第07讲 圆的对称性 （3个知识点+3种经典题型+试题练习）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第07讲 圆的对称性 （3个知识点+3种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 【例1】（2024•沭阳县校级二模）如图，已知为的直径，于点，于点．若过圆心，．则四边形的面积为　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•滨海县校级模拟）如图所示，在中，直径，弦于点，连接．若，则的长为 　　． 【变式2】（2023秋•沭阳县月考）如图，的半径为4，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最大值为　　 A．13 B．14 C．12 D．28 【变式3】（2023秋•建湖县校级月考）如图，是的弦，、为直线上两点，，求证：． 知识点2．垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 【例2】（2024•秦淮区校级三模）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中，“圆”有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图1是某园林中的圆弧形门洞，其数学模型如图2所示，该圆弧形门洞的半径为1.3米，为圆上一点，，于点，且米，则门洞的跨径的长为　　 A．0.5米 B．1米 C．1.2米 D．1.3米 【变式1】（2022•钟楼区校级模拟）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径长为3米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是　　 A．1米 B．2米 C．米 D．米 【变式2】（2024•惠山区校级一模）“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”．问题翻译为：如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来测得深度为1寸，锯长为10寸，则圆材的半径为 　　寸． 【变式3】（2023秋•如皋市期末）根据素材解决问题： 设计货船通过圆形拱桥的方案 素材1 图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽，拱顶离水面的距离． 素材2 如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，货船的载重量每增加1吨，则船身下降．． 问题解决 任务1 确定桥拱半径 （1）求圆形桥拱的半径； 任务2 拟定设计方案 （2）根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？ 知识点3．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 【例3】（2023秋•如皋市期末）计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图： 当任务完成的百分比为时，线段的长度记为．下列描述中一定正确的是　　 A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【变式1】（2024•南京模拟）如图，在半径为3的中，是直径，是弦，是的中点，与交于点．若是的中点，则的长是 　　． 【变式2】（2024•南京三模）如图，圆的两条弦、相交于点，、的度数分别为、，的度数为，则、和之间的数量关系为　　． 【变式3】（2023秋•亭湖区校级月考）如图，是的直径，是的中点，于点，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径及的长． 经典题型汇编 题型一．垂径定理 1．（2023秋•邗江区校级期末）如图，的直径，在内，且，则过点所有弦中，最短弦为　　 A．4 B．6 C．8 D．10 2．（2023秋•崇川区校级月考）某施工队在修建高铁时，需修建隧道，如图是高铁隧道的横截面，若它的形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径的长为 　　． 3．（2023秋•崇川区校级月考）如图，在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于、两点，若，． （1）求的长； （2）若大圆半径为，求小圆的半径． 题型二．垂径定理的应用 4．（2024•沛县校级二模）图①是一个球形烧瓶，图②是从正面看这个球形烧杯下半部分的示意图，已知的半径，液体的最大深度，则的弦长为　　 A． B． C． D． 5．（2024•鼓楼区校级二模）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，为的直径，弦，垂足为，寸，寸，则直径的长度为 　　寸． 6．（2023秋•淮安区期中）某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为，拱顶高出水面（即，， （1）求出该圆弧形拱桥所在圆的半径； （2）现有一艘宽，船舱高出水面的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座桥吗？ 题型三．圆心角、弧、弦的关系 7．（2021秋•六合区期中）下列说法中，正确的是　　 A．同心圆的周长相等 B．面积相等的圆是等圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弧的弦一定经过圆心 8．（2023•高新区二模）传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似地看作扇环，其中长度为米，长度为米，圆心角，则裙长为 　　． 9．（2023秋•沭阳县月考）如图，、、、是上四点，且，求证：． 试题练习 一、单选题 1．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）下列说法正确的个数有（    ） ①半圆是弧；②面积相等的两个圆是等圆；③所对的弦长相等的两条弧是等弧；④等弧所对的圆心角相等；⑤如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图所示，在中，，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论一定正确的个数有（　　） ①CE=DE；②BE=OE；③；④∠CAB=∠DAB． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（21-22九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图所示，一圆弧过方格的格点，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在⊙O中，点C在弦上，，则圆心O到的距离是（  ） A．2 B． C． D． 6．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）是中的两条弦，若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 7．（22-23九年级上·江苏淮安·阶段练习）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.6米，最深处水深0.1米，则此输水管道的半径是（　　）米 A．1 B．0.8 C．0.6 D．0.5 8．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，动弦与直径相交于点E 且总有 ，则 的值（    ）    A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小 C．随着的增大先增大后减小 D．保持不变 9．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，的直径是的弦，，垂足为，则的长为（  　）    A．8 B．12 C．16 D． 10．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，C，N的坐标分别为，，，以点C为圆心，3为半径画，点P在上运动，连接，交于点Q，点M为线段的中点，连接，则线段的最小值为（    ） A．7 B．10 C． D． 二、填空题 11．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）设AB、CD是⊙O的两条弦，ABCD．若⊙O的半径为13，AB=24，CD=10，则AB与CD之间的距离为 ． 12．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，点B，C在上，D为的中点，直径交于点E，，，则的长为 ． 13．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，的半径是8，是的直径，M为上一动点，，则的最小值为 ． 14．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知为内一点，，如果的半径是，那么过点的最短弦长是 ． 15．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，点是的中点，在同侧分别以为直径作半半．直线，与两个半圆依次相交于不同的四点．若，，则与之间的函数表达式为 ． 16．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，如图，锯口深寸，锯道长尺（1尺=10寸）．问这根圆形木材直径是 寸． 17．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，弦的长度是弦长度的两倍，连接，，，，则 ．（填“”“”或“”） 18．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作九章算术中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”这段话的意思是：如图，现有圆形木材，埋在墙壁里，不知木材大小，用锯子将它锯下来，深度为寸，锯长为尺寸，问圆材直径几寸？则该问题中圆的直径为 寸． 三、解答题 19．（23-24九年级上·江苏南京·期末）在四边形中，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法，写出必要的文字说明）．    (1)如图①，连接，在边上作点，使得； (2)如图②，在边上作点N，使得． 20．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）在中，和是弦，且，请用无刻度直尺完成下列作图． (1)如图①，在上找一点P，使点P到、所在直线的距离相等； (2)如图②，E是上一点，且，，在上找一点Q，使点到、所在直线的距离之比为． 21．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是的弦，半径，垂足为，交延长线于点． (1)求证：是的中点； (2)若，，求的半径． 22．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）“圆”是中国文化的一个重要精神符号，中式圆的含蓄和韵味，被设计师一一运用在了园林设计中，带来了浓浓的的古典风情．如图1，是某园林的一个圆形拱门，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味，图2是其示意图．已知拱门圆的半径为，拱门下端为． (1)在图2中画出拱门圆的圆心O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若拱门最高点为点D，求点D到地面的距离． 23．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系．    (1)过，，三点的圆的圆心坐标为（______，______）； (2)请通过计算判断点与的位置关系． 24．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，是的外接圆，过点O作的垂线，垂足为D，分别交的延长线，于点E，F；，的延长线交于点G． (1)求证 (2)若求的度数． 25．（20-21九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知AB、CD是⊙O的两条平行弦，AB=8，CD=6，弦AB、CD之间的距离为7． （1）求证：弧AD=弧BC． （2）求图中阴影部分的面积． 26．（2023九年级上·江苏·专题练习）不过圆心的直线交于、两点，是的直径，于，于．    (1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形； (2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论除外不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)； (3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 圆的对称性 （3个知识点+3种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 【例1】（2024•沭阳县校级二模）如图，已知为的直径，于点，于点．若过圆心，．则四边形的面积为　　 A． B． C． D． 【分析】根据垂径定理求出，，，求出，求出，求出，解直角三角形求出和，求出、、，根据三角形的面积公式求出即可． 【解答】解：如图，连接， 为直径，， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， 同理，， ，，、过， 由垂径定理得：，， 四边形的面积． 故选：． 【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形等知识点，能够综合运用定理进行推理是解此题的关键． 【变式1】（2024•滨海县校级模拟）如图所示，在中，直径，弦于点，连接．若，则的长为 　8　． 【分析】根据勾股定理求出，根据垂径定理即可得到答案． 【解答】解：， ， ， ，， ． 故答案为：8． 【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 【变式2】（2023秋•沭阳县月考）如图，的半径为4，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最大值为　　 A．13 B．14 C．12 D．28 【分析】由中知要使取得最大值，则需取得最大值，连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，据此求解可得． 【解答】解：连接， ， ， 点、点关于原点对称， ， ， 若要使取得最大值，则需取得最大值， 连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值， 过点作轴于点， 则、， ， 又， ， ； 故选：． 【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最小值时点的位置是解题的关键． 【变式3】（2023秋•建湖县校级月考）如图，是的弦，、为直线上两点，，求证：． 【分析】作于，根据垂径定理得到，而，由等腰三角形三线合一的性质得平分，然后即可证得． 【解答】证明：作于，如图， 则， ，， ， ， 即． 【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰三角形三线合一的性质． 知识点2．垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 【例2】（2024•秦淮区校级三模）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中，“圆”有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图1是某园林中的圆弧形门洞，其数学模型如图2所示，该圆弧形门洞的半径为1.3米，为圆上一点，，于点，且米，则门洞的跨径的长为　　 A．0.5米 B．1米 C．1.2米 D．1.3米 【分析】根据即可求解． 【解答】解：由题意得：米，米， 米， ， （米， 米， 故选：． 【点评】本题考查垂径定理的应用，熟记垂径定理是解题的关键． 【变式1】（2022•钟楼区校级模拟）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径长为3米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是　　 A．1米 B．2米 C．米 D．米 【分析】连接，交于，由垂径定理得（米，再由勾股定理得（米，然后求出的长即可． 【解答】解：连接，交于， 由题意得：米，， （米，， （米， 米， 即点到弦所在直线的距离是米， 故选：． 【点评】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 【变式2】（2024•惠山区校级一模）“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”．问题翻译为：如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来测得深度为1寸，锯长为10寸，则圆材的半径为 　13　寸． 【分析】设圆材的圆心为，延长，交于点，连接，由题意知过点，且，，设圆形木材半径为，可知寸，寸，根据列方程求解可得． 【解答】解：设圆材的圆心为，延长，交于点，连接，如图所示： 由题意知：过点，且， 则， 设圆形木材半径为寸， 则寸，寸， ， ， 解得：， 的半径为13寸， 故答案为：13． 【点评】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 【变式3】（2023秋•如皋市期末）根据素材解决问题： 设计货船通过圆形拱桥的方案 素材1 图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽，拱顶离水面的距离． 素材2 如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，货船的载重量每增加1吨，则船身下降．． 问题解决 任务1 确定桥拱半径 （1）求圆形桥拱的半径； 任务2 拟定设计方案 （2）根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？ 【分析】任务1，设圆心为点，则点在延长线上，延长，则经过点，连结，设桥拱的半径为 ，则，由勾股定理，垂径定理，列出关于半径的方程，即可解决问题； 任务2，由勾股定理得到货船不能通过圆形桥拱，通过计算，即可得到需要增加的货物的吨数． 【解答】解：任务1，设圆心为点，则点在延长线上，延长，则经过点，连结，如图， 设桥拱的半径为 ，则， ， ， ， ， ， 圆形拱桥的半径为； 任务2，根据图3状态，货船通过圆形桥拱，至少要增加10吨的货物才能通过．理由： 当是的弦时，与的交点为，连接，，如图， 四边形为矩形， ， ， ． ， ， ， ， 根据图3状态，货船不能通过圆形桥拱， 货船的载重量每增加1吨，则船身下降． 船在水面部分可以下降的高度（吨， 至少要增加10吨的货物才能通过． 【点评】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 知识点3．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 【例3】（2023秋•如皋市期末）计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图： 当任务完成的百分比为时，线段的长度记为．下列描述中一定正确的是　　 A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【分析】根据弧，弦和圆心角的关系，利用图象判断即可． 【解答】解：、当时，与可能相等，可能不等，本选项不符合题意． 、当时，或，本选项不符合题意． 、当时，本选项不符合题意． 、当时，，本选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式1】（2024•南京模拟）如图，在半径为3的中，是直径，是弦，是的中点，与交于点．若是的中点，则的长是 　　． 【分析】连接，交于，根据垂径定理的推论得出，，进而证得，根据三角形中位线定理求得，从而求得，利用勾股定理即可求得． 【解答】解：如图，连接，交于， 是的中点， ，， ， ，， ， 是直径， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查垂径定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质和垂径定理及其推论是解题的关键． 【变式2】（2024•南京三模）如图，圆的两条弦、相交于点，、的度数分别为、，的度数为，则、和之间的数量关系为　　． 【分析】连接．求出，，再利用三角形的外角的性质求即可． 【解答】解：连接． ，， 又， ， 故答案为． 【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形的外角等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题． 【变式3】（2023秋•亭湖区校级月考）如图，是的直径，是的中点，于点，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径及的长． 【分析】（1）要证明，可以证明；是的直径，则，又知，则，则，，则； （2）在直角三角形中，，又知，，所以可以求得的长，即可求得圆的半径；再利用面积法求得的长． 【解答】（1）证明：是的直径， ， ． ， ， ， ． 又是的中点， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 的半径为5， ， ． 【点评】此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及角平分线的性质等知识．此题综合性很强，难度适中，注意数形结合思想与方程思想的应用． 经典题型汇编 题型一．垂径定理 1．（2023秋•邗江区校级期末）如图，的直径，在内，且，则过点所有弦中，最短弦为　　 A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，即可求出答案． 【解答】解：， 在中，， ，过， ， 即最短弦是6， 故选：． 【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解此题的关键是求出长和得出． 2．（2023秋•崇川区校级月考）某施工队在修建高铁时，需修建隧道，如图是高铁隧道的横截面，若它的形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径的长为 　13　． 【分析】根据垂径定理可得，用半径表示出，再根据勾股定理即可得到答案． 【解答】解：且经过点， ， ， ， 在中根据勾股定理可得， ， 解得． 故答案为：13． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理，勾股定理是关键． 3．（2023秋•崇川区校级月考）如图，在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于、两点，若，． （1）求的长； （2）若大圆半径为，求小圆的半径． 【分析】（1）根据垂径定理及线段的和差求解即可； （2）根据勾股定理求解即可． 【解答】解：（1）作，垂足为， 由垂径定理知，点是的中点，也是的中点， ，， ； （2）连接，， 在中，，， ， 在中，，， ． 【点评】此题考查了垂径定理、勾股定理，熟记垂径定理是解题的关键． 题型二．垂径定理的应用 4．（2024•沛县校级二模）图①是一个球形烧瓶，图②是从正面看这个球形烧杯下半部分的示意图，已知的半径，液体的最大深度，则的弦长为　　 A． B． C． D． 【分析】由垂径定理得，再由勾股定理得，即可得出结论． 【解答】解：由题意得：， ，， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ． 故的弦长为． 故选：． 【点评】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 5．（2024•鼓楼区校级二模）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，为的直径，弦，垂足为，寸，寸，则直径的长度为 　26　寸． 【分析】连接，设的半径是寸，由垂径定理得到寸，由勾股定理得到，求出，即可得到圆的直径长． 【解答】解：连接， 设的半径是寸， 直径， 寸， 寸， 寸， ， ， ， 直径的长度为寸． 故答案为：26． 【点评】本题考查垂径定理的应用，勾股定理的应用，关键是连接构造直角三角形，应用垂径定理，勾股定理列出关于圆半径的方程． 6．（2023秋•淮安区期中）某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为，拱顶高出水面（即，， （1）求出该圆弧形拱桥所在圆的半径； （2）现有一艘宽，船舱高出水面的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座桥吗？ 【分析】（1）连接，根据垂径定理得出，设，则，在中，根据勾股定理可得，列出方程求解即可； （2）易得米，构造如图所示矩形，连接，推出米，根据勾股定理可得米，求出，再与7.5米进行比较即可． 【解答】解：（1）解：连接， ，， ， 设， ， ， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， 答：该圆弧形拱桥所在圆的半径为13米． （2）解：米，， （米， 构造如图所示矩形，连接， 当时， ， ， （米， 根据勾股定理可得：（米， （米， ， 此货船不能顺利通过这座桥． 【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解得的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形求解． 题型三．圆心角、弧、弦的关系 7．（2021秋•六合区期中）下列说法中，正确的是　　 A．同心圆的周长相等 B．面积相等的圆是等圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弧的弦一定经过圆心 【分析】根据等圆，圆周角定理，垂径定理一一判断即可． 【解答】解：、错误，同心圆的周长不相等，本选项不符合题意． 、正确，本选项符合题意． 、错误，条件是同圆或等圆中，本选项不符合题意． 、错误，平分弧的弦不一定经过圆心，本选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，垂径定理，等圆等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 8．（2023•高新区二模）传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似地看作扇环，其中长度为米，长度为米，圆心角，则裙长为 　0.8米　． 【分析】由题意知，，计算求解，的值，然后根据计算求解即可． 【解答】解：由题意知，，， 解得，， （米， 故答案为：0.8米． 【点评】本题考查了扇形的弧长公式．解题的关键在于正确的计算． 9．（2023秋•沭阳县月考）如图，、、、是上四点，且，求证：． 【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可． 【解答】证明：， ， ， 即， ． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能根据定理求出是解此题的关键． 试题练习 一、单选题 1．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）下列说法正确的个数有（    ） ①半圆是弧；②面积相等的两个圆是等圆；③所对的弦长相等的两条弧是等弧；④等弧所对的圆心角相等；⑤如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了与圆有关的概念，圆心角、弧、弦的关系，根据半圆的定义判断①；根据圆的面积公式和等圆的定义判断②；根据圆心角、弧、弦的关系判断③④⑤． 【详解】解：①半圆是弧，原说法正确，符合题意； ②面积相等的两个圆是等圆，原说法正确，符合题意； ③所对的弦长相等的两条弧不一定是等弧，例如同一条弦所对的优弧和劣弧不是等弧，原说法错误，不符合题意； ④等弧所对的圆心角相等，原说法正确，符合题意； ⑤在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等，原说法错误，不符合题意； ∴说法正确的有3个， 故选C． 2．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图所示，在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同弧所对的弦相等，三角形内角和定理．先证明，然后根据三角形内角和计算的度数． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴． 故选：B． 3．（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论一定正确的个数有（　　） ①CE=DE；②BE=OE；③；④∠CAB=∠DAB． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】已知直径AB垂直于弦CD，那么可根据垂径定理来判断所给出的结论是否正确． 【详解】解：∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CD， ∴CE=DE，；故①③正确； ∴∠CAB=∠DAB；故④正确 由于没有条件能够证明BE=OE，故②不一定成立； 所以一定正确的结论是①③④； 故选：B． 【点睛】此题主要考查的是垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧，掌握垂径定理是解题的关键． 4．（21-22九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图所示，一圆弧过方格的格点，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形，连接，作线段的垂直平分线，其交点即为圆心，根据点A的坐标即可求得答案． 【详解】解：如图所示， 连接，作出的垂直平分线，其交点即为圆心． ∵点A的坐标为， ∴该圆弧所在圆的圆心坐标是． 故选：C． 5．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在⊙O中，点C在弦上，，则圆心O到的距离是（  ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，作，可得，求出即可求解． 【详解】解：作，如图所示： ∵ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ 故选：A． 6．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）是中的两条弦，若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】根据弦和弧之间关系和三角形三边关系即可求证． 【详解】解：如图，取的中点E，则． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题主要考查弦和弧之间关系和三角形三边关系，解决本题的关键是要熟练掌握弦和弧之间关系和三角形三边关系． 7．（22-23九年级上·江苏淮安·阶段练习）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.6米，最深处水深0.1米，则此输水管道的半径是（　　）米 A．1 B．0.8 C．0.6 D．0.5 【答案】D 【分析】过作，与圆交于点，与弦交于点，连接，由垂径定理得到为的中点，由的长求出的长，设圆的半径为，由表示出，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解，即可得到的值． 【详解】解：过作，与圆交于点，与弦交于点，连接， 根据题意得：米，米， ∴米， 在中，设米，则米， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 则此输水管道的半径是0.5米． 故选：D． 【点睛】此题考查了垂径定理的应用，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键． 8．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，动弦与直径相交于点E 且总有 ，则 的值（    ）    A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小 C．随着的增大先增大后减小 D．保持不变 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，以及勾股定理，作于点，连接，，则，设半径为，在直角三角形和中，利用勾股定理整理化简，是解决问题的关键． 【详解】解：作于点，连接，，则，    设半径为， ∵，则， ∴， ∴ ∴的值保持不变． 故选：D． 9．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，的直径是的弦，，垂足为，则的长为（  　）    A．8 B．12 C．16 D． 【答案】C 【分析】本题考查圆中求线段长，涉及圆的性质、垂径定理、勾股定理等知识，由垂径定理得到，在中，由勾股定理求出，即可得到答案，熟练掌握垂径定理及勾股定理求线段长是解决问题的关键． 【详解】解：的直径， ， ， ， 的直径是的弦，，连接，如图所示：    由垂径定理可得， 在中，，，则， ， 故选：C． 10．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，C，N的坐标分别为，，，以点C为圆心，3为半径画，点P在上运动，连接，交于点Q，点M为线段的中点，连接，则线段的最小值为（    ） A．7 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，掌握垂径定理，勾股定理，两点间的距离公式，直角三角形斜边上中线的性质，三点共线等知识是解决问题的关键． 连接，，由垂径定理得出，由直角三角形的性质得出，进而得出点M在以O为圆心，以3为半径的上，得出当O、M、N三点共线时，有最小值，由，求出，进而求出，即线段的最小值为7． 【详解】解：如图1，连接，， ，， ，O是的中点， 是的中点， ， ， ， ∴点M在以O为圆心，以3为半径的上， 如图2，当O、M、N三点共线时，有最小值， ， ， ， ， ∴线段的最小值为7， 故选：A． 二、填空题 11．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）设AB、CD是⊙O的两条弦，ABCD．若⊙O的半径为13，AB=24，CD=10，则AB与CD之间的距离为 ． 【答案】17或7/7或17 【分析】根据题意画出图形，由于AB、CD在圆心的同侧或异侧不能确定，故应分两种情况进行讨论． 【详解】解：①当AB、CD如图（一）所示时，过O作OE⊥CD，交AB于F，连接OA、OC， ∵ABCD，OE⊥CD， ∴OF⊥AB， 由垂径定理可知AF=AB=×24=12，CE=CD=×10=5， 在Rt△CEO中，OE==12； 同理，OF==5， 故EF=OE﹣OF=12﹣5=7； ②当AB、CD如图（二）所示时，过O作OE⊥CD，交AB于F，连接OA、OC， 同（一）可得OE=12，OF=5，EF=OE+OF=12+5=17； 故答案为：17或7． 【点睛】本题考查的是垂径定理，勾股定理，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解． 12．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，点B，C在上，D为的中点，直径交于点E，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理的推论，勾股定理．连接，根据垂径定理的推论，得到，，利用勾股定理求出的长，进一步求出的长即可． 【详解】解：连接， ∵点B，C在上，D为的中点，直径交于点E，， ∴，，， ∴， ∴； 故答案为：． 13．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，的半径是8，是的直径，M为上一动点，，则的最小值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理．作点关于的对称点，连接与相交于点，根据轴对称确定最短路线问题，点为的最小值时的位置，根据垂径定理可得，然后求出为直径，从而得解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接与相交于点， 此时，点为的最小值时的位置， 由垂径定理，， ∴， ∵，为直径， ∴为直径．则． 故答案为：16． 14．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知为内一点，，如果的半径是，那么过点的最短弦长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，熟练掌握“垂直于弦的直径平分这条弦”是解题的关键． 过作，交于，连接，根据直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方可求得的值，根据垂直于弦的直径平分这条弦，即可求解． 【详解】解：过作，交于，连接；如图： 在中，，， ∴， 故． 故答案为：． 15．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，点是的中点，在同侧分别以为直径作半半．直线，与两个半圆依次相交于不同的四点．若，，则与之间的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，矩形的判定和性质，求函数表达式，过B点作，过D点作平H点，连接，得到，四边形为矩形，进而得到，推出，再根据，进行求解即可． 【详解】解：过B点作，过D点作平H点，连接，如图，则， ∵， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴； 故答案为：． 16．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，如图，锯口深寸，锯道长尺（1尺=10寸）．问这根圆形木材直径是 寸． 【答案】26 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理；连接，可得，，由即可求解；能构建由半径、弦的一半、弦心距组成的直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， ， 在中： ， ， 解得：， ， 故答案：． 17．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，弦的长度是弦长度的两倍，连接，，，，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，弧、弦、圆心角的关系等，过点作交于点，先根据垂径定理证明，，根据等弧所对的圆心角相等可得，再证，可得，进而推出． 【详解】解：过点作交于点，连接． ，， ， 又， ， 在中，， ， ， ， 即， 故答案为：． 18．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作九章算术中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”这段话的意思是：如图，现有圆形木材，埋在墙壁里，不知木材大小，用锯子将它锯下来，深度为寸，锯长为尺寸，问圆材直径几寸？则该问题中圆的直径为 寸． 【答案】 【分析】 本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 设圆材的圆心为，延长，交于点，连接，由题意知过点，且，，设圆形木材半径为，可知寸，寸，根据列方程求解可得． 【详解】 解：设圆材的圆心为，延长，交于点，连接，如图所示： 由题意知：过点，且， 则， 设圆形木材半径为寸， 则寸，寸， ， ， 解得：， 即的半径为寸， 的直径为寸， 故答案为：． 三、解答题 19．（23-24九年级上·江苏南京·期末）在四边形中，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法，写出必要的文字说明）．    (1)如图①，连接，在边上作点，使得； (2)如图②，在边上作点N，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图，根据所求，依据同弧所对的圆周角相等，构造三角形的外接圆是解题关键． （1）作的外接圆，与交点就是所求点M； （2）以B点为圆心，以为半径画圆弧，交延长线于点E，则，作外接圆，该圆与交点即为所求点N． 【详解】（1）解：如图①，点M即为所求．    证明：作、的垂直平分线，以两垂直平分线交点为圆心，这一点到A的距离为半径作的外接圆，与交点M，连接，，与所对应的弧都是相同，根据同弧所对的圆周角相等，得出． （2）如图②，点N即为所求．      以B点为圆心，以为半径画圆弧，交延长线于点E，则，作外接圆，该圆与交点N ．连接，，所对应的弧是，所对应的弧是；由于，故，根据同弧所对的圆周角相等，得出． 20．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）在中，和是弦，且，请用无刻度直尺完成下列作图． (1)如图①，在上找一点P，使点P到、所在直线的距离相等； (2)如图②，E是上一点，且，，在上找一点Q，使点到、所在直线的距离之比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的性质即可在图①的上找一点P，使点P到、所在直线的距离相等； （2）根据平行线对应线段成比例定理即可在图②的弧上找一点Q，使点到、所在直线的距离之比为． 本题考查了作图﹣复杂作图、角平分线的性质、圆心角、弧、弦的关系，解决本题的关键是综合运用以上知识画图． 【详解】（1）如图，延长，交于点M，连接交弧于点P， 则点P即为所求． （2）根据题意，画图如下： 则点Q即为所求． 21．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是的弦，半径，垂足为，交延长线于点． (1)求证：是的中点； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查垂径定理，弧，弦，角之间的关系，勾股定理．掌握相关知识点，是解题的关键． （1）垂径定理，得到，进而得到，根据等边对等角结合等角的余角相等，得到，进而得到，即可得到，即可； （2）勾股定理求出，设，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接． 是的弦，半径， 是的中点． ． ． ． ， ． ，． ． ． ． 即为的中点． （2）如图，连接． 半径，垂足为，， ． 是的中点，， ． ． 在中，． 设，则， ． ，即的半径为． 22．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）“圆”是中国文化的一个重要精神符号，中式圆的含蓄和韵味，被设计师一一运用在了园林设计中，带来了浓浓的的古典风情．如图1，是某园林的一个圆形拱门，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味，图2是其示意图．已知拱门圆的半径为，拱门下端为． (1)在图2中画出拱门圆的圆心O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若拱门最高点为点D，求点D到地面的距离． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】 本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，能够准确作出辅助线，根据直角三角形是解决问题的关键． （1）在拱门上找任意一点C，连接、，并做垂直平分线，利用垂径定理可确定圆心的位置； （2）连接，设点E为的中点，根据垂径定理，构造直角三角形，然后根据勾股定理解答即可； 【详解】（1）解：如图，点O即为所求， （2）连接， ， 设点E为的中点， 点O为圆心，连接并延长交圆于点D， 点D即为拱门为最高点， ， ，， ，， 在中， ， 点D到地面的距离为． 23．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系．    (1)过，，三点的圆的圆心坐标为（______，______）； (2)请通过计算判断点与的位置关系． 【答案】(1)， (2)点在的外部 【分析】（1）连接，，分别作，的垂直平分线，两直线交于点，就是过，，三点的圆的圆心，有图形可得的坐标； （2）分别求出和的长度进行比较即可作出判断． 【详解】（1）解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，两直线交于点， 是过，，三点的圆的圆心，    ， 故答案为：，； （2），，， ，， ， 点在的外部． 【点睛】本题考查了垂径定理推论，勾股定理，平面坐标系中点的坐标，点与圆的位置关系，根据垂径定理得出圆心位置是解答本题的关键． 24．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，是的外接圆，过点O作的垂线，垂足为D，分别交的延长线，于点E，F；，的延长线交于点G． (1)求证 (2)若求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，三角形的内角和定理，正确作出辅助线，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，根据垂径定理得出，则，根据等边对等角得出，结合圆的内接四边形的性质，得出，进而得出，根据，则，得出，即可求证； （2）连接，易得，，则，设，则，根据垂径定理和三线合一推出，则，进而得出最后根据，即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵，，， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 在中，， 解得：， ∴． 25．（20-21九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知AB、CD是⊙O的两条平行弦，AB=8，CD=6，弦AB、CD之间的距离为7． （1）求证：弧AD=弧BC． （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）过点O作，延长MO交CD于点N，连接OA、OB、OC、OD，通过证明≌推出，，根据相等的圆心角所对的弧相等即可得出结论； （2）根据代入数值求解即可． 【详解】解：（1）过点O作，延长MO交CD于点N，连接OA、OB、OC、OD， ， ， ，，， 在中，， ①， 在中，， ②， ②①得， ， ， ，， ，，， 在和中，， ∴≌， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴； （2）． 【点睛】本题考查圆的基本性质、不规则图形的面积、勾股定理等内容，作出辅助线是解题的关键． 26．（2023九年级上·江苏·专题练习）不过圆心的直线交于、两点，是的直径，于，于．    (1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形； (2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论除外不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)； (3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据题意构造出垂径定理的基本图形，使得于，于． （2）根据图形得出结论 （3）选择图①，过作于．由垂径定理知．进而得出 ，则． 【详解】（1）解：如图所示， 在图①中、延长线交于外一点； 在图②中、交于内一点； 在图③中．    （2）在三个图形中均有结论：线段． （3）证明：如图①，过作于．由垂径定理知． 于，于， ， ∴， 为直径， ， ， ． 【点睛】在运用垂径定理解题时，常用的辅助线是过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$