精品解析：广东省广州市某中学2023-2024学年八年级下学期第二次月考数学试题

八年级下学期期中考试数学试卷 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减、乘除运算，根据运算法则逐项计算即可． 【详解】解：A．不是同类二次根式，不能合并，故该选项计算错误，不合题意； B．，该选项计算正确，符合题意； C．，故该选项计算错误，不合题意； D．不是同类二次根式，不能合并，故该选项计算错误，不合题意； 故选B． 2. 已知平行四边形ABCD中，∠B＝5∠A，则∠D的度数为（　　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据平行四边形的性质可得∠A=∠C,∠A+∠B=180°,再由已知条件计算出∠A的度数,即可得出∠D的度数 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,∠A=∠C ∴∠A+∠B=180° ∵∠B=5∠A ∴∠A+5∠A=180° 解得:∠A=30° ∴.∠D=150° 故选D 【点睛】此题考查平行四边形的性质，解题关键在于得出∠A=∠C,∠A+∠B=180° 3. 下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 9，12，15 B. 7，24，25 C. 12，15，20 D. 15，36，39 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，判断两个较小数的平方的和是否等于较大数的平方即可． 【详解】解：A，，因此9，12，15能作为直角三角形的三边长，该选项不合题意； B，，因此7，24，25能作为直角三角形的三边长，该选项不合题意； C，，因此12，15，20不能作为直角三角形的三边长，该选项符合题意； D，，因此15，36，39能作为直角三角形的三边长，该选项不合题意； 故选C． 4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点，若BC=2，则EF的长度为（　　） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出AB的值，由D是AB中点求出CD的值，再由题意可得出EF是△ACD的中位线即可求出. 【详解】∠ACB=90°，∠A=30°， BC=AB. BC=2, AB=2BC=22=4, D是AB的中点, CD=AB= 4=2. E,F分别为AC,AD的中点, EF是△ACD的中位线. EF=CD= 2=1. 故答案选B. 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形中位线定理，解题的关键是熟练的掌握三角形中位线定理. 5. 如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据开方运算，可得阴影的边长，根据乘方，可得大正方形的面积，根据面积的和差，可得答案． 【详解】解：∵两个空白小正方形的面积是、 ∴两个空白小正方形的边长是、 ∴大正方形的边长是 ∴大正方形的面积是 ∴阴影部分的面积是． 故选：A 【点睛】本题考查了开方运算在几何图形中的应用，根据已知条件求得大正方形的边长是解决问题的关键． 6. 若，，一次函数的图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的图象性质判断即可； 【详解】∵， ∴a，b同号， ∴， ∵， ∴b，d异号， ∴， ∴一次函数与y轴交于正半轴，图象过一、二、四象限； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象性质，准确判断是解题的关键． 7. 已知一次函数，若随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的性质分析解答即可，一次函数是函数中的一种，一般形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0），其中x是自变量，y是因变量，当k>0时，直线必过一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0时，直线必过二、四象限，y随x的增大而减小. 【详解】解：∵一次函数y＝（k﹣1）x+2，若y随x的增大而增大， ∴k﹣1＞0， 解得k＞1， 故选A． 【点睛】一次函数的性质是本题的考点，熟练掌握其性质是解题的关键. 8. 如图，中，对角线、相交于点O，交于点E，连接，若的周长为28，则的周长为（ ） A. 28 B. 24 C. 21 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和中垂线定理，再结合题意进行计算，即可得到答案. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵平行四边形的周长为28， ∴ ∵， ∴是线段的中垂线， ∴， ∴的周长， 故选D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和中垂线定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和中垂线定理. 9. 如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，点C是直线上一点，四边形是菱形，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、一次函数的图象和性质、勾股定理，先求出点A，B坐标，利用勾股定理求出，由菱形的性质可得，利用等面积法求出，即可求解． 【详解】解：对于，当时，；当时，， ，， ，， ， 如图，菱形对角线交于点E，则于点E， ， ， ， 故选A． 10. 在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点，…，在直线l上，点在y轴正半轴上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、一次函数的规律性问题，求出的横、纵坐标的变化规律，利用规律求解． 【详解】解：令，得， ， ， 四边形是正方形， ， ， 令，得， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， 同理可得，，，， …… 以此类推，点的横坐标为：1，2，4，8，……，， 点的纵坐标为：1，3，7，15，……，， 点的坐标为，即， 故选A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】x≥-2且x≠1 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可求出结论． 【详解】解：由题意可得 解得x≥-2且x≠1 故答案为：x≥-2且x≠1． 【点睛】此题考查的是求自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解决此题的关键． 12. 如图所示，已知点A坐标为(5，0)，直线y＝x＋b（b＞0)与y轴交于点B，连接AB，∠α＝75°，则b的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线y＝x＋b求出与x轴的夹角（∠1）的度数，再利用外角的性质求出∠BAO的度数，利用锐角三角函数求出OB即可求出B点坐标，代入一次函数关系式即可. 【详解】解：∵直线y＝x＋b中k=1 ∴∠1=45° 又∵∠α是三角形的外角 ∴∠BAO=∠α－∠1 =30° 在Rt△AOB中 OB=OA·tan∠BAO = = ∴B点坐标为（0，） 将B点坐标代入y＝x＋b 解得b= 故答案为 【点睛】此题考查的是锐角三角函数，待定系数法求一次函数解析式和三角形外角的性质. 13. 如图，矩形的对角线相交于点O，平分交于点E，若，则____度． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质以及角平分线的定义得到是等边三角形，是等腰直角三角形，证明，根据进行计算即可． 【详解】解：矩形， ， 平分， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． 14. 如图所示，一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米．若将绳子拉直，则绳端离旗杆底端的距离（）5米．则旗杆的高度为______． 【答案】12米## 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设旗杆米，则绳长米，利用勾股定理解即可． 【详解】解：设旗杆米，则绳长米， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， 即旗杆的高度为12米， 故答案为：12米． 15. 如图，已知正方形的边长为6，点Р是对角线上的一个动点，M是边上的点，，N是边上的中点，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，线段的最值问题等，过M作于E，取的中点，连接，则，当，P，M三点共线时，取最小值，最小值等于的长，利用勾股定理求得的长，即可得出的最小值． 【详解】解：如图，过M作于E，取的中点，连接， ，，， ， ， ， 当，P，M三点共线时，取最小值，最小值等于的长， ∵正方形的边长为6，， ，，， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的乘除运算法则和二次根式的化简进行计算，再进行加减计算． （2）先利用平方差和完全平方公式计算，再进行加减运算． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 如图，把一块直角三角形（，）土地划出一个三角形（）后，测得米，米，米，米． （1）求证：； （2）求图中阴影部分土地的面积． 【答案】 （1）∵∠ACB=90°，BC=12，AB=13， ∴AC==5， ∵32+42=52，即AD2+CD2=AC2， ∴∠ADC=90°； （2）24 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理证明∠ADC=90°； （2）利用△ABC的面积减去△ACD的面积即可． 【详解】解：（1）略 （2）S阴影=S△ABC-S△ACD = = =24． 【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的应用以及勾股定理的逆定理，有利于培养学生生活联系实际的能力． 18. 在矩形中，点是线段上一动点，为中点，的延长线交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，点从点出发，以的速度向运动（不与重合）．设点运动的时间为秒，当为何值时，四边形为菱形？ 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴即， ∴， ∵为的中点 ∴， 又∵（对顶角相等） ∴（ASA） ∴， 又∵ ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）在矩形中，为的中点，可证，可得到，即可证得结论； （2）根据题意可得，，根据四边形是菱形，可得，在中，利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意：， 则， 当四边形是菱形时有， ∵四边形是矩形， ∴ 在中， ∴ 解得 ∴运动时间为秒时，四边形时菱形． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定，三角形全等的性质与判定，菱形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，平行四边形的判定，三角形全等的判定的方法，在动态中找不变的关系． 19. 如图所示，在矩形中，E，F分别是边上的点，，连接与对角线交于点O，且，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：矩形中，， ， 在和中， ， ， ； （2）9 【解析】 【分析】（1）根据矩形的对边平行可得，再根据两直线平行，内错角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，再根据全等三角形的性质即可得证； （2）连接，根据等腰三角形三线合一的性质可得，再根据矩形的性质可得，根据等边对等角的性质可得； 再根据三角形的内角和定理列式求出，即，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，最后利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ，， ， ∴在中，， 由（1）知， ∴， 又矩形中，， ∴由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：， ∴， 又， ∴， ∴， ，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等，证明是解题的关键． 20. 用充电器给某手机充电时，其屏幕的起始画面如图①．经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量y（单位：％）与充电时间x（单位：h）的函数图象分别为图②中的线段AB，AC． 根据以上信息，回答下列问题： （1）在目前电量20％的情况下，用充电器给该手机充满电时，快速充电器比普通充电器少用______h； （2）求线段AB，AC对应的函数表达式； （3）已知该手机正常使用时耗电量为每小时10％，在用快速充电器将其充满电后，正常使用α小时，接着再用普通充电器将其充满电，其“充电-耗电-充电”的时间恰好是6小时，求a的值． 【答案】（1） （2）线段的函数表达式为：；线段的函数表达式为： （3） 【解析】 【分析】（1）由图象可知快速充电器给该手机充满电需2小时，普通充电器给该手机充满电需6小时，即可求解； （2）利用待定系数法可求解析式； （3）由“充电耗电充电”的时间恰好是6，列出方程可求解． 【小问1详解】 解：由图象可知快速充电器给该手机充满电需2小时，普通充电器给该手机充满电需6小时， 用充电器给该手机充满电时，快速充电器比普通充电器少用4小时； 故答案为：4； 【小问2详解】 解：设线段的函数表达式为，将，代入， ， ， 线段的函数表达式为：； 设线段的函数表达式为，将，代入， ， ， 线段的函数表达式为：； 【小问3详解】 解：根据题意，得， 解得． 答：的值为． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求解析式，一元一次方程的应用，求出解析式是解答本题的关键． 21. 甲、乙两个批发店销售同一种苹果，甲批发店每千克苹果的价格为7元，乙批发店为了吸引顾客制定如下方案：若一次性购买数量不超过20kg时，价格为8元/kg；一次性购买数量超过20kg时，其中，有20kg的价格仍为8元/kg，超过20kg部分的价格为6元/kg．设小王在同一批发店一次性购买苹果的数量为xkg（x＞0）． （1）设在甲批发店购买需花费y1元，在乙批发店购买需花费y2元，分别求y1、y2关于x的函数关系式，并写出相应的x的取值范围； （2）求：当x为何值时，在甲、乙两个批发店购买花费同样多的钱？ （3）填空： ①若小王在甲批发店购买更合算，则购买数量x的取值范围为　 　； ②若小王花费400元，则最多可以购买　 　kg苹果． 【答案】（1），；（2）；（3）；60kg． 【解析】 【分析】（1）根据题意，在甲店，按单价7元计算，在乙店，分与两种情况，分别计算即可； （2）在（1）中结论，甲、乙两个批发店购买花费同样多的钱，分与两种情况分别计算； （3）当时，在甲店购买比较合算，据此解得x的取值范围；当小王花费400元时，分别在甲店与乙店计算所能购买的苹果重量即可解题． 【详解】解：（1）根据题意得，在甲批发店需花费：， 在乙批发店需花费：，即； （2）若甲、乙两个批发店购买花费同样多的钱时， 当时，，解得（不符合题意，舍去） 当时，，解得 故当时，甲、乙两个批发店购买花费同样多的钱； （3）由（2）知，在甲批发店购买更合算，则，解得 在甲批发店购买更合算，购买数量x的取值范围为； 若小王花费400元，在甲店可购买苹果， ，在乙店可购买超过20kg的苹果， 小王花费400元，在乙店最多可以购买60kg苹果． 【点睛】本题考查一次函数的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键. 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于点A（a，0），点B（0，b），且a、b满足a2﹣4a+4+|2a﹣b|＝0，点P为坐标平面内一点． （1）求直线AB的解析式； （2）若点P在x轴上，且∠APB＝45°，求点P的坐标； （3）若点P在y轴上，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点，且以AB为边的四边形是菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣2x+4；（2）P（﹣4，0）或（4，0）；（3）存在，点Q的坐标为（﹣2，0）或（2，2）或（2，﹣2） 【解析】 【分析】（1）a2﹣4a+4+|2a﹣b|＝0，则（a﹣2）2+|2a﹣b|＝0，根据非负数的性质可得a和b的值，即可利用待定系数法求解； （2）点 P 在直线 AB 的两侧，且在x轴上，∠APB＝45°，则OP＝OB＝4，即可求解； （3）分三种情况画图，根据菱形的性质：四条边相等，可得Q的坐标． 【详解】解：（1）∵a2﹣4a+4+|2a﹣b|＝0， ∴（a﹣2）2+|2a﹣b|＝0， ∴a＝2，b＝4， ∴点A（2，0），B（0，4）， 设直线AB的解析式为：y＝kx+b， 则，解得， ∴直线AB的解析式为：y＝﹣2x+4； （2）∵B（0，4）， ∴OB＝4， ∵点 P 在直线 AB 的两侧，且在 x 轴上，∠APB＝45° ∴OP＝OB＝4， ∴P（﹣4，0）或（4，0）； （3）分三种情况： ①如图1，四边形ABQP是菱形，此时Q（﹣2，0）； ②如图2，四边形ABPQ是菱形， 由勾股定理得：AQ＝AB＝； ∴Q（2，2）； ③如图3，四边形ABPQ是菱形， 同理得Q（2，﹣2）； 综上，点Q的坐标为（﹣2，0）或（2，2）或（2，﹣2）． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，结合勾股定理计算是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级下学期期中考试数学试卷 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知平行四边形ABCD中，∠B＝5∠A，则∠D的度数为（　　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 3. 下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 9，12，15 B. 7，24，25 C. 12，15，20 D. 15，36，39 4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点，若BC=2，则EF的长度为（　　） A. B. 1 C. D. 5. 如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 若，，一次函数的图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 7. 已知一次函数，若随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，对角线、相交于点O，交于点E，连接，若的周长为28，则的周长为（ ） A. 28 B. 24 C. 21 D. 14 9. 如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，点C是直线上一点，四边形是菱形，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点，…，在直线l上，点在y轴正半轴上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是__________． 12. 如图所示，已知点A坐标为(5，0)，直线y＝x＋b（b＞0)与y轴交于点B，连接AB，∠α＝75°，则b的值为________． 13. 如图，矩形的对角线相交于点O，平分交于点E，若，则____度． 14. 如图所示，一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米．若将绳子拉直，则绳端离旗杆底端的距离（）5米．则旗杆的高度为______． 15. 如图，已知正方形的边长为6，点Р是对角线上的一个动点，M是边上的点，，N是边上的中点，则的最小值是_______． 三、解答题（本大题共7个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，把一块直角三角形（，）土地划出一个三角形（）后，测得米，米，米，米． （1）求证：； （2）求图中阴影部分土地的面积． 18. 在矩形中，点是线段上一动点，为中点，的延长线交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，点从点出发，以的速度向运动（不与重合）．设点运动的时间为秒，当为何值时，四边形为菱形？ 19. 如图所示，在矩形中，E，F分别是边上的点，，连接与对角线交于点O，且，． （1）求证：； （2）若，求的长． 20. 用充电器给某手机充电时，其屏幕的起始画面如图①．经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量y（单位：％）与充电时间x（单位：h）的函数图象分别为图②中的线段AB，AC． 根据以上信息，回答下列问题： （1）在目前电量20％的情况下，用充电器给该手机充满电时，快速充电器比普通充电器少用______h； （2）求线段AB，AC对应的函数表达式； （3）已知该手机正常使用时耗电量为每小时10％，在用快速充电器将其充满电后，正常使用α小时，接着再用普通充电器将其充满电，其“充电-耗电-充电”的时间恰好是6小时，求a的值． 21. 甲、乙两个批发店销售同一种苹果，甲批发店每千克苹果的价格为7元，乙批发店为了吸引顾客制定如下方案：若一次性购买数量不超过20kg时，价格为8元/kg；一次性购买数量超过20kg时，其中，有20kg的价格仍为8元/kg，超过20kg部分的价格为6元/kg．设小王在同一批发店一次性购买苹果的数量为xkg（x＞0）． （1）设在甲批发店购买需花费y1元，在乙批发店购买需花费y2元，分别求y1、y2关于x的函数关系式，并写出相应的x的取值范围； （2）求：当x为何值时，在甲、乙两个批发店购买花费同样多的钱？ （3）填空： ①若小王在甲批发店购买更合算，则购买数量x的取值范围为　 　； ②若小王花费400元，则最多可以购买　 　kg苹果． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于点A（a，0），点B（0，b），且a、b满足a2﹣4a+4+|2a﹣b|＝0，点P为坐标平面内一点． （1）求直线AB的解析式； （2）若点P在x轴上，且∠APB＝45°，求点P的坐标； （3）若点P在y轴上，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点，且以AB为边的四边形是菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $