精品解析：福建省福州市闽清县第一中学2023-2024学年高一下学期期末质量检测试题

2023—2024学年第二学期闽清一中高一年级期末质量检测 数学试卷 （完卷时间：120分钟；满分：150分） 友情提示：请将所有答案填写到答题卡上!请不要错位､越界答题! 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足的共轭复数为，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数模的公式，结合复数除法和乘法的运算法则和共轭复数的定义进行求解即可. 【详解】由， 所以， 故选：B 2. 已知向量，，，若，则（ ） A. B. C. 3 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量线性运算的坐标表示和向量垂直的坐标表示，列方程求的值. 【详解】， ，则有，解得. 故选：B 3. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. ，，则 B. ，，，，则 C. ，，，则 D. ，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，性质定理、线面垂直的性质定理判断即可. 【详解】对于A，，，则或，A错误； 对于B，若，，，，则或相交， 只有加上条件相交，结论才成立，B错误； 对于C，，，无法得到， 只有加上条件才能得出结论，C错误； 对于D，，，则，又因为，所以，D正确. 故选:D. 4. 一个笼子里有3只白兔，3只灰兔，现让它们一一跑出笼子，假设每一只跑出笼子的概率相同，则先跑出笼子的两只兔子中一只是白兔，另一只是灰兔的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用列举法和古典概型的概率公式计算可得结果. 【详解】设3只白兔为，3只灰兔为， 则所有基本事件为：， ，共有15个， 其中先跑出笼子的两只兔子中一只是白兔，另一只是灰兔的有： ，，有9个， 所以所求事件的概率为. 故选：B 5. 函数部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数值在上的符号可判断BD不正确；根据函数在上的单调性可判断A不正确. 【详解】当时，，故BD不正确； 当时，，且为增函数，所以为减函数，故A不正确， 故选：C. 6. 中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台，上下底面的中心分别为和，若，，则正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正四棱台性质求出侧棱长，继而求得高，根据棱台的体积公式，即可求得答案. 【详解】因为是正四棱台，，， 侧面以及对角面为等腰梯形，故，， ，所以， 所以该四棱台的体积为， 故选：B. 7. 如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，设直线与平面交于点，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先作出直线与平面的交点，进而求得的长度. 【详解】在平面中，延长交于P，连接，交于Q， 在中，则 又在中， 则.    故选：C 8. 正方体的棱长为是面内一动点，且是棱上一动点，则周长的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用展开方法，以为基准，将和翻折使其与共面，然后利用余弦定理求解. 【详解】由正方体的结构特征可知，平面， 点M是内一动点，且，所以点在线段上运动， 动线段在内运动，动线段在内运动，动线段在内运动， 以为基准，将和翻折使其与共面，如图所示： 其中翻折至，翻折至， 的周长等于,最小值等于 ， 由余弦定理可求得， 所以， 故的周长最小值等于， 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如下所示，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 在区间上单调递增 D. 函数与在的图象所有交点横坐标之和为 【答案】CD 【解析】 【分析】先利用题给条件求得函数解析式，结合正弦函数性质再利用验证法即可判断选项ABC，利用正弦函数图像性质即可判断选项D. 【详解】函数的最小正周期为，则， 又当时函数取得最小值，则 由，解得, 又，则，则. 由， 可得直线不是的对称轴.故选项A错误； 由， 可得点不是的对称中心.故选项B错误； 由，可得，， 则在区间上单调递增.故选项C正确； 由，可得，， 令，则， 与函数有4个交点，依次为 且 则，， 化简得，则. 则函数与在的图象所有交点横坐标之和为，故选项D正确 故选：CD 10. 掷一枚骰子，记事件A表示事件“出现奇数点”，事件B表示事件“出现4点或5点”，事件C表示事件“点数不超过3”，事件D表示事件“点数大于4”，则（ ） A. 事件A与B是独立事件 B. 事件B与C是互斥事件 C. 事件C与D是对立事件 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据定义判断独立事件，互斥事件和对立事件即可. 【详解】由题意知：，，， ∴事件与是独立事件，A正确； ∵事件与不能同时发生，∴与是互斥事件，B正确； 点数为4时，既不属于事件，也不属于事件，∴事件与不是对立事件，C错误； ∵事件是“点数为5点”，∴，D错误. 故选：AB. 11. 如图，已知棱长为2的正方体中，点在线段上运动，现给出下列结论：则正确的选项为（ ） A. 直线与直线所成角的大小不变 B. 平面平面 C. 点到平面的距离为定值 D. 存在一点，使得直线与平面所成角为 【答案】ABC 【解析】 【分析】求得直线与直线所成角判断选项A；利用面面垂直判定定理判断选项B；求得到平面的距离判断选项C；求得直线与平面所成角的范围判断选项D. 【详解】连接，则由正方体中， ，平面， 可得平面, 又平面，则， 则直线与直线所成角的大小不变.故选项A判断正确； 连接， 由正方体中，平面. 又平面，则平面平面. 故选项B判断正确； 由平面，平面， 可得平面， 则点到平面的距离相等，设该距离为d， 由，可得， 解之得，则点到平面的距离为定值. 故选项C判断正确； 正方体中， 直线与平面所成角为， 由中，，， 则，由为锐角，， 则. 故不存在一点，使得直线与平面所成角为.选项D判断错误. 故选：ABC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某场比赛甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题. 已知甲家庭回答正确这道题的概率是 ，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是 .乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，各家庭是否回答正确互不影响，则甲、乙、丙三个家庭中恰好有2个家庭回答正确这道题的概率为_________. 【答案】 【解析】 【分析】甲、乙、丙三个家庭回答正确的概率分别记为，然后利用独立事件和对立事件的概率公式求得及结论． 【详解】甲、乙、丙三个家庭回答正确的概率分别记为， 由题意，，，，， 所以甲、乙、丙三个家庭中恰好有2个家庭回答正确这道题的概率是 ． 故答案为：． 13. 已知菱形的边长为2，且，将沿直线翻折为，记的中点为，当的面积最大时，三棱锥的外接球表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意求得当的面积最大时，易知，利用勾股定理可得两两垂直，通过构造正方体即可得三棱锥的外接球半径为，可得其表面积. 【详解】根据题意可知，如下图所示： 当的面积最大时，即取得最大值， 可得， 由对称性可知，可得； 又因为为的中点，所以， 又，由勾股定理可知棱两两垂直， 所以三棱锥的外接球半径为， 可得该外接球的表面积， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：在求解三棱锥的外接球问题时，可根据几何体特征通过构造出正方体求得外接球半径，即可求出结果. 14. 如图所示，为了测量某座山的山顶A到山脚某处的距离（垂直于水平面），研究人员在距研究所处的观测点处测得山顶A的仰角为，山脚的俯角为.若该研究员还测得到处的距离比到处的距离多，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用余弦定理可得，过点作，结合直角三角形运算求解. 详解】设，则， 在中，因为， 由余弦定理可得：，解得：， 则. 过点作， 由题意可得：， 则， ， 可得，， 则， 所以. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，，的对边分别为，，，且满足，． （1）求外接圆的周长； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用正、余弦定理可得，再结合正弦定理求外接圆半径； （2）根据题意利用正弦定理和三角恒等变换求，再结合面积公式运算求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得，整理得， 由余弦定理可得， 且，则． 又因为，由正弦定理得外接圆的半径， 所以外接圆的周长为． 【小问2详解】 在中，，，， 由正弦定理得，可得， 又因为，可知，可得， 则， 所以的面积为． 16. 已知正四棱柱中，是中点． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）在线段上是否存在点P，当时，平面面？若存在，求出的值并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；(3)在线段上存在点P，当时，平面平面. 【解析】 【分析】(1) 利用线面平行的判定定理证明平面； (2) 利用线面垂直的判定定理证明平面，则有； (3) 先确定的值，再根据面面平行的判定定理证明两平面平行. 【详解】因为四棱柱是正四棱柱，所以底面为正方形，侧棱垂直底面，侧面均为矩形. (1)证明：记和相交于点， 因为为正方形，所以为的中点.又M是的中点， 所以.又平面，平面， 所以平面. (2)证明：因为为正方形，所以. 因为平面，平面，所以. 又，在平面内，且相交于点， 所以平面.又平面， 所以. (3) 在线段上存在点P，当，即时，平面面. 理由如下： 当时，为的中点. 取的中点，连接，，则有. 连接，因为四边形是矩形，M是的中点，是的中点， 所以，. 在正方形中，有，，. 所以，，四边形为平行四边形. 有，又，所以， 又平面，平面，所以平面. 同理可证：平面. 又，在平面内，且相交于点， 所以平面平面. 17. 某大型连锁超市为了解客户去年在该超市的消费情况，随机抽取了100位客户进行调查.经统计，这100位客户去年到该超市消费金额（单位：万元）均在区间内，按，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示. （1）求该频率分布直方图中的值，并估计这100位客户去年到该超市消费金额的平均数；（同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值作为代表） （2）为了解顾客需求，该超市从消费金额在区间和内的客户中，采用分层抽样的方法抽取5人进行电话访谈，再从访谈的5人中随机抽取2人作为“幸运客户”，求“幸运客户”中恰有1人来自区间的概率. 【答案】（1），万元 （2） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图中各矩形面积和为1求得，在由频率分布直方图求平均数方法可得这100位客户去年到该超市消费金额的平均数； （2）先利用分层抽样得到分组区间中抽取2人，分组区间中抽取3人，再由古典概型用列举法得到样本空间得解. 【小问1详解】 由题可知，即，所以. 由频率分布直方图可得 ， 因此，这100位客户去年到该超市消费金额的平均数为万元. 【小问2详解】 记“幸运客户中恰有1人来自区间”为事件. 因为区间与频率之比为，采用分层抽样的方法抽取5人进行电话访谈， 故从分组区间中抽取2人，分别记为， 从分组区间中抽取3人，分别记为， 从这5个人中随机选择2人作为“幸运客户”，样本点表示“选出”（余类推）， 则样本空间为 . 所以. 答：幸运客户中恰有1人来自区间的概率为. 18. 如图，菱形ABCD的边长为2，，E为AC的中点，将沿AC翻折使点D至点. （1）求证：平面平面ABC； （2）若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线线垂直证线面垂直，再证面面垂直； （2）过作于点，过M作于点，连接，分析得即为二面角的平面角，由三棱锥体积求得，即可进一步由几何关系求得. 【小问1详解】 证明：在菱形中，，∴和均为等边三角形， 又∵E为AC的中点，∴，，，平面，∴平面， 又∵平面ABC，∴平面平面ABC 【小问2详解】 过作于点，∵平面平面ABC，平面，∴平面ABC. ∴. 过M作于点，连接， ∵平面ABC，∴，∵平面，∴平面， ∵平面，∴. ∴即为二面角的平面角， ，∴，， ∴，∴. 故二面角的余弦值为. 19. 已知函数，． （1）若，解不等式； （2）若函数恰有三个零点，，，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分当时，当时，讨论去掉绝对值，由一元二次不等式的求解方法可得答案； （2）得出分段函数的解析式，根据二次函数的性质和根与系数的关系可求得答案. 【小问1详解】 解：当时，原不等式可化为…①． （ⅰ）当时，①式化为，解得，所以； （ⅱ）当时，①式化为，解得，所以． 综上，原不等式的解集为． 【小问2详解】 解：依题意，． 因为，且二次函数开口向上， 所以当时，函数有且仅有一个零点． 所以时，函数恰有两个零点． 所以解得． 不妨设，所以，是方程的两相异实根， 则，所以． 因为是方程的根，且， 由求根公式得． 因为函数在上单调递增， 所以，所以．所以．所以a的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年第二学期闽清一中高一年级期末质量检测 数学试卷 （完卷时间：120分钟；满分：150分） 友情提示：请将所有答案填写到答题卡上!请不要错位､越界答题! 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足的共轭复数为，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 2. 已知向量，，，若，则（ ） A. B. C. 3 D. 0 3. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. ，，则 B. ，，，，则 C. ，，，则 D. ，，，则 4. 一个笼子里有3只白兔，3只灰兔，现让它们一一跑出笼子，假设每一只跑出笼子概率相同，则先跑出笼子的两只兔子中一只是白兔，另一只是灰兔的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 函数部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台，上下底面的中心分别为和，若，，则正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，设直线与平面交于点，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 8. 正方体的棱长为是面内一动点，且是棱上一动点，则周长的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如下所示，则（ ） A. 图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 在区间上单调递增 D. 函数与在图象所有交点横坐标之和为 10. 掷一枚骰子，记事件A表示事件“出现奇数点”，事件B表示事件“出现4点或5点”，事件C表示事件“点数不超过3”，事件D表示事件“点数大于4”，则（ ） A. 事件A与B独立事件 B. 事件B与C是互斥事件 C. 事件C与D对立事件 D. 11. 如图，已知棱长为2的正方体中，点在线段上运动，现给出下列结论：则正确的选项为（ ） A. 直线与直线所成角的大小不变 B. 平面平面 C. 点到平面的距离为定值 D. 存在一点，使得直线与平面所成角为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某场比赛甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题. 已知甲家庭回答正确这道题的概率是 ，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是 .乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，各家庭是否回答正确互不影响，则甲、乙、丙三个家庭中恰好有2个家庭回答正确这道题的概率为_________. 13. 已知菱形的边长为2，且，将沿直线翻折为，记的中点为，当的面积最大时，三棱锥的外接球表面积为__________. 14. 如图所示，为了测量某座山的山顶A到山脚某处的距离（垂直于水平面），研究人员在距研究所处的观测点处测得山顶A的仰角为，山脚的俯角为.若该研究员还测得到处的距离比到处的距离多，且，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，，的对边分别为，，，且满足，． （1）求外接圆的周长； （2）若，求的面积． 16. 已知正四棱柱中，是的中点． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）在线段上是否存在点P，当时，平面面？若存在，求出的值并证明；若不存在，请说明理由． 17. 某大型连锁超市为了解客户去年在该超市的消费情况，随机抽取了100位客户进行调查.经统计，这100位客户去年到该超市消费金额（单位：万元）均在区间内，按，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示. （1）求该频率分布直方图中的值，并估计这100位客户去年到该超市消费金额的平均数；（同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值作为代表） （2）为了解顾客需求，该超市从消费金额在区间和内的客户中，采用分层抽样的方法抽取5人进行电话访谈，再从访谈的5人中随机抽取2人作为“幸运客户”，求“幸运客户”中恰有1人来自区间的概率. 18. 如图，菱形ABCD的边长为2，，E为AC的中点，将沿AC翻折使点D至点. （1）求证：平面平面ABC； （2）若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值. 19. 已知函数，． （1）若，解不等式； （2）若函数恰有三个零点，，，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$