第十一章 三角形 培优小测-【宝典训练】2023-2024学年八年级上册数学课时分层作业(人教版)

数学·优从中来 第十一章《三角形》 1. 如图,在△ABC中,C-90{*},D.E是AC上两 (2)过点B作BM/AC交FD于点M.试探究 点,且AE=DE,BD平分 EBC,那么下列说法 MBC与F十FEC的数量关系,并证明 中不正确的是 ( ) 你的结论. A.BE是ABD的中线 B.BD是△EBC的角平分线 C. /1-/2-/3 D. BC是ABE的高 _## (第1题图) (第2题图) 2.如图,AD,BE,CF是△ABC的三条中线,则下列 5. 如图,在△ABC中,AC-2BC,BC边上的中线 说法错误的是 ) AD把△ABC的周长分成60和40两部分,求 B.AB-2BF AC和AB的长. C.AD-CF D. BD-DC 3.给定下列条件,不能判定三角形是直角三角形的 是 _ A. A:B:C-1.2:3 B. /A-/C=/B C. A= /B-2/C D. A- /B- 4. 已知,如图,在△ABC中,A=ABC,直线 EF分别交△ABC的边AB,AC和CB的延长线 于点D,E,F (1D)求证:F+FEC-2A; D M _ 完典刊练|数学·八年级上册/R 6.(2022秋·部平市校级期末)现有一张△ABC纸片, 8.小明在学习过程中,对教材中的一个有趣问题做 点D、E分别是△ABC边上两点,若沿直线DE折叠 如下探究: (1)如果折成图①的形状,使点A落在CE上,则 【习题回顾】已知:如图1,在△ABC中,ACB 1与/A的数量关系是 90{*,AE是角平分线,CD是高,AE,CD相交于点 (2)如果折成图②的形状,猜想1十2与 A F. 求证:CFE- CEF: 的数量关系是 (3)如果折成图③的形状,猜想 1、2和乙A的 【变式思考】如图2,在△ABC中,ACB=90. 数量关系,并说明理由 CD是AB边上的高,若△ABC的外角BAG的 平分线交CD的延长线于点F,其反向延长线与 #_#7# BC边的延长线交于点E,则 CFE与 CEF还 相等吗?请说明理由; 图② 图③ 图① 【探究廷伸】如图3,在△ABC中,在AB上存在 一点D.使得 ACD= B,角平分线AE交CD 于点F.△ABC的外角 BAG的平分线所在直 线MN与BC的延长线交于点M.试判断 M 与 CFE的数量关系,并说明理由. ###### 7.(2022秋·东城区校级期中)如图1所示,在 △ABC中,AE是 BAC的平分线./B</C.F 图2 图1 图3 为AE上一点,且FDIBC于D. (1)试推导EFD与 B、C的大小关系 (2)如图2所示,当点F在AE的延长线上时,其 余条件不变,在(1)中推导的结论还成立吗 请说明理由 图1 F图2 2富欢爆堂宝典训练数入年城上册(R) 在△ABC中，AB=BC=3m,∠B=60', x-3 在△PBQ中，BP=(3-t)cm.BQ=tcm. 当r=2时，原式=23-2 若△PBQ是直角三角形， 则只有∠BQP=90'或∠BPQ=90 19,解：1)如答图，分别以A,C为圆心，大于号AC为半径画孤，两 弧交于E,F两点，连接E、F两点作直线即线段AC的垂直平 分线，交BC的延长线于点D, 答图1 答图2 ①当∠BQP=90时，如答图1，BQ=号BD, 则点D即为所求， (2)'AC=BC,.∠BAC=∠B, 即1一(3-0，解得1-1： ∠ACD=∠BAC+∠B,DA=DC,.∠ACD=∠CAD=2 ②当∠BPQ-90时，如答图2，BP-号BQ。 ∠B, 'AB=AD..∠ADB=∠B, 即3--子，解得1=2. :∠ACD+∠CAD+∠ADB=180°， 综上所述：当1=1s或1=2s时，△PBQ是直角三角形 .2∠B+2∠B+∠ADB=180°， 解得∠B=36', 培优小测答案 故∠B的度数为36. 20.解：乙、丁同学在接力中出错了， 正确的过程：兰亡.》2学 第十一章 (三角形) 21.解：(1)设该商场购进的第一批“84”消毒液单价为x元/瓶，依 1.C2.C3.C 题意，得2×8000-17600 +1 4,(1)证明：：∠FEC=∠A+∠ADE, 解得x=10.经检验，x=10是原方程的根. ∠F+∠BDF=∠ABC, 答：该商场购进的第一批消毒液的单价为10元/瓶： ∴∠F+∠FEC=∠F+∠A+∠ADE. (2共获利：0+7 :∠ADE=∠BDF, 10+1 -200)×13+200×13×0,9 ∴∠F+∠FEC=∠A+∠ABC,:∠A=∠ABC. (8000+17600)=5340(元). ,∠F+∠FEC=∠A+∠ABC=2∠A. 答：在这两笔生意中商场共获得5340元： (2)∠MBC=∠F+∠FEC. 22.(1)i证明：：AM⊥MN,BN⊥MN.∴∠AMC=∠CVB=90, 证明：BM∥AC,∴∠MBA=∠A :∠ACB=90°. :∠A=∠ABC, .∠MAC+∠ACM=g0°，∠NCB+∠ACM=90. ,.∠MBC=∠MBA+∠ABC=2∠A. ,∠MAC=∠NCB.在△AMC和△CNB中. 又"∠F+∠FEC=2∠A: ∠AMC=∠CNB, .∠MBC=∠F+∠FEC ∠MAC-∠NCB, 5.解：：AD是BC边上的中线，AC=2BC, AC=CB, ..BD-CD, .△AMC≌△CNB(AAS).∴.AM=CN.MC=NB. 设BD=CD=x, MN-NC+CM...MN-AM+BN AB=y,则AC=4r, (2)结论：MN=BN-AM 分为两种情况：①AC+CD=60,AB+BD=40, 理由：AMLMN,BN1MN,∴∠AMC-∠CNB=g0. 则4r十x=60,x+y=40,解得x=12,y=28, ∠ACB=90°.∴∠MAC+∠ACM=90. 即AC=4x=48,AB=28: ∠NCB+∠ACM=90°..∠MAC-∠NCB. ②AC+CD=40,AB+BD=60, I∠AMC=∠CNB. 则4r十x=40,x十y=60,解得r=8,y=52, 在△AMC和△CNB中， ∠MAC-∠NCB, 即AC=4r=32,AB=52.BC=2r=16. AC=CB. 此时不符合三角形三边关系定理， .△AMC≌△CNB(AAS). 综合上述：AC=48,AB=28. ∴.AM=CN,MC=NB. 6.(1)∠1=2∠A .MN-CM-CN...MN-BN-AM. (2)∠1+∠2=2∠A 23.(1)12 (3)解：∠2一∠1=2∠A,理由如下： (2)3-1t 如题图③，：∠2=∠AFE+∠A,∠AFE=∠A'+∠1， (3)根据题意，得AP=tcm,BQ=tcm,BP=(3-t)em. ∴∠2=∠A'+∠A+∠1. 68 参考答来 ∠A=∠A',∴∠2=2∠A+∠1， BD=DE,点E在AD上， .∠2-∠1=2∠A. ..AD=AE+DE=CD+BD. .解，1D∠EFD=之（∠C-∠B.理由如下： BD-CD. 7..在Rt△BED和R1△CFD中， BE=CF. :AE是∠BAC的平分线，∠BAE=之∠BAC=(180 ,Rt△BED≌Rt△CFD(HL),∴.DE=DF, DE⊥AB,DF⊥AC,.AD平分∠BAC: ∠B-∠O,在△ABE中，∠AEC=∠BAE+∠B=号180- (2)解：，∠AED=∠AFD=90°， AD=AD.DE=DF. ∠B-∠C+∠B=90+∠B-∠C,:FD1BC∠EFD .Rt△ADE≌Rt△ADF(HI.). =90-(90+7∠B-号∠0=∠C-∠B: ∴，AE=AF, :AC=20.由(1)得CF=BE=4, (2)仍然成立.理由如下：由()知∠DEF=∠ABC=90+2∠B ,AE=AF=AC-CF=20-4=16, .AB=AE-BE=16-4=12, -∠C.∠EFD=是（∠C-∠B. 8.解：小华的思考不正确，因为AC和BD不是这两个三角形的边： 8,【习题回顾】证明：：∠ACB=90°，CD是高， 正确的解答是：连接BC, ∴.∠B+∠CAB=90°，∠ACD+∠CAB=90, AB=DC(已知)， ∠B=∠ACD, 在△ABC和△DBC中，AC=DB(已知)， :AE是角平分线，.∠CAF=∠DAF, BC=CB(公共边). :∠CFE=∠CAF+∠ACD. .△ABC2△DCB(SSS). ∠CEF=∠DAF+∠B,∴∠CEF=∠CFE: .∠A=∠D,在△AOB和△DOC中， 【变式思考】∠CEF=∠CFE (∠A=∠D(已证)， 证明：：AF为∠BAG的平分线， ∠AOB=∠DOC(对顶角相等)， .∠GAF=∠DAF, AB=DC(已知)， :CD为AB边上的高，∠ACB=90, ,.△AOB2△DC(AAS) ∠ADF=∠ACE=90,又"∠CAE=∠GAF, 9.证明：(1)AB=AC,.∠B=∠C ∠CEF-∠CFE: BF=CD. 【探究思考】∠M+∠CFE=90 在△BDF和△CED中，∠B=∠C 证明：：C,A,G三点共线，AE,AN为角平分线， BD=CE. ∴∠EAN=90',又∠GAN=∠CAM, ∴△BDF≌△CED(SAS): .∠M+∠CEF=90, (2):△BDF≌△CED,.∠EDC=∠DFB. '∠CEF=∠EAB+∠B,∠CFE=∠EAC+∠ACD,∠ACD= :AB-AC. ∠B.∴∠CEF=∠CFE. ∴∠B=∠C=180-∠A)=90-号∠A ,.∠M+∠CFE=90°. '∠FDC=∠EDC+∠FDE=∠DFB+∠B, 第十二章（全等三角形） ∴∠FDE-=∠B=90-∠A 10.(1)证明：：∠ABC=90°，D为AB延长线上一点， 1.C2.C3.C4.B .∠ABE=∠CBD=90'. 5.证明：：△ABC和△ADE都是等边三角形，AD为BC边上的中 在△ABE和△CBD中， 线， (AB-CB, ∴.AE=AD.AD为∠BAC的平分线， ∠ABE=∠CBD. 即∠CAD=∠BAD=30, BE=BD. .∠BAE=∠EAD-∠BAD=60'-30°=30， .△ABE≌△CBD: AE-AD. (2)解：AB=CB.∠ABC=90°. 在△ABE和△ABD中，∠BAE=∠BAD, ∠CAB=45,又，∠CAE=30°， AB-AB. .∠BAE=15.:△ABE≌△CBD, .△ABE2△ABD(SAS)..BE=BD. .∠BCD=∠BAE=15. 6.证明：，△ABC和△BDE均为等边三角形， .∠BDC=90-15°=73， .∠ABC=60°=∠DBE 又BE=BD,∠DBE=90, AB=BC.BD=BE=DE. .∠BDE=45, ∴.∠ABC-∠CBE=∠DBE-∠CBE. .∠EDC=75-45”=30 即∠ABE=∠DBC. 11,解：(1)如答图1过点C作CMLx轴于点M, AB=BC.BE=BD. '∠MAC+∠OAB=90, .△ABE≌△CBD(SAS). ∠OAB+∠OBA=90'..∠MAC-∠OBA. ∴.AE=CD, 在△MAC和△OBA中， 69