精品解析：2024年内蒙古兴安盟突泉县中考第一次模拟考试数学试题

2024年突泉县九年级第一次模拟考试 一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 的相反数是（ ） A. 5 B. C. D. 2. 下列各式中，计算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 四边形内角和是360° B. 校园排球比赛，九年一班获得冠军 C. 掷一枚硬币时，正面朝上 D. 打开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况 4. 如图，数轴上表示的是组成不等式组的两个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 定义新运算“”，规定：，则的运算结果为（ ） A. B. C. 5 D. 3 6. 某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“100米”与“400米”两个项目的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形内接于，若，半径为3，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（ ）． A. B. C. D. 9. 如图是源于我国汉代数学家赵爽弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 在一次函数中，y的值随x值的增大而增大，且，则点在（ ） A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 11. 如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点、，使得的外心为，则的长度为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 12. 如图①，中，，，．点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为．设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图②所示，则的值为（ ） A. 54 B. 52 C. 50 D. 48 二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请将答案填在答题卡上对应的横线上）. 13. 党二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五，将数据用科学记数法表示为__________________ 14. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________． 15. 如图，是的直径，点D，M分别是弦，弧的中点，，则的长是________． 16. 如图，正方形的边长为2，对角线相交于点，以点为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接.若，的面积是，则的值为_________. 三、解答题：（本题共4小题，每小题6分，共24分，请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置） 18. 计算： 19. 解方程： 20. 不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为． （1）试求袋中蓝球的个数； （2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图或列表格法，求两次摸到都是白球的概率． 21. 如图，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别是45°和60°.求塔高与楼高.（精确到0.01米）（参考数据=1.414 21，=1.732 05） 四、（本题7分） 22. 我市某中学举行“中国梦•校园好声音”歌手大赛，高、初中部根据初赛成绩，各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛．两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示． （1）根据图示填写下表； 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 初中部 85 高中部 85 100 （2）结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好； （3）计算两队决赛成绩的方差并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定． 五、（本题7分） 23. 如图，四边形内接于，，延长到点，使得，连接 （1）求证：； （2）若，，，求的值 六、（本题9分） 24. 我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收水费a元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨a元收费，超过10吨的部分，按每吨b元（b>a)收费．设一户居民月用水x吨，应收水费y元，y与x之间的函数关系如图所示． （1）求a值；某户居民上月用水8吨，应收水费多少元？ （2）求b值，并写出当x>10时，y与x之间的函数关系式； （3）已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，求他们上月分别用水多少吨？ 七、（本题9分） 25. 综合与实践课上，老师让同学们以“特殊的平行四边形折叠”为主题开展数学活动． （1）操作发现 如图所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交于点 ，求证：； （2）迁移探究 如图，在矩形中，为边上一点，且，，将沿翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，且，求的长． 八、（本题13分） 26. 如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上．设，当时，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ （3）保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积，求抛物线平移的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年突泉县九年级第一次模拟考试 一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 的相反数是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数，即可求解． 【详解】解：的相反数是， 故选：C． 2. 下列各式中，计算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别利用合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算法则和幂的乘方运算法则分别计算即可． 【详解】解：，故选项A不符合题意； ，故选项B符合题意； 无法合并同类项，故选项C不符合题意； ，故选项D不符合题意． 故选B． 【点睛】本题主要考查合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算法则和幂的乘方运算法则，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 四边形内角和是360° B. 校园排球比赛，九年一班获得冠军 C. 掷一枚硬币时，正面朝上 D. 打开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况 【答案】A 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：A、四边形内角和是360°是必然事件，故此选项符合题意； B、校园排球比赛，九年一班获得冠军是随机事件，故此选项不符合题意； C、掷一枚硬币时，正面朝上是随机事件，故此选项不符合题意； D、打开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况是随机事件，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 4. 如图，数轴上表示的是组成不等式组的两个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式组解集的定义和数轴表示不等式组解集的方法即可得出答案． 【详解】解：由不等式组解集的定义可知，数轴所表示的两个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是， 故选：D． 【点睛】本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式组解集的定义和数轴表示不等式组解集的方法是正确解答的前提． 5. 定义新运算“”，规定：，则的运算结果为（ ） A. B. C. 5 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据新定义的运算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 【点睛】题目主要考查新定义的运算，理解题意中的运算法则是解题关键． 6. 某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“100米”与“400米”两个项目的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目分别为，画出树状图，找到所有情况数和满足要求的情况数，利用概率公式求解即可． 【详解】解：设“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目分别为，画树状图如下： 由树状图可知共有12种等可能情况，他选择“100米”与“400米”两个项目即选择C和D的情况数共有2种， ∴选择“100米”与“400米”两个项目的概率为， 故选：C 【点睛】此题考查了树状图或列表法求概率，正确画出树状图或列表，找到所有等可能情况数和满足要求情况数是解题的关键． 7. 如图，四边形内接于，若，的半径为3，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算公式：, 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的长为， 故选：B． 8. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得这个几何体为圆锥，然后求出圆锥的母线长为，再根据圆锥的侧面（扇形）面积公式，即可求解． 【详解】解：根据题意得：这个几何体为圆锥， 如图，过点作于点， 根据题意得：，，， ∴， ∴， 即圆锥的母线长为， ∴这个几何体的侧面积是． 故选：B 【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，求圆锥的侧面积，根据题意得到这个几何体为圆锥是解题的关键． 9. 如图是源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形短的直角边为，则较长的直角边为，再接着利用勾股定理得到关于的方程，据此进一步求出直角三角形各个直角边的边长，最后求出的值即可. 【详解】∵小正方形的面积为，大正方形的面积为25， ∴小正方形的边长为1，大正方形的边长为5， 设直角三角形短的直角边为，则较长的直角边为，其中， ∴，其中， 解得：，， ∴， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程及三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 10. 在一次函数中，y的值随x值的增大而增大，且，则点在（ ） A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的性质求出a的范围，再根据每个象限点的坐标特征判断A点所处的象限即可． 【详解】∵在一次函数中，y的值随x值的增大而增大， ∴，即， 又∵， ∴， ∴点在第三象限， 故选：B 【点睛】本题考查了一次函数的性质和各个象限坐标特点，能熟记一次函数的性质是解此题的关键． 11. 如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点、，使得的外心为，则的长度为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，勾股定理，关键是掌握三角形的外心的性质．三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，由此得到，从而确定B、C的位置，然后利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵的外心为O， ， ， ， 、是方格纸格线的交点， 、的位置如图所示， ． 故选：D． 12. 如图①，中，，，．点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为．设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图②所示，则的值为（ ） A. 54 B. 52 C. 50 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】根据点运动的路径长为，在图中表示出来，设，在直角三角形中，找到等量关系，求出未知数的值，得到的值． 【详解】解：当时，由题意可知， ， 在中，由勾股定理得， 设， ， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ， ， 当时，由题意可知，， 设， ， 在中，由勾股定理得， 在中由勾股定理得， 中，由勾股定理得， 即， 解得， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查勾股定理，根据勾股定理列出等式是解题的关键，运用了数形结合的思想解题． 二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请将答案填在答题卡上对应的横线上）. 13. 党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五，将数据用科学记数法表示为__________________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，明确根的判别式与根的个数之间的关系是解答此题的关键． 根据一元二次方程有两个不相等的实数根则得判别式，且二次项系数不为0，列含k的不等式，求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴，且， 解得且． 故答案为：且 15. 如图，是的直径，点D，M分别是弦，弧的中点，，则的长是________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据圆周角定理得出，再由勾股定理确定，半径为，利用垂径定理确定，且，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D，M分别是弦，弧的中点， ∴，且， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】题目主要考查圆周角定理、垂径定理及勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 16. 如图，正方形的边长为2，对角线相交于点，以点为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质得出阴影部分的面积为扇形的面积，然后由勾股定理得出，再由扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：正方形， ∴，， ∴， ∵正方形的边长为2， ∴ ∴阴影部分的面积为扇形的面积，即， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查正方形的性质及扇形的面积公式，理解题意，将阴影部分面积进行转化是解题关键． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接.若，的面积是，则的值为_________. 【答案】6 【解析】 【分析】过点B作于点F，连接，设点A的坐标为，点B的坐标为，则，证明，则，得到，根据，进一步列式即可求出k的值. 【详解】解：过点B作于点F，连接，设点A的坐标为，点B的坐标为，则， ∵， ∴， ∵轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，的面积是， ∴， ∴， ∴， 则， 即， 解得， 故答案为：6 【点睛】此题考查反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质等知识，求出是解题的关键. 三、解答题：（本题共4小题，每小题6分，共24分，请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置） 18. 计算： 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．先计算乘方，立方根，负整数指数幂，零指数幂，根据实数的混合运算法则计算即可． 【详解】解：原式 19. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，利用了转化思想，解分式方程注意要检验．分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：方程两边都乘以得： ， ∴， 检验：当时， ， 所以，原分式方程的解为． 20. 不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为． （1）试求袋中蓝球的个数； （2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图或列表格法，求两次摸到都是白球的概率． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）设蓝球有x个，利用摸出一个红球的概率为，列方程解答即可； （2）画树状图或列表得出所以可能的结果，然后利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：设蓝球有x个， 由题意得， 解得（已检验是原方程的解）， ∴蓝球有1个； 【小问2详解】 解：列表如下： 白1 白2 蓝 黄 白1 白1白2 白1蓝 白1黄 白2 白2白1 白2蓝 白2黄 蓝 蓝白1 蓝白2 蓝黄 黄 黄白1 黄白2 黄蓝 ∴共有12种结果，每种结果发生的可能性都相等，两次都摸出白球有2种结果， ∴两次摸到都是白球的概率为． 【点睛】本题主要考查了已知概率求数量，解分式方法，树状图或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． 21. 如图，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别是45°和60°.求塔高与楼高.（精确到0.01米）（参考数据=1.414 21，=1.732 05） 【答案】塔高与楼高分别为138.56米、58.56米. 【解析】 【分析】在直角三角形ABD中，根据三角函数就可以求出AB，BD即EC，在直角△AEC中根据三角函数可以求出AE，进而就可以求出CD． 【详解】解：在Rt△ABD中,BD=80米，∠BDA=60°， ∴AB=BD·tan60°=80≈138.56（米）. Rt△AEC中,EC=BD=80,∠ACE=45°， ∴AE=CE=80(米). ∴CD=AB－AE≈58.56（米）. 答:塔高与楼高分别为138.56米、58.56米. 故答案为塔高与楼高分别为138.56米、58.56米. 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解答本题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值. 四、（本题7分） 22. 我市某中学举行“中国梦•校园好声音”歌手大赛，高、初中部根据初赛成绩，各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛．两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示． （1）根据图示填写下表； 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 初中部 85 高中部 85 100 （2）结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好； （3）计算两队决赛成绩的方差并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定． 【答案】（1）85；80；85；（2）初中部成绩好些；（3）初中代表队选手成绩较稳定 【解析】 【分析】（1）根据成绩表加以计算可补全统计表．根据平均数、众数、中位数的统计意义回答． （2）根据平均数和中位数的统计意义分析得出即可． （3）分别求出初中、高中部的方差比较即可． 【详解】解：（1）初中部5名选手的成绩分别为：75，80，85，85，100， 初中部的平均数为：（分）， 85出现的次数最多，所以初中部5名选手的成绩的众数为85， 高中部5名选手的成绩按从小到大排列为：70，75，80，100，100， 所以高中部5名选手的成绩的中位数为80； 填表如下： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 初中部 85 85 85 高中部 85 80 100 （2）初中部成绩好些． ∵两个队平均数都相同，初中部的中位数高， ∴在平均数相同的情况下中位数高的初中部成绩好些． （3）∵ ， ∴＜， 因此，初中代表队选手成绩较为稳定． 【点睛】此题考查了众数，中位数和平均数以及方差的求解，解题的关键是熟练掌握众数，中位数和平均数以及方差的求法． 五、（本题7分） 23. 如图，四边形内接于，，延长到点，使得，连接 （1）求证：； （2）若，，，求的值 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、解直角三角形、全等三角形的判定和性质，解题的关键是： （1）根据圆内接四边形的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过点作于，根据等腰三角形的性质求出，进而求出，根据正切的定义求出，根据正切的定义计算，得到答案． 【小问1详解】 解：证明：四边形内接于， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 过点作于， ，，， ， ，， ， ， ，， ， ， ． 六、（本题9分） 24. 我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收水费a元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨a元收费，超过10吨的部分，按每吨b元（b>a)收费．设一户居民月用水x吨，应收水费y元，y与x之间的函数关系如图所示． （1）求a的值；某户居民上月用水8吨，应收水费多少元？ （2）求b的值，并写出当x>10时，y与x之间的函数关系式； （3）已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，求他们上月分别用水多少吨？ 【答案】(1)a=1.5,12元;(2)b=2,y=2x-5;(3) 居民上月甲用水16吨，居民乙上月用水12吨. 【解析】 【分析】（1）由图中可知，10吨水出了15元，那么a=15÷10=1.5元，用水8吨，应收水费1.5×8元； （2）由图中可知当x＞10时，有y=b（x-10）+15．把（20，35）代入一次函数解析式即可． （3）应先判断出两家水费量的范围． 【详解】（1）a=15÷10=1.5． 用8吨水应收水费8×1.5=12（元）． （2）当x＞10时，有y=b（x-10）+15． 将x=20，y=35代入，得35=10b+15．b=2． 故当x＞10时，y=2x-5． （3）∵假设甲乙用水量均不超过10吨，水费不超过46元，不符合题意； 假设乙用水10吨，则甲用水14吨， ∴水费是：1.5×10+1.5×10+2×4＜46，不符合题意； ∴甲、乙两家上月用水均超过10吨． 设甲、乙两家上月用水分别为x吨，y吨，则甲用水的水费是（2x-5）元，乙用水的水费是（2y-5）元， 则 解得： 故居民甲上月用水16吨，居民乙上月用水12吨． 【点睛】本题主要考查了一次函数与图形的结合，应注意分段函数的计算方法． 七、（本题9分） 25. 综合与实践课上，老师让同学们以“特殊的平行四边形折叠”为主题开展数学活动． （1）操作发现 如图所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交于点 ，求证：； （2）迁移探究 如图，在矩形中，为边上一点，且，，将沿翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，且，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）利用证明即可； （）延长，交于点，设，根据勾股定理求出，证明，设，则，然后对应边成比例即可求出结果． 【小问1详解】 ∵将沿翻折到处，四边形是正方形， ∴，，， ∴， 在和中， ∴； 【小问2详解】 如图，延长，交于点， 设， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵将沿翻折到处， ∴， ∴， 在中，， ∴ 解得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 八、（本题13分） 26. 如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上．设，当时，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ （3）保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积，求抛物线平移的距离． 【答案】（1） （2）当时，矩形的周长有最大值，最大值为 （3）抛物线向右平移的距离是4个单位 【解析】 【分析】（1）由点E的坐标设抛物线的交点式，再把点C的坐标代入计算可得； （2）由抛物线的对称性得，据此知，再由时，，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得； （3）①根据，结合四边形是矩形，可得A、C坐标，连接，相交于点P，连接，取的中点Q，连接，根据直线平分矩形的面积，得到直线过点P，由平移的性质可知，四边形是平行四边形，根据矩形的性质得到点P是的中点，求出P、Q坐标，进而证明四边形是平行四边形，得到，于是得到结论． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为， ∵当时，， ∴点B坐标为， ∵四边形是矩形， ∴点C的坐标为， ∴将点C坐标代入解析式得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由抛物线的对称性得， ∴， 当时，点C的纵坐标为， ∴矩形的周长 ， ∵ ∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：∵当时，， ∴点B的坐标为， ∴点C的坐标为，点A的坐标为， 连接，相交于点P，连接，取中点Q，连接，如图： ∵直线平分矩形的面积， ∴直线过点P， 由平移的性质可知，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴点P是的中点，Q是的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴抛物线向右平移的距离是4个单位． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，矩形的性质，勾股定理，平移的性质等等，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及平移变换的性质等知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$