精品解析：重庆市西南大学附属中学2023-2024学年 九年级下学期中考第三次诊断性考试数学试题

重庆市西南大学附属中学2023-2024学年九年级下学期中考第三次诊断性考试数学试题 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 单项式的次数是（　　） A. B. C. 3 D. 4 2. 如图，该几何体由6个大小相同的正方体组成，该几何体的主视图是（　　） A. B. C. D. 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，与位似，点为位似中心，若，，则长为（　　） A. 15 B. 20 C. 10 D. 5 5. 下列运用等式的性质变形错误的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 估计的值应在（　　） A. 5和6之间 B. 4和5之间 C. 7和8之间 D. 6和7之间 7. 下列图形都是由大小相同的圆按一定规律组成的，其中第①个图形中有4个圆，第②个图形中有7个圆，第③个图形中有10个圆，…，按此规律排列下去，则第⑨个图形中圆的个数是（　　） A. 26 B. 28 C. 31 D. 30 8. 如图，是的直径，点，在上，连接，，，，过点作的切线，交的延长线于点，若的直径为4，，则的长为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点E，F分别在上，满足，若，则（　　） A. α B. C. D. 10. 已知，，．下列说法： ①当时，若，则的值为0或3； ②当时，若，则关于的方程一定有两个不相等的实数根； ③若，，则时，有最小值8． 其中正确的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本大题共有8个小题，每小题4分，共32分．请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 五一小长假期间，我市作为国内旅游十大热门目的地之一，前三天共接待境内外游客约人次．数据用科学记数法表示为 ______________． 12. 已知，则的值为 _____． 13. 若一个正多边形的一个内角比一个外角大，则这个正多边形的边数是 _______． 14. 某班要从小明、小刚、小西、小芳四名学生中选取两人作为毕业晚会的主持人，若每人被选中的概率都相同，则恰好选中小刚和小西的概率是 __________________． 15. 如图，在平行四边形中，，，以点C为圆心，为半径作弧，交于点E，交于点F，以点B为圆心，为半径作弧，与恰好交于点E，则图中阴影部分的面积为 ____________________．（结果保留π） 16. 如图，在矩形中，F是边上一点，将沿翻折，点C的对应点恰好落在线段上，已知，，则的长是 ____________________． 17. 若整数a使得关于x的一元一次不等式组的解集为，且使得关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之积为 ________． 18. 对于一个四位自然数，若千位上的数字与十位上的数字的差的两倍等于百位上的数字与个位上的数字的和，则称这个四位数为“双差喜数”．将“双差喜数”M的前两位数组成的数记为s，后两位数组成的数记为t，并规定（d表示个位上的数字），则＝_______；若一个四位数（均为整数）是“双差喜数”，且被7除余4，则满足条件的M的最大值为 _________． 三、解答题：本大题共8小题，共78分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 在学习了平行线后，小西进行了如下思考，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线，与平行线的两个交点和线段两端点所构成的四边形是什么四边形．请根据小西的思路完成以下作图与填空． 已知：如图，，连接． （1）用直尺和圆规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接，． （2）求证：四边形是菱形． 证明：， ∴① 是的垂直平分线， ，， 在和中， ， ， ③ 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等四边形是平行四边形）， ， ∴四边形是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 在作图过程中，小西进一步研究发现：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线，与平行线的两个交点和线段两端点所构成的四边形是 21. 劳动是人生的财富之源，为加强中小学劳动教育，我校开展了劳动知识竞答活动（满分：100分）．为了了解知识竞答成绩的情况，现从我校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞答成绩，对数据进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成4个等级，其中A：，B：，C：，D：）．下面给出了部分信息： 七年级抽取的学生竞答成绩是：83，60，66，62，68，83，71，92，90，76，91，94，83，75，84，83，77，90，91，81． 八年级B组学生的竞答成绩是：81，81，87，82，82，88，82，86． 七、八年级抽取学生竞答成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 80 80 中位数 83 a 众数 b 82 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）你认为该校七、八年级哪个年级的学生竞答成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若规定90分及以上为优秀，该校七、八年级共有学生2000人，请估计参加此次活动竞答成绩优秀学生人数是多少？ 22. “阅百十风华，致生涯广大”——我校将迎来办学周年庆活动，文创产品深受校友们的喜爱．某工厂计划生产文创产品“烟雨伞”把，安排甲、乙两车间完成任务，乙车间主产烟雨伞的数量比甲车间生产烟雨伞的数量的倍少把． （1）求甲、乙两车间各生产多少把烟雨伞？ （2）在生产过程中，乙车间每天生产烟雨伞的数量是甲车间每天生产烟雨伞数量的倍，两个车间同时生产，结果甲车间比乙车间提前天完成任务，求甲车间每天生产多少把烟雨伞？ 23. 如图，在矩形中，点E在边上，且满足，，点P从点A出发，沿着折线运动，到达点C后停止运动．设点P运动的路程为x，的面积为y． （1）请直接写出y关于x的函数表达式，并写出对应自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，若与y的函数图象有且只有一个交点，请直接写出t的取值范围． 24. 旅游旺季，某沙漠景区吸引了大量游客，为了更好的参观，特绘制了沙漠线路的平面示意图．景点B在入口A的正西方向，景点C在景点B的正北方向，景点D在入口A的北偏西方向1000米处，景点D在景点C的东南方向1800米处．（参考数据：，） （1）求的长度；（结果精确到个位） （2）小明和小华从入口A处进入，约定一起到景点C处看日落．小明选择步行①，步行速度为90米/分钟，在景点D处停留5分钟观赏沙漠中泉水景观，然后按原速继续向景点C前进．小华选择骑骆驼②，在景点B处不停留，骆驼队伍速度为110米/分钟，若两人同时从入口A出发，请计算说明小明和小华谁先到达景点C？（结果精确到0.1） 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交x轴于点和点B，交y轴于点C，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作交于点M，过点P作轴交于点N，求周长的最大值及此时点P的坐标； （3）将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，在新抛物线上是否存在一点H，使得．若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 在中，交于点D，点F在边上，交于点E． （1）如图1，若点E是的中点，，求的长； （2）如图2，点E是的中点，点F是中点，求证； （3）如图3，线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接交于点M，N是直线上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．已知，，当最大时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市西南大学附属中学2023-2024学年九年级下学期中考第三次诊断性考试数学试题 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 单项式的次数是（　　） A. B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了单项式的次数，单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数，据此进行解答即可. 【详解】解：单项式的次数是， 故选：C 2. 如图，该几何体由6个大小相同的正方体组成，该几何体的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，主视图就是从正面看物体所得到的图形．找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：从正面看有三列，从左到右小正方形的个数分别为2、2、1． 故选：B． 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数过点问题．根据题意将点坐标分别代入反比例函数解析式判断是否成立即可得到本题答案． 【详解】解：∵将代入中，， ∴点不在反比例图象上，即反比例函数的图象不经过这个点， ∵将代入中，， ∴点不在反比例图象上，即反比例函数的图象不经过这个点， ∵将代入中，， ∴点不在反比例图象上，即反比例函数的图象不经过这个点， ∵将代入中，， ∴点在反比例图象上，即反比例函数的图象一定经过这个点， 故选：D． 4. 如图，与位似，点为位似中心，若，，则的长为（　　） A. 15 B. 20 C. 10 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比等于相似比是解题的关键． 根据位似图形的性质推知：，且相似比为，然后由相似三角形对应边的比等于相似比解答． 【详解】解：， ． 与位似，点为位似中心， ，且． ． ， ． 故选：C． 5. 下列运用等式的性质变形错误的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可求解，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：、若，当时，根据等式的性质，有；当时，与2可以不相等；故错误，符合题意； 、若，根据等式的性质，有，故正确，不符题意； 、若，因为，根据等式的性质，有，故正确，不符题意； 、若，根据等式的性质，有，故正确，不符题意； 故选：． 6. 估计的值应在（　　） A. 5和6之间 B. 4和5之间 C. 7和8之间 D. 6和7之间 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，根据二次根式混合运算法则计算得到结果，再估算结果的范围即可，正确掌握二次根式混合运算法则是解题的关键 【详解】解：原式 ∵ ∴ 故选：B. 7. 下列图形都是由大小相同的圆按一定规律组成的，其中第①个图形中有4个圆，第②个图形中有7个圆，第③个图形中有10个圆，…，按此规律排列下去，则第⑨个图形中圆的个数是（　　） A. 26 B. 28 C. 31 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查图形变化规律问题．根据题意可知第个图形中圆的个数是进行解答即可． 【详解】解：∵第①个图形中圆的个数为：， 第②个图形中圆的个数为：， 第③个图形中圆的个数为：， ．．． ∴第个图形中圆的个数为：， ∴第⑨个图形中圆的个数为：， 故选：B． 8. 如图，是的直径，点，在上，连接，，，，过点作的切线，交的延长线于点，若的直径为4，，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，如图，先根据切线的性质得到，利用勾股定理可计算出，再根据圆周角定理得到，然后证明，于是利用相似比可求出的长． 【详解】解：连接，如图， 为的切线， ， ， 的直径为4， ，， 在中，，， ， 是的直径， ， ∵， ∴， ∵ ， 而， ， ，即， 解得． 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，圆周角定理和相似三角形的判定与性质及勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 9. 如图，在正方形中，点E，F分别在上，满足，若，则（　　） A. α B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，延长至G，使得，连接，证明得出证明得出，再得，进一步可得结论 【详解】解：延长至G，使得，连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴ 又， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∵ ∴ 而 ∴ ∴， 故选：A． 10. 已知，，．下列说法： ①当时，若，则的值为0或3； ②当时，若，则关于的方程一定有两个不相等的实数根； ③若，，则时，有最小值8． 其中正确的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】对各项分别分析计算即可．本题重点考查一元二次方程的根的判别式，绝对值的意义，难度不是很大，但4个小题需要分别分析计算，计算量相当大，过程很繁琐，容易出错，一定要认真． 【详解】解：①当时，若， 则， 整理，得， 解得或． 经检验，为增根， 故的值为0； ①错误； ②当时，，， ， ， ， ， 关于的方程一定有两个不相等的实数根， ②正确； ③若，，则，，， ， 当时，， 则时，有最小值8； 当时，， 则时，有最小值22； 当时，原式 时，有最小值8． ③正确 故选：C． 二、填空题：本大题共有8个小题，每小题4分，共32分．请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 五一小长假期间，我市作为国内旅游十大热门目的地之一，前三天共接待境内外游客约人次．数据用科学记数法表示为 ______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值． 根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1． 【详解】解：大于1，用科学记数法表示为，其中，， ∴用科学记数法表示为， 故答案为：． 12. 已知，则的值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，将已知式子的值整体代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 13. 若一个正多边形的一个内角比一个外角大，则这个正多边形的边数是 _______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和外角之间的关系，多边形的外角和，熟练掌握知识点是解题的关键． 设这个正多边形的每个外角的度数为，则每个内角为，利用多边形的外角与相邻的内角互补得到，解方程得，然后根据边的外角和为，即可得到这个多边形的边数． 【详解】解：设这个正多边形的每个外角的度数为，则每个内角为， ， ， 这个多边形的边数． 故答案为：10． 14. 某班要从小明、小刚、小西、小芳四名学生中选取两人作为毕业晚会的主持人，若每人被选中的概率都相同，则恰好选中小刚和小西的概率是 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选中小刚和小西的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 小明 小刚 小西 小芳 小明 （小明，小刚） （小明，小西） （小明，小芳） 小刚 （小刚，小明） （小刚，小西） （小刚，小芳） 小西 （小西，小明） （小西，小刚） （小西，小芳） 小芳 （小芳，小明） （小芳，小刚） （小芳，小西） 共有12种等可能的结果，其中恰好选中小刚和小西的结果有：（小刚，小西），（小西，小刚），共2种， ∴恰好选中小刚和小西的概率为． 故答案为：． 15. 如图，在平行四边形中，，，以点C为圆心，为半径作弧，交于点E，交于点F，以点B为圆心，为半径作弧，与恰好交于点E，则图中阴影部分的面积为 ____________________．（结果保留π） 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，，求解，，证明，，证明，都是边长为2的等边三角形，再进一步利用割补法求解阴影部分的面积即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵平行四边形，，， ∴，， ，， ∴， 由作图可得：， ∴，， ∴，， ∴， ∴，都是边长为2的等边三角形， ∴，， ∴， ∴ ； 故答案为： 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，求解扇形的面积，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线，理解割补法是解本题的关键． 16. 如图，在矩形中，F是边上一点，将沿翻折，点C的对应点恰好落在线段上，已知，，则的长是 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形性质，翻折定义，勾股定理．根据题意可得，再利用翻折的性质得，，，继而得到，再利用勾股定理即可得到本题答案． 详解】解：∵矩形， ∴，， ∴， ∵将沿翻折，点C的对应点恰好落在线段上， ∴，，， ∴， ∴， 在中：， 解得：， 故答案为：． 17. 若整数a使得关于x的一元一次不等式组的解集为，且使得关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之积为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，分式方程的非负整数解，根据一元一次不等式组解集的定义，分式方程的整数解的意义进行计算即可． 【详解】解：不等式的解集为， 关于x的不等式的解集为， ∵关于x的一元一次不等式组的解集为， ∴， ∴， 将关于y的分式方程两边都乘以得， ， 解得， 由于关于y的分式方程的解为非负整数， ∴的整数， ∴的整数， 由于分式方程有增根， 当时，即， 解得， 因此， ∴，且，且是整数， ∴或， ∴所有满足条件的整数a的值之积为． 故答案为：． 18. 对于一个四位自然数，若千位上的数字与十位上的数字的差的两倍等于百位上的数字与个位上的数字的和，则称这个四位数为“双差喜数”．将“双差喜数”M的前两位数组成的数记为s，后两位数组成的数记为t，并规定（d表示个位上的数字），则＝_______；若一个四位数（均为整数）是“双差喜数”，且被7除余4，则满足条件的M的最大值为 _________． 【答案】 ①. 48 ②. 9941 【解析】 【分析】本题考查新定义运算．根据题意中“双差喜数”的定义，求出，再求出整数解即可． 【详解】解：由题意知：， ∴， 则， ∵一个四位数（均为整数）是“双差喜数”， ∴千位数为，百位数，十位数2，个位数， ∴， ， ，即：， ∵被7除余4， ∴被7除余4， ∴或， ∵求M最大值， ∴， ∴， ∴M的最大值为， 故答案为：． 三、解答题：本大题共8小题，共78分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，平方差公式，分式化简等． （1）先将完全平方和平方差展开，再从左到右合并同类项即可； （2）先计算括号内的，再计算除法，后因式分解约分即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 20. 在学习了平行线后，小西进行了如下思考，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线，与平行线的两个交点和线段两端点所构成的四边形是什么四边形．请根据小西的思路完成以下作图与填空． 已知：如图，，连接． （1）用直尺和圆规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接，． （2）求证：四边形是菱形． 证明：， ∴① 是的垂直平分线， ，， 在和中， ， ， ③ 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等四边形是平行四边形）， ， ∴四边形是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 在作图过程中，小西进一步研究发现：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线，与平行线的两个交点和线段两端点所构成的四边形是 【答案】（1）答案见详解 （2），，，菱形． 【解析】 【分析】本题考查作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题；（1）根据要求作图；（2）根据领边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【小问1详解】 如图所示： 【小问2详解】 证明：， ∴①， 是的垂直平分线， ，， 在和中， ， ， ③， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ， ∴四边形是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 在作图过程中，小西进一步研究发现：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线，与平行线的两个交点和线段两端点所构成的四边形是菱形． 故答案为：，，，菱形． 21. 劳动是人生的财富之源，为加强中小学劳动教育，我校开展了劳动知识竞答活动（满分：100分）．为了了解知识竞答成绩的情况，现从我校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞答成绩，对数据进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成4个等级，其中A：，B：，C：，D：）．下面给出了部分信息： 七年级抽取的学生竞答成绩是：83，60，66，62，68，83，71，92，90，76，91，94，83，75，84，83，77，90，91，81． 八年级B组学生的竞答成绩是：81，81，87，82，82，88，82，86． 七、八年级抽取的学生竞答成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 80 80 中位数 83 a 众数 b 82 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）你认为该校七、八年级哪个年级的学生竞答成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若规定90分及以上为优秀，该校七、八年级共有学生2000人，请估计参加此次活动竞答成绩优秀的学生人数是多少？ 【答案】（1）81.5，83，40 （2）七年级的学生竞答成绩较好， 见解析 （3）500 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数的定义即可求出a和b的值，根据八年级B组的人数和总人数即可求出c的值； （2）从平均数、中位数、众数的比较可得答案； （3）用该校的总人数乘以七、八年级参加此次比赛成绩优秀的学生所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：八年级C、D等级的共有（人）， 将八年级20名学生的成绩从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为， 因此中位数是81.5，即， 将七年级20名学生的成绩出现次数最多的是83分，因此众数是83，即， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：我认为七年级的学生竞答成绩较好，理由如下： 因为七年级、八年级学生竞答成绩的平均数相等，但是七年级的中位数和众数比八年级的中位数和众数都高，因此我认为七年级的学生竞答成绩较好； 【小问3详解】 解：八年级A等级的有（人）， （人）. 【点睛】本题考查了平均数，中位数和众数，扇形统计图，用样本估计总体，掌握题意读懂统计图是解题的关键． 22. “阅百十风华，致生涯广大”——我校将迎来办学周年庆活动，文创产品深受校友们的喜爱．某工厂计划生产文创产品“烟雨伞”把，安排甲、乙两车间完成任务，乙车间主产烟雨伞的数量比甲车间生产烟雨伞的数量的倍少把． （1）求甲、乙两车间各生产多少把烟雨伞？ （2）在生产过程中，乙车间每天生产烟雨伞的数量是甲车间每天生产烟雨伞数量的倍，两个车间同时生产，结果甲车间比乙车间提前天完成任务，求甲车间每天生产多少把烟雨伞？ 【答案】（1）甲车间生产把烟雨伞，乙车间生产把烟雨伞 （2）甲车间每天生产把烟雨伞． 【解析】 【分析】（）设甲车间生产把烟雨伞，乙车间生产把烟雨伞，根据题意，列出二元一次方程组即可求解； （）设甲车间每天生产把烟雨伞，则乙车间每天生产把烟雨伞，根据题意，列出分式方程即可求解； 本题考查了二元一次方程组和分式方程的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组和分式方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设甲车间生产把烟雨伞，乙车间生产把烟雨伞， 由题意可得，， 解得， 答：甲车间生产把烟雨伞，乙车间生产把烟雨伞； 【小问2详解】 解：设甲车间每天生产把烟雨伞，则乙车间每天生产把烟雨伞， 由题意可得，， 即， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：甲车间每天生产把烟雨伞． 23. 如图，在矩形中，点E在边上，且满足，，点P从点A出发，沿着折线运动，到达点C后停止运动．设点P运动的路程为x，的面积为y． （1）请直接写出y关于x的函数表达式，并写出对应自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，若与y的函数图象有且只有一个交点，请直接写出t的取值范围． 【答案】（1） （2）见解析，图象有最大值为12 （3），或 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，函数的图象，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由平行线的性质可得，可求，分两种情况讨论，由面积的和差关系可求解； （2）根据题意画出图象即可； （3）结合图象，取特殊位置可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点P在上时，即，， 当点P在上时，即；； 综上所述：； 【小问2详解】 解：画函数的图象： 列表： ⋯ 0 1 2 3 4 ⋯ ⋯ 4 6 8 10 12 ⋯ 描点，连线，得：如下图： 画的图象： 列表： ⋯ 5 6 7 8 9 ⋯ ⋯ 10 8 6 4 2 ⋯ 描点，连线，得：如上图： 图象的性质：图象有最大值为12； 【小问3详解】 解：由图象可得：∵与y的函数图象有且只有一个交点， ∴当时，， 当时，， 当，时，， ∴或． 24. 旅游旺季，某沙漠景区吸引了大量游客，为了更好的参观，特绘制了沙漠线路的平面示意图．景点B在入口A的正西方向，景点C在景点B的正北方向，景点D在入口A的北偏西方向1000米处，景点D在景点C的东南方向1800米处．（参考数据：，） （1）求的长度；（结果精确到个位） （2）小明和小华从入口A处进入，约定一起到景点C处看日落．小明选择步行①，步行速度为90米/分钟，在景点D处停留5分钟观赏沙漠中的泉水景观，然后按原速继续向景点C前进．小华选择骑骆驼②，在景点B处不停留，骆驼队伍速度为110米/分钟，若两人同时从入口A出发，请计算说明小明和小华谁先到达景点C？（结果精确到0.1） 【答案】（1）的长度约为1769米 （2）小华先到达景点C 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用: （1）过点D作于点E，于点F，在中，求出，在中，求出，即可解决问题； （2）求出，进而求出，根据线路求出小明和小华各自到达景点C的时间，比较即可解决问题． 【小问1详解】 解：（1）过点D作于点E，于点F，如图， 由题意，可知四边形是矩形，，，米，米， 在中，（米）， 在中，（米）， ∴（米）， 答：的长度约为1769米； 【小问2详解】 解：在中，（米）， 在中，（米）， ∴（米）， 小明选择步行①需要的时间为：（分钟）， 小华选择骑骆驼②，需要的时间为：（分钟）， ∵， ∴小华先到达景点C． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交x轴于点和点B，交y轴于点C，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作交于点M，过点P作轴交于点N，求周长的最大值及此时点P的坐标； （3）将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，在新抛物线上是否存在一点H，使得．若存在，请直接写出点H坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）周长的最大值为， （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）先判断是直角三角形，，再由，可得，分别求出，，则周长，设，则， ，当时，有最大值2，可求周长的最大值为，此时； （3）先求平移后的函数解析式，作C点关于x轴的对称点E，则，连接，过点C作交于F点，利用等积法求，则，由此可得，过H点作轴交于M点，设，根据方程，求出或． 【小问1详解】 解：将点代入抛物线， ∴ 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得或， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴周长， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， 当时，有最大值2， ∴周长的最大值为，此时； 【小问3详解】 解：存在点H，使得，理由如下： ∵， ∴， ∵将原抛物线沿射线方向平移个单位长度， ∴原抛物线沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴正方向平移2个单位长度， ∴， 作C点关于x轴的对称点E，则，连接，过点C作交于F点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过H点作轴交于M点， 设， ∴， ∴或， 解得或， ∴或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质是解题的关键． 26. 在中，交于点D，点F在边上，交于点E． （1）如图1，若点E是的中点，，求的长； （2）如图2，点E是的中点，点F是中点，求证； （3）如图3，线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接交于点M，N是直线上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．已知，，当最大时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）作于G，可得出，从而得出，，，进而得出及，从而得出，进一步得出结果； （2）取的中点G，连接，可证得，从而得出不妨设，则，从而得出，，证得，进而得出，从而； （3）作交的延长线于H，可证得，从而，进而证明，从而得出，从而，所以B、M、共线时，最大，此时在的延长线上，设，则，在中，由勾股定理得，求得x的值，从而得出，，可以得出点在上，进一步得出结果． 【小问1详解】 解：作于G， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 取的中点G，连接， ∵F是的中点， ∴， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴ ∴， 不妨设，则， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； 【小问3详解】 作交的延长线于H， ∴ ∴ ∵线段绕点B顺时针旋转得到线段， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴， ∵将沿翻折得到， ∴， ∴B、M、共线时，最大，此时在的延长线上， 设，则 ∴ 在中，由勾股定理得 ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， ∵将沿翻折得到，在上， ∴点在上， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$