福建省厦门市湖里区2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试卷

第 1 页 共 5 页 准考证号：_______________ 姓名：_______________ （在此卷上答题无效） 2023-2024 学年下学期八年级数学期末练习卷 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．核对答题卡上粘贴的 条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5毫米黑色签字笔在答题 卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．可以直接使用 2B铅笔作图． 一、选择题（本大题有 8小题，每小题 4分，共 32分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个 选项正确） 1．要使二次根式 x－3有意义，x的值可以是 A．3 B．2 C．1 D．0 2．一次函数 y＝x－2的图象与 y轴的交点坐标为 A．（2，0） B．（0，2） C．（－2，0） D．（0，－2） 3．下列式子计算结果正确的是 A． 2× 2＝4 B． 6÷ 3＝ 2 C． 2＋ 3＝ 5 D．3 2－ 2＝3 4．生活中的衣架可以近似看成一个等腰△ABC，如图 1所示，其中 AB＝AC， BC＝40 cm，∠ABC＝30°，则高 AD的长度为 A．10 cm B．10 3 cm C．20 3 3 cm D．20 3 cm 5．某公司员工月收入如下表所示． 若月收入 2500元和 3000元的员工均加薪 1000元，下列各统计量的值不会发生变化的是 A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 6．在平面直角坐标系 xOy中，点 P（m，2m＋1）的纵坐标随横坐标变化的函数解析式是 A．y＝x＋1 B．y＝2x C．y＝2x＋1 D．y＝1 2 x－1 7．在菱形 ABCD中，对角线 AC,BD交于点 O，其中 AC＜BD，过点 O的直线与边 AB，CD分 别交于 E，F．设 BE＝x，EF＝y，若 2≤y≤4，则当 y＝2时，x的值为 A． 3 B． 5 C．2 3 D．2 5 第 2 页 共 5 页 图 2 8．如图 2，在正方形 ABCD中，点 E在 BC边上，点 F在 CD的延长线上， DF＝BE．连接 AE，AF，分别过点 E，F作 EG⊥AE，FG⊥AF，连接 DE，CG，DG．要求四边形 DECG的面积，只需知道 A．△CDE的面积 B．△CDG的面积 C．△ABE的面积 D．△ADE的面积 二、填空题（本大题有 8小题，第 9题每空 2分，其余每小题 4分，共 36分） 9.计算：（1） 4＝_____；（2） (－3)2＝_____；（3） 12＝_____；（4）2－1＝_____. 10．一组数据 m，6，6，6，6，6的方差为 0，则 m的值为_________． 11．在菱形 ABCD中，若 AB＝5，∠B＝60°，则 AC的长为_________． 12．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若点 D为 AB的中点，则 CD的长为_________． 13．在平面直角坐标系 xOy中，□ABCD的顶点 A（－1，0），点 A，B关于 y轴 对称，点 D在 y轴的正半轴上．若∠C＝45°，则点 C的坐标为_________． 14．图 3是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称为“赵爽弦图”， 它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方 形.三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c．若一个直角三角形面积为 24，大正方形面积为 100，则 b－a的值为_________． 15．某校科技节上，同学们在操场进行无人机表演，其中甲、乙两架无人机离操场 地面的高度 y（单位：米）与表演时间 x（单位：秒）的图象如图 4所示．已知 表演开始时甲、乙离地的高度分别是 5米、15米，在 1分钟的表演过程中甲、 乙两架无人机的高度差不超过 5米的时间可持续_________秒． 16．如图 5，在平面直角坐标系 xOy中，□OABC 的顶点 A在 x轴正半轴上， 点 E(2m，m2－1)(m＞1)在 BC 边上，若 EA 平分∠OEB，则□OABC 的 面积为_________．（用含 m的式子表示） 三、解答题（本大题有 9小题，共 82分） 17.（本题满分 10分） （1）计算： 18－ 8＋ 2－2 ； （2）解不等式组： x＋3≤6， 2(1－x)＞4． 图 5 图 3 图 4 第 3 页 共 5 页 18.（本题满分 8分） 如图 6，四边形 ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD交 BD于点 E，CF平分∠BCD交 BD 于点 F．求证：BE＝DF． 19.（本题满分 8分） 先化简，再求值：(1－ 1 x－1 )÷ x 2－4x＋4 x－1 ，其中 x＝ 2＋2． 20.（本题满分 8分） 习近平总书记指出：“阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径，可以让人得 到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气”.某校拟安排学生利用暑假继续进行课外阅读 活动，为此学校随机抽取了本校若干名学生，调查他们去年暑假期间阅读课外书的数量情况 并绘制了扇形统计图，如图 7所示. （1）若该校共有 800名学生，估计该校学生去年暑期阅读 6本课外书的人数； （2）若学校希望今年暑假学生的平均课外阅读量与去年暑假相当，你认为今年暑假安排 每一位学生阅读多少本课外书比较合适. 图 7 图 6 第 4 页 共 5 页 图 9 21.（本题满分 8分） 如图 8，直线 l与 x，y轴分别交于点 A，B，直线 y＝－2x＋2与 x，y轴分别交于 点 C，D. （1）求直线 l的解析式； （2）若点 P（2，m）在直线 l上，求证：四边形 ACDP是平行四边形. 22.（本题满分 8分） 如图 9，在正方形 ABCD中，点 E在边 BC延长线上，DF平分∠ADE交边 BC于点 F， AG⊥DF交 CD于点 G． （1）在图中作出点 G；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）连接 AG，探究线段 CE，DE，DG之间的数量关系，并说明理由． 23.（本题满分 9分） 已知下列 4个等式： 第 1个等式：32＝2×2＋5＝4＋5； 第 2个等式：52＝2×6＋13＝12＋13； 第 3个等式：72＝2×12＋25＝24＋25； 第 4个等式：92＝2×20＋41＝40＋41； （1）观察上述等式，请写出第 5个等式； （2）写出第 n个等式，并证明； （3）我们还发现：第 1个等式中 32可以写成 32＝52－42，第 2个等式中 52可以写成 52＝132－122，…，依此类推．形如“3，4，5”或“5，12，13”这样能够成为 直角三角形三条边的三个正整数称为“勾股数”，请写出其中一个数为 85的“勾股数”． 图 8 第 5 页 共 5 页 24.（本题满分 11分） 纸张在生活中必不可少，通常使用的 A3，A4，B5不同类型纸张的长和宽都有固定的尺寸， 查阅资料可知，这些类型的纸张是长与宽的比为 2:1的矩形，这样的矩形通常称为“黄金 矩形”． 如图 10，矩形 ABCD是“黄金矩形”，AB＜BC，点 E在 AB边上，将△ADE沿 DE折叠， 使点 A落在 BC边上的点 F处． （1）求证：△BEF是等腰直角三角形； （2）点 B关于直线 AF的对称点是点 G，探究 DG与 BE之间的数量关系，并说明理由． 25.（本题满分 12分） 小南同学在跨学科项目式学习活动中得知，心率 p（单位：次/分钟）与运动类型、性别、运 动时间等因素有关．为了解跑步时的心率变化情况，他在班级展开实践活动． 跑步之前，测量了班级 40名同学的心率，并绘制出如图 11所示的频数分布直方图，并通过 查阅资料得知，跑步时心率与速度之间大致符合一次函数关系．在实验过程中，通过同 学们佩戴的电子手环测得不同跑步速度 v（单位：km/h）所对应的心率，当速度为 8 km/h 时，通过计算得到这 40名同学心率的平均值为 162次/分钟． 小南查看数据时发现，从起跑至最大速度时，自己的心率随着时间 t（单位：秒）的变化 呈现均匀增大的规律，部分数据如表 1所示． （1）根据表 1数据，请求出小南起跑至最大速度时心率 p与跑步时间 t之间的函数关系式； （不要求写出自变量的取值范围） （2）已知小南在起跑 45秒后速度达到最大， ① 请估计小南跑步的最大速度； ② 达到最大速度之后，小南坚持以此最大速度跑了一段时间，又经过 1分钟将速度降 至最大速度的四分之一时停下运动.休息 15分钟后，小南的心率匀速降低至跑步前 的状态．若此次实践活动中，小南的心率在 100次/分钟以上的时间不低于 15分钟， 则他以最大速度跑步的时间至少是多少分钟？ 表 1 图 11 图 10 1 湖里区 2023-2024 学年下学期八年级期末练习卷 数学参考答案 说明：解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照评分量表的要 求相应评分. 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 A D B C A C A D 二、填空题（本大题共 6 小题，每题 4 分，共 24 分） 9.（1）2；（2）3；（3）2 3；（4） 1 2 10.6. 11. 5. 12. 5. 13. (2，1). 14. 2. 15. 20. 16.m4－1. 三、解答题（本大题有 9 小题，共 86 分） 17. （本题满分 10 分） （1）（本小题满分 5 分） 18－ 8＋ 2－2 解：原式＝3 2－2 2＋2－ 2………………3 分 ＝2 …………………………………5 分 （2）（本小题满分 5 分） 解法一：    x+3≤6，① 2(1－x)＞4.② 解：由①得 x≤6－3………………1 分 x≤3………………2 分 由②得 1－x＞2………………3 分 －x＞1 x＜－1………………4 分 所以不等式组的解集为 x＜－1………………5 分 解法二：    x+3≤6，① 2(1－x)＞4.② 解：由①得 x≤6－3 ………………1 分 2 x≤3………………2 分 由②得 2－2x＞4………………3 分 －2x＞2 x＜－1………………4 分 所以不等式组的解集为 x＜－1………………5 分 18.（本题满分 8 分） 证法一： 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠BCD ………………………3 分 ∴∠ABD＝∠BDC ………………………………4 分 又∵AE，CF 分别平分∠BAD 和∠BCD ∴∠BAE＝ 1 2 ∠BAD ∠DCF＝ 1 2 ∠BCD ∴∠BAE＝∠DCF ………………………………5 分 ∵∠ABD＝∠BDC，AB＝CD，∠BAE＝∠DCF ∴△ABE≌ △CDF ………………………………7 分 ∴BE＝DF ………………………………8 分 证法二： 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD∥BC，AD＝BC，∠BAD＝∠BCD ………………………3 分 ∴∠ADB＝∠CBF ………………………………4 分 又∵AE，CF 分别平分∠BAD 和∠BCD ∴∠BAE＝ 1 2 ∠BAD ∠DCF＝ 1 2 ∠BCD ∴∠BAE＝∠DCF ………………………………5 分 ∵∠ADB＝∠CBF，AD＝BC，∠BAE＝∠DCF ∴△ADE≌ △CBF ………………………………7 分 ∴DE＝BF ∴DE－EF＝BF－EF ∴BE＝DF………………………………8 分 19.（本题满分 8 分） 图 6 F E D CB A 3 解：(1－ 1 x－1 )÷ x 2－4x＋4 x－1 ＝( x－1 x－1 － 1 x－1 )· x－1 x 2－4x＋4 ………………2 分 ＝ x－2 x－1 · x－1 ( x－2)2 ………………5 分 ＝ 1 x－2 ………………6 分 当 a＝ 2＋2 时，原式＝ 1 2＋2－2 ………………7 分 ＝ 1 2 ＝ 2 2 ………………8 分 20.（本题满分 8 分） 解：（1）（本小题满分 4 分） 根据扇形图可知抽样中读 6 本书的占 1－35%－35%－5%＝25% 由样本估计总体可得：该校课外阅读 6 本人数有：800×25%＝200 人………………4 分 （2）（本小题满分 4 分） x ＝4×35%＋5×35%＋6×25%＋7×5%………………7 分 ＝5 答：该校学生课外阅读 6 本的人数约有 200 人. 今年暑假安排每一位学生阅读 5 本课外书比较合适.………………8 分 21.（本题满分 8 分） 解：（1）（本小题满分 4 分） 把 A(3，0)，B(0，6)分别代入 y＝kx＋b，得………………………1 分   3k＋b＝0 b＝6 ………………………2 分 解得   k=－2， b＝6. ………………………3 分 所以一次函数的解析式为 y＝－2x＋6 ………………4 分 （2）（本小题满分 4 分） ∵P 在直线 y＝－2x＋6 图象上 当 x＝2 时，y＝2 ∴P(2，2) ∵直线 y＝－2x＋2 与 x，y 轴分别交于点 C，D. C D P B A 6 5 4 3 2 1 4321O x y 4 ∴当 x＝0 时，y＝2 ∴D(0，2) 当 y＝0 时，x＝1 ∴C(1，0) ……………………5 分 ∵P(2，2)，D(0，2)， ∴yD＝yP ∴DP//AC 且 DP＝xP－xD＝2，……………………7 分 ∵A(3，0)，C(1，0) ∴AC＝2 ∴DP＝AC ∵DP＝AC，DP//AC ∴四边形 ACDP 是平行四边形 ……………………8 分 22.（本题满分 8 分） （1）（本小题满分 4 分） 如图点 G 即为所求……………………3 分 法一：截 DG＝CF 法二：作 AG⊥DF 法三：作∠DAG＝∠CDF （2）（本小题满分 4 分） ∵四边形 ABCD 为正方形 ∴∠ADG＝∠DCF＝90°，AD＝CD， AD∥BC，……………………5 分 ∴∠ADF＋∠CDF＝90°， ∵AG⊥DF， ∴∠AHD＝90°， ∴∠ADF＋∠DAG＝90°， ∴∠DAG＝∠CDF ∵∠ADG＝∠DCF，AD＝CD，∠DAG＝∠CDF， ∴△ADG≌△DCF，……………………6 分 ∴DG＝CF， ∵DF 平分∠ADE， ∴∠ADF＝∠EDF， ∵AD∥BC， A B C D EF GH G F E D CB A G A B C D EF M N P G A B C D EF M N P Q 5 ∴∠ADF＝∠EFD， ∴∠EDF＝∠EFD， ∴EF＝DE， ………………………………7 分 ∵EF＝CE＋CF，DG＝CF，EF＝DE， ∴DE＝CE＋DG………………………………8 分 23.（本题满分 9 分） （1）（本小题满分 3 分） 11 2＝2×30＋61＝60＋61……………………3 分 （2）（本小题满分 3 分） 第 n 个等式： (2n＋1)2＝2n(n＋1)＋(2n2＋2n＋1)＝(2n2＋2n)＋(2n2＋2n＋1) ……………………5 分 证明：左边＝4n2＋4n＋1＝(2n2＋2n)＋(2n2＋2n＋1)＝右边……………………6 分 ∴ (2n＋1)2＝2n(n＋1)＋(2n2＋2n＋1)＝(2n2＋2n)＋(2n2＋2n＋1) （3）（本小题满分 3 分） 勾股数：13，84，85……………………7 分 或 85，3612，3613. ……………………9 分 24.（本题满分 11 分） （1）（本小题满分 5 分） ∵矩形 ABCD 为黄金矩形，且 AB＜BC ∴∠B＝∠C＝∠EAD＝90°………………1 分 AD＝BC＝ 2AB＝ 2CD ………………2 分 ∵将△ADE 沿 DE 折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处 ∴△ ADE≌△ FDE ∴ AD＝DF＝ 2CD，∠EAD＝∠EFD＝90° ………………3 分 在 Rt△ CDF 中，∠C＝90° ∴FC＝ FD2－CD2＝CD ………………4 分 ∴∠EFB＝180°－∠EFD－∠CFD＝45° ∴∠BEF＝90°－∠EFB＝45° ∴∠BEF＝∠EFB ∴BE＝BF ∵∠B＝90°，BE＝BF ∴△BEF 是等腰直角三角形.………………5 分 （2）（本小题满分 6 分） 图 10 F E D CB A H G F E D CB A 6 解法一： ∵点 B 关于直线 AF 的对称点是点 G ∴AF 垂直平分 BG ∴AG＝AB，BF＝FG， 又∵AF＝AF ∴△ ABF≌△ AGF ∴∠B＝∠AGF＝90°，∠BAF＝∠FAG，………………………7 分 延长 FG 交 AD（或 AD 的延长线）于点 H. 则∠AGH＝180°－∠AGF ＝90° ∵AE＝EF， ∴∠BAF＝∠AFE ∵∠BEF＝∠BAF＋∠AFE＝2∠BAF ∴∠BAF＝ 1 2 ∠BEF＝22.5° ∴∠BAF＝∠FAG＝22.5° ∴∠BAG＝∠BAF＋∠FAG＝45° ∴∠HAG＝∠DAB－∠BAG＝45° ∴∠AHG＝90°－∠HAG＝45° ∴∠AHG＝∠HAG ∴AG＝HG ∴AG＝HG＝AB 在 Rt△AGH 中，∠AGH＝90° 则 AH＝ AG2＋HG2＝ AB2＋AB2＝ 2AB ∵ AD＝ 2AB ∴AH＝AD ∴F，G，D 三点共线………………9 分 ∴AG＝DG＝AB ∵在 Rt△BEF 中，∠B＝90°，BE＝BF ∴EF＝ BE2＋BF2＝ 2BE ∵AE＝EF＝ 2BE ∴AB＝AE＋BE＝(1＋ 2)BE ∴DG＝(1＋ 2)BE ……………………………………11 分 解法二： 过点 A 作 AM⊥DF 于点 M，连接 BM 交 AF 于点 P. ∵AM⊥DF ∴∠AMF＝∠AMD＝90°， G F E D CB A P （M）G F E D CB A ∴∠ABF＝67.5° ∠DAF＝67.5° ∴∠FAG=∠ABF＝67.5° 由（1）得 AD＝DF ∴∠AFD＝∠DAF＝67.5° ∴∠FAG＝∠AFD 或 7 在矩形 ABCD 中，AD//BC ∴∠ADF＝∠DFC＝45° ∴∠DAM＝90°－∠ADF＝45° ∴∠DAM＝∠ADF ∴AM＝DM ∵在 Rt△ADM 中，∠AMD＝90°， ∴AD＝ AM2＋DM2＝ 2AM ∵AD＝ 2AB ∴AM＝AB ……………………………………7 分 ∵在矩形 ABCD 中，∠BAD＝90° ∴∠BAG＝∠BAD－∠DAM＝90°－45°＝45° ∵AE＝EF， ∴∠BAF＝∠AFE ∵∠BEF＝∠BAF＋∠AFE＝2∠BAF ∴∠BAF＝ 1 2 ∠BEF＝22.5° ∴∠BAF＝ 1 2 ∠BAG ∴AF 平分∠BAG ∵AM＝AB，AF 平分∠BAG ∴AP⊥BM，BP＝PM ∴点 B 与点 M 关于直线 AF 对称 ∴点 M 与点 G 重合……………………………………9 分 ∴AG＝AB＝DG ∵在 Rt△BEF 中，∠B＝90°，BE＝BF ∴EF＝ BE2＋BF2＝ 2BE ∵AE＝EF＝ 2BE ∴AB＝AE＋BE＝(1＋ 2)BE ∴DG＝(1＋ 2)BE ………………11 分 25．（本题满分 12 分） 解：（1）（本小题满分 4 分） 设 p＝k1t＋b1 （k1≠0） ………………1 分 ∵（0,80），（10,100）在 P＝k1t＋b1 上 ∴代入得：   b1＝80 10k1＋b1＝100 ………………3 分 ∵矩形 ABCD 中 ∴∠ABC＝90°， ∵AB=AM，AF=AF ∴Rt△ ABF≌Rt△ AMF ∴BF=FG ∴AF 垂直平分 BM 或 8 解得：   b1＝80 k1＝2 ∴p＝2t＋80 ………………4 分 （2）①（本小题满分 4 分） 依题意得： p跑前 ＝ 6×65＋10×75＋14×85＋10×95 40 ＝82 ………………………………6 分 设 p＝k2v＋b2 ∵（0,82），（8,162）在 p＝k2v＋b2 上 ∴代入得：    b2＝82 8k2＋b2＝162 解得：    b2＝82 k1＝10 ∴p＝10v＋82 ………………………………………………7 分 ∴当 t＝45，p＝2t＋80 时，p＝170 ∴当 p＝170，p＝10v＋82 时，170＝10v＋82 ∴v＝8.8 ………………………………………………8 分 答：最大速度 8.8 千米/小时. （2）②（本小题满分 4 分） 解法一：当 p＞100，p＝2t＋80 时，2t＋80＞100 ∴t＞10（s） 又∵t≤45 ∴从起跑至速度达到最大这段时间内，小南的心率保持在 100 次/分钟以上的时长为： t＝45－10＝35（s）＝ 7 12 （min）………………………………………………9 分 当 v＝8.8× 1 4 ＝2.2， 将 v＝2.2 代入 p＝10v＋82，得 p＝104＞100 ………………………………………………10 分 即停下时，p＞100 由“休息 15 分钟后，小南的心率匀速降低至跑步前的状态”可知，休息时段心率 p 与休息时间 t 是一次函数关系，设休息时段：p＝k3t＋b3 ∵（0,104），（15,80）在 p＝k3t＋b3上 ∴代入得：    b3＝104 15k＋b3＝80 解得：    b3＝104 k3＝－ 8 5 ∴p＝－ 8 5 t＋104 9 当 p＞100，p＝－ 8 5 t＋104 时，－ 8 5 t＋104＞100 ∴t＜ 5 2 由于休息时，心率匀速降低， 因此在休息这段时间小南的心率保持在 100 次/分钟以上的时长为 5 2 min，…………………11 分 设最大速度跑步的时间为 a min 则 p＞100 的时段：t＝ 7 12 ＋a＋1＋ 5 2 ≥15 ∴a≥ 131 12 （min） ∴最大速度跑步的时间至少为 131 12 min. ………………………………12 分 解法二：根据题意画出函数图象得： 当起跑到最大速度阶段：当 p＝2t＋80=100 时，t=10 秒= 1 6 分钟 设小南以最大速度跑了 a 分钟，则他在第（ 3 4 ＋a＋1）分钟开始休息，休息时： 将 v＝8.8× 1 4 ＝2.2 代入 p＝10v＋82，得 p＝104 ………………………9 分 由“休息 15 分钟后，小南的心率匀速降低至跑步前的状态”可知，休息时段心率 p 与时间 t 是一次函数关系，设休息时段：p＝k3t＋b3 ∵（ 3 4 ＋a＋1,104），（ 3 4 ＋a＋1＋15,80）在 p＝k3t＋b3上 ∴   ( 3 4 ＋a＋1)k3＋b3＝104 ( 3 4 ＋a＋1＋15)k3＋b3＝80 解得   k3＝－ 8 5 b3＝ 8 5 a＋104＋ 14 5 ∴当 3 4 ＋a＋1≤t≤ 3 4 ＋a＋1＋15 时，p＝－ 8 5 t＋ 8 5 a＋104＋ 14 5 ， ………………………10 分 100 80 a+ 3 4 +1+15a+ 3 4 +1a+ 3 4 3 4 1 6 t（单位：分钟） p（单位：次/分钟） 0 10 令－ 8 5 t＋ 8 5 a＋104＋ 14 5 ＝100 得 t＝a＋ 17 4 ， ∴小南心率在 100 次/分钟以上的总时长为(a＋ 17 4 － 1 6 ).………………………11 分 依题意得，a＋ 17 4 － 1 6 ≥15， 解得 a≥ 131 12 . ∴最大速度跑步的时间至少为 131 12 min. ………………………………12 分