第21讲 重难点拓展：二次函数综合之三种线段问题【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（人教版）

第21讲重难点拓展：二次函数综合之三种线段问题 题型一：线段的数量关系 题型二：线段最值问题 题型三：周长最值问题 一、线段的数量关系 此类问题一般是求满足线段数量关系的点的坐标，针对这种情况应先在图中找出对应线段，弄清已知点和未知点；再联系二次函数和一次函数，设出未知点的坐标，使其只含一个未知数；最后表示出线段的长度，列出满足线段数量关系的等式，从而求出未知数的值； 二、线段最值问题    此类问题通常有两类：    ①设出关键的点的未知数(通常是一个跟所求线段关系紧密的点的横坐标)，通过题目中的函数和图形关系，用该点的横坐标表示出有关线段端点的坐标，进而表示出线段的长，通过二次函数的性质求最值，继而得到线段的最大值或最小值；   ②在求线段最小值的时候可以利用轴对称模型.此类问题一般是要寻找一个动点，使其到两个顶点的距离最小，通常是作一个定点关于动点所在直线的对称点，连接这个对称点与另一个定点的线段即为所求的最小值； 三、周长最值问题   此类问题一般为所求图形中有一动点，对其求周长最值，解决此类问题时应利用转化思想，即先观察图形，结合题目，分清楚定线段和不定线段，然后将其所求图形周长的最值转化到求不定线段和的最值，进而转化为求线段最值问题，其方法同(2). 题型归纳 题型一：线段的数量关系 【例1】（2024·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知． (1)求a，b的值； (2)已知横坐标为t的点P为对称轴左侧的抛物线上一动点，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M， ①若与的面积之和为8，求t的值； ②过点P作x轴的垂线，垂足为N，直线交线段于点D，是否存在这样的点P，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，且t的值为． 【分析】（1）根据题意列方程组，解方程组即可得到结论； （2）①由（1）知，抛物线的函数表达式为，求得点的坐标为，由题意知　　，，，当时，当时，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； ②根据待定系数法求得直线的函数表达式为，由，得到点为线段的中点，求得点的横坐标为，得到，根据题意列方程即可得到结论． 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，线段中点的定义，三角形的面积公式，正确地求得二次函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得把代入 且结合对称轴 得， 解得； ∴； （2）解：①由（1）知，抛物线的函数表达式为， 点的坐标为， 由题意知，， 当时，的面积，的面积， 此时与的面积之和为6，不符合题意； 当时，的面积，的面积； 与的面积之和为，此时， 解得； 综上，的值为； ②存在，点的横坐标为．理由如下： ，， 直线的函数表达式为， ， 点为线段的中点， 点的横坐标为， 点在直线上， ， 点的纵坐标为5，则， 解得或（不合题意，舍去）， 存在，的值为． 【变式1-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C、顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)P是x轴上一动点，将顶点D绕点Р顺时针旋转90°刚好落在抛物线上的点E处，求点P的坐标； (3)如图2、点G，H为x轴上方的抛物线上两点（点G在点H的左边），直线、与y轴分别交于S，T两点，若，试探究直线是否经过定点，若是，求定点坐标；若不是、请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)直线经过定点 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）设, 过点作轴于点, 设抛物线的对称轴交轴于点， 则, , 设则, 可证得, 得出, , 建立方程组求解即可求得答案； (3)设 运用待定系数法可得：直线的解析式为, 直线的解析式为,直线的解析式为, 令, 则 可得, , 根据题意推出, 代入直线的解析式得, 当时, , 即直线经过定点. 【详解】（1）∵抛物线与轴交于点两点, ， 解得：， ∴抛物线的解析式为 ； （2）设, 过点作轴于点，设抛物线的对称轴交轴于点，如图， 则 ， ∴顶点, , ， 设则, ， 由旋转得：， ， ， ， ， ， ， 解得：， ∴点的坐标为或 ； （3）直线经过定点，理由如下： 设， 设直线的解析式为则 ， 解得：， ∴直线的解析式为， 同理可得：直线的解析式为 直线的解析式为 令则， ， ， ， ， 代入直线的解析式得 ∵当 时, ， ∴直线经过定点． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答. 【变式1-2】（2024·山东菏泽·二模）如图，抛物线与x轴相交于点，点C，与y轴相交于点B，其对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点M在直线上，且在第四象限，过点M作轴于点N． ①若点N在线段上，且，求点M的坐标； ②以为对角线作正方形（点P在右侧），当点P在抛物线上时，设点N的坐标为，求t的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图形和性质，正方形的性质，一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）先根据对称轴公式得到，再利用待定系数解答，即可求解； （2）①先求出直线的表达式为，然后设点N的坐标为．可得．可得到，．再由，即可求解；②连接与交与点E．设点M的坐标为，则点N的坐标为，根据正方形的性质可得E的坐标为，进而得到P的坐标．再由点P在抛物线上，即可求解． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线 ∴，即， 把代入得， ∴， ∴ 抛物线的表达式为． （2）解：①设直线的表达式为． 点A，B的坐标为，， ∴， 解得： ， 直线的表达式为． 根据题意得∶点C与点关于对称轴直线对称， ． 设点N的坐标为． 轴， ． ∴ ． ， 解，得． 点M的坐标； ②连接与交与点E． 设点M的坐标为，则点N的坐标为 四边形是正方形， ，，． ∵MN⊥x轴， 轴． E的坐标为． ． ． ∴P的坐标． 点P在抛物线上， ． 解，得，． 点P在第四象限， 舍去． 即． 【变式1-3】（2024·湖北恩施·二模）如图1，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线经过B、C两点． (1)求出该二次函数的解析式． (2)已知点P为直线l上的一点，设其横坐标为t，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N． ①当时，求点P的横坐标． ②当的长度随t的增大而增大时，直接写出t的取值范围． (3)如图2，将二次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“W”形状的新图象，再将直线l向上平移n个单位长度，得到直线，当直线与这个新图象有3个公共点时，求n的值． 【答案】(1) (2)①P点横坐标为或或或；②或 (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）求出的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）①设，则，进而得到，根据，进行求解即可；②根据，结合二次函数的性质，进行求解即可； （3）根据题意，画出图象，利用数形结合的思想进行求解即可． 【详解】（1）解：直线经过B、C两点，当时，，当时，， ， 将，代入得： 解得： 二次函数的解析式为：； （2）①设，则， ∵， ∴对称轴为直线， ∴， ，， ， ， 解得或或或， P点横坐标为或或或； ②∵， 当时，或， ∴当时，， ∴， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 当时，， ∴当时，随的增大而增大， 综上：或； （3）将抛物线的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，则翻折上来的部分的解析式为． 直线l向上平移n个单位长度，得到直线 当直线经过点A或与只有一个交点时，直线与新图象恰好有三个不同的交点． ①当直线经过点时，，解得： ②当与只有一个交点时， 只有一组公共解， 即方程中判别式等于0， ，解得： 综上，或． 题型二：线段最值问题 【例2】（2023·上海·九年级假期作业）如图，已知抛物线：，抛物线与关于点中心对称，与相交于A，B两点，点M在抛物线上，且位于点A和点B之间；点N在抛物线上，也位于点A和点B之间，且轴． (1)求抛物线的表达式； (2)求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）先求出抛物线：的顶点坐标为，然后求出点关于对称后的点坐标为，再抛物线的解析式为：； （2）先求出A、B两点横坐标分别为和，设，其中，则，求出最大值即可． 【详解】（1）解：抛物线：的顶点坐标为， 点关于对称后的点坐标为， ∵抛物线与抛物线关于成中心对称， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：∵抛物线：与：交于A、B， ∴令， 解得：或， 则A、B两点横坐标分别为和， 设，，其中， 则， ∴当时，最大为8． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，中点坐标公式，二次函数的最值，解题的关键是数形结合，利用对称的特征，再根据顶点情况求解析式以及根据二次函数解析式求最大值． 【变式2-1】（2024九年级下·黑龙江齐齐哈尔·学业考试）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是抛物线在第二象限内的点，过点作轴的平行线与直线交于点，求的长的最大值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查了二次函数综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式． （1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式； （2）设，则，，进而表示出的长；接下来用含m的二次函数表示S，根据二次函数的性质，即可解答； 【详解】（1）直线与轴、轴分别交于、两点， 、， 抛物线经过、两点， ， ， ． （2）设， 平行于x轴，与直线交于点， 令， ， ，， ， 当时，的长取最大值，最大值为4． 【变式2-2】（2024·黑龙江鸡西·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为，与y轴交于点．注：抛物线的对称轴是，顶点坐标是． (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)点是x轴上的一个动点，当的值是最小时，请计算此时m的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了用待定系数法求解二次函数表达式，根据轴对称的性质确定最短路径，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤． （1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，再根据顶点坐标即可求解； （2）作点关于x轴的对称点，连接，可知与x轴交点即为的值最小时，利用待定系数法求得解析式为，令，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ， ∴， ∴抛物线的解析式为． ∵顶点坐标， ∴． （2）作点关于x轴的对称点，连接， 则， ∴与x轴交点即为的值最小时， 设解析式为，代入，， ， ∴， ，令，解得，即． 【变式2-3】（2024·江苏淮安·三模）二次函数 的图像与x轴交于A，C两点，点，与y轴交于点． (1) ， ； (2)如图，P 是x轴上一动点，点在y轴上，连接PD，求 的最小值．并求出此时点 P的坐标． (3)在（2）成立的前提下，在抛物线 是否存在点Q，使得 存在，请直接写出点Q的坐标，不存在请说明理由． 【答案】(1)， (2)； (3)满足条件的点的坐标为：，，， 【分析】本题考查二次函数综合题、待定系数法、面积问题、线段最值问题； （1）将、分别代入得到二元一次方程组，解方程求得和即可； （2）如图1中，作于.先说明,然后在中,有，由垂线段最短可知，当、、共线时，最小，最后求得最小值即可； （3）如图2中，由，过点作的平行线交抛物线于、，根据，再求出直线的解析式，然后联立解方程组即；利用平移可求出、的坐标． 【详解】（1）解：把，代入， 得到，， 解得， 故答案为，． （2）如图1中，作于． ∵，， ∴， 在中，． ∵， 根据垂线段最短可知，当、、共线时最小，最小值为， 在中， ∵,，则， ∵， ∴， ∴的最小值为． ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴ （3）解：如图所示，连接， ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴过点作的平行线交抛物线于，，则，， 设直线的解析式为 ∵，， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， ∵ ∴直线的解析式为， 由， 解得或， ∴，， 根据对称性可知，直线关于直线的对称的直线与抛物线的交点、也满足条件， ∵ ∴将向右平移个单位得到的解析式为 由， 解得或， ∴，， 综上所述，满足条件的点的坐标为：，，，． 题型三：周长最值问题 【例3】（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．    (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，求周长的最小值； (3)如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为，将代入求解即可； （2）作点O关于直线的对称点E，连接，根据点坐特点及正方形的判定得出四边形为正方形，，连接AE，交于点D，由对称性，此时有最小值为AE的长，再由勾股定理求解即可； （3）由待定系数法确定直线的表达式为，直线的表达式为，设，然后结合图形及面积之间的关系求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，设抛物线的表达式为， 将代入上式得：， 所以抛物线的表达式为； （2）作点O关于直线的对称点E，连接， ∵，，， ∴， ∵O、E关于直线对称， ∴四边形为正方形， ∴， 连接，交于点D，由对称性， 此时有最小值为的长， ∵的周长为， ，的最小值为10， ∴的周长的最小值为；    （3）由已知点，，， 设直线的表达式为， 将，代入中，，解得， ∴直线的表达式为， 同理可得：直线的表达式为， ∵， ∴设直线表达式为， 由（1）设，代入直线的表达式 得：， ∴直线的表达式为：， 由，得， ∴， ∵P，D都在第一象限， ∴ ， ∴当时，此时P点为. ．    【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，周长最短问题及面积问题，理解题意，熟练掌握运用二次函数的综合性质是解题关键． 【变式3-1】（2024·广东汕头·二模）如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式； (2)点P是抛物线对称轴上一点，当的周长最小时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，一次函数的图象与性质，轴对称的性质等知识点，依据轴对称路径最短问题确定出点P的位置是解题的关键． （1）根据待定系数法即可求得； （2）连接交抛物线的对称轴于点P，连接，依据轴对称图形的性质可得到，则的周长，故当点在一条直线上时，的周长最小值，然后求得直线的解析式，从而可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）∵当时，， ∴， ∵点P是抛物线对称轴上一点， ∴， ∴． ∴当点在一条直线上时，有最小值，即的长度． 如图，连接交抛物线的对称轴于点P， 又∵为定值， ∴此时，的周长最小． 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 将代入得：， ∴点P的坐标为， 即当的周长最小时，点P的坐标为． 【变式3-2】（2024·山东聊城·二模）已知抛物线与x轴交于，对称轴为直线，顶点为M，点P为对称轴右侧第一象限内抛物线上的一点，连接与y轴交于点D． (1)求b，c的值； (2)是否存在以为底边的等腰，若存在，求点D的坐标；若不存在，请说理由； (3)过动点P作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形周长最大时，求点P的坐标. 【答案】(1)， (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据对称轴为直线，在抛物线上，建立方程组求解，即可解题； （2）设，根据题意得，根据结合勾股定理建立等式求解并检验，即可解题； （3）设点P，则，根据矩形周长公式得到四边形周长表达式，再结合二次函数的最值，即可解题． 【详解】（1）解：对称轴为直线，在抛物线上， ， 解得； （2）解：∵抛物线 ∴顶点 设，若存在以为底边的等腰， 则， ∴， ∴ 解得：， 此时设直线的解析式为， 代入与，得， 解得：， ∴直线的解析式为 ∴此时点恰好在直线上，故不存在； （3）解：设点P，则， 由题意可知四边形为矩形， 四边形的周长， ， ， ∵， 当时，四边形周长最大 此时． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形性质，勾股定理，矩形的性质，二次函数的性质，以及在二次函数图象的条件下探究几何图形的能力，解题的关键在于要灵活运用二次函数知识解决与其相关的综合问题． 【变式3-3】（2024·山东济宁·一模）已知二次函数，当时，y的最大值为4；当时，y的最大值为4.5． (1)求二次函数的解析式； (2)二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，点M是二次函数图象的对称轴上一点，当的周长最小时，求点M的坐标； (3)抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点N的坐标为，． 【分析】（1）根据题意得到抛物线的对称轴一定在轴右侧，且抛物线的最高点的纵坐标为，与轴交点纵坐标为4，利用待定系数法即可求得二次函数的解析式； （2）由两点之间线段最短知，当共线时，有最小值，最小值为的长，据此求解即可； （3）作的外接圆，交抛物线的对称轴于点，由圆周角定理知，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线开口向下， ∵当时，y的最大值为4； 当时，y的最大值为，且， ∴抛物线的对称轴一定在轴右侧，且抛物线的最高点的纵坐标为， 又当时，随的增大而增大， ∴当时，在时，取得最大值为4， ∴，即， 设二次函数的解析式为， 把代入得，解得， ∵对称轴一定在轴右侧， ∴， ∴二次函数的解析式为； （2）解：对于，对称轴为直线， 令，则， 解得或， ∴，， ∴， 连接交对称轴于点M，由对称知， 由两点之间线段最短知， ∴当共线时，有最小值，最小值为的长， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴； （3）解：作的外接圆， 则点在的垂直平分线上，即点在抛物线的对称轴上， ∴点的横坐标为1，设点的坐标为， ∴， ∴，解得， ∴点的坐标为， ∵， 设交抛物线的对称轴于点， ∴， 此时点的坐标为， 同理点的坐标为， 综上，点N的坐标为，． 【点睛】本题是二次函数与几何的综合题，求二次函数解析式，圆周角定理等等，利用数形结合的思想是解本题的关键． 过关检测 1．（2024·湖南·中考真题）已知二次函数的图像经过点，点，是此二次函数的图像上的两个动点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作轴于点C，交AB于点D，连接．若，求证的值为定值； (3)如图2，点P在第二象限，，若点M在直线上，且横坐标为，过点M作轴于点N，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)为定值3，证明见解析 (3) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式，，则，，表示出，，代入即可求解； （3）设，则，求出直线的解析式，把代入即可求出线段长度的最大值． 【详解】（1）∵二次函数的图像经过点， ∴， ∴， ∴； （2）当时，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴，． ∴， ∴的值为定值； （3）设，则， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 当时， ， ∴当时，线段长度的最大值． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键． 2．（2024·甘肃天水·二模）如图，已知抛物线的对称轴为直线，与y轴交于点Q，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式． (2)求的面积． (3)在x轴上确定一点P，使的周长最小，并求出此时的面积． 【答案】(1) (2) (3)图见解析， 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）分别求出点的坐标，根据即可求解； （3）过点M作关于x轴对称的点，连接交x轴干点P，则，此时的周长最小，运用待定系数法求直线的解析式，分别求出点的坐标，根据即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，点是抛物线上的一点， ， 解得， 该抛物线的解析式为． （2）解：如图所示，设直线MN与y轴的交点为A． ， ． 当时，． ． 直线MN：（）， ∴， 解得， ∴直线MN的解析式为． 当时，，即． ． （3）解：如图所示，过点M作关于x轴对称的点，连接交x轴干点P，则，此时的周长最小． 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴该直线的解析式为． 当时，，即． 直线MN：与x轴的交点B的坐标为． ． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何的综合，掌握待定系数法求解析式，二次函数以一次函数图象的交点的计算方法，二次函数图象中几何图形面积的计算方法，轴对称最短路径的计算方法等知识是解题的关键． 3．（2024·山东菏泽·一模）如图，已知二次函数． 的图象与x轴相交于，两点， 与y轴相交于点，P是第四象限内这个二次函数的图象上一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作轴于点 H， 与交于点 M． (1)求这个二次函数的表达式； (2)将线段绕点 C顺时针旋转 点A的对应点为 判断点 是否落在抛物线上，并说明理由； (3)求的最大值． 【答案】(1) (2)不在抛物线上，理由见解析 (3)当时，取最大值， 最大值为 【分析】（1）两点式设出解析式，将点C代入求出解析式即可； （2）根据旋转的性质，求出的坐标，进行判断即可； （3）设P点坐标为，则M点坐标为，H点坐标为，将转化为二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴相交于，两点， 与y轴相交于点， ∴设抛物线的解析式为， 把， 代入， 得∶， ∴， （2）解：不在抛物线上；理由如下∶ 过点作轴， ∵是由旋转得到， ∴， ∴与互余，与互余， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 对于 当时， ， ∴不在抛物线上； （3）解：∵，， ∴设直线， 将 代入， 得∶， ∴； 设P 点坐标为 则M点坐标为， H点坐标为． ∵，，， ∴， ∵轴， ， ∴，    当 时，取最大值， 最大值为 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识，综合性较强，解题的关键是认真分析，弄清解题的思路和方法． 4．（2024·天津宝坻·二模）已知抛物线（为常数，）与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标是，点的坐标为． (1)求的值及抛物线顶点坐标； (2)点关于轴对称点为为线段上的一个动点，连接． ①当最短时，求点的坐标； ②若为线段上一点，且，连接，当的值最小时，求的长． 【答案】(1)，抛物线顶点坐标为； (2)①点的坐标；②． 【分析】（1）利用待定系数法可求得的值，配成顶点式即可求得抛物线顶点坐标； （2）①当时，最短，据此求解即可； ②过点作直线平行于交轴于点，求得直线的解析式为，得到，作点关于直线的对称点，交直线于点，得到，则当在同一直线上时，的值最小，再求得点，过点作轴，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴抛物线顶点坐标为； （2）解：①当时，最短， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标； ②过点作直线平行于交轴于点， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为， 将代入得， 解得， ∴的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， 作点关于直线的对称点，交直线于点， ∴， ∴当在同一直线上时，的值最小， ∵，，， ∴， 过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， 同理求得直线的解析式为， ∴与直线的交点， 过点作轴，垂足为点， ∵在中，． 【点睛】本题是次函数的综合问题，考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离的方法，待定系数法求函数的解析式是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21讲重难点拓展：二次函数综合之三种线段问题 题型一：线段的数量关系 题型二：线段最值问题 题型三：周长最值问题 一、线段的数量关系 此类问题一般是求满足线段数量关系的点的坐标，针对这种情况应先在图中找出对应线段，弄清已知点和未知点；再联系二次函数和一次函数，设出未知点的坐标，使其只含一个未知数；最后表示出线段的长度，列出满足线段数量关系的等式，从而求出未知数的值； 二、线段最值问题    此类问题通常有两类：    ①设出关键的点的未知数(通常是一个跟所求线段关系紧密的点的横坐标)，通过题目中的函数和图形关系，用该点的横坐标表示出有关线段端点的坐标，进而表示出线段的长，通过二次函数的性质求最值，继而得到线段的最大值或最小值；   ②在求线段最小值的时候可以利用轴对称模型.此类问题一般是要寻找一个动点，使其到两个顶点的距离最小，通常是作一个定点关于动点所在直线的对称点，连接这个对称点与另一个定点的线段即为所求的最小值； 三、周长最值问题   此类问题一般为所求图形中有一动点，对其求周长最值，解决此类问题时应利用转化思想，即先观察图形，结合题目，分清楚定线段和不定线段，然后将其所求图形周长的最值转化到求不定线段和的最值，进而转化为求线段最值问题，其方法同(2). 题型归纳 题型一：线段的数量关系 【例1】（2024·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知． (1)求a，b的值； (2)已知横坐标为t的点P为对称轴左侧的抛物线上一动点，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M， ①若与的面积之和为8，求t的值； ②过点P作x轴的垂线，垂足为N，直线交线段于点D，是否存在这样的点P，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【变式1-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C、顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)P是x轴上一动点，将顶点D绕点Р顺时针旋转90°刚好落在抛物线上的点E处，求点P的坐标； (3)如图2、点G，H为x轴上方的抛物线上两点（点G在点H的左边），直线、与y轴分别交于S，T两点，若，试探究直线是否经过定点，若是，求定点坐标；若不是、请说明理由． 【变式1-2】（2024·山东菏泽·二模）如图，抛物线与x轴相交于点，点C，与y轴相交于点B，其对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点M在直线上，且在第四象限，过点M作轴于点N． ①若点N在线段上，且，求点M的坐标； ②以为对角线作正方形（点P在右侧），当点P在抛物线上时，设点N的坐标为，求t的值． 【变式1-3】（2024·湖北恩施·二模）如图1，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线经过B、C两点． (1)求出该二次函数的解析式． (2)已知点P为直线l上的一点，设其横坐标为t，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N． ①当时，求点P的横坐标． ②当的长度随t的增大而增大时，直接写出t的取值范围． (3)如图2，将二次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“W”形状的新图象，再将直线l向上平移n个单位长度，得到直线，当直线与这个新图象有3个公共点时，求n的值． 题型二：线段最值问题 【例2】（2023·上海·九年级假期作业）如图，已知抛物线：，抛物线与关于点中心对称，与相交于A，B两点，点M在抛物线上，且位于点A和点B之间；点N在抛物线上，也位于点A和点B之间，且轴． (1)求抛物线的表达式； (2)求线段长度的最大值． 【变式2-1】（2024九年级下·黑龙江齐齐哈尔·学业考试）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是抛物线在第二象限内的点，过点作轴的平行线与直线交于点，求的长的最大值． 【变式2-2】（2024·黑龙江鸡西·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为，与y轴交于点．注：抛物线的对称轴是，顶点坐标是． (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)点是x轴上的一个动点，当的值是最小时，请计算此时m的值． 【变式2-3】（2024·江苏淮安·三模）二次函数 的图像与x轴交于A，C两点，点，与y轴交于点． (1) ， ； (2)如图，P 是x轴上一动点，点在y轴上，连接PD，求 的最小值．并求出此时点 P的坐标． (3)在（2）成立的前提下，在抛物线 是否存在点Q，使得 存在，请直接写出点Q的坐标，不存在请说明理由． 题型三：周长最值问题 【例3】（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．    (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，求周长的最小值； (3)如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值． 【变式3-1】（2024·广东汕头·二模）如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式； (2)点P是抛物线对称轴上一点，当的周长最小时，求点P的坐标． 【变式3-2】（2024·山东聊城·二模）已知抛物线与x轴交于，对称轴为直线，顶点为M，点P为对称轴右侧第一象限内抛物线上的一点，连接与y轴交于点D． (1)求b，c的值； (2)是否存在以为底边的等腰，若存在，求点D的坐标；若不存在，请说理由； (3)过动点P作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形周长最大时，求点P的坐标. 【变式3-3】（2024·山东济宁·一模）已知二次函数，当时，y的最大值为4；当时，y的最大值为4.5． (1)求二次函数的解析式； (2)二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，点M是二次函数图象的对称轴上一点，当的周长最小时，求点M的坐标； (3)抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 过关检测 1．（2024·湖南·中考真题）已知二次函数的图像经过点，点，是此二次函数的图像上的两个动点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作轴于点C，交AB于点D，连接．若，求证的值为定值； (3)如图2，点P在第二象限，，若点M在直线上，且横坐标为，过点M作轴于点N，求线段长度的最大值． 2．（2024·甘肃天水·二模）如图，已知抛物线的对称轴为直线，与y轴交于点Q，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式． (2)求的面积． (3)在x轴上确定一点P，使的周长最小，并求出此时的面积． 3．（2024·山东菏泽·一模）如图，已知二次函数． 的图象与x轴相交于，两点， 与y轴相交于点，P是第四象限内这个二次函数的图象上一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作轴于点 H， 与交于点 M． (1)求这个二次函数的表达式； (2)将线段绕点 C顺时针旋转 点A的对应点为 判断点 是否落在抛物线上，并说明理由； (3)求的最大值． 4．（2024·天津宝坻·二模）已知抛物线（为常数，）与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标是，点的坐标为． (1)求的值及抛物线顶点坐标； (2)点关于轴对称点为为线段上的一个动点，连接． ①当最短时，求点的坐标； ②若为线段上一点，且，连接，当的值最小时，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$