴CD⊥AB， ∴GH∥CD，故 B选项正确； ∵EF＝AE， ∴AB＝2AE＝2EF，故 C 选项错误； ∴∠EFA＝∠EAF＝45°， ∴∠APB＝45°．故 D 选项正确． ∴说法错误的是 C． 故选：C． 【点评】本题考查了尺规作图中的基本作图，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键 是掌握基本作图方法． 8．A【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝22﹣4（m+1）＞0，解不等式得到 m的取 值范围，然后对各选项进行判断． 【解答】解：根据题意得Δ＝2 2 ﹣4（m+1）＞0， 解得 m＜0． 故选：A． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣ 4ac 有如下关系：当Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0 时，方程有两个相等 的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 9.D 【分析】由题意可求得∠ACD＝30°，利用三角形的外角性质即可求∠α的度数． 【解答】解：如图所示： ∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∠ECD＝60°， ∴∠ACD＝∠ACB﹣∠ECD＝30°， ∵∠α是△ACD 的一个外角， ∴∠α＝∠A+∠ACD＝75°． 故选：D． 【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间 的关系． 10．A【分析】由图②知，BC＝6，CD＝14﹣6＝8，BD＝18﹣14＝4，再通过解直角三角 形，求出△CBD 高，进而求解． 数学参考答案 第 页 共 12 页3 【解答】解：由图②知，BC＝6，CD＝14﹣6＝8，BD＝18﹣14＝4， 过点 B作 BH⊥DC 于点 H， 设 CH＝x，则 DH＝8﹣x， 则 BH 2 ＝BC 2 ﹣CH 2 ＝BD 2 ﹣DH 2 ，即：BH 2 ＝4 2 ﹣（8﹣x） 2 ＝6 2 ﹣x 2 ， 解得：BH＝ ， 则 a＝y＝S△ABP＝ DC×HB＝ ×8× ＝3 ， 故选：A． 【点评】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图 形的对应关系，进而求解． 二、填空题：（每题 3 分，共 15 分） 11. （2+m）（2﹣m）． 【分析】原式利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式＝（2+m）（2﹣m）， 【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 12．x≥2． 【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，再求出其公共部分即可． 【解答】解： ， 由①得，x＞﹣1 由②得，x≥2； ∴不等式组的解集为 x≥2． 故答案为：x≥2． 【点评】此题主要考查了解一元一次不等式，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较 小，小大大小中间找，大大小小解不了． 13. 【分析】画树状图，共有 9 种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结 果有 3种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：把 3 节车厢分别记为 A、B、C， 画树状图如图： 共有 9种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有 3种， ∴甲和乙从同一节车厢上车的概率为 ＝ ， 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所 有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时 要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之 比． 14．π﹣2 【分析】如图，连接 AB，根据图形隐含条件可以知道阴影部分面积＝S 扇形 AOB﹣S△AOB，依 此计算即可求解． 数学参考答案 第 页 共 12 页4 【解答】解：如图，连接 AB，根据图形可知： 阴影部分面积＝S 扇形AOB﹣S△AOB＝ ﹣ ×2×2＝π﹣2． 故答案为：π﹣2． 【点评】此题主要考查了扇形面积的计算，同时也利用了等积变换． 15． 17 【分析】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN 的最小值． 【解答】解：作 M 关于 OB 的对称点 M′，作 N 关于 OA 的对称点 N′， 连接 M′N′，即为 MP+PQ+QN 的最小值． 根据轴对称的定义可知：∠N′OQ＝∠M′OB＝30°，∠N′ON＝60°，ON′=ON=4, OM′=OM=1 ∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形， ∴∠N′OM′＝90°， ∴在 Rt△M′ON′中， M′N′＝ 1741 22  ． 故答案为 17． 【点评】本题考查了轴对称﹣﹣最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段， 得到等边三角形是解题的关键． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分） 16．（1）（5分）计算：（π﹣1）0+ ﹣2cos30°． 【分析】直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质、特殊角的三角函数值分别化简， 进而合并得出答案． 【解答】解：原式＝1+2 ﹣2× ..............................2 分 ＝1+2 ﹣ ..............................4 分 ＝1+ ． ..............................5 分 【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键． （2）（5 分）化简： 【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简 【解答】解：原式＝（ ﹣ ）÷ ..................2 分 数学参考答案 第 页 共 12 页5 ＝ × .....................4 分 ＝ ， .......................5 分 【点评】本题考查的是分式的化简，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 17.(9 分）【分析】（1）根据已知部分所占的百分比求出整体数值；根据数据排列，找 出对应的组别。 （2）通过计算所得数值，补全频数直方图； （3）已知总人数及一等奖及特等奖人数所占百分比，求出一等奖及特等奖人数。 （4）通过画树状图或者列表法，计算出对应事件的概率。 【解答】 (1)解：96÷24％=400 名， 所以本次调查一天随机抽取 400 名学生的成绩； 故答案为：400， ...............................2 分 (2)解：m=15%×400 =60 E 组的人数为 400-20-60-96-144=80 名， 补全学生成绩频数直方图如下图： ...............................3 分 (3)解： 16803000 400 80144   （人）； 答：该校获得一等奖及特等奖的学生有 1680 ............................5 分 (4)解：根据题意，画树状图如图， . ...........................7 分 ∵共有 20 种等可能的结果，恰好抽中一名男生和一名女生的结果有 12 种， ∴恰好抽中一名男生和一名女生的概率为 5 3 20 12 p . ...............9 分 【点评】此题考查了数据的信息与统计，根据相关条件进行准确的计算，同时还有关于 概率的计算，能够准确的列表或者画树状图计算概率即可． 18.（9 分）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数 y＝kx+b（k≠0）与反比例函数 y＝ x a （a≠0）的图象交于第二、四象限 A、B两点，过点 A作 AD⊥x轴于 D，AD＝8，sin ∠AOD＝ ，且点 B的坐标为（n，﹣2）． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）请直接写出满足 kx+b＞ x a 的 x的取值范围； 数学参考答案 第 页 共 12 页6 （3）E是 y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，直接写出所有符合条件的 E点坐标． 【分析】（1）先利用三角函数求出 OD，得出点 A坐标，进而求出反比例函数解析式， 进而求出点 B坐标，将点 A，B坐标代入直线解析式中，建立方程组，求解即可得出结论； （2）根据图象直接得出结论； （3）设出点 E坐标，进而表示出 AE，OE，再分 OA＝OE，OA＝AE，OE＝AE三种情 况，建立方程求解即可得出结论． 【解答】解：∵AD⊥x轴， ∴∠ADO＝90°， 在 Rt△AOD中，AD＝8， ∴sin∠AOD＝ ＝ ， ∴OA＝10，根据勾股定理得，OD＝6， ∵点 A在第二象限， ∴A（﹣6，8）， ..........................................1分 ∵点 A在反比例函数 y＝ x a 的图象上， ∴a＝﹣6×8＝﹣48， ∴反比例函数解析式为 y＝﹣ ， ..........................................2分 ∵点 B（n，﹣2）在反比例函数 y＝﹣ 上， ∴﹣2n＝﹣48， ∴n＝24， ∴B（24，﹣2）， ..........................................3分 ∵点 A（﹣6，8），B（24，﹣2）在直线 y＝kx+b上， ∴ ， ∴ ， ∴一次函数的解析式为 y＝﹣ x+6； ..........................................4分 （ 2 ） 由 图 象 知 ， 满 足 kx+b＞ x a 的 x 的 取 值 范 围 为 x＜ ﹣ 6 或 0 ＜ x＜ 24； ..........................................6分 （3）设点 E的坐标为（0，m）， ∵A（﹣6，8），O（0，0）， ∴OE＝|m|，OA＝10， ∵△AOE是等腰三角形， ∴①当 OA＝OE时，|m|＝10， ∴m＝±10， ∴E（0，10）或（0，﹣10）， ..........................................7分 ②当 OA＝AE时，DE＝2×8=16，此时点 E只能在 y轴正半轴上， 数学参考答案 第 页 共 12 页7 ∴E（0，16）， ..........................................8分 ③当 OE＝AE时，∵cos∠AOE= OE OA 2 1 = OA AD ∴ 10 8102 1   OE ∴ 4 25 OE ∵点 E在 y轴正半轴上 ∴E（0， 4 25 ） ..........................................9分 即：满足条件的点 E的坐标为（0，10）或（0，﹣10）或（0，16）或（0， ）． 【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，锐角三角函数，等腰三角 形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 19．（9分）为了培养学生学以致用的能力，数学老师安排数学实践小组利用节假日时 间到现场测量一古建筑的牌匾悬挂的高度，如图 1，大门上悬挂着巨大的匾额，图 2 中的线 段 BC 就是悬挂在墙壁 AM 上的匾额的截面示意图．已知 BC＝2米，∠MBC＝37°．他们在该 古建筑底部所在的平地上，选取两个不同测量点 D、E，分别测量了该牌匾端点的仰角以及 这两个测量点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测量点之间 的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）． 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 ∠ADC 43° 47° 45° ∠AEB 54.2° 51.8° 53° D、E之间的 距离 4.3m 4.5m …… …… …… …… …… （1）D、E之间距离的平均值是 4.4m ． （2）求匾额悬挂的高度 AB 的长．（参考数据：sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ ） 【分析】（1）求出两次的平均值即可； （2）过点 C 作 CN⊥AB，CF⊥AD，垂足分别为 N、F，在 Rt△BCN 中，求出 CN、BN，再 在 Rt△ABE 中用 AB 的代数式表示 AE，然后根据∠ADC＝45°得出 CF＝DF，列方程求解即可． 【解答】解：（1）D、E 之间距离的平均值是 （4.3+4.5）＝4.4（m）， 故答案为：4.4m； ...............................2 分 （2）过点 C 作 CN⊥AB，CF⊥AD，垂足分别为 N、F，如图所示：...............3 分 在 Rt△BCN 中，∠MBC＝37°， CN＝BC•sin∠MBC≈2× ＝1.2（米）， ......................4 分 BN＝BC×cos37°≈2× ＝1.6（米）， ....................5 分 在 Rt△ABE 中，∠ABE＝90°﹣∠AEB＝90°﹣53°＝37°， 数学参考答案 第 页 共 12 页8 AE＝AB•tan∠ABE＝AB×tan37°＝AB×tan37°≈ AB，...................6 分 ∵∠ADC＝45°， ∴△CDF 是等腰直角三角形， ∴CF＝DF， .........................7 分 ∴BN+AB＝AD﹣AF＝AD﹣CN， 即：1.6+AB≈ AB+4.4﹣1.2， 解得：AB＝6.4（米）， 答：匾额悬挂的高度 AB 的长约为 6.4 米． ..................9 分 【点评】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三 角形是解题的关键． 20．（9分）疫情放开之后，销售行业的销售情况开始回暖，某商品经销店欲购进 A、B 两种纪念品，用 360 元购进的 A 种纪念品与用 450 元购进的 B 种纪念品的数量相同，每件 B 种纪念品的进价比 A种纪念品的进价贵 10 元． （1）求 A、B 两种纪念品每件的进价分别为多少元？ （2）若该商店 A 种纪念品每件售价 50 元，B 种纪念品每件售价 65 元，这两种纪念品 共购进 200 件，这两种纪念品全部售出后总获利不低于 2400 元，求 A 种纪念品最多购进多 少件？ 【分析】（1）设 A 种纪念品每件的进价为 x 元，则 B种纪念品每件的进价为（x+10）元， 由题意：用 360 元购进的 A种纪念品与用 450 元购进的 B 种纪念品的数量相同，列出分式方 程，解方程即可； （2）设 A 种纪念品购进 a 件，则 B 种纪念品购进（200﹣a）件，根据总利润＝单件利 润×购买数量结合这两种纪念品全部售出后总获利不低于 2400 元，列出一元一次不等式， 解之取其内的最大值即可得出结论． 【解答】解：（1）设 A种纪念品每件的进价为 x元，则 B 种纪念品每件的进价为（x+10） 元． 根据题意得： ＝ ， ....................2 分 解得：x＝40， .............................3 分 经检验，x＝40 是原分式方程的解，且符合题意， .................4 分 则 x+10＝50． 答：A种纪念品每件的进价为 40 元，B种纪念品每件的进价为 50 元． .........5 分 （2）设 A 种纪念品购进 a 件，则 B 种纪念品购进（200﹣a）件， 根据题意得：（50﹣40）a+（65﹣50）（200﹣a）≥2400， ..................7 分 解得：a≤120． 答：A种纪念品最多购进 120 件． ....................9 分 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1） 找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据数量间的关系，正确列出一元一次不等式． 数学参考答案 第 页 共 12 页9 21．（9分）今年郑州市的中考体育，掷实心球是必考项目之一．如图 1是一名男生投 实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度 y（m）与水平距离 x（m）之间的函 数关系如图 2 所示．掷出时，起点处高度为 m．当水平距离为 4m 时，实心球行进至最高点 5m 处． （1）求 y 关于 x 的函数表达式； （2）根据中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水 平距离大于等于 9.7m 时，即可得满分 10 分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由． 【分析】（1）根据题意设出 y 关于 x 的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令 y＝0，解方 程即可． 【解答】解：（1）根据题意设 y 关于 x的函数表达式为 y＝a（x﹣4）2+5， 把（0， ）代入解析式得： ＝a（0﹣4） 2 +5， 解得：a＝﹣ ， ∴y 关于 x的函数表达式为 y＝﹣ （x﹣4） 2 +5； .....................5 分 （2）该男生在此项考试中不能得满分，理由： 令 y＝0，则﹣ （x﹣4） 2 +5＝0， 解得：x1＝9，x2＝﹣1（舍去）， ∵9＜9.7， ∴该男生在此项考试中不能得满分． ..........................9 分 【点评】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题 转化为方程为题． 22．（10 分）预警三角标志牌用于放置在车道上，告知后方来车前有停置车辆，如图 所示 1所示．贝贝想制作类似此标志的图形，先使用反光材料设计一个物件，如图 2所示， 其中四边形 ABCD 为长方形， 、 分别以 AB、CD 为直径的半圆，且灰色部分 ABCD 为反 光区域．接着，将三个图 2的物件以图 3的方式组合并固定，其中固定点 O1、O2、O3皆与半 圆的圆心重合，且各半圆恰好与长方形的长边相切，而在图 3 左下方的局部放大图中，B、E 皆为其切点，AB、EF 皆为直径． 请根据上述资讯，回答下列问题： （1）图 3 中∠AO1F 的度数为多少？ P 数学参考答案 第 页 共 12 页10 （2）根据图 3 的组合方式，求出可看见的反光区域面积为多少？请详细解释或完整写 出你的解题过程，并求出答案． 【分析】（1）根据切线的性质，四边形的内角和定理得出答案； （2）求出“图 2 的面积”和“图 3中不规则图形 PAEBF 的面积”，由阴影部分的面积为 3个“图 2面积”减去 3个“图 3中的不规则图形面积”进行计算即可． 【解答】解：（1）如图 3，由题意可知，∠1＝60°＝∠APF， ∵PA、PF 是⊙O1的切线，A、F为切点， ∴PA＝PF，∠O1AP＝∠O1FP＝90°， ..........................................2分 在四边形 AO1FP 中， ∠AO1F＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°， ..........................................4分 （2）如图 3，由题意可知，AB＝4，连接 O1P，则∠APO1＝∠FPO1＝30°， 在 Rt△APO1中，PA＝ AO1＝2 （公分）， ..........................................5分 图 3 不规则图形 PAEBF 的面积为：S 大扇形 O 1 AEBF+S 四边形 PAO 1 F＝ + ×2×2 ×2＝ （ +4 ）（平方公分）， ..........................................7分 如图 2，图 2 的面积为：π×22+45×4＝（4π+180）（平方公分）， .........................8分 由题意可知，S 反光区域＝3S 图 2﹣3S 图3不规则图形 ＝3（4π+180）﹣3（ +4 ） ＝12π+540﹣8π﹣12 ＝4π+540﹣12 （平方公分）， 答：可看见的反光区域面积为（4π+540﹣12 ）平方公分． ...............................10分 【点评】本题考查切线的性质，扇形面积、矩形面积计算，掌握切线的性质，扇形面积 的计算方法是解决问题的关键． 23．（10 分）综合与实践 小明学习了图形的旋转之后，积极思考，利用两个大小不同的直角三角形与同学做起了 数学探究活动．如图 1，在△ABC 与△DEF 中，AC＝BC＝a，∠C＝90°，DF＝EF＝b，（a＞b）， ∠F＝90°． 【探索发现】 将两个三角形顶点 C与顶点 F重合，如图 2，将△DEF 绕点 C 旋转，他发现 BE 与 AD 的 数量关系一直不变，则线段 BE 与 AD 具有怎样的数量关系，请说明理由； 【深入思考】 将两个三角形的顶点 C 与顶点 D 重合，如图 3 所示将△DEF 绕点 C旋转． ①当 B、F、E 三点共线时，连接 BF、AE，线段 BF、CF、AE 之间的数量关系为 BF＝ AE+CF ； ②如图 4 所示，连接 AF、AE，若线段 AC、EF 交于点 O，试探究四边形 AECF 能否为平行 四边形？如果能，求出 a、b 之间的数量关系，如果不能，试说明理由． 数学参考答案 第 页 共 12 页11 【拓展延伸】如图 5，将△DEF 绕点 C旋转，连接 AF，取 AF 的中点 M，连接 EM，直接 写出 EM 的最大值和最小值。（用含 a、b 的式子表示）． 【分析】【探究发现】证明△BCE≌△AFD，进一步得出结果； 【深入思考】①在 FB 上截取 FG＝EF，可得△CGE 是等腰直角三角形，根据【探究发现】 可得出结论； ②四边形 AECF 可以为平行四边形，根据勾股定理可得 OC 2 ＝CF 2 +OF 2 ＝b 2 + 2 2 1       b ＝ ， 进一步得出结果； 【拓展延伸】延长 FE 至 O，是 EO＝EF，连接 OA，EM＝ ，可求得 OC＝ ，从而 点 O 在以 C为圆心， b的圆上运动，进一步得出结果． 【解答】解：【探究发现】BE＝AD，理由如下： 如图 1， ∵∠ACB＝∠EFD＝90°， ∴∠ACB﹣∠ACE＝∠EFD﹣∠ACE， ∴∠BCE＝∠AFD， 在△BCE 和△AFD 中， ， ∴△BCE≌△AFD（SAS）， ∴BE＝AD； ...................3 分 【深入思考】①BF＝AE+CF，理由如下： 如图 2， 数学参考答案 第 页 共 12 页12 在 FB 上截取 FG＝EF，可得△CGE 是等腰直角三角形， ∴CF＝FG＝EF， 由【探究发现】得：BG＝AE， ∴BF＝BG+GF＝AE+CF； 故答案为：BF＝AE+CF； ....................5 分 ②四边形 AECF 可以为平行四边形， 此时 OF＝OE＝ ，OC＝OA＝ ， ∵∠CFO＝90°， ∴OC 2 ＝CF 2 +OF 2 ＝b 2 + 2 2 1       b ＝ ， ∴ ＝ ， ∴a＝ b； ............................8 分 【拓展延伸】如图 3， 延长 FE 至 O，使 EO＝EF，连接 OA， ∴EM＝ ， 在 Rt△COF 中，OF＝2EF＝2b，CF＝b， ∴OC＝ ， ∴点 O在以 C 为圆心， b 的圆上运动， ∴当点 O 在 AC 的延长线上时，AO 最大，最大值为：a+ ， 当点 O在射线 CA 上时，AO 最小，最小值为|a﹣ |， ∴EM 最大＝ ，EM 最小＝ ， ........................10 分 【点评】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定 理，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是确定点的运动轨迹．