精品解析：江西省吉安市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题

吉安市高二下学期期末教学质量检测 数学试题 2024.6 （测试时间：120分钟 卷面总分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知随机变量X服从正态分布，则（ ） A. 0.52 B. 0.44 C. 0.28 D. 0.26 3. 函数满足，则的极大值点为（ ） A. 4 B. 8 C. 10 D. 12 4. 已知某厂甲、乙两车间生产同一批锂电池，合格率分别为，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的．现从该厂生产的一批锂电池中任取一件，则取到合格品的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 口袋中装有除颜色外完全相同的3个红球、2个白球和1个黄球，从中任取一个球，事件A表示“取到的是红球”，事件B表示“取到的是白球”，事件C表示“取到的是黄球”，则（ ） A. B. 事件可能同时发生 C. 与互斥 D. 事件A与事件B不相互独立 6. 设等比数列的前n项和为，且，则（ ） A. B. C. 0 D. 2 7. 为了解喜爱钓鱼是否与性别有关，某同学随机在人群中抽取了若干人进行调查，抽取女性人数是男性人数的2倍，男性喜爱钓鱼的人数占男性人数的，女性喜爱钓鱼的人数占女性人数的，若本次调查得出“有的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关”的结论，则被调查的男性至少有（ ） 附：，且． 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.7 3.8 6.6 7.9 10.8 A. 8人 B. 10人 C. 15人 D. 20人 8. 函数与函数公切线的斜率为（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若样本数据的方差为3，则数据的方差为15 B. 值越接近1，随机变量之间的线性相关程度越强 C. 若，则事件相互独立 D. 在一组样本数据（，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为 11. 已知首项为1的正项数列满足，则（ ） A. 为递增数列 B. C. D. 数列为递减数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 为等比数列的前n项和，是首项为2的等差数列，则的公差为_______． 13. 如图，数轴上一质点受随机外力的作用从原点O出发，每隔一秒随机、等可能地向左或向右移动一个单位长度，则移动6次后，最终质点位于数轴上的位置4的概率为_______． 14. 当时，函数的值域为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 将4个形状、大小、颜色都相同的排球随机放入4个编号为且最多容纳4个排球的排球筐内，记编号为2的排球筐内放入的排球个数为． （1）求该排球筐内有球的概率； （2）求的分布列． 16. 已知为数列的前n项和，且． （1）求数列的通项公式； （2）设为数列的前n项和，求证：． 17. 已知函数为R上的增函数． （1）当时，求b的取值范围； （2）当时，求a的值． 18. 2024年3月15日的“3·15”晚会后，为进一步加强市场计量监管，切实保护消费者合法权益，某市监管局对某夜市一条街内的电子计价秤进行检定，通过购买商品并比较商家称重和执法人员称重的结果偏差，超过误差范围则判定为缺斤少两．经检查，发现有10家商贩出现缺斤少两问题．执法人员已对这些商贩进行处罚，限期责令整改．以下是执法人员公布的10家“缺斤少两”商贩的部分数据：商贩称重重量为、执法人员称重重量为（单位：），．其他数据如下：． （1）利用最小二乘法，求执法人员称重重量与商贩称重重量之间的线性回归方程（精确到小数点后2位，下同）； （2）经核实，数据点严重偏离回归方程，去除该点后利用相同方法重新计算线性回归方程，证明：直线与直线斜率相等，并求直线的线性回归方程． 参考公式与数据：线性回归方程中斜率的最小二乘法估计公式为，且． 19. 已知函数. （1）求的单调区间. （2）已知直线与曲线交于，，三点，且. ①若成等差数列，求的值； ②证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉安市高二下学期期末教学质量检测 数学试题 2024.6 （测试时间：120分钟 卷面总分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】求出，再由导数定义可得答案. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 2. 已知随机变量X服从正态分布，则（ ） A. 0.52 B. 0.44 C. 0.28 D. 0.26 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可求解. 【详解】, 故， ， 故选：D 3. 函数满足，则的极大值点为（ ） A. 4 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据得，即可求导，根据函数单调性求解极值点. 【详解】，解得， 故，则， 令，解得，令，解得，或， 故在单调递减，在单调递增，故是的极大值点， 故选：B 4. 已知某厂甲、乙两车间生产同一批锂电池，合格率分别为，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的．现从该厂生产的一批锂电池中任取一件，则取到合格品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设出事件，结合全概率公式，准确运算，即可求解. 【详解】记事件“任取一件，取得优品”，事件“取到甲车间的产品”，事件“取得乙车间的产品”，则，且， 所以取得优品的概率为：. 故选：A. 5. 口袋中装有除颜色外完全相同的3个红球、2个白球和1个黄球，从中任取一个球，事件A表示“取到的是红球”，事件B表示“取到的是白球”，事件C表示“取到的是黄球”，则（ ） A. B. 事件可能同时发生 C. 与互斥 D. 事件A与事件B不相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】根据和事件概率判断A选项，应用互斥事件判断B,C选项，根据独立事件的概率乘积公式判断D选项,. 【详解】由已知可得，, ,A选项错误； 因为所以,事件A,B,C不可能同时发生，B选项错误； 事件表示“取到的不是红球”即“取到的是黄球或白球”，事件表示“取到的不是白球”即“取到的是黄球或红球”， 事件可以同时发生，即“取到的是黄球”，不是互斥，C选项错误； 不等于,事件A与事件B不相互独立,D选项正确. 故选：D. 6. 设等比数列的前n项和为，且，则（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】法一：由性质可得答案；法二：求出，再求出其公比为2，则，化简即可. 【详解】法一：设等比数列的公比为， 等比数列的前n项和为，显然当时不合题意，则不等于1， 则， 令，则有，由题意，得. 法二：当时，， 当时，. ， 为等比数列，当时，， 化简得. 故选：C. 7. 为了解喜爱钓鱼是否与性别有关，某同学随机在人群中抽取了若干人进行调查，抽取女性人数是男性人数的2倍，男性喜爱钓鱼的人数占男性人数的，女性喜爱钓鱼的人数占女性人数的，若本次调查得出“有的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关”的结论，则被调查的男性至少有（ ） 附：，且． 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.7 3.8 6.6 7.9 10.8 A. 8人 B. 10人 C. 15人 D. 20人 【答案】B 【解析】 【分析】设被调查的男性人，则女性为人，根据题意，得出的列联表，利用公式求得的值，列出不等式，求解. 【详解】设被调查的男性人，则女性为人，根据题意，可得的列联表，如下图所示： 男性 女性 合计 喜欢钓鱼 不喜欢钓鱼 合计 则 本次调查得出“有的把握认为是否喜爱钓鱼与性别有关”的结论， 可得，解得， 又因为，结合选项，所以被调查的男性至少有人. 故选：B. 8. 函数与函数公切线的斜率为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】先设切点分别为，并通过点斜式方程写出两条切线方程，根据公切线方程得，最后计算值即可. 【详解】设切点分别为， 且导数为， 所以切斜方程为既为， 也为， 所以， 且， 所以， 所以或， 所以公切线的斜率为或. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查求公切线问题，解题关键是分别在函数上设不同切点并求切线方程，根据两切线方程一样来求解公切线斜率. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用二项分布的期望、方差公式可判断A,B,C，利用离散型随机变量的均值的性质可判断D. 【详解】对于，由题意可得服从二项分布，故，故正确； 对于：因为， 所以，故B错误； 对于，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：AD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若样本数据的方差为3，则数据的方差为15 B. 值越接近1，随机变量之间的线性相关程度越强 C. 若，则事件相互独立 D. 在一组样本数据（，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，根据方差的性质得；B选项，根据线性相关系数的概念得到B正确；C选项，由乘法公式推出，C正确；D选项，根据相关系数的概念和性质得到结论. 【详解】A选项，数据的方差为，A错误； B选项，值越接近1，随机变量之间的线性相关程度越强，B正确； C选项，， 又，故，事件相互独立，C正确； D选项，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为，D错误. 故选：BC 11. 已知首项为1的正项数列满足，则（ ） A. 为递增数列 B. C. D. 数列为递减数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知递推式可得，可判断AB；推得，由数列的单调性，可判断C；由，可判断D． 【详解】对A，由，，，可得， 即，可得数列为递增数列，故A正确； 对B，由数列为递增数列，可得，即有，故B错误； 对C，由A知，为递增数列，且，， 所以，故C正确. 对D，由，可得，则数列为递减数列，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 为等比数列的前n项和，是首项为2的等差数列，则的公差为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据等差数列的性质先推出数列的公比为1，再结合首项的值，即可求解． 【详解】显然数列的公比为1，否则，此时不可能是等差数列， 故公比，此时为常数列，由可得，故， 所以数列的公差为2． 故答案为：2． 13. 如图，数轴上一质点受随机外力的作用从原点O出发，每隔一秒随机、等可能地向左或向右移动一个单位长度，则移动6次后，最终质点位于数轴上的位置4的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】第一空质点位于4的位置可知质点向左移动1次，向右移动5次，根据古典概型的概率公式即可求解； 【详解】质点移动6次，共有2×2×2×2×2×2＝64种情况， 质点位于4的位置时需向左移动1次，向右移动5次，共＝6种情况， 所以质点位于4的概率为， 故答案为： 14. 当时，函数的值域为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先化解得，再采用换元法，令，求出的值域即可. 【详解】由题意可知，， 因为 所以 令， 记， 因为恒成立， 所以在单调递增， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 将4个形状、大小、颜色都相同的排球随机放入4个编号为且最多容纳4个排球的排球筐内，记编号为2的排球筐内放入的排球个数为． （1）求该排球筐内有球的概率； （2）求的分布列． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）设事件“编号为2的排球筐内有球”为事件A，则，根据古典概型的概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为0，1，2，3，4，求出所对应的概率，即可得到分布列． 【小问1详解】 设事件“编号为2的排球筐内有球”为事件A， 则 【小问2详解】 由题意，的可能取值为0，1，2，3，4， ， , , , ， ∴的分布列为： 0 1 2 3 4 16. 已知为数列的前n项和，且． （1）求数列的通项公式； （2）设为数列的前n项和，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由，可得：，两式相减化为：，利用等比数列的通项公式即可得出． （2）由，利用错位相减法即可得出．根据关于单调递增，即可证明结论． 【小问1详解】 ， ， 两式相减，得， ， 又当时，， 为等比数列，公比为， . 【小问2详解】 设， ，则， 两式相减，得 化简得． ，， ， ， 关于单调递增，， 17. 已知函数为R上的增函数． （1）当时，求b的取值范围； （2）当时，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，根据导函数恒为非负，即可结合基本不等式求解最值求解, （2）求导后可得在R上恒成立，二次求导，即可求解. 【小问1详解】 时，，则， 由于为R上的增函数，故在R上恒成立， 故在R上恒成立， 由于，当且仅当时等号成立， 故，即， 【小问2详解】 当时，， 在R上恒成立， 设 则， 当时，，单调递减， 又，，所以当时，，单调递减，不合题意； 当时，，不合题意； 当且时，令，则， 因为单调，所以为的唯一极值点， 当时，存在，使得或时，，不合题意； 当，即时， ， 当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，符合题意； 故 18. 2024年3月15日的“3·15”晚会后，为进一步加强市场计量监管，切实保护消费者合法权益，某市监管局对某夜市一条街内的电子计价秤进行检定，通过购买商品并比较商家称重和执法人员称重的结果偏差，超过误差范围则判定为缺斤少两．经检查，发现有10家商贩出现缺斤少两问题．执法人员已对这些商贩进行处罚，限期责令整改．以下是执法人员公布的10家“缺斤少两”商贩的部分数据：商贩称重重量为、执法人员称重重量为（单位：），．其他数据如下：． （1）利用最小二乘法，求执法人员称重重量与商贩称重重量之间的线性回归方程（精确到小数点后2位，下同）； （2）经核实，数据点严重偏离回归方程，去除该点后利用相同方法重新计算线性回归方程，证明：直线与直线斜率相等，并求直线的线性回归方程． 参考公式与数据：线性回归方程中斜率的最小二乘法估计公式为，且． 【答案】（1） （2）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）根据公式计算得到； （2）根据公式计算得到去除后的与去除前的相等，即可证明直线与直线斜率相等，然后求即可. 【小问1详解】 由题意, 知 ， ，， 所以：. 【小问2详解】 去除后的， 所以直线与直线斜率相等， ， 所以：. 19. 已知函数. （1）求的单调区间. （2）已知直线与曲线交于，，三点，且. ①若成等差数列，求的值； ②证明：. 【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）①； ②证明：要证，即证， 又在上单调递减， 即证， ，即证， 令， 则， 则 ， 故在上单调递增， 故， 则， 则，即， 故. 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，结合导数与单调性关系即可求解； （2）①令，即，故一个交点为原点，令，结合导数分析的单调性，再由成等差数列，结合等差数列的性质即可求解； ②证明：要证，即证，结合的单调性，即证，即证，构造函数，对其求导，结合导数与单调性关系即可证明. 【小问1详解】 ， 当时，， 当时，， 所以的单调递增区间为和， 单调递减区间为. 【小问2详解】 ①令，即， 故一个交点为原点， 令，则， 令，解得， 令，解得， 故在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 则， 由成等差数列得， 则，且，， 故有，即， 解得舍去， 则， 则. ②略 【点睛】方法点睛： 破解双变量不等式的方法： ①转化，即由条件入手，寻找双变量满足的关系式，并把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式； ②巧构函数，再借用导数判断函数的单调性，从而求其最值； ③回归双变量不等式的证明，把所求的最值应用到双变量不等式，即可证得结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $