第十二章 全等三角形 培优小测-【宝典训练】2023-2024学年八年级上册数学课时分层作业(人教版)

数学·优从中来 …●●● 第十二章《全等三角形》 1.如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 6.如图，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，试 ∠1+∠2+∠3= () 说明：BD+CD=AD A.90 B.120 C.135 D.155 (第1题图) (第2题图) 2.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥ AB于点E,DF⊥AC交AC于点F,SAm=7, DE=2,AB=4,则AC长是 A.4 B.6 C.3 D.5 D (第3题图) (第4题图) 3.如图，将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点 7.如图，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,若BD A落到点A',若∠C=135,∠A=15°，则∠A'DB 的度数为 () =CD.BE=CF. A.100° B.110° C.120° D.130 (1)求证：AD平分∠BAC: 4.如图所示的△ABC,AB=7,AC=3,AD是BC (2)已知AC=20,BE=4.求AB的长. 边上的中线，则AD的取值范围为 () B A.4<AD10 B.2<AD<5 C1KAD<号 D.无法确定 5.如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，AD是 BC边上的中线.求证：BE=BD. 3 宝典训练|数学·八年级上册/R 8.某产品的商标如图所示，O是线段AC,DB的交： 10.如图，在△ABC中，AB=CB,∠ABC=90°，D 点，且AC=BD,AB=DC,小华认为图中的两个 为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE= 三角形全等，他的思考过程是： BD,连接AE,DE,DC AC=DB,∠AOB=∠DOC,AB=DC, (1)求证：△ABE≌△CBD: .△ABO≌△DCO (2)若∠CAE=30°，求∠EDC的度数. 你认为小华的思考过程对吗？如果正确，指出他 用的是判别三角形全等的哪个条件：如果不正 确，写出你的思考过程. 9.如图，在等腰△ABC中，AB=AC,D为BC边上 一点，BF=CD,CE=BD. 求证：(1)△BDF≌△CED: (2∠FDE=90-2∠A. 数学·优从中来 ◇ …●●● 11.如图1，OA=2,OB=4,以点A为顶点、AB为腰 12.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线MN 在第三象限作等腰Rt△ABC, 经过点C,用AD⊥MN于点D,BE⊥MN于 点E. (1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求 证：DE=AD+BE: 图1 图2 (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求 (1)求点C的坐标： 证：DE=AD-BE: (2)如图2，点P为y轴负半轴上的一个动点，当 点P沿y轴负半轴向下运动时，以点P为直 角顶点，PA为腰向右作等腰Rt△APD,过点 D作DELx轴于点E,求OP-DE的值， 图1 图2 5参考答来 ∠A=∠A',∴∠2=2∠A+∠1， BD=DE,点E在AD上， .∠2-∠1=2∠A. ..AD=AE+DE=CD+BD. .解，1D∠EFD=之（∠C-∠B.理由如下： BD-CD. 7..在Rt△BED和R1△CFD中， BE=CF. :AE是∠BAC的平分线，∠BAE=之∠BAC=(180 ,Rt△BED≌Rt△CFD(HL),∴.DE=DF, DE⊥AB,DF⊥AC,.AD平分∠BAC: ∠B-∠O,在△ABE中，∠AEC=∠BAE+∠B=号180- (2)解：，∠AED=∠AFD=90°， AD=AD.DE=DF. ∠B-∠C+∠B=90+∠B-∠C,:FD1BC∠EFD .Rt△ADE≌Rt△ADF(HI.). =90-(90+7∠B-号∠0=∠C-∠B: ∴，AE=AF, :AC=20.由(1)得CF=BE=4, (2)仍然成立.理由如下：由()知∠DEF=∠ABC=90+2∠B ,AE=AF=AC-CF=20-4=16, .AB=AE-BE=16-4=12, -∠C.∠EFD=是（∠C-∠B. 8.解：小华的思考不正确，因为AC和BD不是这两个三角形的边： 8,【习题回顾】证明：：∠ACB=90°，CD是高， 正确的解答是：连接BC, ∴.∠B+∠CAB=90°，∠ACD+∠CAB=90, AB=DC(已知)， ∠B=∠ACD, 在△ABC和△DBC中，AC=DB(已知)， :AE是角平分线，.∠CAF=∠DAF, BC=CB(公共边). :∠CFE=∠CAF+∠ACD. .△ABC2△DCB(SSS). ∠CEF=∠DAF+∠B,∴∠CEF=∠CFE: .∠A=∠D,在△AOB和△DOC中， 【变式思考】∠CEF=∠CFE (∠A=∠D(已证)， 证明：：AF为∠BAG的平分线， ∠AOB=∠DOC(对顶角相等)， .∠GAF=∠DAF, AB=DC(已知)， :CD为AB边上的高，∠ACB=90, ,.△AOB2△DC(AAS) ∠ADF=∠ACE=90,又"∠CAE=∠GAF, 9.证明：(1)AB=AC,.∠B=∠C ∠CEF-∠CFE: BF=CD. 【探究思考】∠M+∠CFE=90 在△BDF和△CED中，∠B=∠C 证明：：C,A,G三点共线，AE,AN为角平分线， BD=CE. ∴∠EAN=90',又∠GAN=∠CAM, ∴△BDF≌△CED(SAS): .∠M+∠CEF=90, (2):△BDF≌△CED,.∠EDC=∠DFB. '∠CEF=∠EAB+∠B,∠CFE=∠EAC+∠ACD,∠ACD= :AB-AC. ∠B.∴∠CEF=∠CFE. ∴∠B=∠C=180-∠A)=90-号∠A ,.∠M+∠CFE=90°. '∠FDC=∠EDC+∠FDE=∠DFB+∠B, 第十二章（全等三角形） ∴∠FDE-=∠B=90-∠A 10.(1)证明：：∠ABC=90°，D为AB延长线上一点， 1.C2.C3.C4.B .∠ABE=∠CBD=90'. 5.证明：：△ABC和△ADE都是等边三角形，AD为BC边上的中 在△ABE和△CBD中， 线， (AB-CB, ∴.AE=AD.AD为∠BAC的平分线， ∠ABE=∠CBD. 即∠CAD=∠BAD=30, BE=BD. .∠BAE=∠EAD-∠BAD=60'-30°=30， .△ABE≌△CBD: AE-AD. (2)解：AB=CB.∠ABC=90°. 在△ABE和△ABD中，∠BAE=∠BAD, ∠CAB=45,又，∠CAE=30°， AB-AB. .∠BAE=15.:△ABE≌△CBD, .△ABE2△ABD(SAS)..BE=BD. .∠BCD=∠BAE=15. 6.证明：，△ABC和△BDE均为等边三角形， .∠BDC=90-15°=73， .∠ABC=60°=∠DBE 又BE=BD,∠DBE=90, AB=BC.BD=BE=DE. .∠BDE=45, ∴.∠ABC-∠CBE=∠DBE-∠CBE. .∠EDC=75-45”=30 即∠ABE=∠DBC. 11,解：(1)如答图1过点C作CMLx轴于点M, AB=BC.BE=BD. '∠MAC+∠OAB=90, .△ABE≌△CBD(SAS). ∠OAB+∠OBA=90'..∠MAC-∠OBA. ∴.AE=CD, 在△MAC和△OBA中， 69 富数操堂宝典训练数妙八年城上册(R) ∠CMA=∠AOB=90, :∠ACB=60', ∠MAC=∠OBA. .∠CDF=180-90°-60°=30 AC-AB. 又：△CDF为直角三角形.CF=之CD. '.△MAC2△OBA(AAS). .CM=0A=2.MA=OB=4. ,CD=4,BD是中线，AC=2CD=8. ∴.OM=0A+AM=2+4=6, 即等边△ABC的边长为8. .点C的坐标为（一6，一2）. 3.解：(1)∠F=∠ADF 理由：AB=AC,∴·∠B=∠C, EF⊥BC, ∴∠B+∠BDE=90°， ∠C+∠F=90. ∴∠BDE=∠F. 答图1 答图2 :∠ADF=∠BDE,∴∠ADF=∠F: (2)如答图2，过点D作DQ⊥OP于点Q,则DE=(OQ (2)成立，画图如答图， ..OP-DE=OP-OQ=PQ. 证明：AB=AC, :∠APO+∠QPD=90, ∴∠B=∠ACB, ∠APO+∠OAP=90', :∠ACB=∠ECF, .∠QPD=∠OAP. ∴∠B=∠EF, ∠AOP=∠PQD=90°， EF⊥BC, 在△AOP和△PQD中，〈∠OAP=∠QPD, ∴.∠B+∠BDE=90', AP=PD. ∠ECF+∠F=90, ∴.△AOP≌△PQD(AAS). ∴.∠BDE=∠F. .PQ=OA=2.即OP-DE=2. 即∠ADF=∠F 12.1证明：(1)在Rt△ABC中，∠BCA=90°， 4,解：(1)如答图，△ABC即为所求： ∠ADC=∠BEC=90, ,.∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°. ∴.∠ACD=∠CBE. ,'BC=AC,.△ADC≌△CEB(AAS), .AD-CE.BE-CD. .DE=DC+CE=BE+AD. (2),'AD⊥MN,BE⊥MN,.∠ADC=∠BEC=90°， .∠ACD+∠BCD=90,∠BCD+∠CBE=90', 答图 ,∠ACD=∠CBE, (2)如答图，△ABC即为所求： 在△ACD和△CBE中. ∠ADC=∠CEB,∠ACD=∠CBE,AC=BC (3)△AA,A的面积-号×2×4-4. .△ACD≌△CBE(AAS),,AD=CE,CD=BE 5,(1):等边△ABC中，AB=AC,∠B=∠CAP=60, ∴.AD=CD+DE=BE+DE,∴.DE=AD-BE. 又由条件得AP=BQ .△ABQ≌△CAP(SAS),∴.∠BAQ=∠ACP, 第十三章《轴对称》 ,.∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC= 60, 1,解：，DE垂直平分AB,.AE=BE,∴∠B=∠EAB, (2)解：设时间为t.则AP=BQ=t,PB=4一t, :∠C=90',∠CAE=∠B+30'. ①当∠PQB=90时，：∠B=60°， .∠B+30°+∠B+∠B=90, .∠B=20°， ∴PB=2BQ,得4-1=211=专： .∠AEB=180°-20°-20°=140 ②当∠BPQ=90时.：∠B=60°. 2.(1)证明：，△ABC是等边三角形， .∠ABC=∠ACB=60°， B0-2BP,得1=24-0=号 又BD是中线， ∴当第号秒或第受秒时，△PBQ为直角三角形。 ∴BD平分∠ABC,∠DBC=立∠ABC=30. (3)解：∠CMQ=120°不变. ,CE=CD,.∠E=∠CDE. :在等边△ABC中，BC=AC, 又∠ACB=∠E+∠CDE,.∠E=∠CDE=30, ∠B=∠CAP=60°， .∠DBC=∠E,.DB=DE. ∴∠PBC=∠ACQ=120°， (2)解：由(1)可知DB=DE,又点F是BE的中点， 又由条件得BP=CQ..△PBC≌△QCA(SAS). DF⊥BE ∴.∠BPC=∠CQA=∠MQC, 70