1.4 一元二次函数与一元二次不等式 讲义-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

授课主题 一元二次函数与一元二次不等式 年 级 高一 知 识 梳 理 知识点一.一元二次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如：.一元二次不等式的一般形式：或. 设一元二次方程的两根为且，则不等式的解集为，不等式的解集为 注意事项：(1)一元二次不等式中的“一元”是指不等式中所要求解的未知数，并且这个未知数是唯一的，但这并不意味着不等式中不能含有其他字母，若含有其他字母，则把其他字母看成常数. (2)一元二次不等式中的“二次”是指所要求解的未知数的最高次数必须是2，且最高次项的系数不为0.即 知识点二.“三个二次”的关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实根x1，x2，且x1<x2 有两个相等的实数根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 注：（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集. 知识点三、一元二次不等式的解法 一元二次不等式，a为正值来定形； 对应方程根求好，心中想想抛物线； 大于异根取两边，小于异根夹中间； 大于等根根去掉，小于等根空集成； 大于无根取全体，小于无根不可能！ 注意事项：“大于”“小于”指的是当二次项系数转化为正数后的不等号．因此，为了避免出现错误，在求解一元二次不等式时，通常是将二次项系数变为正数(即将不等式两边同时乘以－1，不等号也随之改变方向)． 知识点四.一元二次不等式恒成立问题 1.当未说明不等式为一元二次不等式时，有 ①不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或 ②不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或 2.一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0在x∈{x|m≤x≤n}时恒成立，等价于当m≤x≤n时，函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴的上方，而非等价于 3.分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题. 例题讲解 知识点一、解不含参数的一元二次不等式 例1. 解下列一元二次不等式 （1）； （2）； （3） 例2、解下列不等式： (1) (2) (3) (4) 练习： 1．解下列不等式： (1) ； (2)； (3)； (4) (5) (6) (7)； (8)； (9)； (10). 知识点二、解含参数的一元二次不等式 例1、解下列关于的不等式 例2、解关于x的不等式. 例3、解关于x的不等式. 例4、若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 例5、解下列关于x的不等式 （1）x2-2ax≤-a2+1； （2）x2-ax+1>0； （3）x2-(a+1)x+a<0； 练习： 1．关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围(    ) A． B． C． D． 2．解关于x的不等式 3．解下列关于的不等式． 4．解关于的不等式. 5.解关于x的不等式： 6.解关于的不等式：（） 7.解关于x的不等式56x2+ax－a2＜0。 知识点三、三个“二次”之间的关系 例1、已知，且，关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 例2、求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集． 练习： 1．若一元二次不等式的解集是，则一元二次不等式的解集是(    ) A． B． C． D． 2．若不等式的解集为，则函数的图象与x轴的交点为(　　) A．和 B． C． D．和 3．已知不等式和不等式的解集相同，则实数的值分别为(    ) A． B． C． D． 知识点四、一元二次不等式恒成立 例1、若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 例2、不等式对恒成立，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 例3、若不等式对于恒成立，则实数a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 例4、已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围． 练习： 1．若命题“”为真命题，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 2．命题，使得成立.若是假命题，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 3．任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是(    ) A． B． C． D． 4．若，使得不等式成立，则实数的取值范围(    ) A． B． C． D． 5.已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围. 知识点五、一元二次不等式的实际应用 例1、汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速50 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车的刹车距离s(单位：m)与车速x(单位：km/h)之间分别有如下关系：，，问：甲、乙两车有无超速现象？ 练习： 1．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x(件)与单价P(元)之间的关系为，生产x件所需成本为C(元)，其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是(    ) A．20≤x≤30 B．20≤x≤45 C．15≤x≤30 D．15≤x≤45 2．某种汽车在水泥路面上的刹车距离(单位：)和汽车刹车前的车速(单位：)之间有如下关系：，在一次交通事故中，测得这种车刹车距离大于40，则这辆汽车刹车前的车速至少为(    )(精确到1) A．76 B．77 C．78 D．80 3．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是(    ) A． B． C． D． 知识点六、根的分布 例1、关于的方程满足下列条件，求的取值范围． (1)有两个正根； (2)一个根大于，一个根小于； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)一个根小于，一个根大于； (5)两个根都在内． 练习： 1． (多选)设为实数，已知关于的方程，则下列说法正确的是(    ) A．当时，方程的两个实数根之和为0 B．方程无实数根的一个必要条件是 C．方程有两个不相等的正根的充要条件是 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 2．已知一元二次方程． (1)写出“方程有一个正根和一个负根”的充要条件； (2)写出“方程有一个正根和一个负根”的一个必要而不充分条件，并给予证明． 3．若关于x的不等式的解集为． (1)当时，求的值； (2)若，，求的值； (3)在(2)的条件下，求的最小值． 举一反三 1．若不等式的解集为或，则(　　) A．， B．， C．， D．， 2．若，则不等式的解集是(    ) A． B． C． D． 3．若不等式的解集是的子集，则a的范围是(　　) A．[－4，3] B．[－4，2]C．[－1，3] D．[－2，2] 4．关于的不等式的解集为，则不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 5.已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为(    ) A．4 B． C．2 D．1 6．已知不等式的解集为，则的值是(    ) A．3 B．4 C．5 D．6 7． “关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是(    ) A． B． C． D．或 8．若关于的不等式有解，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 9．已知关于的方程在区间内有实根，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 10． (多选)关于x的不等式的解集中恰有3个正整数解，则a的值可以为(    ) A． B． C． D．2 11． (多选)已知关于的不等式解集为或，则下列结论正确的有(    ) A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 12． (多选)已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是(    ) A． B． C． D．关于x的不等式的解集为 13． (多选)某商场若将进货单价为元的商品按每件元出售，每天可销售件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高元，销售量就要减少件．那么要保证每天所赚的利润在元以上，每件销售价可能为(    ) A．元 B．元 C．元 D．元 14． (多选)已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是(    ) A． B．的解集为 C． D．的解集为 15．(多选)已知函数，则下列结论正确的是(    ) A．关于x的不等式的解集可以是 B．关于x的不等式的解集可以是 C．函数的图象与x轴正半轴可以有两个交点 D．“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“” 16．不等式的解集为，则的取值范围是________. 17．若不等式的解集为R，则实数的取值范围是________． 18．已知，当时，不等式恒成立，则实数m的范围为__________． 19．已知，若时，恒成立，则实数的取值范围为__． 20.对恒成立，则实数的范围为________________. 21．已知为实数，命题甲：关于的不等式的解集为；命题乙：关于的方程有两个不相等的负实数根．若甲、乙至少有一个为真命题，求实数的取值范围为_______． 22．解下列关于的不等式． 23．解下列关于的不等式． 24．已知，解关于的不等式． 25．已知，求解关于的不等式. 26．已知不等式：. (1)若，求不等式解集； (2)若，求不等式解集. 27．已知函数. (1)若，解不等式； (2)解关于的不等式. 28．已知二次函数的图像过点和原点，对于任意，都有． (1)求函数的表达式； (2)设，若函数≥在上恒成立，求实数的最大值． 29．设． (1)当时，若两根一个比小，一个比大，求范围． (2)解关于的不等式． 30．已知关于的不等式的解集为． (1)若，求实数的取值范围； (2)若存在两个不相等的正实数，使得，求实数的取值范围． 31．已知函数. (1)当时，求解关于的不等式； (2)若方程有两个正实数根，求的最小值. 32．已知关于x的方程． (1)当a为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？ (2)当a为何值时，方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3？ (3)当a为何值时，方程的两个根都大于0？ 33．已知二次函数. (1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式； (2)若关于x的方程的两个实根均大于且小于4，求实数t的取值范围． 课 后 作 业 1．已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 2．已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为(    ) A．2 B． C． D． 3． (多选)已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是(    ) A． B． C．若不等式的解集为，则 D．若不等式的解集为，且，则 4． (多选)已知关于的不等式，下列结论正确的是(    ) A．当时，不等式的解集为 B．当时，不等式的解集可以表示为形式 C．若不等式的解集恰为，则或 D．若不等式的解集恰为，则 5．已知函数，，. (1)若关于的不等式的解集为或，求实数，的值； (2)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围； (3)若关于的不等式的解集中恰有个整数，求实数的取值范围． 6．已知二次函数(为实数) (1)若时，且对，恒成立，求实数的取值范围； (2)若时，且对，恒成立，求实数的取值范围； (3)对，时，恒成立，求的最小值． 7．已知命题是假命题. (1)求实数的取值集合； (2)设不等式的解集为A，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 8．已知函数． (1)问题：若关于x的方程______，求实数a的取值范围； 从下面给出的①②③三个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并进行解答． ①有两个不等正实根；②有两个相异负实根；③有1个正实根和1个负实根． (若选择多个方案分别解答，则按第一个解答记分．) (2)当时，解关于x的不等式； (3)当时，若关于x的不等式的解集中有且仅有2023个整数，求实数a的取值范围． 9．设函数， (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若，求不等式的解集． (3)若，，，求的最小值． 10．设二次函数，其中. (1)若，且关于的不等式的解集为，求的取值范围； (2)若，且均为奇数，求证：方程无整数根； (3)若，当方程有两个大于1的不等根时求的取值范围. 11．已知函数， (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，求不等式的解集； (3)若使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值. 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 授课主题 一元二次函数与一元二次不等式 年 级 高一 知 识 梳 理 知识点一.一元二次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如：.一元二次不等式的一般形式：或. 设一元二次方程的两根为且，则不等式的解集为，不等式的解集为 注意事项：(1)一元二次不等式中的“一元”是指不等式中所要求解的未知数，并且这个未知数是唯一的，但这并不意味着不等式中不能含有其他字母，若含有其他字母，则把其他字母看成常数. (2)一元二次不等式中的“二次”是指所要求解的未知数的最高次数必须是2，且最高次项的系数不为0.即 知识点二.“三个二次”的关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实根x1，x2，且x1<x2 有两个相等的实数根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 注：（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集. 知识点三、一元二次不等式的解法 一元二次不等式，a为正值来定形； 对应方程根求好，心中想想抛物线； 大于异根取两边，小于异根夹中间； 大于等根根去掉，小于等根空集成； 大于无根取全体，小于无根不可能！ 注意事项：“大于”“小于”指的是当二次项系数转化为正数后的不等号．因此，为了避免出现错误，在求解一元二次不等式时，通常是将二次项系数变为正数(即将不等式两边同时乘以－1，不等号也随之改变方向)． 知识点四.一元二次不等式恒成立问题 1.当未说明不等式为一元二次不等式时，有 ①不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或 ②不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或 2.一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0在x∈{x|m≤x≤n}时恒成立，等价于当m≤x≤n时，函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴的上方，而非等价于 3.分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题. 例题讲解 知识点一、解不含参数的一元二次不等式 例1. 解下列一元二次不等式 （1）； （2）； （3） 【解析】（1）方法一：因为所以方程的两个实数根为：， 函数的简图为： 因而不等式的解集是. 方法二： 或解得 或 ，即或.因而不等式的解集是. （2）方法一：因为，方程的解为. 函数的简图为： 所以，原不等式的解集是 方法二：（当时，）所以原不等式的解集是 （3）方法一：原不等式整理得.因为，方程无实数解， 函数的简图为： 所以不等式的解集是.所以原不等式的解集是. 方法二：∵∴原不等式的解集是. 例2、解下列不等式： (1) (2) (3) (4) 【解析】(1)，即，配方可得，解得 (2)，即，解得； (3)，即，而，从而不等式无解，即解集为； (4)且同时成立.由解得， 由，即，解得.于是 练习： 1．解下列不等式： (1) ； (2)； (3)； (4) (5) (6) (7)； (8)； (9)； (10). 【解析】(1)，，，即不等式的解集为； （2） ，，解得或； 即不等式的解集为； (3)，或解得，即不等式的解集为； (4)，整理得，解得，即不等式的解集为. (5)由可得，所以或，即解集为； (6)由可得，所以，即解集为； (7)可化为，解得，所以不等式的解集为. (8)可化为，即，解得，所以不等式的解集为. (9)可化为，解得或，所以不等式的解集为. (10)可化为，因为不等式对应的方程的判别式， 所以不等式的解集为． 知识点二、解含参数的一元二次不等式 例1、解下列关于的不等式 【解析】由，可得或，则：当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为； 例2、解关于x的不等式. 【解析】原不等式变为， ①当时，原不等式可化为，所以当时，解得；当时，解集为； 当时，解得 ②当时，原不等式等价于，即. ③当时，，原不等式可化为，解得或. 综上，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为或. 例3、解关于x的不等式. 【解析】不等式对应方程的判别式， (1)当，即或时，由于方程的根是， 所以不等式的解集是或}； (2)当，即时，不等式的解集为且； (3)当，即时，不等式的解集为R， 故或时，不等式的解集是或}； 时，不等式的解集为且；时，不等式的解集为R. 例4、若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【解析】不等式化为，即， 当时，不等式化为，得，有无数个整数解，不符合题意； 当时，由关于x的不等式只有一个整数解，可知， 不等式的解为，由题意，，解得； 当时，不等式的解为或，有无数个整数解，不符合题意． 综上，实数a的取值范围是.故选：C 例5、解下列关于x的不等式 （1）x2-2ax≤-a2+1； （2）x2-ax+1>0； （3）x2-(a+1)x+a<0； 【解析】(1) ∴原不等式的解集为. (2) Δ=a2-4当Δ>0，即a>2或a<-2时，原不等式的解集为 当Δ=0，即a=2或-2时，原不等式的解集为.当Δ<0，即-2<a<2时，原不等式的解集为R. （3）(x-1)(x-a)<0当a>1时，原不等式的解集为{x|1<x<a}；当a<1时，原不等式的解集为{x|a<x<1} 当a=1时，原不等式的解集为. 练习： 1．关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围(    ) A． B． C． D． 【解析】不等式化为，当时，不等式无解， 当时，不等式解为，这里有且只有2个整数，则， 当时，不等式解为，这里有且只有2个整数，则， 综上的取值范围是．故选：. 2．解关于x的不等式 【解析】原不等式可化为.当，即时，或； 当，即时，；当，即时，或. 综上，当时，解集为或； 当时，解集为；当 时，解集为或. 3．解下列关于的不等式． 【解析】当时，原不等式为，解集为； 当时，原不等式为，解集为； 当时，原不等式为， 若，即时，解集为或；若，即时，解集为； 若，即时，解集为或；综上，解集为；解集为； 解集为或；解集为；解集为或. 4．解关于的不等式. 【解析】由题意知， ①当，即或时，方程的两根为， 所以解集为； ②若，即时，当时，原不等式可化为，即，所以， 当时，原不等式可化为，即，所以； ③当，即时，原不等式的解集为； 综上，当或时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 5.解关于x的不等式： 【答案】原不等式化为①a=1或a=-1时，解集为； ②当0<a<1 或a<-1时，，解集为：； ③当a>1或 -1<a<0时，，解集为：. 6.解关于的不等式：（） 【答案】当a＜0或a＞1时，解集为； 当a=0时，解集为；当0＜a＜1时，解集为；当a=1时，解集为； 7.解关于x的不等式56x2+ax－a2＜0。 【答案】∵56x2+ax－a2＜0，∴(7x+a)(8x－a)＜0，即。 ①当a=0时，，不等式化为x2＜0，解得x∈。②当a＞0时，，不等式解集为。 当a＜0时，，不等式解集为 知识点三、三个“二次”之间的关系 例1、已知，且，关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 【解析】因为不等式，的解集为，所以且即， 不等式等价于，即，，解得或， 所以不等式的解集为：，故选：C． 例2、求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集． 【答案】当a＞0时，不等式的解集为；当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}； 当a＜0时，不等式的解集为. 练习： 1．若一元二次不等式的解集是，则一元二次不等式的解集是(    ) A． B． C． D． 【解析】由一元二次不等式的解集是可得是的两个根，且所以，所以可化为，即， 解得或.故选：C 2．若不等式的解集为，则函数的图象与x轴的交点为(　　) A．和 B． C． D．和 【解析】若不等式的解集为， 则方程的两个根为且，，解得， 则函数，令，解得或， 故函数的图象与轴的交点为和.故选：A. 3．已知不等式和不等式的解集相同，则实数的值分别为(    ) A． B． C． D． 【解析】，解得，又不等式和不等式的解集相同， 故的两根为-2或，且，得：，解得：，故选：B. 知识点四、一元二次不等式恒成立 例1、若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【解析】命题“，”的否定为：“，”， 该命题为真命题.所以，应有，所以.故选：A. 例2、不等式对恒成立，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【解析】①当时，成立，②当时，只需，解得， 综上可得，即实数的取值范围为.故选：B． 例3、若不等式对于恒成立，则实数a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【解析】原不等式可化为， 设，则， 当且仅当，且，即时，函数有最小值为2. 因为恒成立，所以.故选：C. 例4、已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围． 【解析】原不等式等价于(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0对一切实数恒成立， 显然a＝－2时，解集不是R，因此a≠－2，从而有 整理，得解得a＞2.故a的取值范围是(2，＋∞)． 练习： 1．若命题“”为真命题，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【解析】由命题“”为真命题，即不等式在上恒成立， 设，根据二次函数的性质，可得，所以.故选：A. 2．命题，使得成立.若是假命题，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【解析】因为命题，使得成立， 所以命题的否定为：，成立，而是假命题，故命题的否定为真命题． 所以在上恒成立，因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即.故选：A. 3．任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是(    ) A． B． C． D． 【解析】因为对任意，不等式恒成立.所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为，所以，故选：B. 4．若，使得不等式成立，则实数的取值范围(    ) A． B． C． D． 【解析】因为，使得不等式成立，所以，使得不等式成立， 令，，因为对称轴为，，所以，所以， 所以实数的取值范围为.故选：D. 5.已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)当m2+4m-5=0时，m=1或m=-5 若m=1，则不等式化为3>0, 对一切实数x成立，符合题意. 若m=-5，则不等式为24x+3>0，不满足对一切实数x均成立，所以m=-5舍去. (2)当m2+4m-5≠0即 m≠1且m≠-5时， 由此一元二次不等式的解集为R知，抛物线y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3开口向上，且与x轴无交点， 所以， 即， ∴ 1<m<19. 综上所述，实数m的取值范围是{m|1≤m<19}. 知识点五、一元二次不等式的实际应用 例1、汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速50 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车的刹车距离s(单位：m)与车速x(单位：km/h)之间分别有如下关系：，，问：甲、乙两车有无超速现象？ 【解析】由题意得，对于甲车，，即，而，解得， 甲车未超过规定限速，同理对于乙车，，，而，解得， 乙车超过规定限速．答：甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速． 练习： 1．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x(件)与单价P(元)之间的关系为，生产x件所需成本为C(元)，其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是(    ) A．20≤x≤30 B．20≤x≤45 C．15≤x≤30 D．15≤x≤45 【解析】设该厂每天获得的利润为y元，则y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500(0＜x＜80)． 由题意，知－2x2＋130x－500≥1300，即x2－65x＋900≤0，解得：20≤x≤45， 所以日销量x的取值范围是20≤x≤45．故选：B． 2．某种汽车在水泥路面上的刹车距离(单位：)和汽车刹车前的车速(单位：)之间有如下关系：，在一次交通事故中，测得这种车刹车距离大于40，则这辆汽车刹车前的车速至少为(    )(精确到1) A．76 B．77 C．78 D．80 【解析】设这辆汽车刹车前的车速为，根据题意，有， 移项整理，得，解得． 所以这辆汽车刹车前的速度至少为77．故选：B 3．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【解析】结合题意易知，,即，解得， 因为，所以，这批台灯的销隹单价的取值范围是，故选：A. 知识点六、根的分布 例1、关于的方程满足下列条件，求的取值范围． (1)有两个正根； (2)一个根大于，一个根小于； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)一个根小于，一个根大于； (5)两个根都在内． 【解析】(1)令，设的两个根为.由题得，解得. (2)若方程的一个根大于，一个根小于，则，解得 (3)若方程一个根在内，另一个根在内，则，解得 (4)若方程的一个根小于，一个根大于，则，解得 (5)若方程的两个根都在内，则，解得 练习： 1． (多选)设为实数，已知关于的方程，则下列说法正确的是(    ) A．当时，方程的两个实数根之和为0 B．方程无实数根的一个必要条件是 C．方程有两个不相等的正根的充要条件是 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 【解析】对于A选项，时无实根，A错误； 对于B选项，当时方程有实根，当时，方程无实根则，解得，一个必要条件是，B正确； 对于C选项，方程有两个不等正根，则，，，，解得； 对于D选项，方程有一个正根和一个负根，则，，解得，D正确；故选：BCD. 2．已知一元二次方程． (1)写出“方程有一个正根和一个负根”的充要条件； (2)写出“方程有一个正根和一个负根”的一个必要而不充分条件，并给予证明． 【解析】(1)若方程有一个正根和一个负根，则，即，． 方程有一个正根和一个负根的充要条件是． (2)方程有一个正根和一个负根的一个必要而不充分条件是， 证明：若方程有一个正根和一个负根，则由(1)知其充要条件为，从而，故必要性成立．若，则方程中，，， 方程有两个同号根，充分性不成立， 故是方程有一个正根和一个负根的一个必要而不充分条件． 3．若关于x的不等式的解集为． (1)当时，求的值； (2)若，，求的值； (3)在(2)的条件下，求的最小值． 【解析】(1)由题意，关于x的方程有两个根，， 所以，故． (2)由题意，关于x方程有两个正根， 由韦达定理知，解得，所以. (3)由(2)，，且，， 所以，而、， 所以，当且仅当，且，即，取等号， 此时实数符合条件，故，且当时，取得最小值． 举一反三 1．若不等式的解集为或，则(　　) A．， B．， C．， D．， 【解析】因为不等式的解集为或，所以和时，， 即，，解得,,故选：D． 2．若，则不等式的解集是(    ) A． B． C． D． 【解析】由于，所以,所以不等式的解集，故选：D 3．若不等式的解集是的子集，则a的范围是(　　) A．[－4，3] B．[－4，2]C．[－1，3] D．[－2，2] 【解析】原不等式可化为. 当a＜1时，不等式的解集为[a，1]，此时只要即可，即； 当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求； 当a＞1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要即可，即. 综上可得：.故选：A. 4．关于的不等式的解集为，则不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 【解析】因为关于的不等式的解集为， 所以，且，，所以，， 所以化为，解得.故选：A. 5.已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为(    ) A．4 B． C．2 D．1 【解析】由题意关于x的不等式的解集为，其中， 可知 ，且为的两根，且， 即，即 ， 所以，当且仅当时取等号，故选:C. 6．已知不等式的解集为，则的值是(    ) A．3 B．4 C．5 D．6 【解析】由题可知：3和4是方程的两个实数根， 由韦达定理可知：，解得：，则.故选：C 7． “关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是(    ) A． B． C． D．或 【解析】因为不等式的解集为，所以应有， 解得.选择的必要不充分条件的范围，应该大于包含的范围，显然只有C项满足.故选：C. 8．若关于的不等式有解，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【解析】若关于的不等式有解,则，解得.故选：C. 9．已知关于的方程在区间内有实根，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【解析】因为关于的方程在区间内有实根， 所以在区间内有实根， 令，，所以在上单调递减， 所以，即， 依题意与在内有交点，所以.故选：B 10． (多选)关于x的不等式的解集中恰有3个正整数解，则a的值可以为(    ) A． B． C． D．2 【解析】不等式化简为的解集中恰有3个正整数， 当时，不等式化为，则解集中有无数个整数. 当时，不等式的解集中有无数个正整数，故A错误； 所以，，，所以 所以不等式的解集为：， 根据0一定属于此集合， 则由不等式的解集中恰有3个正整数，则这3个整数中一定为：， 则，解得故可取和2，故C,D正确，AB错误；故选：CD. 11． (多选)已知关于的不等式解集为或，则下列结论正确的有(    ) A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 【解析】关于的不等式解集为或, 结合二次函数和一元二次方程以及不等式的关系， 可得，且是的两根，A正确； 则，故， 所以即，即的解集为，B错误； 由于的不等式解集为或, 故时，，即，C错误； 由以上分析可知不等式即， 因为，故或， 故不等式的解集为或，D正确，故选：AD 12． (多选)已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是(    ) A． B． C． D．关于x的不等式的解集为 【解析】由不等式的解集为，所以和1是方程的两个根，由根与系数的关系可得 ，解得，故A错误，B正确，，故C正确， 不等式变为，解得，故D错误，故选：BC 13． (多选)某商场若将进货单价为元的商品按每件元出售，每天可销售件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高元，销售量就要减少件．那么要保证每天所赚的利润在元以上，每件销售价可能为(    ) A．元 B．元 C．元 D．元 【解析】设销售价定为每件x元，利润为y元，则， 依题意有，即，解得， 所以每件销售价应为12元到16元之间，故每件销售价可能为13元或15元，故选︰AB． 14． (多选)已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是(    ) A． B．的解集为 C． D．的解集为 【解析】关于的不等式的解集为或，故，且， 整理得到，，对选项A： ，正确；对选项B：，即，解得，正确； 对选项C：，错误； 对选项D：，即，即，解得，正确.故选：ABD 15．(多选)已知函数，则下列结论正确的是(    ) A．关于x的不等式的解集可以是 B．关于x的不等式的解集可以是 C．函数的图象与x轴正半轴可以有两个交点 D．“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“” 【解析】若不等式的解集是，则且，得， 而当，时，不等式，即，得，与矛盾，故A错误； 取，，此时不等式的解集为，故B正确； 函数的图象与x轴正半轴可以有两个交点,即可以有2个正根，取，，则由，得或3，故C正确； 若关于x的方程有一个正根和一个负根，则得， 若，则，故关于x的方程有两个不等的实根， 且，即关于x的方程有一个正根和一个负根． 因此“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”，故D正确．故选：BCD． 16．不等式的解集为，则的取值范围是________. 【解析】∵不等式的解集为，∴恒成立. ①当，即时，不等式化为，解得：，不是对任意恒成立，舍去； ②当，即时，对任意，要使，只需 且，解得：.综上，实数m的取值范围是.故答案为： 17．若不等式的解集为R，则实数的取值范围是________． 【解析】①当，即时，，解得. ②当，即时，若，则原不等式为，恒成立． 若，则原不等式为，即，不符合题目要求，舍去． 综上所述，当时，原不等式的解集为R.故答案为：. 18．已知，当时，不等式恒成立，则实数m的范围为__________． 【解析】由题意可得对任意的恒成立， 即对任意的恒成立. 令，，，，则, 所以,所以实数m的范围为.故答案为:. 19．已知，若时，恒成立，则实数的取值范围为__． 【解析】开口向上，对称轴为，若时，恒成立，则有： 当，即时，则，解得，不合题意； 当，即时，则，解得； 当，即时，则，解得； 综上所述：的取值范围为．故答案为：． 20.对恒成立，则实数的范围为________________. 【解析】对恒成立．① 当时，可得.若， 则有，合乎题意； 若，则有，解得，不合乎题意；②若，则，解得综上，实数的范围为. 21．已知为实数，命题甲：关于的不等式的解集为；命题乙：关于的方程有两个不相等的负实数根．若甲、乙至少有一个为真命题，求实数的取值范围为_______． 【解析】由命题甲：关于的不等式的解集为，当时，不等式恒成立； 当时，则满足，解得，综上可得． 由命题乙：关于的方程有两个不相等的负实数根， 则满足，整理得，所以，解得． 所以甲、乙至少有一个为真命题时，有或， 可得，即实数的取值范围为．故答案为：． 22．解下列关于的不等式． 【解析】由对应函数开口向上，且， 当，即时，恒成立，原不等式解集为； 当，即或时，由，可得， 所以原不等式解集为；综上，解集为； 或解集为. 23．解下列关于的不等式． 【解析】方程： 且 解得方程两根：； 当时，原不等式的解集为： 当时，原不等式的解集为： 综上所述, 当时，原不等式的解集为： 当时，原不等式的解集为： 24．已知，解关于的不等式． 【解析】当时，不等式为，解得；当时，不等式化为， 当时，不等式为，解得；当时，不等式为， 若，不等式为，解得；若，解得或；，解得或. 综上所述，当时，原不等式的解集是； 当时，原不等式的解集是；当时，原不等式的解集是或； 当时，原不等式的解集是或． 25．已知，求解关于的不等式. 【解析】， (1)当时，即 解得 (2)当时，解得 (3)当时①当时，即 解得 ②当时，或 ③当时，或 综上所述：当时，原不等式的解集为当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为 26．已知不等式：. (1)若，求不等式解集； (2)若，求不等式解集. 【解析】(1)，，当时，解得或. 所以不等式的解集为或. (2)，，当时，由(1)得不等式的解集为或. 当时，不等式的解集为.当时，不等式的解集为或. 27．已知函数. (1)若，解不等式； (2)解关于的不等式. 【解析】(1)当时，，所以由得， 解得或，故的解集为或. (2)由得，当时，不等式化为，解得，故不等式的解集为； 令，解得或， 当，即时，不等式解得或，故不等式的解集为或； 当，即时，不等式化为，解得，故不等式的解集为； 当，即时，不等式解得或，故不等式的解集为或； 当，即时，不等式解得，故不等式的解集为； 综上：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或； 28．已知二次函数的图像过点和原点，对于任意，都有． (1)求函数的表达式； (2)设，若函数≥在上恒成立，求实数的最大值． 【解析】(1)由题意得 ，所以，因为对于任意，都有，即恒成立，故，解得，.    所以； (2)由≥得；当时，不等式恒成立；当时，，                                令，则，        即， 当且仅当时，即时，实数取得最大值. 29．设． (1)当时，若两根一个比小，一个比大，求范围． (2)解关于的不等式． 【解析】(1)解：对于函数，当时，有两根一个比小，一个比大， 所以，即，解得； （2）解：不等式，即，当时，原不等式即， 解得，所以不等式的解集为；当时，即，解得，所以不等式的解集为；若，不等式即，当时，不等式化为，解得，所以不等式的解集为；当时，，不等式化为，解得或，所以不等式的解集为或；当时，，不等式化为，解得或，所以不等式的解集为或．综上可得，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为或． 30．已知关于的不等式的解集为． (1)若，求实数的取值范围； (2)若存在两个不相等的正实数，使得，求实数的取值范围． 【解析】(1)当时，或，当时，不等式化为，解集不是空集，舍去； 当时，不等式化为，此时解集为空集；当且时，要使， 则需满足，解得．综上可得，实数的取值范围是． (2)要存在两个不相等的正实数，使得， 则且方程的两个相异正根为a，b，则， 解得，即实数的取值范围是． 31．已知函数. (1)当时，求解关于的不等式； (2)若方程有两个正实数根，求的最小值. 【解析】(1)当时, 不等式即为，解得或，故解集为 ； (2)方程有两个正实数根，即有两个正实数根， 故，解得；所以， 令，则，故， 当且仅当即时取得等号，故的最小值为6. 32．已知关于x的方程． (1)当a为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？ (2)当a为何值时，方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3？ (3)当a为何值时，方程的两个根都大于0？ 【解析】(1)二次函数的图象是开口向上的抛物线， 故方程的一个根大于1，另一个根小于1， 则，解得，所以a的取值范围是． (2)方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3， 作满足题意的二次函数的大致图象， 由图知， ，解得．所以a的取值范围是． (3)方程的两个根都大于0， 则 ，解得，所以a的取值范围是． 33．已知二次函数. (1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式； (2)若关于x的方程的两个实根均大于且小于4，求实数t的取值范围． 【解析】(1)设二次函数的两个零点分别为，，由已知得， 而，所以，故，不等式即，解得或， 故不等式的解集为或. (2)因为方程的两个实根均大于且小于4，所以，即，解得：，即实数t的取值范围为. 课 后 作 业 1．已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【解析】∵，，则，∴，又∵，且， 可得，令，则原题意等价于对一切，恒成立， ∵的开口向下，对称轴，则当时，取到最大值， 故实数的取值范围是.故选：C. 2．已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为(    ) A．2 B． C． D． 【解析】设()，()，因为，所以当时，； 当时，；当时，； 由不等式恒成立，得：或， 即当时，恒成立，当时，恒成立， 所以当时，，则，即， 则当时，，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为.故选：B. 3． (多选)已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是(    ) A． B． C．若不等式的解集为，则 D．若不等式的解集为，且，则 【解析】由于集合有且仅有两个子集，所以，即， 由于，所以.，当时等号成立，故A正确，B错误. C，不等式的解集为，所以，故C错误. D，不等式的解集为，即不等式的解集为，且， 则，则，所以，故D正确. 4． (多选)已知关于的不等式，下列结论正确的是(    ) A．当时，不等式的解集为 B．当时，不等式的解集可以表示为形式 C．若不等式的解集恰为，则或 D．若不等式的解集恰为，则 【解析】A选项，若 有解，即有解， 则有，， 所以，.这与已知不相符，所以不等式无解，解集为； B选项，作出的图象以及y=a，y=b的图象.由图可知，此时不等式的解集应由两部分组成； C，D选项：因为不等式的解集恰为，即可以转化为二次函数在上的取值是.则必有，即，解得，或. 又因为在R上的最小值为，则应有且.当时，有. 即，解得，或，与不相符，舍去；当时，有. 即，解得，a=0或a=4(舍去).所以，a=0,b=4.故选：AD. 5．已知函数，，. (1)若关于的不等式的解集为或，求实数，的值； (2)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围； (3)若关于的不等式的解集中恰有个整数，求实数的取值范围． 【解析】(1)∵关于的不等式的解集为或， ∴方程的两根为，，∴，∴解得，. (2)令， 若关于的不等式在上有解，则在上有解， ∴只需使在区间上的最小值. 图象是开口向上，对称轴为的抛物线， ∴在区间上单调递减，在区间上单调递增， ①当，即时，在区间上单调递增，∴，解得， 此时，； ②当，即时， 在区间上单调递减，∴，解得， 此时，； ③当，即时， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， ∴，解得或，此时，； 综上所述，实数的取值范围是. (3)令；若关于的不等式的解集中恰有个整数， 则的解集中恰有个整数，， ①当，即时，解集为，不合题意；②当，即时，解集为， 若解集中恰有个整数，则这个整数为，，，∴，解得，∴此时； ③当，即时，解集为，若解集中恰有个整数，则这个整数为，，， ∴，解得，∴此时；综上所述，实数的取值范围是. 6．已知二次函数(为实数) (1)若时，且对，恒成立，求实数的取值范围； (2)若时，且对，恒成立，求实数的取值范围； (3)对，时，恒成立，求的最小值． 【解析】(1)时，，即， ，恒成立，即恒成立，恒成立， ，对恒成立，．令，则， 则， 当且仅当，即，此时时取，所以实数的取值范围时． (2)时，，即，，恒成立， 即对恒成立，对恒成立． ，，所以实数的取值范围是． (3)对，时，恒成立，，则．，当且仅当且，即时取等号，所以最小值是． 7．已知命题是假命题. (1)求实数的取值集合； (2)设不等式的解集为A，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【解析】(1)因为命题是假命题，所以命题是真命题， 所以在上恒成立，令，则开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，所以， 所以，即，故. (2)因为是的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集，又， 因为对应的方程的根为或， 当，即时，由得，则， 所以，则，故； 当，即时，由得，显然，即，满足题意； 当，即时，由得，则， 所以，则，故；综上：，即. 8．已知函数． (1)问题：若关于x的方程______，求实数a的取值范围； 从下面给出的①②③三个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并进行解答． ①有两个不等正实根；②有两个相异负实根；③有1个正实根和1个负实根． (若选择多个方案分别解答，则按第一个解答记分．) (2)当时，解关于x的不等式； (3)当时，若关于x的不等式的解集中有且仅有2023个整数，求实数a的取值范围． 【解析】(1)方程等价于． 若选①，原问题等价于，解得． 所以实数a的取值范围为. 若选②，原问题等价于,解得．所以实数a的取值范围为. 若选③，原问题等价于，解得．所以实数a的取值范围为. (2)当时，等价于．①当，即时，； ②当，即或时，当时，； 当时，． ③，即时，当时，或； 当时，或． 当时，．综上，当时，；当时，或； 当时，；当时，或；当时，； 当时，． (3)等价于．因为解集中整数解恰有2023个，则． 因为，所以．则2023个整数解为0，，，．即． 即．又，所以，解得． 又，所以．所以，实数的取值范围是． 9．设函数， (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若，求不等式的解集． (3)若，，，求的最小值． 【解析】(1)由不等式的解集为可得：方程的两根为1，3且， 由根与系数的关系可得：，，所以 (2)由得，又因为，所以不等式 化为，即，当时，原不等式变形为，解得 当时，，原不等式． 若，原不等式．此时原不等式的解的情况应由与1的大小关系决定，故 当时，不等式的解为；当时，，不等式或； 当时，，不等式或综上所述，不等式的解集为： 当时，；当时，；当时，； 当时，；当时，． (3)由已知得，，又则 当且仅当，即时等号成立. 10．设二次函数，其中. (1)若，且关于的不等式的解集为，求的取值范围； (2)若，且均为奇数，求证：方程无整数根； (3)若，当方程有两个大于1的不等根时求的取值范围. 【解析】(1)∵∴在上恒成立 ∵，则，解得综上所述：的取值范围为. (2)∵，则为奇数，为偶数当时，则有： 1.若均为偶数时，则为偶数∴，即方程无整数根 2.若均为奇数时，则有①若为偶数时，则为偶数 ∴，即方程无整数根 ②若为奇数时，则为偶数∴，即方程无整数根 综上所述：方程无整数根 (3)；由题意可得，解得；则的取值范围为. 11．已知函数， (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，求不等式的解集； (3)若使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值. 【解析】(1)由得：恒成立，恒成立， 当时，恒成立，符合题意；当时，则，解得：； 综上所述：实数的取值范围为. (2)当时，；令，解得：，； 当，即时，恒成立，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为； 综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. (3)由得：； 当时，，解得：，方程有且仅有两个实根，不合题意； 当时，无解，则，解得：；方程有且仅有两个实根，不合题意； 当时，则或，解得：或， 方程有四个不同的实根，，解得：，则且； 综上所述：实数的取值范围为. 32 学科网（北京）股份有限公司 $$