安徽省怀宁县新安中学2023-2024学年高一下学期数学期末质检考试试卷

2023-2024高一第二学期期末质检考试卷 试题范围: 高中数学必修一、二 册 (侧重第二册) 一、单选题:本大题共8小题,每小题5分,共40分. 1.某高中三个年级共有3000名学生,现采用分层抽样的方法从高一、高二、高三年级的全体学生中抽取一个容量为30的样本进行视力健康检查,若抽到的高一年级学生人数与高二年级学生人数之比为3∶2,抽到高三年级学生10人,则该校高二年级学生人数为( ) A.600 B.800 C.1000 D.1200 2.已知一组数据8,4,7,6,5,3,9,10,则这组数据的25%分位数是( ) A.3.5 B.4 C.4.5 D.5 3.若,则( ) A. B.1 C. D.2 4.掷红蓝两个均匀的骰子,观察朝上的面的点数,记事件:红骰子的点数为,:红骰子的点数为,:两个骰子的点数之和为,:两个骰子的点数之和为,则( ) A.与对立 B.与不互斥 C.与相互独立 D.与相互独立 5.设的内角对边分别为,若,则的值可以是( ) A. B. C. D.或 6.已知,则( ) A. B. C. D. 7.已知三棱锥的底面是正三角形,,点在侧面内的射影是的垂心,当三棱锥体积最大值时,三棱锥的外接球的表面积为( ) A. B. C. D. 8.在中,点满足,过点的直线与,所在的直线分别交于点,,若,,则的最小值为( ) A.3 B. C.1 D. 二、多选题(本大题共3小题,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.已知复数,则( ) A.的虚部为 B. C.在复平面内对应的点在第四象限 D.是关于的方程的一个根 10.下列四个命题正确的是( ) A.若,则的最大值为3 B.若复数满足,则 C.若,则点的轨迹经过的重心 D.在中,为所在平面内一点,且,则 11.六氟化硫,化学式为,在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体,有良好的绝缘性,在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫结构为正八面体结构,如图所示,硫原子位于正八面体的中心,6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点,若相邻两个氟原子之间的距离为m,则( ) A.该正八面体结构的表面积为 B.该正八面体结构的体积为 C.该正八面体结构的外接球表面积为 D.该正八面体结构的内切球表面积为 三、填空题(本大题共3小题,共15分) 12.已知,,且,则 . 13.一只不透明的袋子中装有形状、大小都相同的5个小球,其中2个黄球、2个白球、1个红球.先后从中无放回地取两次小球,每次随机取出2个小球,记下颜色计算得分,得分规则如下:“2个小球颜色相同”加1分,“2个小球颜色一黄一白”得0分,“2个小球中有红球”减1分,则“两次得分和为0分”的概率为 . 14.三棱锥中,平面平面,为等边三角形,且,,,,则三棱锥的外接球体积为 . 四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.已知函数. (1)求的最小正周期; (2)在中,角,,所对的边分别是,,,若,,,求边. 16.已知在中,点在线段上,且,延长到使.设,. (1)用、表示向量、; (2)若向量,,、夹角为,求的值. 17.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面 ABC是边长为2的等边三角形,D为AB中点. (1)求证:BC1∥平面A1CD; (2)若四边形CB B1C1是正方形,且求多面体的体积. 18.已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足条件;,. (I)求角A的值; ( )求的范围. 19.如图,在三棱锥中,为等腰直角三角形,且AC为斜边,为等边三角形.若,为的中点,为线段上的动点. (1)证明:⊥面; (2)求二面角的正切值; (3)当的面积最小时,求与底面所成角的正弦值. 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 参考答案: 1.B 2.C 3.B 4.C 对于A,事件:红骰子的点数为,:红骰子的点数为,与互斥但不对立,因为红骰子的点数还有其他情况,比如,A错误; 对于B,:两个骰子的点数之和为,:两个骰子的点数之和为,与不可能同时发生,故与互斥,B错误; 对于C,两个骰子的点数之和为的情况有, 则, 所以,所以与相互独立,C正确; 对于D,两个骰子的点数之和为的情况有, ,所以,D错误. 5.A 由正弦定理得,即, 解得, 因为,所以, 所以. 故选:A 6.D 因为, 所以 , 7.B 如下图所示,延长交于点,连接, 为的垂心,则, 平面,平面,, ,平面, 平面,, 连接并延长交于点,连接, 平面,平面,, ,,平面, 平面,, 设点在平面内的射影为点,延长交于点,连接, 平面,平面,, ,平面, 、平面,则,, ,为正的中心,且为的中点, 平面,、、平面, ,,,且, 所以,,, 当时,的面积取最大值, 当平面时,三棱锥的体积取得最大值, 将三棱锥补成正方体, 所以,三棱锥的外接球的直径即为正方体的体对角线长, 设三棱锥的外接球直径为,则, 因此,三棱锥的外接球的表面积为. 8.A 由题设,如下图示:,又,, ∴,由三点共线,有, ∴,当且仅当时等号成立. 9.BD 因为,所以的虚部为,故A错误; ,则在复平面内对应的点为,位于第一象限,故C错误; 因为,,所以,故B正确; 由,即,所以, 所以,即,,故D正确; 10.ABC 对A,由的几何意义,知复数对应的动点到定点的距离为1,即动点的轨迹以为圆心,1为半径的圆,表示动点点的轨迹以的距离,由圆的性质知: ,A正确; 对B,设,因为, 所以,, 所以,所以,B正确; 对C,由正弦定理的,即, ,设中点为, 如图: 则,则,由平面向量的共线定理得三点共线,即点在边的中线上,故点的轨迹经过的重心,C正确; 对D,如图由已知点在中与平行的中位线上,且靠近的三等分点处,故有,所以,D错误. 11.ACD 对A:由题知,各侧面均为边长为的正三角形, 故该正八面体结构的表面积,故A正确; 对B:连接,则,底面, 故该正八面体结构的体积,故B错误; 对C:底面中心到各顶点的距离相等,故为外接球球心,外接球半径, 故该正八面体结构的外接球表面积,故C正确; 对D:该正八面体结构的内切球半径, 故内切球的表面积,故D正确; 12. 13. “两次得分和为0分”可能的情况有第一次“2个小球颜色相同”,第二次“2个小球中有红球”, 或第一次“2个小球中有红球”,第二次“2个小球颜色相同”,或两次均为“2个小球颜色一黄一白”, 第一次“2个小球颜色相同”,第二次“2个小球中有红球”, 记黄球为,2个白球为、1个红球为, 利用枚举法可知从中一次取2个小球为, 共有10种取法,而颜色相同的取法有两种, 故第一次取2个小球颜色相同的概率为,第二次取2个小球中有红球的概率为, 所以第一次“2个小球颜色相同”,第二次“2个小球中有红球”的概率为. 第一次“2个小球中有红球”,第二次“2个小球颜色相同”, 第一次取2个小球中有红球的概率为,第二次2个小球颜色相同的概率为, 所以第一次“2个小球中有红球”,第二次“2个小球颜色相同”的概率为. 两次均为“2个小球颜色一黄一白”, 第一次取2个小球,“2个小球颜色一黄一白”的概率为, 第二次取2个小球,“2个小球颜色一黄一白”的概率为, 所以两次均为“2个小球颜色一黄一白”的概率为. 所以两次先后取2个小球,得分为零分的概率为. 14. 解析:作出图形如图所示, 在中,由余弦定理,, 解得,或(,舍), 又由,,则,故为直角三角形, 设的中点为,因为为等边三角形,故,又平面平面, 故平面, 又为直角三角形,点为斜边的中点, 则球心必在直线上,易知, 故在之间,设,则, 即,解得,故所求球半径,球的体积为. 故答案为: . 【点睛】本题考查了面面垂直的性质,三棱锥的外接球半径的求法,属于中档题. 15.(1)(2) 【分析】(1)利用二倍角公式及降幂公式,结合辅助角公式化简,即可由周期公式求得最小值正周期. (2)根据正弦函数的图像与性质,由可求得角.再结合余弦定理,即可求得的值. 【详解】(1)由 由周期公式可得 所以的最小正周期为 (2)由,则 则,解得 由余弦定理,代入可得 解得(负值舍去) 16.(1)因为,结合图形可知A为BC的中点,所以 , 因为,则, 所以. (2)由题意知, 由(1)知,,, 所以, ,, 所以. 17.(1)证明:连结,设与相交于点,连接,则为中点. ∵为的中点,∴. ∵平面,平面, ∴平面. (2),. 又,,, 又,平面. ∴所求多面体的体积. . 即所求多面体的体积为. 18.(I)由, 利用正弦定理可得,即 故, 又, ( ),,利用正弦定理 故, 在中,,故 ,, 所以的范围是 19.(1)因为E为AC的中点,为等腰直角三角形,所以, 又为等边三角形,所以, 又,平面,所以面; (2)为等腰直角三角形,且AC为斜边,,可得, 为等边三角形.若,所以, 所以,所以, 又,,平面,所以平面, 所以平面,, 过点作于,因为,平面, 所以平面,平面,从而可得, 所以为二面角的平面角, 又,所以,所以, 所以, 所以二面角的正切值为; (3)因为AC⊥平面,平面,所以, 所以当最小时,的面积最小,此时, 由面,面,可得,又,, 所以平面,又平面,所以平面平面, 所以(或其补角)是CF与底面ABD所成的角, 由(2)可知,且,所以, 由勾股定理可求得, 在中,由余弦定理可得, 所以. 答案第1页,共2页 答案第1页,共2页 学科网(北京)股份有限公司 $$