精品解析：四川省德阳市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2024年春期八年级期末学业水平监测数学试卷 说明： 1．本设卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题．全卷共4页．考生作答时、须将答案在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，将试卷及答题卡交回． 2．本试卷满分150分，答题时间为120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共48分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一组数据：1，3，2，6，3．下列说法正确的是（ ） A. 众数6 B. 中位数是2 C. 平均数是3 D. 方差是5 4. 若是正比例函数，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 下列命题中正确的是（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线相互平分且垂直的四边形是菱形 D. 对角线相等且相互垂直的四边形是正方形 6. 若一个三角形的三边分别为1，，2，则这个三角形的面积为（ ） A 1 B. C. 2 D. 7. 一次函数的图象如图所示，化简代数式的值为（ ） A B. C. D. 8. 直线经过点，，则关于的方程的解为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在等腰中，，为的中点，，垂足为．若，，则的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 10. 在平面直角坐标系中，过点的直线经过一、三、四象限，若点，，都在直线上，则下列判断错误的是（ ） A. B. C. D. 11. 《九章算术》中有一问题：“今有勾三步，股四步，问勾中容方几何？”意思是：如图1，直角三角形中，，，，求内接正方形的边长．我国数学家刘徽用“出人相补”原理将直角三角形补成知形（如图1），在该图形中发现一个与正方形面积相等的图形，从而求得这个正方形的边长．若点在线段上平移至点，连接，与直线分别相交于点，点（如图2），则平行四边形的面积为（ ） A 12 B. C. 25 D. 12. 如图，，，点在边上（与，不重合），四边形为正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，点坐标为，点坐标为，给出以下结论：①四边形为矩形；②；③；④点的坐标；⑤．其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第Ⅱ卷（非选择题，共102分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．将答案填在答题卡对应的位置上） 13. 式子有意义的条件是______． 14. 为了调查班上同学周末的阅读时长，小明随机调查了一个小组的周末阅读时长情况如下：阅读时长1个小时有5人，阅读时长2个小时有4人，阅读时长3个小时有1人，则这组同学阅读的平均时长是______小时． 15. 将直线的图象向下平移2个单位后，经过点，则平移后的直线解析式为______． 16. 若直角三角形的两条边长为，，且满足，则该直角三角形的斜边长为______． 17. 如图，在四边形中，，，，，四边形沿着翻折，使点落在点，、、分别是、、的中点，则的长度为______ 18. 如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直线的图象上，两条直角边所在直线分别与坐标轴相交于、两点，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，当三角板绕点旋转时，的最小值为8，则点的坐标是______． 三、解答题（本大题共7小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步㵵） 19. 计算：． 20. 2024年央视春晚展演了功夫微电影《争春》．这是在德阳取景录制完成的．节目中一大批德阳元素集体亮相，展示着德阳深厚的文化底蕴．该节目的拍摄分别取最凹街，德阳文庙，钟鼓楼，以及德阳文德国际会展中心．为了确定这四个景点在市民心中的受喜爱程度，小阳对若干市民展开问卷调在，喜爱凹街的记为A类，喜爱德阳文庙的记为B类，喜爱钟鼓楼的记为C类，喜爱文德国际会展中心记为D类，并将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题． （1）这次共抽查了______名市民进行调查统计，______%，______%； （2）补全上面的条形图． 21. 药店购进了甲、乙两种口罩共500袋逆行销售，已知甲种口罩每袋利润5元，乙种口罩每袋利润3元，且购进的两种口罩能全部卖出．设购进甲种口罩x袋，获得的总利润为W元． （1）求总利润W关于x的函数关系式；（写出x的取值范围） （2）如果购进甲种口罩数量最多120袋，乙种口罩数量不超过甲种口罩数量的4倍，那么该药店应该如何进货才能获利最多，并求出最大利润． 22. 如图，在四边形中，，，． （1）求证：； （2）若，四边形的周长为5，求四边形的面积． 23. 如图，直线与轴交于点A，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，两直线交于点． （1）求的值； （2）求的面积； （3）请根据图象直接写出时，的取值范围． 24. 如图，菱形对角线，相交于点，是的中点，于点，于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，矩形的面积为24，求菱形的面积． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴、轴分别于点、．将线段沿轴正方向平移个单位得到线段，连接，是轴上一动点． （1）若 ①连接，证明：． ②是中点，连接并延长交直线于点，是否存在点使得是以为腰的等腰三角形，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，说明理由． （2）若，点在线段上，连接，作关于的对称点，恰好落在四边形的边上，求的长（直接写出答案）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年春期八年级期末学业水平监测数学试卷 说明： 1．本设卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题．全卷共4页．考生作答时、须将答案在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，将试卷及答题卡交回． 2．本试卷满分150分，答题时间为120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共48分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查化最简二次根式，同类二次根式的判断．掌握将各二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式是解题关键．根据同类二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：，与是同类二次根式，故A符合题意； 与不是同类二次根式，故B不符合题意； ，与不是同类二次根式，故C不符合题意； ，与不是同类二次根式，故D不符合题意． 故选A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的四则运算法则和二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的四则运算法则和二次根式的性质逐项计算判断即可． 【详解】解：和不是同类二次根式，不能合并，故A计算错误，不符合题意； ，故B计算正确，符合题意； ，故C计算错误，不符合题意； ，故D计算错误，不符合题意． 故选B． 3. 已知一组数据：1，3，2，6，3．下列说法正确是（ ） A. 众数是6 B. 中位数是2 C. 平均数是3 D. 方差是5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求一组数据的众数、中位数、平均数和方差，掌握众数和中位数的定义，平均数和方差的公式是解题关键． 【详解】解：∵数据3出现2次，为最多， ∴众数为3，故A错误，不符合题意； 将原数据按从小到大排列为：1，2，3，3，6， ∴中位数是3，故B错误，不符合题意； ，故C正确，符合题意； ，故D错误，不符合题意． 故选C． 4. 若是正比例函数，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，一般地，形如的函数叫做正比例函数，据此求解即可． 【详解】解：∵是正比例函数， ∴， ∴，， 故选：C． 5. 下列命题中正确的是（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线相互平分且垂直的四边形是菱形 D. 对角线相等且相互垂直的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了判断命题真假，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定，熟知菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形也满足此条件，原命题是假命题，不符合题意； B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，原命题是假命题，不符合题意； C、对角线相互平分且垂直的四边形是菱形，原命题是真命题，符合题意； D、对角线相等且相互垂直平分的四边形是正方形，原命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 6. 若一个三角形的三边分别为1，，2，则这个三角形的面积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理．能得出三角形是直角三角形是解此题的关键．利用勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴该三角形为直角三角形，且直角边长度分别为1和2， ∴这个三角形的面积． 故选A． 7. 一次函数的图象如图所示，化简代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，化简绝对值，利用一次函数的图象和性质判断出a和b的符号是解题关键．根据一次函数，当时，时，图象位于第一、二、四象限，可判断出，，再化简绝对值即可． 【详解】解：由图可知该一次函数经过第一、二、四象限， ∴，， ∴， ∴． 故选B． 8. 直线经过点，，则关于的方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系．掌握一次函数图象与x轴交点的横坐标即为其相关一元一次方程的解是解题关键．根据一次函数与一元一次方程的关系可直接得出该方程的解为． 【详解】解：根据题意可知关于的方程的解即为直线与x轴交点的横坐标， ∵直线经过点， ∴关于的方程的解为． 故选A． 9. 如图，在等腰中，，为的中点，，垂足为．若，，则的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再由勾股定理求出，则，据此利用勾股定理可得． 【详解】解：∵为的中点，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得， 故选：D． 10. 在平面直角坐标系中，过点的直线经过一、三、四象限，若点，，都在直线上，则下列判断错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，根据一次函数经过的象限可知直线l的函数值随自变量的增大而增大，据此可得，，由此可得答案． 【详解】解：∵直线经过一、三、四象限， ∴直线l解析式中的一次项系数为正数， ∴直线l的函数值随自变量的增大而增大， ∵直线l经过和， ∴， ∵， ∴， ∴四个选项中，只有C选项符合题意， 故选：C． 11. 《九章算术》中有一问题：“今有勾三步，股四步，问勾中容方几何？”意思是：如图1，直角三角形中，，，，求内接正方形的边长．我国数学家刘徽用“出人相补”原理将直角三角形补成知形（如图1），在该图形中发现一个与正方形面积相等的图形，从而求得这个正方形的边长．若点在线段上平移至点，连接，与直线分别相交于点，点（如图2），则平行四边形的面积为（ ） A. 12 B. C. 25 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形和矩形的性质，正确列出方程是解答本题的关键．设正方形的边长为x，证明，则，得到 解得，即可求出正方形的边长为，即可得到答案． 【详解】如图1，设正方形的边长为x， 根据题意得，四边形都是矩形， ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ 解得， ∴正方形的边长为， ∴正方形的边长为， ∵平行四边形的面积 故选：B． 12. 如图，，，点在边上（与，不重合），四边形为正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，点坐标为，点坐标为，给出以下结论：①四边形为矩形；②；③；④点的坐标；⑤．其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由正方形的性质得到，，证明，得到，，再证明，即可证明四边形是矩形，故①正确；则，再由，可得，故②错误；在中，由勾股定理得，则，在中，由勾股定理得，，故③正确；如图所示，过点E作轴于T，同理可证明，可得；求出直线解析式为，可得，故④错误；则，故⑤正确． 【详解】解：∵点坐标为，点坐标为， ∴； 四边形为正方形， ，， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形，故①正确； ∴， ∴， ∵， ∴，故②错误； 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，故③正确； 如图所示，过点E作轴于T， 同理可证明， ∴， ∴， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴，故④错误； ∴，故⑤正确； ∴正确的有3个， 故选B． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，正确利用一线三垂直模型证明三角形全等是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题，共102分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．将答案填在答题卡对应的位置上） 13. 式子有意义的条件是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件．掌握二次根式被开方数大于等于0，分式的分母不能为0是解题关键．根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件解答即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴且， ∴且． 故答案为：且． 14. 为了调查班上同学周末的阅读时长，小明随机调查了一个小组的周末阅读时长情况如下：阅读时长1个小时有5人，阅读时长2个小时有4人，阅读时长3个小时有1人，则这组同学阅读的平均时长是______小时． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求加权平均数，先求出这组同学阅读的总时长，再用总时长除以总人数即可得到答案． 【详解】解：小时， ∴这组同学阅读的平均时长是小时， 故答案为：． 15. 将直线的图象向下平移2个单位后，经过点，则平移后的直线解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的平移，函数图象上点的坐标特征．掌握一次函数图象平移的规律“上加下减，左加右减”是解题关键．根据一次函数图象平移的规律“上加下减，左加右减”可得出平移后的解析式为，再将代入求解即可． 【详解】解：将直线的图象向下平移2个单位后得到的新解析式为：，即． ∵平移后的新解析式经过点， ∴， 解得：， ∴平移后的直线解析式为． 故答案为：． 16. 若直角三角形的两条边长为，，且满足，则该直角三角形的斜边长为______． 【答案】4或5 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数性质，勾股定理，根据非负数的性质可得，据此求出，再分当边长为b的边为直角边时， 当边长为b的边为斜边时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 当边长为b的边为直角边时，则斜边长为， 当边长为b的边为斜边时，则斜边长即为4，； 综上所述，该直角三角形的斜边长为4或5， 故答案为：4或5． 17. 如图，在四边形中，，，，，四边形沿着翻折，使点落在点，、、分别是、、的中点，则的长度为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线的性质，勾股定理．根据三角形中位线的性质得出为直角三角形是解题关键．根据三角形中位线的性质可得出，，，，从而可求出，，进而得出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由翻折可知，． ∵、分别是、的中点， ∴，， ∴． ∵、分别是、的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 18. 如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直线的图象上，两条直角边所在直线分别与坐标轴相交于、两点，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，当三角板绕点旋转时，的最小值为8，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E、F，则，证明四边形是正方形，得到，进而可证明，得到，则，再由的最小值为8，，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E、F， ∵点A在直线的图象上， ∴点A在的角平分线上， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵的最小值为8， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步㵵） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算，计算负整数指数幂、乘方、算术平方根、零指数幂后计算即可． 【详解】解： 20. 2024年央视春晚展演了功夫微电影《争春》．这是在德阳取景录制完成的．节目中一大批德阳元素集体亮相，展示着德阳深厚的文化底蕴．该节目的拍摄分别取最凹街，德阳文庙，钟鼓楼，以及德阳文德国际会展中心．为了确定这四个景点在市民心中的受喜爱程度，小阳对若干市民展开问卷调在，喜爱凹街的记为A类，喜爱德阳文庙的记为B类，喜爱钟鼓楼的记为C类，喜爱文德国际会展中心记为D类，并将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题． （1）这次共抽查了______名市民进行调查统计，______%，______%； （2）补全上面的条形图． 【答案】（1）50，26，14 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图相关联，根据条形统计图和扇形统计图得出必要的信息和数据是解题关键． （1）用B类的人数除以其所占百分比即得出抽查总人数，用A类人数除以总人数即可求出m的值，用D类人数除以总人数即可求出n的值； （2）用C类所占百分比乘抽查总人数求出C类人数，即可补全条形图． 【小问1详解】 解：名， ∴这次共抽查了50名市民进行调查统计； ， ∴； ， ∴． 故答案：50，26，14； 【小问2详解】 解：名， ∴补全条形图如下， 21. 药店购进了甲、乙两种口罩共500袋逆行销售，已知甲种口罩每袋利润5元，乙种口罩每袋利润3元，且购进的两种口罩能全部卖出．设购进甲种口罩x袋，获得的总利润为W元． （1）求总利润W关于x的函数关系式；（写出x的取值范围） （2）如果购进甲种口罩数量最多120袋，乙种口罩数量不超过甲种口罩数量的4倍，那么该药店应该如何进货才能获利最多，并求出最大利润． 【答案】（1） （2）该药店应该购进甲种口罩120袋，乙种口罩380袋才能获利最多，最多为1740元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用： （1）根据题意可知购进乙种口罩袋，根据利润单袋利润数量分别求出甲种口罩和乙种口罩，然后求和即可得到答案； （2）先根据题意求出x的取值范围，再根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，； 【小问2详解】 解：∵购进甲种口罩数量最多120袋，乙种口罩数量不超过甲种口罩数量的4倍， ∴， ∴， ∵，， ∴W随x增大而增大， ∴当时，W最大，最大值为， ∴， ∴该药店应该购进甲种口罩120袋，乙种口罩380袋才能获利最多，最多1740元． 22. 如图，在四边形中，，，． （1）求证：； （2）若，四边形的周长为5，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出，结合题意可求出，再根据勾股定理解答即可； （2）过点D作，交反向延长线于点E．易求出 ，结合含30度角的直角三角形的性质可求出，再根据勾股定理可求出，从而得出，；再由四边形的周长为5，可得出，结合（1），可求出，进而可求出，即得出答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点D作，交反向延长线于点E． 由题意可知． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形的周长为5，即， ∴，即． ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，三角形面积的计算等知识．掌握等边对等角和正确作出辅助线是解题关键． 23. 如图，直线与轴交于点A，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，两直线交于点． （1）求的值； （2）求面积； （3）请根据图象直接写出时，的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题为一次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，利用图象解一元一次不等式．掌握一次函数的图象和性质是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据可求出，从而可求出，进而可求出；联立，可求出，从而可求出，最后根据求解即可； （3）根据求时，的取值范围，即求的图象在的图象上方时，的取值范围，再结合图象即可解答． 【小问1详解】 解：将，代入， 得：，解得：， ∴，； 【小问2详解】 解：由（1）可知． 对于，令，则， 解得：， ∴， ∴， ∴； 联立，解得：， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：根据图象可知当时，的图象在上方，即此时， ∴的取值范围是． 24. 如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，于点，于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，矩形的面积为24，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定和性质．熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． （1）由菱形的性质可知点O是的中点，结合题意，再根据三角形中位线定理即得出．根据于点，于点，即得出，从而可证明四边形是矩形； （2）由菱形的性质可知，．由（1）可知，再根据，即可求出，最后求即可． 【小问1详解】 证明：∵菱形的对角线，相交于点， ∴点O是的中点． ∵点是的中点， ∴． ∵于点，于点， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，． 由（1）可知． ∵， ∴， ∴． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴、轴分别于点、．将线段沿轴正方向平移个单位得到线段，连接，是轴上一动点． （1）若 ①连接，证明：． ②是中点，连接并延长交直线于点，是否存在点使得是以为腰的等腰三角形，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，说明理由． （2）若，点在线段上，连接，作关于的对称点，恰好落在四边形的边上，求的长（直接写出答案）． 【答案】（1）①证明见解析；②或或 （2） 【解析】 【分析】（1）①先求出，进而求出，由平移的性质得到，则，据此利用勾股定理的逆定理证明即可；②设点M的坐标为，由（1）可得，求出，证明，得到，即点N为的中点，则；再分当时， 当时，两种情况讨论求解即可； （2）先求出直线的解析式为，设，由轴对称的性质可得，则，可得，设点M的坐标为，则，解得，则． 【小问1详解】 解：①在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴； ∵将线段沿轴正方向平移个单位得到线段，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； ②设点M的坐标为， 由（1）可得， ∵是中点， ∴， 由平移的性质可得， ∴， ∴， ∴，即点N为的中点， ∴； 当时，则， ∴， ∴或 ， ∴点M的坐标为或； 当时，则， 解得或（舍去，此时点M与点D重合，不存在三角形）， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或或； 【小问2详解】 解：∵将线段沿轴正方向平移个单位得到线段，， ∴直线的解析式为， 设， 由轴对称的性质可得， ∴， 解得， ∴， 设点M的坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰三角形的定义，轴对称的性质等等，利用两点中点坐标公式和两点距离公式建立方程求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$