精品解析：湖南省岳阳市临湘市第二中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题

2024年6月高一数学月考试题 一､选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性可求解. 【详解】因为，所以， 所以． 故选：D 2. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，则其相关系数值最大的是（ ） A. r1 B. r2 C. r3 D. r4 【答案】A 【解析】 【分析】根据相关系数的定义的值越接近于1关联性越强，结合图象即可求解． 【详解】根据相关系数的定义知，越接近于1关联性越强， 结合图象知，第一、三两幅图为正相关，且第一幅图的相关性较强，所以， 又因为第二、四幅图变量之间为负相关，且第二幅图的相关性较强，所以， 故选：A． 3. 课桌上有12本书，其中理科书籍有4本，现从中任意拿走6本书，用随机变量表示这6本书中理科书籍的本数，则概率为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算出，从而得到答案. 【详解】，， 故，A正确， 其他选项，均不合要求. 故选：A 4. 袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中依次取两球（不放回），则第二次取到的是黑球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设事件：表示第1次取到黑球，事件：表示第1次取到白球，事件：表示第2次取到黑球，结合，即可求解. 【详解】设事件：表示第1次取到黑球，事件：表示第1次取到白球，事件：表示第2次取到黑球， 于是，， 则. 故选：B 5. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，利用条件概率的公式即可求解. 【详解】由，得． 因为， 所以． 故选：C． 6. 某一离散型随机变量的概率分布如下表，且，则的值为（ ） 0 1 2 3 0.1 0.1 A. -0.1 B. 0 C. 0.1 D. 0.2 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率之和为1及期望值得到方程组，求出，得到答案. 【详解】由题意得，， 解得， 故. 故选：B 7. 某离散型随机变量的分布列如下，若，，则（ ） 0 1 2 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可由斜率之和为1，，，构建的等式求出，再用方差公式求方差即可. 【详解】分布列的概率之和为1， ，即①． ， ②． ， ， 依次代入②､①，解得， 则． 故选：D． 8. 已知，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数线的结论，结合导数讨论函数的单调性后可得所求大小关系. 【详解】因为，所以由三角函数线可知， 所以，所以； 设函数， 则在上恒成立， 因此在上单调递减， 因为，所以， 则，即， 综上：. 故选：B. 二.多选题（共4小题，每题5分，共20分） 9. 已知等差数列的公差为d，前项和为，且，，则（ ） A. B. C. D. 当或2时，取得最小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据题意列式求解可得，即可得结果；对于B：根据等差数列的通项公式分析判断；对于C：根据通项公式运算求解；对于D：先根据等差数列的求和公式求出，再结合二次函数的对称性分析判断. 【详解】由题意可得，解得，故A正确； 所以，故B正确； 所以，故C错误； 所以． 因为，所以当或时，取得最小值，故D正确． 故选：ABD． 10. 关于随机事件，下列说法正确的是（ ） A. 若，则独立 B. 若，则 C. 若，则 D. 若事件和是两个互斥事件，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由条件概率公式及独立事件的定义分析判断，对于B，由独立事件的定义分析判断，对于C，举例判断，对于D，由互斥事件的概率公式分析判断. 【详解】对于A，若，则 , 所以，所以独立，所以A正确， 对于B，因为，所以独立，也独立， 所以，所以B正确， 对于C，投掷一枚质地均匀的骰子，设出现偶数点为事件，奇数点为事件，则事件和事件是两个对立事件， 则，，，， 所以，所以C错误， 对于D，若事件和是两个互斥事件，则由互斥事件的概率加法公式得 ，所以D正确， 故选：ABD 11. 已知数列，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，利用递推关系求出；B选项，根据推出，进而求出，；CD选项，根据B选项，求出，得到C错误，D正确. 【详解】A选项，由，得，则，所以，所以，故A正确； B选项，由，得，所以，即， 所以数列的奇数项和偶数项，均是以2为公比的等比数列， ， 故，故B正确； CD选项，，故C错误，正确． 故选：ABD． 12. （多选）已知函数，其中，则（ ） A. 存在过点与函数图象均相切的直线 B. 当时，不存在与函数图象均相切的直线 C. 当时，存在两条与函数图象均相切的直线 D. 最多存在三条与函数图象均相切的直线 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意，对A选项，由函数的图象恒过定点，得到的切线方程，进而可判断；对B选项，将代入两函数解析式中，假设存在公切线与相切，切点为，得到两函数关于切点的切线方程，列出不等式再求解，再设立新函数，对新函数分析单调性和最值，进而即可判断，同理分析C选项和D选项. 【详解】由，，函数定义域为， 可得， 对A选项，易知函数的图象恒过定点， 则其切线斜率为，即切线方程为， 显然不是函数的切线，故A选项错误； 对B选项，当时，，则， 假设存在公切线与相切，切点为， 则在点处的切线方程为，即， 函数在点处的切线方程为，即， 所以，消去，整理得，即， 设函数，函数定义域为，则得， 当时，，则在单调递减； 当时，，则在单调递增； 所以在处取得极小值也是最小值， 即方程无解，故点不存在， 所以不存在与函数和均相切的直线，故B选项正确； 对C选项，当时，，则， 假设存在公切线与相切，切点为， 则在点处的切线方程为，即， 函数在点处的切线方程为，即， 所以，消去，整理得，即， 设函数，则， 令，得， 当时，，则在单调递增； 当时，，则在单调递减； 所以在处取得极大值也是最大值， 即方程有解，故存在点， 所以存在两条与函数和均相切的直线，故C选项正确； 对D选项，假设存在公切线与函数分别相切于点， 所以函数在点处的切线方程为， 即， 函数在点处的切线方程为， 即， 其满足， 所以，即 即， 所以， 所以， 设，则， 当时，，函数在上单调递增， 当时，若，则，函数在上单调递增， 若，则，函数在上单调递减， 所以方程至多有两个解， 所以至多存在两条与函数图象均相切的直线，故选项D错误. 故选：BC. 三､填空题（共4小题，每题5分，共20分） 13. 在散点图中，若所有的样本点都落在一条斜率为非0实数的直线上，则相关系数__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据相关系数的含义分析可得. 【详解】当散点图的所有点都在一条斜率为非0实数的直线上时，它的残差为0，残差的平方和为0，所以它的相关系数为，即． 故答案为：1． 14. 甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以的比分获胜的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】前三局，乙获胜一场，计算得到概率. 【详解】根据题意知：前三局，乙获胜一场，故 故答案为： 【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的理解应用能力. 15. 已知数列中，，且数列为等差数列，则_____________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由题意得: 考点：等差数列通项 16. 已知函数，若存在唯一的零点，且．则的取值范围是__． 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论，利用导数判断函数的单调性和极值情况，结合存在唯一的零点可得结果. 【详解】当时， 解得，函数有两个零点，不符合题意，应舍去； 当时，令，解得或，列表如下： 0 + 0 ﹣ 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 ∵，∴存在，使得，不符合条件，应舍去． 当时，令，解得或，列表如下： 0 ﹣ 0 + 0 ﹣ 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 而，时，，∴存在，使得， ∵存在唯一的零点，且，∴极小值， 化简可得，即或. ∵，∴． 综上可知：的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查导数求解函数的零点问题，求解的关键是根据条件，结合导数分类讨论函数零点的情况， 四､解答题（共6小题，共70分） 17. 已知数列满足，且．设． （1）求证：数列为等差数列； （2）设数列，求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据递推公式，利用辅助数法，整理等式，结合等差数列定义，可得答案； （2）根据等差数列的通项公式，写出所求数列的通项公式，利用裂项相消求和，可得答案. 【小问1详解】 证明：因为，所以， 所以，即． 又因为，所以数列是首项为2､公差为1的等差数列． 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 所以． 18. 已知某绿豆新品种发芽的适宜温度在6℃~22℃之间，一农学实验室研究人员为研究温度（℃）与绿豆新品种发芽数（颗）之间的关系，每组选取了成熟种子50颗，分别在对应的8℃~14℃的温度环境下进行实验，得到如下散点图： （1）由折线统计图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立关于的回归方程，并预测在19℃的温度下，种子发芽的颗数. 参考数据：，，，. 参考公式：相关系数，回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ，. 【答案】（1）答案见解析； （2）44. 【解析】 【分析】（1）直接套公式求出系数r，即可判断；（2）套公式求出回归方程，把代入，即可求解. 【小问1详解】 由题意可知：. .又，所以相关系数. 因为相关系数，所以与的线性相关性较高，可以利用线性回归模型拟合与的关系. 【小问2详解】 由（1）知，，，. 所以, 所以. 所以与的回归直线为. 当时，.即在19℃的温度下，种子发芽的颗数为44. 19. 已知等比数列的前项和为. （1）求等比数列的通项公式； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出公比，得到方程，求出，得到通项公式； （2）在（1）基础上得到，得到是公比为的等比数列，利用等比数列求和公式得到答案. 【小问1详解】 当时，不满足， 可知，因为，所以， 即，解得， 则有：； 【小问2详解】 由（1）知，则， 所以，且， 所以数列是以1为首项，公比为的等比数列， 所以 20. 深圳中学足球社团是一个受学生欢迎的社团. （1）现社团招新，需对报名者进行“点球测试”来决定是否录取，规则如下：踢点球一次，若踢进，则被录取；若没踢进，则继续踢，直到踢进为止，但是每人最多踢点球3次.某同学进行“点球测试”，依据平时的训练数据，获得其单次点球踢进的概率为，该同学每次点球是否踢进相互独立.他在测试中所踢的点球次数记为，求的分布列及数学期望； （2）社团中的甲､乙､丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即. （i）证明：数列为等比数列； （ii）判断第19次还是第20次触球者是甲的概率大. 【答案】（1）分布列见解析； （2）（i）证明见解析；（ii）第19次触球者是甲的概率大 【解析】 【分析】（1）由题意可能取1，2，3，计算出对应的概率即可求解； （2）（i）第次触球者是甲的概率记为，则当时，第次触球者是甲的概率为，第次触球者不是甲的概率为，可得，化简整理即可证明；（ii）由（i）知，代入整理即可求解. 【小问1详解】 由题意，可能取1，2，3， 则，， ， 的分布列为： 1 2 3 0.6 0.24 0.16 即； 【小问2详解】 （i）第次触球者是甲的概率记为，则当时，第次触球者是甲的概率为，第次触球者不是甲的概率为， 则， 从而，又， 所以是以为首项，公比为的等比数列； （ii）， ， ， 所以，故第19次触球者是甲的概率大. 21. 已知盒子里有6个形状、大小完全相同的小球，其中红、白、黑三种颜色，每种颜色各两个小球，现制定如下游戏规则：每次从盒子里不放回的摸出一个球，若取到红球记1分；取到白球记2分；取到黑球记3分． （1）若从中连续取3个球，求恰好取到3种颜色球的概率； （2）若从中连续取3个球，记最后总得分为随机变量，求随机变量的分布列与数学期望 【答案】（1） （2）分布列详见解析，数学期望. 【解析】 【分析】（1）连续取3个球有种方法，从中连续取3个球，红，白，黑各取一个有种方法，再结合概率公式，即可求解． （2）由题意可得，随机变量所有可能取值为4，5，6，7，8，分别求出对应的概率，即可求解分布列，再求数学期望． 【小问1详解】 连续取3个球有种方法，从中连续取3个球，红，白，黑各取一个有种方法， 故恰好取到3种颜色球的概率 【小问2详解】 由题意可得，随机变量所有可能取值为4，5，6，7，8， 当时，两个红球和一个白球，则， 当时，两个红球和一个黑球或两个白球和一个红球，则， 当时，一个红球和一个白球和一个黑球，则， 当时，一个红球和两个黑球或两个白球和一个黑球，则， 当时，两个黑球和一个白球，则， 故随机变量的分布列为： 4 5 6 7 8 数学期望. 22. 已知函数. （1）若，求的取值范围； （2）当时，证明：. 【答案】（1） （2） 记，则， 令，则， 所以即在上单调递增. 由，知. 所以，即， 故当单调递减；当单调递增. 所以， 由（*）式，可得. 代入式，得. 由（1）知，当时有，故， 所以. 由于，所以. 故，即，原不等式得证. 【解析】 【分析】（1）令，将问题转化为，利用导数求出即可； （2）令，将问题转化为，通过导数研究单调性，借助隐零点和放缩法证明即可. 【小问1详解】 记，，则恒成立，即. 因为， 当；当； 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以，解得. 故实数的取值范围是； 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式，转化为构造函数，利用导数分析构造的函数的单调性，求得最值，证明即可.当导函数的零点不易求出时，可借助其单调性和零点存在定理确定零点所在区间，设出零点，再整体代换即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年6月高一数学月考试题 一､选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，则其相关系数值最大的是（ ） A. r1 B. r2 C. r3 D. r4 3. 课桌上有12本书，其中理科书籍有4本，现从中任意拿走6本书，用随机变量表示这6本书中理科书籍的本数，则概率为的是（ ） A. B. C. D. 4. 袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中依次取两球（不放回），则第二次取到的是黑球的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 某一离散型随机变量的概率分布如下表，且，则的值为（ ） 0 1 2 3 0.1 0.1 A. -0.1 B. 0 C. 0.1 D. 0.2 7. 某离散型随机变量的分布列如下，若，，则（ ） 0 1 2 A. B. C. D. 8. 已知，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 二.多选题（共4小题，每题5分，共20分） 9. 已知等差数列的公差为d，前项和为，且，，则（ ） A. B. C. D. 当或2时，取得最小值 10. 关于随机事件，下列说法正确的是（ ） A. 若，则独立 B. 若，则 C. 若，则 D. 若事件和是两个互斥事件，则 11. 已知数列，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 12. （多选）已知函数，其中，则（ ） A. 存在过点与函数图象均相切的直线 B. 当时，不存在与函数图象均相切的直线 C. 当时，存在两条与函数图象均相切的直线 D. 最多存在三条与函数图象均相切的直线 三､填空题（共4小题，每题5分，共20分） 13. 在散点图中，若所有的样本点都落在一条斜率为非0实数的直线上，则相关系数__________． 14. 甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以的比分获胜的概率为______． 15. 已知数列中，，且数列为等差数列，则_____________. 16. 已知函数，若存在唯一的零点，且．则的取值范围是__． 四､解答题（共6小题，共70分） 17. 已知数列满足，且．设． （1）求证：数列为等差数列； （2）设数列，求数列的前项和． 18. 已知某绿豆新品种发芽的适宜温度在6℃~22℃之间，一农学实验室研究人员为研究温度（℃）与绿豆新品种发芽数（颗）之间的关系，每组选取了成熟种子50颗，分别在对应的8℃~14℃的温度环境下进行实验，得到如下散点图： （1）由折线统计图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立关于的回归方程，并预测在19℃的温度下，种子发芽的颗数. 参考数据：，，，. 参考公式：相关系数，回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ，. 19. 已知等比数列的前项和为. （1）求等比数列的通项公式； （2）求的值. 20. 深圳中学足球社团是一个受学生欢迎的社团. （1）现社团招新，需对报名者进行“点球测试”来决定是否录取，规则如下：踢点球一次，若踢进，则被录取；若没踢进，则继续踢，直到踢进为止，但是每人最多踢点球3次.某同学进行“点球测试”，依据平时的训练数据，获得其单次点球踢进的概率为，该同学每次点球是否踢进相互独立.他在测试中所踢的点球次数记为，求的分布列及数学期望； （2）社团中的甲､乙､丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即. （i）证明：数列为等比数列； （ii）判断第19次还是第20次触球者是甲的概率大. 21. 已知盒子里有6个形状、大小完全相同的小球，其中红、白、黑三种颜色，每种颜色各两个小球，现制定如下游戏规则：每次从盒子里不放回的摸出一个球，若取到红球记1分；取到白球记2分；取到黑球记3分． （1）若从中连续取3个球，求恰好取到3种颜色球的概率； （2）若从中连续取3个球，记最后总得分为随机变量，求随机变量的分布列与数学期望 22. 已知函数. （1）若，求的取值范围； （2）当时，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $