第09讲 二次函数y＝a(x－h)²与y＝a(x－h)²＋k 的图象和性质（3个知识点+9个考点）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（人教版）

第09讲 二次函数y＝a(x－h)2与y＝a(x－h)2＋k 的图象和性质（3个知识点+9个考点） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．会用描点法画出y＝a(x－h)2与y＝a(x－h)2＋k的图象． 2．掌握形如y＝a(x－h)2与y＝a(x－h)2＋k的二次函数图象的性质，并会应用． 3．理解二次函数y＝a(x－h)2与y＝ax2、y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2之间的联系． 知识点1：二次函数的图象和性质（重难点） 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 知识点2：二次函数的图象和性质（重难点） 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 要点归纳： 二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题． 知识点3：二次函数的平移 1.平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2.平移规律： 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 要点归纳： ⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成 （或） ⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或） 考点1：y＝a(x－h)2的图象与性质的识别 【例1】已知抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)的顶点坐标是(－2，0)，且图象经过点(－4，2)，求a，h的值． 【变式1-1】（2023•沈阳）二次函数y＝﹣（x+1）2+2图象的顶点所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-2】（2023•兰州）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（　　） A．对称轴为x＝﹣2 B．顶点坐标为（2，3） C．函数的最大值是﹣3 D．函数的最小值是﹣3 【变式1-3】（2023九年级·黑龙江哈尔滨·开学考试）抛物线与x轴的交点坐标为 ． 考点2：二次函数y＝a(x－h)2增减性的判断 【例2】对于二次函数y＝9(x－1)2，下列结论正确的是(　　) A．y随x的增大而增大 B．当x＞0时，y随x的增大而增大 C．当x＞－1时，y随x的增大而增大 D．当x＞1时，y随x的增大而增大 【变式2-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）二次函数，当时，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 【变式2-2】（2023九年级·福建南平·阶段练习）在抛物线上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023九年级·青海西宁·阶段练习）已知二次函数y= -（x-1）2 （1）画出这个函数的图象； （2）由图象可知，当x___时，y随x增大而减小，当x=___，y有最___值为___． 考点3：确定y＝a(x－h)2与y＝ax2的关系 【例3】能否向左或向右平移函数y＝－x2的图象，使得到的新的图象过点(－9，－8)？若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由． 【变式3-1】（2023九年级·全国·课前预习）抛物线与抛物线的关系： 若h＞0，抛物线向 平移h个单位就得到抛物线； 若h＜0，，抛物线向 平移|h|个单位就得到抛物线． 【变式3-2】（2023九年级·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，画出函数y=x2，y=(x+2)2，y=(x-2)2的图象，并写出对称轴及顶点坐标. 【变式3-3】已知函数，和． (1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标； (3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象； (4)分别说出各个函数的性质． 考点4：y＝a(x－h)2的图象与几何图形的综合 【例4】把函数y＝x2的图象向右平移4个单位后，其顶点为C，并与直线y＝x分别相交于A、B两点(点A在点B的左边)，求△ABC的面积． 【变式4-1】抛物线y=3(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，求△AOB的面积和周长． 【变式4-2】已知二次函数的图象如图所示，求的面积．   【变式4-3】如图所示，抛物线的顶点为C，与y轴交点为A，过点A作y轴的垂线，交抛 物线于另一点B． (1)求直线AC的解析式； (2)求△ABC的面积； (3)当自变量x满足什么条件时，有? 考点5：二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象 【例5】求二次函数y＝x2－2x－1的顶点坐标、对称轴及其最值． 【变式5-1】函数的图象是一条________，开口方向________，顶点坐标为________． 【变式5-2】二次函数： ①；②；③；④；⑤；⑥． （1）以上二次函数的图象的对称轴为直线x=－1的是__________(只填序号)； （2）以上二次函数有最大值的是_______________(只填序号)﹔ （3）以上二次函数的图象中关于x轴对称的是________________(只填序号)． 【变式5-3】已知二次函数，当时有最小值10，则m的值为 ． 考点6：二次函数y＝a(x－h)2＋k的性质 【例6】如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，x＝－1是对称轴，有下列判断：①b－2a＝0；②4a－2b＋c<0；③a－b＋c＝－9a；④若(－3，y1)，(，y2)是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是(　　) A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【变式6-1】抛物线上有三点，分别是；；那这三点中纵坐标的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】.已知抛物线y=2（x﹣1）2﹣8． （1）直接写出它的顶点坐标：　　，对称轴：　　； （2）x取何值时，y随x增大而增大？ 【变式6-3】设二次函数，其中a为实数． （1）二次函数的对称轴为直线_______________．（用含a的式子表示） （2）若二次函数在有最小值，则实数a的值是_______________． 考点7：利用平移确定y＝a(x－h)2＋k的解析式 【例7-1】将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线是(　　) A．y＝(x－2)2－1 B．y＝(x－2)2＋1 C．y＝(x＋2)2＋1 D．y＝(x＋2)2－1 【例7-2】把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数 的图象． （1）试确定a、h、k的值； （2）指出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性． 【变式7-1】（2023•徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x+1）2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（　　） A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣1）2+4 D．y＝（x+3）2+4 【变式7-2】二次函数y＝x2的图象如图所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移4个单位． （1）请直接写出经过两次平移后的函数解析式； （2）请求出经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标，并指出当x满足什么条件时，函数值小于0？ （3）若A（x1，y1），B（x2，y2）是经过两次平移后所得的函数图象上的两点，且x1＜x2＜0，请比较y1、y2的大小关系．（直接写结果） 【变式7-3】已知是由抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长 度得到的抛物线． (1)求出a、h、k的值； (2)在同一坐标系中，画出与的图象； (3)观察的图象，当x取何值时，y随x的增大而增大；当x取何值时，y随x增大而减 小，并求出函数的最值； (4)观察的图象，你能说出对于一切x的值，函数y的取值范围吗? 考点8：y＝a(x－h)2＋k的图象与几何图形的综合 【例8】如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x＝－2，点C在抛物线上，且位于点A、B之间(C不与A、B重合)．若△ABC的周长为a，则四边形AOBC的周长为________．(用含a的式子表示) 【变式8-1】（2023九年级·山东烟台·期中）在平面直角坐标系中，点A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为 ． 【变式8-2】（22-23九年级上·天津武清·阶段练习）已知二次函数． (1)写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点P坐标； (2)若抛物线与轴交于、两点，求三角形的面积． 【变式8-3】（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图像的“n阶方点”．例如，点是一次函数图像的“1阶方点”． (1)在①，②，③三点中，是反比例函数图像的“2阶方点”的有________（填序号）； (2)如图，已知抛物线交y轴于点C，一次函数的图像交抛物线第二象限于点P，点Q为该一次函数图像的“1阶方点”． ①求的面积的最大值； ②若一次函数图像的“1阶方点”有且只有一个，求a的值； (3)若抛物线的“m阶方点”一定存在，求m的取值范围． 考点9：二次函数y＝a(x－h)2＋k的实际应用 【例9】心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(分钟)之间满足函数y＝－(x－13)2＋59.9(0≤x≤30)，y值越大，表示接受能力越强． (1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ (2)第10分钟时，学生的接受能力是多少？ (3)第几分钟时，学生的接受能力最强？ 【变式9-1】（23-24九年级上·浙江湖州·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何选择合适的种植方案？ 素材1 为了加强劳动教育，落实五育并举，吴兴区某中学在校园内建成了一处劳动实践基地．2024年计划将其中的土地全部种植甲、乙两种蔬菜． 素材2 甲种蔬菜种植成本y（单位：元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元/． 问题解决 任务1 确定函数关系 求甲种蔬菜种植成本y与其种植面积x的函数关系式． 任务2 设计种植方案 设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？并求出W的最小值． 任务3 预计下降率 学校计划今后每年在这土地上，按“任务二”中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时，2026年的总种植成本为2892元？ 【变式9-2】某商品交易会上，一商人将每件进价为5元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出32件．他想采用提高售价的办法来增加利润，减少库存，经试验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件． (1)设销售单价提高x元（x为正整数），写出每天销售量y（个）与x（元）之间的函数关系式； (2)当售价定为多少元时，每天的利润为140元？ (3)假设这种商品每天的销售利润为w元，商人为了获得最大利润，应将该商品每件售价定为多少元？最大利润是多少元． 【变式9-3】．（2023·山西太原·模拟预测）阅读与思考 下面是小牛同学的部分日记，请仔细阅读并完成相应的任务： 二次函数的应用 ×年×月×日 今天在数学活动学习过程中遇到一个问题：下列两个两位数相乘的运算中（两个乘数的十位上的数都是2，个位上的数的和等于10），，，，…，，，． 请你先猜想，积最大的是____________，并说明理由． 猜想：积最大的是． 理由如下： 设两个乘数的积为y，其中一个乘数的个位上的数为x，则另一个乘数个位上的数为． 根据题意得，… 任务： (1)上面日记中的分析过程中主要运用的数学思想是______． A．数形结合    B．统计思想    C．分类讨论    D．函数思想 (2)请补全小牛的日记中的解题过程． (3)下列两个三位数相乘的运算中（两个乘数的百位上的数都是8，十位上的数与个位上的数组成的数的和等于100），，，，…，，，．用以上方法猜想其中哪个积最大，并说明理由． 一、单选题 1．（23-24九年级上·重庆石柱·阶段练习）抛物线的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）已知函数的图象上有，，三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·安徽宿州·二模）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 6．（2024·广东东莞·二模）二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（23-24九年级上·福建厦门·期中）抛物线的顶点的坐标是 ． 8．（23-24九年级上·重庆开州·阶段练习）已知抛物线上有两点、，则 （填“＜”或“＞”）． 9．（21-22九年级上·广东中山·阶段练习）将抛物线沿轴翻折后对应的函数解析式为 ． 10．（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限，以为顶点的抛物线经过原点，与轴负半轴交于点，点在抛物线上，且位于点、之间（不与、重合）.若四边形的周长为14，的周长大于8，则的取值范围为 ． 11．（2024·江苏扬州·二模）如图，已知，，，抛物线过点C，顶点M位于第二象限且在线段的垂直平分线上，若该抛物线与线段没有公共点，则k的取值范围是 ． 12．（2024九年级下·江苏·专题练习）已知二次函数（h是常数），且自变量取值范围是． （1）当时，函数的最大值是 ； （2）若函数的最大值为，则h的值是 ． 三、解答题 13．如图，抛物线y=2（x-2）2与平行于x轴的直线交于点A，B，抛物线顶点为C，△ABC为等边三角形，求S△ABC; 14．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）已知点是抛物线上的点，且点在第一象限内，求的值． 15．（2024·江苏南京·二模）二次函数的图像过点，． (1)的值为______； (2)若，是该函数图像上的两点，当，时，试说明：； (3)若关于的方程有一个正根和一个负根，直接写出的取值范围． 16．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）已知抛物线． (1)求该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标； (2)当为何值时，随的增大而减小，当为何值时，随的增大而增大？ 17．（23-24九年级上·广东江门·阶段练习）已知关于的方程， (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)若方程两根，满足，求的值； (3)在问题（2）成立的前提下，写出函数的增减性． 18．（23-24九年级上·天津静海·阶段练习）已知抛物线． (1)写出这个二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴； (2)判断点是否在此抛物线上； (3)求出此抛物线上纵坐标为的点的坐标． 19．（23-24九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，直线与轴、轴分别交于点、．抛物线经过、，并与轴交于另一点，其顶点为， (1)求，的值； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求的周长；若不存在，请说明理由； (3)抛物线的对称轴是上是否存在一点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 二次函数y＝a(x－h)2与y＝a(x－h)2＋k 的图象和性质（3个知识点+9个考点） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．会用描点法画出y＝a(x－h)2与y＝a(x－h)2＋k的图象． 2．掌握形如y＝a(x－h)2与y＝a(x－h)2＋k的二次函数图象的性质，并会应用． 3．理解二次函数y＝a(x－h)2与y＝ax2、y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2之间的联系． 知识点1：二次函数的图象和性质（重难点） 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 知识点2：二次函数的图象和性质（重难点） 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 要点归纳： 二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题． 知识点3：二次函数的平移 1.平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2.平移规律： 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 要点归纳： ⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成 （或） ⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或） 考点1：y＝a(x－h)2的图象与性质的识别 【例1】已知抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)的顶点坐标是(－2，0)，且图象经过点(－4，2)，求a，h的值． 解：∵抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)的顶点坐标为(－2，0)，∴h＝－2.又∵抛物线y＝a(x＋2)2经过点(－4，2)，∴(－4＋2)2·a＝2，∴a＝. 方法总结：抛物线y＝a(x－h)2的顶点坐标为(h，0)，对称轴是直线x＝h. 【变式1-1】（2023•沈阳）二次函数y＝﹣（x+1）2+2图象的顶点所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2+2， ∴顶点坐标为（﹣1，2）， ∴顶点在第二象限． 故选：B． 【变式1-2】（2023•兰州）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（　　） A．对称轴为x＝﹣2 B．顶点坐标为（2，3） C．函数的最大值是﹣3 D．函数的最小值是﹣3 【解答】解：二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3的图象的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣3）， 抛物线开口向下，x＝2时，y有最大值为y＝﹣3， 故选：C． 【变式1-3】（2023九年级·黑龙江哈尔滨·开学考试）抛物线与x轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，即可解答． 【详解】解：抛物线与x轴的交点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数顶点坐标在x轴上，顶点坐标为． 考点2：二次函数y＝a(x－h)2增减性的判断 【例2】对于二次函数y＝9(x－1)2，下列结论正确的是(　　) A．y随x的增大而增大 B．当x＞0时，y随x的增大而增大 C．当x＞－1时，y随x的增大而增大 D．当x＞1时，y随x的增大而增大 解析：由于a＝9＞0，抛物线开口向上，而h＝1，所以当x＞1时，y随x的增大而增大．故选D. 【变式2-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）二次函数，当时，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【分析】根据，得函数图象开口向上，当时，y随x的增大而减小，即可得． 【详解】解：∵，对称轴为直线， ∴函数图象开口向上，当时，y随x的增大而减小， 故答案为：减小． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质． 【变式2-2】（2023九年级·福建南平·阶段练习）在抛物线上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质判断即可． 【详解】解：抛物线上，开口向上，对称轴为， 【变式2-3】（2023九年级·青海西宁·阶段练习）已知二次函数y= -（x-1）2 （1）画出这个函数的图象； （2）由图象可知，当x___时，y随x增大而减小，当x=___，y有最___值为___． 【答案】（1）函数图象见详解；（2）；1；大；0． 【分析】（1）根据二次函数图象的作法：先找点，然后确定函数图象对称轴，顶点坐标，用光滑的曲线连接即可； （2）根据作出的函数图象即可得出函数的增减范围，最值点． 【详解】解：（1）根据图象的作法，找出，，三个点坐标，对称轴为，顶点坐标为：，用光滑的曲线连接即可； （2）根据函数图象可得：当时，y随x增大而减小； 当时，，即当时，y有最大值，最大值为0， 故答案为：；1；大；0． 【点睛】题目主要考查一元二次函数的基本性质及图象的作法，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键． 考点3：确定y＝a(x－h)2与y＝ax2的关系 【例3】能否向左或向右平移函数y＝－x2的图象，使得到的新的图象过点(－9，－8)？若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由． 解：能，设平移后的函数为y＝－(x－h)2，将x＝－9，y＝－8代入得－8＝－(－9－h)2，所以h＝－5或h＝－13，所以平移后的函数为y＝－(x＋5)2或y＝－(x＋13)2.即抛物线的顶点为(－5，0)或(－13，0)，所以向左平移5或13个单位． 方法总结：根据抛物线平移的规律，向右平移h个单位后，a不变，括号内变“减去h”；若向左平移h个单位，括号内应“加上h”，即“左加右减”． 【变式3-1】（2023九年级·全国·课前预习）抛物线与抛物线的关系： 若h＞0，抛物线向 平移h个单位就得到抛物线； 若h＜0，，抛物线向 平移|h|个单位就得到抛物线． 【答案】 右 左 【解析】若h＞0，抛物线向右平移h个单位就得到抛物线； 若h＜0，，抛物线向左平移|h|个单位就得到抛物线． 【变式3-2】（2023九年级·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，画出函数y=x2，y=(x+2)2，y=(x-2)2的图象，并写出对称轴及顶点坐标. 【答案】图形见解析，抛物线y=x2的对称轴是直线x=0，顶点坐标为(0，0).抛物线y=(x+2)2的对称轴是直线x=-2，顶点坐标为(-2，0).抛物线y=(x-2)2的对称轴是直线x=2,顶点坐标为(2，0). 【详解】利用描点法可画出这三个函数的图象，分别由图象可得出对称轴及顶点坐标． 解：函数图象如图所示： 抛物线y=x2的对称轴是直线x=0,顶点坐标为(0,0). 抛物线y=(x+2)2的对称轴是直线x=-2,顶点坐标为(-2,0). 抛物线y=(x-2)2的对称轴是直线x=2,顶点坐标为(2,0). 【变式3-3】已知函数，和． (1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标； (3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象； (4)分别说出各个函数的性质． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为， 开口向上，对称轴为，顶点坐标为， 开口向上，对称轴为，顶点坐标为； （3）解：由抛物线向左平移1个单位，由抛物线向右平移1个单位； （4）解：当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大， 当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大， 当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 考点4：y＝a(x－h)2的图象与几何图形的综合 【例4】把函数y＝x2的图象向右平移4个单位后，其顶点为C，并与直线y＝x分别相交于A、B两点(点A在点B的左边)，求△ABC的面积． 解析：利用二次函数平移规律先确定平移后抛物线解析式，确定C点坐标，再解由得到的二次函数解析式与y＝x组成的方程组，确定A、B两点的坐标，最后求△ABC的面积． 解：平移后的函数为y＝(x－4)2，顶点C的坐标为(4，0)，解方程组得或∵点A在点B的左边，∴A(2，2)，B(8，8)．∴S△ABC＝S△OBC－S△OAC＝OC×8－OC×2＝12. 方法总结：两个函数交点的横纵坐标与两个解析式组成的方程组的解是一致的． 【变式4-1】抛物线y=3(x－2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，求△AOB的面积和周长． 【答案】的面积为12，周长为 【分析】令，求出的值，令，求出的值，即可得出A、B两点的坐标，从而得出、的长度，由勾股定理得出的长度，由三角形面积公式以及周长公式即可求出答案． 【详解】∵抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B， 令，， 解得：， 令，， ，， ，， 由勾股定理得： ， ． 的面积为12，周长为． 【点睛】本题考查二次函数图像上点的坐标特点，熟知二次函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 【变式4-2】已知二次函数的图象如图所示，求的面积．   【答案】1 【分析】利用二次函数的顶点式可得到点A的坐标，再由x=0求出对应的y的值，可得到点B的坐标，然后利用三角形的面积公式求出△ABO的面积． 【详解】解：∵二次函数 ∴顶点 ∵点在图像上且在轴上，即时的坐标 ∴ ∴ ∴的面积 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据解析式求出交点坐标是关键． 【变式4-3】如图所示，抛物线的顶点为C，与y轴交点为A，过点A作y轴的垂线，交抛 物线于另一点B． (1)求直线AC的解析式； (2)求△ABC的面积； (3)当自变量x满足什么条件时，有? 【答案与解析】 (1)由知抛物线顶点C(-1，0)，令x＝0，得， ∴ ．由待定系数法可求出，， ∴ ． (2)∵ 抛物线的对称轴为x＝-1，根据抛物线对称性知． ∴ ． (3)根据图象知或时，有． 【总结升华】 图象都经过A点和C点，说明A点、C点同时出现在两个图象上，A、C两点的坐标均满足两 个函数的解析式，解答这类题时，要画出函数图象，结合几何图形的性质，运用数形结合的思想和抛物线 的对称性，特别要慎重处理平面直角坐标系中的坐标(数)与线段长度(形)之间的关系，不要出现符号上的 错误，充分利用函数图象弄清函数值与自变量的关系，利用图象比较函数值的大小，或根据函数值的大小， 确定自变量的变化范围． 考点5：二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象 【例5】求二次函数y＝x2－2x－1的顶点坐标、对称轴及其最值． 解析：把二次函数y＝x2－2x－1化为y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，就会很快求出二次函数y＝x2－2x－1的顶点坐标及对称轴． 解：y＝x2－2x－1＝x2－2x＋1－2＝(x－1)2－2，∴顶点坐标为(1，－2)，对称轴是直线x＝1.当x＝1时，y最小值＝－2. 方法总结：把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)形式常用的方法是配方法和公式法． 【变式5-1】函数的图象是一条________，开口方向________，顶点坐标为________． 【答案】 抛物线 向下 【分析】根据二次函数的图象和性质进行解答即可． 【详解】解：函数的图象是一条抛物线； ∵， ∴抛物线的开口向下； 二次函数的顶点坐标为． 故答案为：抛物线；向下；． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟记二次函数的图象和性质是解题的关键． 【变式5-2】二次函数： ①；②；③；④；⑤；⑥． （1）以上二次函数的图象的对称轴为直线x=－1的是__________(只填序号)； （2）以上二次函数有最大值的是_______________(只填序号)﹔ （3）以上二次函数的图象中关于x轴对称的是________________(只填序号)． 【答案】 ②③ ①③⑤ ⑤⑥ 【分析】因为二次函数的解析式均已确定﹐所以可结合二次函数解析式的特征对其性质作出判断． 【详解】（1）二次函数的图象的对称轴为直线x=-1，也就是在顶点式中h=-1，故满足条件的函数有②③． （2）二次函数有最大值，也就是其函数图象是开口向下的，即a<0，故满足条件的函数有①③⑤． （3）二次函数的图象关于x轴对称，也就是两个二次函数的二次项系数x互为相反数，且 h ，k 的值相同，故满足条件的函数为⑤和⑥． 故答案为：（1）②③，（2）①③⑤，（3）⑤⑥ 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，观察所给二次函数的解析式可知全为二次函数的顶点式，熟悉掌握二次函数顶点，和对称轴是解题的关键． 【变式5-3】已知二次函数，当时有最小值10，则m的值为 ． 【答案】或7/7或-1 【分析】对对称轴的位置进行分类讨论，再根据最小值求出m的值即可． 【详解】解：当m<2时，二次函数在x=2时取得最小值， 所以，解得，（舍）； 当时，二次函数在x=m时取得最小值， ∴所以，该方程无解； 当m>4时，二次函数在x=4时取得最小值， 所以，解得，（舍）； 故答案为：或7． 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握这些知识点是解题关键，同时注意分类讨论思想的使用． 考点6：二次函数y＝a(x－h)2＋k的性质 【例6】如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，x＝－1是对称轴，有下列判断：①b－2a＝0；②4a－2b＋c<0；③a－b＋c＝－9a；④若(－3，y1)，(，y2)是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是(　　) A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 解析：∵－＝－1，∴b＝2a，即b－2a＝0，∴①正确；∵当x＝－2时点在x轴的上方，即4a－2b＋c>0，②不正确；∵4a＋2b＋c＝0，∴c＝－4a－2b，∵b＝2a，∴a－b＋c＝a－b－4a－2b＝－3a－3b＝－9a，∴③正确；∵抛物线是轴对称图形，点(－3，y1)到对称轴x＝－1的距离小于点(，y2)到对称轴的距离，即y1>y2，∴④正确．综上所述，选B. 方法总结：抛物线在直角坐标系中的位置，由a、b、c的符号确定：抛物线开口方向决定了a的符号，当开口向上时，a＞0，当开口向下时，a＜0；抛物线的对称轴是x＝－；当x＝2时，二次函数的函数值为y＝4a＋2b＋c；函数的图象在x轴上方时，y>0，函数的图象在x轴下方时，y<0. 【变式6-1】抛物线上有三点，分别是；；那这三点中纵坐标的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出二次函数的图象的对称轴，然后判断出、、在抛物线上的位置，再求解． 【详解】解：∵二次函数中， ∴抛物线开口向下，对称轴为， 到直线的距离为3， 到直线的距离为1， 到直线的距离为2， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征，解题的关键是找到A点的对称点，掌握二次函数的图象性质． 【变式6-2】.已知抛物线y=2（x﹣1）2﹣8． （1）直接写出它的顶点坐标：　　，对称轴：　　； （2）x取何值时，y随x增大而增大？ 【答案与解析】 解：（1）抛物线y=2（x﹣1）2﹣8的顶点坐标为（1，﹣8），对称轴为直线x=1； 故答案为（1，﹣8），直线x=1； （2）当x＞1时，y随x增大而增大． 【变式6-3】设二次函数，其中a为实数． （1）二次函数的对称轴为直线_______________．（用含a的式子表示） （2）若二次函数在有最小值，则实数a的值是_______________． 【答案】 / 4 【分析】（1）直接利用抛物线的对称轴公式可得答案； （2）分三种情况讨论：当，即，则当时，y有最小值，最小值为，当，即，则当时，y有最小值，当，即，则当时，y有最小值，从而可得答案． 【详解】解：（1）∵二次函数， ∴对称轴为直线：， 故答案为：； （2）当，即， 则当时，y有最小值，最小值为，不合题意，舍去； 若，即，则当时，y有最小值， ∴， ∴，解得（舍去），； 当，即， 则当时，y有最小值， ∴，解得（舍去）． 故答案为4． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键． 考点7：利用平移确定y＝a(x－h)2＋k的解析式 【例7-1】将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线是(　　) A．y＝(x－2)2－1 B．y＝(x－2)2＋1 C．y＝(x＋2)2＋1 D．y＝(x＋2)2－1 解析：由“上加下减”的平移规律可知，将抛物线y＝x2向下平移1个单位所得抛物线的解析式为：y＝x2－1；由“左加右减”的平移规律可知，将抛物线y＝x2－1向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y＝(x－2)2－1，故选A. 【例7-2】把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数 的图象． （1）试确定a、h、k的值； （2）指出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性． 【答案】（1）.（2）开口向下，对称轴x=1, 顶点坐标为（1，-5）， 当x≥1时，y随x的增大而减小； 当x＜1时，y随x的增大而增大. 【变式7-1】（2023•徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x+1）2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（　　） A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣1）2+4 D．y＝（x+3）2+4 【解答】解：将二次函数y＝（x+1）2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为y＝（x+1﹣2）2+3﹣1，即y＝（x﹣1）2+2． 故选：B． 【变式7-2】二次函数y＝x2的图象如图所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移4个单位． （1）请直接写出经过两次平移后的函数解析式； （2）请求出经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标，并指出当x满足什么条件时，函数值小于0？ （3）若A（x1，y1），B（x2，y2）是经过两次平移后所得的函数图象上的两点，且x1＜x2＜0，请比较y1、y2的大小关系．（直接写结果） 【答案】（1）y＝（x﹣1）2﹣4；（2）（﹣1，0），（3，0），当﹣1＜x＜3时，函数值小于0；（3）y1＞y2 【分析】（1）根据函数平移的特点：左加右减、上加下减，可以写出平移后的函数解析式； （2）根据（1）中的函数解析式可以求得经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标，并指出当x满足什么条件时，函数值小于0； （3）根据平移后函数的图象可知，当x＜1时，y随x的增大而减小，从而可以写出y1、y2的大小关系． 【详解】解：（1）平移后的函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣4； （2）平移后的函数图象如图所示， 当y＝0时，0＝（x﹣1）2﹣4，得x1＝﹣1，x2＝3， 即经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（3，0），当﹣1＜x＜3时，函数值小于0； （3）由图象可得， A（x1，y1），B（x2，y2）是经过两次平移后所得的函数图象上的两点，且x1＜x2＜0，则y1＞y2． 【点睛】本题考查的是二次函数的图像与性质，属于基础题型，记住平移的口诀“左加右减、上加下减”. 【变式7-3】已知是由抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长 度得到的抛物线． (1)求出a、h、k的值； (2)在同一坐标系中，画出与的图象； (3)观察的图象，当x取何值时，y随x的增大而增大；当x取何值时，y随x增大而减 小，并求出函数的最值； (4)观察的图象，你能说出对于一切x的值，函数y的取值范围吗? 【答案与解析】 (1)∵ 抛物线向上平移2个单位长度， 再向右平移1个单位长度得到的抛物线是， ∴ ，，． (2)函数与的图象如图所示． (3)观察的图象知，当时，y随x的增大而增大； 当时，y随x增大而减小，当x＝1时，函数y有最大值是2． (4)由图象知，对于一切x的值，总有函数值y≤2． 【总结升华】先根据平移的性质求出抛物线平移后的抛物线的解析式，再对比 得到a、h、k的值，然后画出图象，由图象回答问题． 考点8：y＝a(x－h)2＋k的图象与几何图形的综合 【例8】如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x＝－2，点C在抛物线上，且位于点A、B之间(C不与A、B重合)．若△ABC的周长为a，则四边形AOBC的周长为________．(用含a的式子表示) 解析：如图，∵对称轴为直线x＝－2，抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，∴OB＝4，∵由抛物线的对称性知AB＝AO，∴四边形AOBC的周长为AO＋AC＋BC＋OB＝△ABC的周长＋OB＝a＋4.故答案是：a＋4. 方法总结：二次函数的图象关于对称轴对称，本题利用抛物线的这一性质，将四边形的周长转化到已知的线段上去，在这里注意转化思想的应用． 【变式8-1】（2023九年级·山东烟台·期中）在平面直角坐标系中，点A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为 ． 【答案】24 【分析】根据抛物线的解析式即可确定对称轴，则可以确定AB的长度，然后根据等边三角形的周长公式即可求解． 【详解】抛物线的对称轴是 过点作于点，如下图所示 则，则 则以为边的等边的周长为． 故答案为24． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，根据抛物线的解析式确定对称轴，从而求得AB的长是关键． 【变式8-2】（22-23九年级上·天津武清·阶段练习）已知二次函数． (1)写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点P坐标； (2)若抛物线与轴交于、两点，求三角形的面积． 【答案】(1)对称轴为轴，开口向上，顶点坐标为 (2) 【分析】（1）由抛物线的性质可得答案； （2）由、，顶点P坐标为；可得的面积． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的开口方向向上、对称轴为直线、顶点P坐标为； （2）解：如图，    ∵、，顶点P坐标为； ∴． 【点睛】本题考查的是抛物线的性质，坐标与图形面积，熟记抛物线的性质是解本题的关键． 【变式8-3】（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图像的“n阶方点”．例如，点是一次函数图像的“1阶方点”． (1)在①，②，③三点中，是反比例函数图像的“2阶方点”的有________（填序号）； (2)如图，已知抛物线交y轴于点C，一次函数的图像交抛物线第二象限于点P，点Q为该一次函数图像的“1阶方点”． ①求的面积的最大值； ②若一次函数图像的“1阶方点”有且只有一个，求a的值； (3)若抛物线的“m阶方点”一定存在，求m的取值范围． 【答案】(1)①② (2)①4；②或 (3) 【详解】（1）①到两坐标轴的距离分别是1，1， ∵， ∴是反比例函数图像的“2阶方点”； ②到两坐标轴的距离分别是2，， ∵， ∴是反比例函数图像的“2阶方点”； ③到两坐标轴的距离分别是，， ∵， ∴不是反比例函数图像的“2阶方点”； 故答案为：①②； （2）∵一次函数， ∴一次函数过定点， 当时，， ∴在抛物线上， ∴． ①∵点Q为该一次函数图像的“1阶方点”， ∴当Q的纵坐标为－1时，面积最大． ∴面积最大为； ②∵一次函数图像的“1阶方点”有且只有一个， ∴在以O为中心，边长为2的正方形中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个， 当一次函数过时， ， 解得． 当一次函数过时， ， 解得． 综上：或． （3）在以O为中心，边长为2m的正方形中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数图象的“m阶方点”一定存在， 如图，当时，， 当抛物线经过点B时， ， 解得； 当抛物线经过点D时， ， 解得（舍）或； ∴． 考点9：二次函数y＝a(x－h)2＋k的实际应用 【例9】心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(分钟)之间满足函数y＝－(x－13)2＋59.9(0≤x≤30)，y值越大，表示接受能力越强． (1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ (2)第10分钟时，学生的接受能力是多少？ (3)第几分钟时，学生的接受能力最强？ 解：(1)0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强；13≤x≤30时，学生的接受能力逐步降低． (2)当x＝10时，y＝－(10－13)2＋59.9＝59.故第10分钟时，学生的接受能力是59. (3)当x＝13时，y值最大，是59.9，故第13分钟时，学生的接受能力最强． 【变式9-1】（23-24九年级上·浙江湖州·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何选择合适的种植方案？ 素材1 为了加强劳动教育，落实五育并举，吴兴区某中学在校园内建成了一处劳动实践基地．2024年计划将其中的土地全部种植甲、乙两种蔬菜． 素材2 甲种蔬菜种植成本y（单位：元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元/． 问题解决 任务1 确定函数关系 求甲种蔬菜种植成本y与其种植面积x的函数关系式． 任务2 设计种植方案 设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？并求出W的最小值． 任务3 预计下降率 学校计划今后每年在这土地上，按“任务二”中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时，2026年的总种植成本为2892元？ 【答案】任务一：； 任务二：当种植甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，W最小值为4200元； 任务三：当a为20时，2026年的总种植成本为2892元 【分析】本题主要考查题二次函数的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用等知识． 任务一：当时，由待定系数法求出一次函数关系式； 任务二：当时，由二次函数的性质得当时，W有最小值，最小值为4200元，此时乙种蔬菜的种植面积为． 任务三：根据2026年的总种植成本为2892元列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：任务一：当时， 设甲种蔬菜种植成本y（单位：元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系式为， 将和 代入得：， 解得：， ∴； 任务二：当时，， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，W有最小值，最小值为4200元， 此时，， ∴当种植甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，W最小值为4200元； 任务三：由（2）可知，甲、乙两种蔬菜总种植成本为4200元， 乙种蔬菜的种植成本为（元）， 则甲种蔬菜的种植成本为（元）， 由题意得：， 设， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， 答：当a为20时，2026年的总种植成本为2892元． 【变式9-2】某商品交易会上，一商人将每件进价为5元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出32件．他想采用提高售价的办法来增加利润，减少库存，经试验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件． (1)设销售单价提高x元（x为正整数），写出每天销售量y（个）与x（元）之间的函数关系式； (2)当售价定为多少元时，每天的利润为140元？ (3)假设这种商品每天的销售利润为w元，商人为了获得最大利润，应将该商品每件售价定为多少元？最大利润是多少元． 【答案】(1) (2)当售价定为元时，每天的利润为140元 (3)当售价为 元时，利润最大为． 【分析】（1）设售价单价提高元时，利用每天的销售量会减少4件即可列出函数关系式； （2）售价为元，每天的利润为140元，根据题意列方程即可得到结论； （3）根据题中等量关系为：利润（售价进价）售出件数，根据等量关系列出函数关系式，将函数关系式配方，根据配方后的方程式即可求出的最大值． 【详解】（1）解：设售价单价提高元，则 ； （2）解：由题可知售价为元， 即， 解得，， 故售价为：或， 需要减少库存，并且每提高1元，销售量会减少4件， 故售价定为10元， 当售价定为元时，每天的利润为140元； （3）解：， 当时，最大值为， 故售价为， 当售价为 元时，利润最大为． 【点睛】本题考查的是二次函数的应用，熟知利润（售价进价）售出件数是解答此题的关键． 【变式9-3】．（2023·山西太原·模拟预测）阅读与思考 下面是小牛同学的部分日记，请仔细阅读并完成相应的任务： 二次函数的应用 ×年×月×日 今天在数学活动学习过程中遇到一个问题：下列两个两位数相乘的运算中（两个乘数的十位上的数都是2，个位上的数的和等于10），，，，…，，，． 请你先猜想，积最大的是____________，并说明理由． 猜想：积最大的是． 理由如下： 设两个乘数的积为y，其中一个乘数的个位上的数为x，则另一个乘数个位上的数为． 根据题意得，… 任务： (1)上面日记中的分析过程中主要运用的数学思想是______． A．数形结合    B．统计思想    C．分类讨论    D．函数思想 (2)请补全小牛的日记中的解题过程． (3)下列两个三位数相乘的运算中（两个乘数的百位上的数都是8，十位上的数与个位上的数组成的数的和等于100），，，，…，，，．用以上方法猜想其中哪个积最大，并说明理由． 【答案】(1)D (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）分析过程中主要运用的数学思想是函数思想； （2）将右边配方，根据二次函数性质可得答案； （3）设两个乘数的积为w，其中一个乘数的十位上的数与个位上的数组成的数为a，则另一个乘数的十位上的数与个位上的数组成的数为，由题意得，据二次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：分析过程中主要运用的数学思想是函数思想； 故答案为：D； （2）解：根据题意得， 整理得， ， ∴当时，y的值最大，， ∴积最大的是，最大积为625； （3）解：， 理由：设两个乘数的积为w，其中一个乘数的十位上的数与个位上的数组成的数为a，则另一个乘数的十位上的数与个位上的数组成的数为， 由题意得， ∴当时，w的值最大，最大值为722500， ∴当时，的积最大． 【点睛】本题考二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出二次函数解析式． 一、单选题 1．（23-24九年级上·重庆石柱·阶段练习）抛物线的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键．把点的坐标代入判断即可． 【详解】解：A、时，，故选项A不合题意； B、时，，故选项B符合题意； C、时，，故选项C不合题意； D、时，，故选项D不合题意； 故选：B． 2．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题，写出相应的顶点坐标． 根据题目中的抛物线，可以直接写出顶点坐标，本题得以解决． 【详解】解：抛物线， 该抛物线的顶点坐标为， 故选：A． 3．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）已知函数的图象上有，，三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，当开口向上时，距离对称轴越近，函数值越小；当开口向下时，距离对称轴越近，函数值越大，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．先找到对称轴和开口方向，根据点到对称轴的距离比较函数值的大小即可． 【详解】解：∵函数， ∴图象开口向下，对称轴为直线， ∴图象上的点距离对称轴越近，函数值越大， ，，， ∵， ∴， 故选：C． 4．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线， 该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵，，， 而，，， ∴点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∴； 故选：D． 5．（2024·安徽宿州·二模）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，能根据所给函数表达式得出开口向下、对称轴、顶点坐标和增减性是解题的关键． 根据二次函数的表达式，可得出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及增减性，据此可解决问题． 【详解】解：A、因为二次函数的表达式为，所以抛物线的开口向上．故此选项说法正确，不符合题意； B、抛物线的对称轴是直线，故此选项说法正确，不符合题意； C、因为抛物线的顶点坐标为，故此选项说法正确，不符合题意； D、因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上，所以当时，随的增大而减小，故此选项说法不正确，符合题意； 故选：D． 6．（2024·广东东莞·二模）二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了顶点式顶点坐标为，根据顶点式的坐标特点写出顶点坐标即可，熟练掌握顶点式的性质是解答本题的关键． 【详解】解：的顶点坐标为， 故选：． 二、填空题 7．（23-24九年级上·福建厦门·期中）抛物线的顶点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式的顶点坐标为，即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 8．（23-24九年级上·重庆开州·阶段练习）已知抛物线上有两点、，则 （填“＜”或“＞”）． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的图像与性质，根据方程得到开口方向和对称轴，然后根据随值的增大而增大得到结果，掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 【详解】解：根据抛物线，可得开口向上，对称轴为， 当时，随值的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 9．（21-22九年级上·广东中山·阶段练习）将抛物线沿轴翻折后对应的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换的性质，解题的关键是掌握关于轴对称的点的坐标特征．由抛物线的顶点坐标是，可得沿轴翻折后的顶点坐标是，即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是，则沿轴翻折后顶点坐标是，开口向下， 新抛物线解析式是：， 故答案是：． 10．（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限，以为顶点的抛物线经过原点，与轴负半轴交于点，点在抛物线上，且位于点、之间（不与、重合）.若四边形的周长为14，的周长大于8，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质可知，，，由题意得出，，等量代换求出，然后结合点A在第二象限可得答案． 【详解】解：∵以A为顶点的抛物线经过原点， ∴，， ∵点B在x轴负半轴， ∴， 由题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A在第二象限， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（2024·江苏扬州·二模）如图，已知，，，抛物线过点C，顶点M位于第二象限且在线段的垂直平分线上，若该抛物线与线段没有公共点，则k的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及线段垂直平分线的性质．由点、的坐标结合抛物线的顶点位于第一象限且在线段的垂直平分线上，即可得出值以及，分点在线段下方及点在线段上方两种情况考虑抛物线与线段无公共点，当点在线段下方时，根据点的坐标即可得出；当点在线段上方时，由抛物线过点及当时值大于3，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出，进而得解． 【详解】解：抛物线的顶点位于第二象限且在线段的垂直平分线上，且点，， ，． 抛物线与线段无公共点分两种情况： ①当点在线段下方时， 点的坐标为， ． ②当点在线段上方时， 有， 解得：． 综上所述：的取值范围为或． 故答案为：或． 12．（2024九年级下·江苏·专题练习）已知二次函数（h是常数），且自变量取值范围是． （1）当时，函数的最大值是 ； （2）若函数的最大值为，则h的值是 ． 【答案】 0 6或1/1或6 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质； （1）根据顶点式可直接得出答案； （2）根据函数的最大值为分情况讨论：若，则当时，y最大；若，则当时，y最大；若，则最大值为0，与题意不符；根据最大值为分别求解即可． 【详解】解：（1）当时，二次函数为， ∴当时，函数有最大值为0， 故答案为：0； （2）∵二次函数（h是常数），当自变量x满足时，其对应函数y的最大值为， ∴若，则当时，y最大，即， 解得（舍去），； 若，则当时，y最大，即， 解得，（舍去）； 若，则最大值为0，与题意不符； 综上，h的值是6或1． 故答案为：6或1． 三、解答题 13．如图，抛物线y=2（x-2）2与平行于x轴的直线交于点A，B，抛物线顶点为C，△ABC为等边三角形，求S△ABC; 【答案】 【分析】过B作BP⊥x轴交于点P，连接AC，BC，由抛物线y=得C（2，0）， 于是得到对称轴为直线x=2，设B（m，n），根据△ABC是等边三角形，得到BC=AB=2m-4，∠BCP=∠ABC=60°，求出PB=PC=（m-2），由于PB=n=，于是得到 （m-2）=，解方程得到m的值，然后根据三角形的面积公式即可得到结果． 【详解】解：过B作BP⊥x轴交于点P，连接AC，BC， 由抛物线y=得C（2，0）， ∴对称轴为直线x=2， 设B（m，n）， ∴CP=m-2， ∵AB∥x轴， ∴AB=2m-4， ∵△ABC是等边三角形， ∴BC=AB=2m-4，∠BCP=∠ABC=60°， ∴PB=PC=（m-2）， ∵PB=n=， ∴（m-2）=， 解得m=，m=2（不合题意，舍去）， ∴AB=，BP=， ∴S△ABC=． 【点睛】本题考查二次函数的性质. 14．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）已知点是抛物线上的点，且点在第一象限内，求的值． 【答案】2 【分析】本题考查了抛物线与点的关系，代入解析式计算，结合第一象限的条件取舍即可． 【详解】∵点是抛物线上的点， ∴， 解得或 ∵点在第一象限内， ∴． 15．（2024·江苏南京·二模）二次函数的图像过点，． (1)的值为______； (2)若，是该函数图像上的两点，当，时，试说明：； (3)若关于的方程有一个正根和一个负根，直接写出的取值范围． 【答案】(1)1； (2)见解析； (3)或． 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系； （1）由图像过点，得，即可求解； （2）可得，由到对称轴距离越小的点，纵坐标越大，即可求解； （3）由根的判别式和根于系数的关系得，，即可求解； 掌握二次函数的性质及一元二次方程根的判别式“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程有无的实数根．”及根与系数的关系： 是解题的关键． 【详解】（1）解：图像过点，， ； 故答案：； （2）解：由（1）得 ， ， ， ， 到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ， 到对称轴距离越小的点，纵坐标越大， ； （3）解：由（1）得 ， 整理得：， 方程有一个正根和一个负根，即方程有两个不相等的实数根， ， 令，画出图象如图所示： 由图象得：或， ∵方程有一个正根和一个负根， ∴， 则有 同理由图象求得， 或， 综上：a的取值范围为：或． 16．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）已知抛物线． (1)求该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标； (2)当为何值时，随的增大而减小，当为何值时，随的增大而增大？ 【答案】(1)该抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 (2)当时，随的增大而减小，当时， 随的增大而增大 【分析】（1）根据抛物线中二次项系数即可判断出抛物线的开口方向，根据对称轴方程及顶点坐标式即可得出其顶点坐标； （2）由（1）中抛物线的对称轴方程及开口方向即可判断出y随x的随的增大而减小和增大而增大时x的值； 【详解】（1）解：∵，， ∴该抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． （2）∵抛物线的开口向下， ∴当时，随的增大而减小，当时， 随的增大而增大． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的图象与系数的关系、抛物线的顶点坐标、对称轴方程及函数的增减性是解答此题的关键 17．（23-24九年级上·广东江门·阶段练习）已知关于的方程， (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)若方程两根，满足，求的值； (3)在问题（2）成立的前提下，写出函数的增减性． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）要证明方程有两个不相等的实数根，即证明即可． （2）利用根与系数的关系求解即可； （3）根据（2）中m值，判断出开口方向，结合对称轴分析即可． 【详解】（1）解：∵， ∴所以方程有两个不相等的实数根； （2）∵， ∴； （3）∵， ∴， ∵， ∴函数开口向上，而对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，二次函数的增减性．要熟练掌握根的判别式以及根与系数的关系的应用方法． 18．（23-24九年级上·天津静海·阶段练习）已知抛物线． (1)写出这个二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴； (2)判断点是否在此抛物线上； (3)求出此抛物线上纵坐标为的点的坐标． 【答案】(1)开口方向向下，顶点坐标为，对称轴为直线 (2)不在此抛物线上 (3)或 【分析】（1）根据解析式是顶点式直接写出开口方向、顶点坐标、对称轴即可． （2）把点代入解析式，即可判断； （3）把代入解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴二次函数图象的开口方向向下，顶点坐标为，对称轴为直线． （2）解：把代入，得 ∴点不在此抛物线上； （3）解：把代入，得 ， 解得：，， ∴抛物线上纵坐标为的点的坐标或． 【点睛】本题考查二次函数的图象性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握二次函数的图象性质，函数解析式与图象上的点之间的关系：点在图象上，则点的坐标满足函数解析式；反之，不在函数图象上则点的坐标不满足函数解析式． 19．（23-24九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，直线与轴、轴分别交于点、．抛物线经过、，并与轴交于另一点，其顶点为， (1)求，的值； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求的周长；若不存在，请说明理由； (3)抛物线的对称轴是上是否存在一点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，的周长最小为 (3)或 【分析】（1）根据直线与轴、轴分别交于点、，进行计算得，，根据抛物线经过点、得，计算求出，的值即可； （2）由、关于对称轴对称，连接交对称轴于点，连接，，根据两点之间线段最短，即为使的周长最小的点，计算、，求出的最小周长即可； （3）设，根据，，得，，，当是以为斜边的直角三角形时，由勾股定理得，，代入计算即可得出点的坐标． 【详解】（1）∵直线与轴、轴分别交于点、， ∴， ，解得：， ∴，． ∵抛物线经过、， ∴把，代入抛物线，得：， 解得：； （2）∵抛物线， ∴对称轴为， ∴， ∴． 如下图，连接交对称轴于点，连接， ∵、两点关于对称轴对称， ∴， ∴． ∵两点之间线段最短， ∴最小， ∴周长最小， ∵，， ∴设直线解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线解析式为，当时，， ∴； ∴存在满足条件的点，此时，且， ∴的周长最小为； （3）设， ∵，， ∴， ， ， 当是以为斜边的直角三角形时，由勾股定理得：， ， ， ， ， ，， ∴或． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、勾股定理、最短路径问题，熟练掌握勾股定理和二次函数的性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$