精品解析：重庆市綦江区2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题

2024年春八年级（下）学业质量达标监测试卷 数学 数学测试卷共2页，满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑. 1. 式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 根据二次根式的被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】∵式子有意义， ∴ ∴． 故选：C． 2. 下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 6，7，8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为2，3，4的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴长为3，4，5的三条线段可以组成直角三角形，故此选项符合题意； C、∵， ∴长为4，5，6的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵， ∴长为6，7，8的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项符合题意； 故选：B． 3. 已知一次函数（），随的增大而增大，则的值可能是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟记一次函数图象与系数的关系，属于中考必考题型．根据一次函数图象与系数的关系可知时，随的增大而增大，根据选项即可得到答案． 【详解】解：一次函数，随的增大而增大， ， 在四个选项中，只有A选项，， 故选：A 4. 学校从甲、乙、丙三名信息学竞赛选手中选出一名同学去参加全国青少年信息学竞赛，对这三名同学进行了次模拟竞赛，经数据分析，人的平均成绩均为分，甲的方差是，乙的方差是，丙的方差是，则这次模拟竞赛成绩比较稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查方差的意义．根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定解答即可． 【详解】解：人的平均成绩均为分，甲的方差是，乙的方差是，丙的方差是，甲的方差最小， 这次模拟竞赛成绩比较稳定的是甲， 故选：A． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的加减法法则、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．根据二次根式的加减法法则、乘法法则、二次根式的除法法则进行判断． 【详解】A. ，故选项不符合题意； B. ，故选项不符合题意； C. ，故选项不符合题意； D. ，该选项正确，符合题意； 故选：D 6. 下列关于四边形的说法，正确的是（ ） A. 矩形对角线互相垂直 B. 平行四边形是轴对称图形 C. 菱形的对角线相等 D. 有一个角是直角的菱形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】此题重点考查矩形、菱形的性质，正方形的判定，熟练掌握矩形、菱形与正方形的性质定理是解题的关键．根据菱形、矩形、平行四边形的性质和正方形的判定定理即可得到结论． 【详解】A.矩形对角线相等，故不符合题意； B.平行四边形是中心对称图形，故不符合题意； C.菱形对角线互相垂直，故不符合题意； D. 有一个角是直角的菱形是正方形，故符合题意； 故选：D 7. 估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数大小的估算，熟练掌握相关知识是解题关键．根据确定，然后估算的大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即． 故选：C． 8. 已知，两地相距40千米，甲、乙两车从地出发沿相同路线，匀速前往地，图中和，分别表示甲、乙两车所行驶的路程（千米）与乙行驶的时间（小时）之间的关系．下列说法正确的是（ ） A. 乙晚出发1小时 B. 甲的速度是12千米/小时 C. 乙出发2小时后追上甲 D. 乙先到达地 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了从函数图像获取信息，解题的关键是结合实际问题体会自变量、因变量的变化关系，根据函数图像，实际情景综合推断结论． 【详解】解：由图像可知： A、甲晚出发1小时，故错误，不合题意； B、甲的速度是千米/小时，故正确，符合题意； C、甲出发2小时后追上乙，故错误，不合题意； D、甲追上乙后，图像位于乙的上方，故先到达地，故错误，不合题意； 故选B． 9. 如图，正方形中，为正方形内一点，连接，使，再连接，，过点作，且，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．由“”可证，再由全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D 10. 已知，，是实数，规定关于和*的一种运算：，例如：．则下列结论： ①若，则或； ②不存在实数，，使得的值为正数； ③若，，是直角三角形三条边的边长，则：的最小值为．其中结论正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，根据题中规定的运算法则对各选项进行新定义的运算即可解答，运用了分类讨论的思想．解题的关键是掌握相应的运算法则，性质及公式．也考查了勾股定理及因式分解． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∴或，故结论①正确； ②∵ ， ∴不存在实数，，使得的值为正数，故结论②正确； ③∵， 又∵，，是直角三角形三条边的边长， 若为斜边，则， ∴； 若为斜边，则， ∴； 若为斜边，则， ∴； ∴，，故结论③错误； ∴结论正确的有个． 故选：C． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上. 11. 化简：________． 【答案】7 【解析】 【分析】进行化简即可得． 【详解】解：， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的计算法则． 12. 某学校规定学生的学期道德与法治成绩满分为分，其中研究性学习成绩占，期末卷面成绩占，小颖的这两项成绩（百分制）依次是分，分，则小颖这学期的道德与法治成绩是______分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查加权平均数，利用各数乘以占比求和即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 道德与法治成绩是：， 故答案为：． 13. 如图，平面直角坐标系中，直线（）与直线（）相交于点，则方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组交点问题，根据两函数交点即为两函数组成的方程组的解，从而求出答案． 【详解】解：如图，∵直线（）与直线（）相交于点， ∴方程组的解为， 故答案为：． 14. 已知点在函数的图象上，则代数式的值等于______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合函数的解析式是解题的关键． 根据点在函数的图象上，，将点的坐标代入解析式即可求解． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴，即． 故答案为：5 15. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的运算和因式分解的应用，把代数式利用完全平方公式分解后代入字母的值，进行二次根式的运算即可． 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为： 16. 如图，矩形的对角线，交于点，为的中点，连接，若，，则的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质．根据矩形的性质，可得，再由等腰三角形的性质可得，，然后根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵为的中点，， ∴，， ∴． 故答案为：4 17. 如图，是平行四边形对角线，点为边的中点，连接，将沿直线翻折到同一平面内得到，连接，，分别交，于点，，若，，，则线段的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据折叠的性质可得，，，易得，再结合点为边的中点，易得，，进而可得，证明，由全等三角形的性质可得，在中，由勾股定理解得的值，然后结合平行四边形的性质，即可获得答案． 【详解】解：∵将沿直线翻折到同一平面内得到，，， ∴，，，即， ∴， ∵点为边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴在中，， ∵四边形为平行四边形， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，证明和是解题关键． 18. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，并且满足，那么称这个四位数为“吉祥数”．例如：四位数6137，因为，所以6137是“吉祥数”；又如：四位数5236，因为，所以5236不是“吉祥数”．若是“吉祥数”，记，若是一个完全平方数，则______；若“吉祥数”能被7整除，则所有满足条件的四位数的最大值与最小值的差为______． 【答案】 ①. ②. 6027 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，理解新定义，正确推理计算是解题关键． （1）根据题意可得，，，，，，易得，，结合是一个完全平方数，可知0，1，4，分别求解，选择满足条件的结果，即可获得答案； （2）由，结合题意可得能被整除，进而可得，即，然后确定满足条件的四位数的最大值与最小值，即可获得答案． 【详解】（1）由题意，，，，，， ∴， 则，， ∵是一个完全平方数， 又∵， ∴0，1，4， 当时，解得，不合题意，舍去； 当时，解得，符合题意， 此时； 当时，解得，不合题意，舍去． 综上所述，； （2）∵ 又∵能被整除， ∴能被整除 ∵， ∴（舍去）或或（舍去）， ∴， ∴或或或， ∴，（舍），，， ∴满足条件的四位数的最大值与最小值的差为． 三、解答题：（本大题共8个小题，第19题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握相应的运算法则、二次根式的性质及乘法公式是解题的关键． （1）先将二次根式化为最简二次根式同时进行零指数幂的运算，再进行加减运算即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式将原式化简，再进行加减运算即可； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 20. 如图，在四边形中，，是对角线． （1）用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接，.（只保留作图痕迹） （2）在（1）问所作的图形中，已知：，垂直平分． 求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空） 证明：垂直平分 ① ， ② 在和中 ④ 四边形为平行四边形 四边形为菱形． 在作图过程中，进一步研究还可发现，一组对边平行的四边形均有此特征.请你依照题意完成下面命题：如果四边形的一组对边平行，那么它的一条对角线的垂直平分线与平行的那一组对边所在直线相交，所得的两交点和原对角线的两顶点构成的四边形是 ⑤ ． 【答案】（1）见解析 （2）①；②；③；④；⑤菱形． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定等知识，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． （1）根据垂直平分线的作图方法作图即可． （2）根据平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质可得答案． 【小问1详解】 如图，直线即为所作． 【小问2详解】 证明：垂直平分 ， 在和中 四边形为平行四边形 四边形为菱形 在作图过程中，进一步研究还可发现，一组对边平行的四边形均有此特征.请你依照题意完成下面命题：如果四边形的一组对边平行，那么它的一条对角线的垂直平分线与平行的那一组对边所在直线相交，所得的两交点和原对角线的两顶点构成的四边形是菱形． 故答案为：①；②；③；④；⑤菱形． 21. 某学校团委举行了以“热血青春逐梦想，挺膺担当筑韶华”为主题的建国知识竞赛活动.为了了解七、八年级学生对建国知识的掌握情况，现从七年级和八年级参加比赛的学生中各随机抽取20名同学的成绩（百分制）进行分析（单位：分，成绩得分用表示，成绩均为整数，满分为100分，95分及95分以上为优秀），将学生的比赛成绩分为，，，四个等级，分别是：.，.，.，..下面给出了部分信息： 七年级被抽取的20名学生的竞赛成绩分别是：100，97，97，96，94，94，94，92，91，90，90，89，88，88，87，85，83，82，82，81； 八年级被抽取的20名学生的竞赛成绩在等级中的数据分别是：90，91，92，93，93，94； 七、八年级抽取的学生比赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 90 90 八年级 90 96 根据以上信息，解答下列问题： （1）请填空：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为这次竞赛中该校七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）若该校七年级有1500人、八年级有1600人参加了这次竞赛活动，请估计七年级、八年级学生参加此次竞赛成绩为优秀的共有多少人？ 【答案】（1），， （2）八年级学生竞赛成绩更好，理由见解析 （3）780人 【解析】 【分析】本题考查了中位数，众数以及用样本估计总体等知识，掌握中位数，众数等概念是关键． （1）根据中位数，众数定义可得，的值，根据优秀率的定义可得的值； （2）根据平均数，众数、中位数以及优秀率的意义解答即可； （3）用总人数乘样本中成绩为优秀的人数所占比例即可． 【小问1详解】 七年级20名学生的比赛成绩中，94出现的次数最多，故众数； 把八年级20名学生的比赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是91、92，故中位数， ， ， 故答案为：94，91.5，30； 【小问2详解】 八年级的成绩更好，理由如下： 因为两个年级的平均数相同，但八年级的中位数、众数均和优秀率高于七年级，所以八年级的成绩更好； 【小问3详解】 （名， 答：估计七年级、八年级学生参加此次征文比赛成绩为优秀的共大约有780人． 22. 如图，在菱形中，，是对角线上的两点，连接，，且． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明，进而可得． （2）由（1）可得，，证明是等边三角形，则， 由，，可得，则，根据，求解作答即可． 【小问1详解】 证明：∵菱形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）可得，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵菱形， ∴， ∴的度数为． 【点睛】本题考查了菱形性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识．熟练掌握菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质是解题的关键． 23. 为了满足市民健身需求，市政部门在某公园的东门和西门之间修建了四边形循环步道．如图，经勘测，点在点的正南方，点在点的正东方，，且点到点，的距离相等，已知米，米．（参考数据：，） （1）求，两点之间的长度； （2）小庆准备从西门跑步到东门去见小渝，因，之间的道路施工不能通行，小庆决定选择一条较短线路，请计算说明小庆应选择路线，还是路线？（结果精确到1米） 【答案】（1）米； （2）选择路线． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，方位角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由题意可知，利用勾股定理即可算答案； （2）由题意可知，，再利用勾股定理计算出、长度，从而得到两种线路的长度，比较即可得到答案． 【小问1详解】 解：点在点的正南方，点在点正东方 在中，，米，米 （米） 答：，两点之间的长度米． 【小问2详解】 解：由（1）得米 又 ∴（米） ∴路线长为：（米） 路线长为：（米） ， 小庆应选择路线． 答：小庆应选择路线． 24. 如图，在矩形中，对角线，交于点，，．动点，分别以每秒1个单位长度的速度同时运动，点从点出发，沿折线运动，到达点时停止运动，点从点出发，沿运动，到达点时停止运动．设点，点的运动时间为秒，点，之间的距离为． （1）请直接写出与之间的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，写出，两点相距2个单位长度时的值． 【答案】（1）； （2）图形见解析；当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大； （3）2或 5． 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，等边三角形的判定和性质，涉及到一次函数的图象和性质，函数作图，分类求解是解题的关键． （1）分两种情况：当时，当时，结合矩形的性质以及等边三角形的判定和性质，即可求解； （2）由函数表达式画出函数图象，观察函数图象即可求解； （3）在图中画出直线，则直线的函数的交点的横坐标为：或5，即可． 【小问1详解】 解：当时， 如图，连接， 在矩形中， ，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， 根据题意得：， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 当时，； 终上所述，与之间的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由函数表达式画出函数图象如下： 从图象看，当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大； 【小问3详解】 解：在图中画出直线，则直线的函数的交点的横坐标为：或5， 即P，Q两点相距2个单位长度时的值为2或5． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，直线：经过点，且交轴于点，直线与直线交于点． （1）求直线的解析式； （2）求的面积； （3）过点，作直线，并将直线向上平移个单位后交于点，连接，若点是轴上一动点，连结，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）设直线的解析式为，将点，代入解析式得到关于、的二元一次方程组，求解即可； （2）确定直线的解析式，得，，求出，通过联立，解方程组后确定，再根据三角形的面积公式即可得解； （3）确定直线的解析式，继而确定平移后直线的解析式为， 通过联立，解方程组确定，则，设，得到，，然后分三种情况：①当时； ②当时；③当时；分别建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 ∵直线：经过点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 联立， 解得：， ∴， 设为点横坐标， ∴， ∴的面积为； 【小问3详解】 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵直线向上平移个单位后交于点，设直线向上平移个单位后交轴于， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， ∴， 设， ∴，， ∵为等腰三角形， ①当时，则， ∴， ∴或， 此时点的坐标为或； ②当时，则， ∴， 解得：， 此时点的坐标为； ③当时，则， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时点的坐标为； 综上所述，当为等腰三角形时，点的坐标为或或或． 【点睛】本题是两个一次函数的交点问题，考查了待定系数法确定函数解析式，一次函数图像与坐标轴的交点，三角形的面积，根据平移的性质确定函数解析式，等腰三角形的性质，两点间的距离等知识点，运用了分类讨论的思想．解题的关键是用方程的思想解决几何问题． 26. 已知正方形中，点为对角线上一点，点在的延长线上，连接． （1）如图1，若，连接，若，求的长； （2）如图2，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，将绕点顺时针旋转得，连接，，，若，当取得最小值时，直接写出的面积． 【答案】（1）； （2）见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）本题考查正方形的性质及勾股定理，过作于，先根据正方形的性质得到和都是等腰直角三角形，求出、，在中根据勾股定理求解即可得到答案； （2）本题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，过作于点，交于点，连接，根据正方形的性质及辅助线先证明，再证明即可得到证明； （3）本题考查正方形的性质及最短距离问题，先找到动点所在直线，根据垂线段最短结合特殊直角三角形边的关系求解即可得到答案； 【小问1详解】 解：过作于， ∴， ∵四边形是正方形， ∴ ， ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 在中，，，, ∴； 【小问2详解】 证明：过作于点，交于点，连接， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴， 在中， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）得，，如图， ∴点轨迹：直线， ∵绕点顺时针旋转得， ∴点轨迹：直线，且， 当点在点时有等边三角形，， 由，，垂直于，， ，， 当直线时，最小即的长， ，，， ，，， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年春八年级（下）学业质量达标监测试卷 数学 数学测试卷共2页，满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑. 1. 式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 6，7，8 3. 已知一次函数（），随增大而增大，则的值可能是（ ） A. 2 B. C. D. 4. 学校从甲、乙、丙三名信息学竞赛选手中选出一名同学去参加全国青少年信息学竞赛，对这三名同学进行了次模拟竞赛，经数据分析，人的平均成绩均为分，甲的方差是，乙的方差是，丙的方差是，则这次模拟竞赛成绩比较稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法确定 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列关于四边形的说法，正确的是（ ） A. 矩形对角线互相垂直 B. 平行四边形是轴对称图形 C. 菱形的对角线相等 D. 有一个角是直角的菱形是正方形 7. 估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 8. 已知，两地相距40千米，甲、乙两车从地出发沿相同路线，匀速前往地，图中和，分别表示甲、乙两车所行驶的路程（千米）与乙行驶的时间（小时）之间的关系．下列说法正确的是（ ） A. 乙晚出发1小时 B. 甲的速度是12千米/小时 C. 乙出发2小时后追上甲 D. 乙先到达地 9. 如图，正方形中，为正方形内一点，连接，使，再连接，，过点作，且，连接，若，则度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，是实数，规定关于和*的一种运算：，例如：．则下列结论： ①若，则或； ②不存在实数，，使得的值为正数； ③若，，是直角三角形三条边的边长，则：的最小值为．其中结论正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上. 11. 化简：________． 12. 某学校规定学生的学期道德与法治成绩满分为分，其中研究性学习成绩占，期末卷面成绩占，小颖的这两项成绩（百分制）依次是分，分，则小颖这学期的道德与法治成绩是______分． 13. 如图，平面直角坐标系中，直线（）与直线（）相交于点，则方程组的解为______． 14. 已知点在函数的图象上，则代数式的值等于______． 15. 已知，，则______． 16. 如图，矩形的对角线，交于点，为的中点，连接，若，，则的长为______． 17. 如图，是平行四边形的对角线，点为边的中点，连接，将沿直线翻折到同一平面内得到，连接，，分别交，于点，，若，，，则线段的长度为______． 18. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，并且满足，那么称这个四位数为“吉祥数”．例如：四位数6137，因为，所以6137是“吉祥数”；又如：四位数5236，因为，所以5236不是“吉祥数”．若是“吉祥数”，记，若是一个完全平方数，则______；若“吉祥数”能被7整除，则所有满足条件的四位数的最大值与最小值的差为______． 三、解答题：（本大题共8个小题，第19题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 19. 计算： （1）； （2）． 20. 如图，在四边形中，，是对角线． （1）用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接，.（只保留作图痕迹） （2）在（1）问所作的图形中，已知：，垂直平分． 求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空） 证明：垂直平分 ① ， ② 在和中 ④ 四边形为平行四边形 四边形为菱形． 在作图过程中，进一步研究还可发现，一组对边平行的四边形均有此特征.请你依照题意完成下面命题：如果四边形的一组对边平行，那么它的一条对角线的垂直平分线与平行的那一组对边所在直线相交，所得的两交点和原对角线的两顶点构成的四边形是 ⑤ ． 21. 某学校团委举行了以“热血青春逐梦想，挺膺担当筑韶华”为主题的建国知识竞赛活动.为了了解七、八年级学生对建国知识的掌握情况，现从七年级和八年级参加比赛的学生中各随机抽取20名同学的成绩（百分制）进行分析（单位：分，成绩得分用表示，成绩均为整数，满分为100分，95分及95分以上为优秀），将学生的比赛成绩分为，，，四个等级，分别是：.，.，.，..下面给出了部分信息： 七年级被抽取的20名学生的竞赛成绩分别是：100，97，97，96，94，94，94，92，91，90，90，89，88，88，87，85，83，82，82，81； 八年级被抽取的20名学生的竞赛成绩在等级中的数据分别是：90，91，92，93，93，94； 七、八年级抽取的学生比赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 90 90 八年级 90 96 根据以上信息，解答下列问题： （1）请填空：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为这次竞赛中该校七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）若该校七年级有1500人、八年级有1600人参加了这次竞赛活动，请估计七年级、八年级学生参加此次竞赛成绩为优秀的共有多少人？ 22. 如图，在菱形中，，是对角线上的两点，连接，，且． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 23. 为了满足市民健身需求，市政部门在某公园的东门和西门之间修建了四边形循环步道．如图，经勘测，点在点的正南方，点在点的正东方，，且点到点，的距离相等，已知米，米．（参考数据：，） （1）求，两点之间的长度； （2）小庆准备从西门跑步到东门去见小渝，因，之间的道路施工不能通行，小庆决定选择一条较短线路，请计算说明小庆应选择路线，还是路线？（结果精确到1米） 24. 如图，在矩形中，对角线，交于点，，．动点，分别以每秒1个单位长度的速度同时运动，点从点出发，沿折线运动，到达点时停止运动，点从点出发，沿运动，到达点时停止运动．设点，点的运动时间为秒，点，之间的距离为． （1）请直接写出与之间的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，写出，两点相距2个单位长度时的值． 25. 如图，平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，直线：经过点，且交轴于点，直线与直线交于点． （1）求直线的解析式； （2）求的面积； （3）过点，作直线，并将直线向上平移个单位后交于点，连接，若点是轴上一动点，连结，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标． 26. 已知正方形中，点为对角线上一点，点在的延长线上，连接． （1）如图1，若，连接，若，求长； （2）如图2，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，将绕点顺时针旋转得，连接，，，若，当取得最小值时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$