精品解析：湖南省衡阳市衡山县前山片2023-2024学年八年级下学期月考数学试题

2024年上学期八年级第二次月考数学试卷 一．选择题（共10小题，每小题3分） 1. 下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对边相等且平行 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形和菱形的性质即可得出答案． 【详解】解：A： 因为矩形的对角线相等，故此选项不符合题意； B：因为菱形和矩形的对角线都互相平分，故此选项不符合题意； C：因为对角线互相垂直是菱形具有的性质，故此选项符合题意； D：因为矩形和菱形的对边都相等且平行，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查矩形和菱形的性质，掌握矩形和菱形性质的区别是解题关键． 2. 如图，在平行四边形 中，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，，，结合，求出的度数. 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，结合平行四边形的性质和已知条件是解题的关键. 3. 在四边形 中，，请再添加一个条件，使四边形 是矩形，添加的条件不能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由矩形的性质、平行四边形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解： ，， 四边形 是平行四边形， A． 四边形 是平行四边形，， 四边形 是菱形，故该选项错误，符合题意； B． 四边形 是平行四边形，， 四边形 是矩形，故该选项正确，不符合题意； C． 四边形 是平行四边形，， 四边形 是矩形，故该选项正确，不符合题意； D． 四边形 是平行四边形，， 四边形 是矩形，故该选项正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定、平行四边形的判定与性质，是解题的关键． 4. 若反比例函数（）的图象经过点，则k的值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把点代入反比例函数解析式即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数（）的图象经过点， ∴， 解得， 故选：B 【点睛】此题考查了反比例函数，把点的坐标代入函数解析式准确计算是解题的关键． 5. 下是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是（ ） A. 由②推出③，由③推出① B. 由①推出②，由②推出③ C. 由③推出①，由①推出② D. 由①推出③，由③推出② 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形和矩形的性质定理解题即可． 【详解】根据正方形特点由②可以推理出③，再由矩形的性质根据③推出①， 故选A． 【点睛】此题考查正方形和矩形的性质定理，难度一般． 6. 下列分式的变形正确的是（　　） A. ＝﹣ B. ＝x+y C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的基本性质，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、是最简分式，不能再约分，故此选项不符合题； C、是最简分式，不能再约分，故此选项不符合题意； D、，正确，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是掌握分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为0． 7. 一次函数的图像可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，掌握一次函数，当时，图象过一、二、三象限；当时，图象过一、三、四象限；时，图象过一、二、四象限；时，图象过二、三、四象限．判断一次函数的图象经过象限即可． 【详解】解：当时，一次函数的图像经过第一、二、三象限，当时，一次函数的图像经过第二、三、四象限， 所以，只有选项A符合题意， 故选：A． 8. 如图，菱形 的对角线与相交于点O，E为边 的中点，连结．若，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先由菱形的性质得，，，再由勾股定理求出，然后由直角 三角形斜边的中线等于斜边的一半求解． 【详解】解：∵菱形 ， ∴，，， ∴由勾股定理，得， ∵E为边 的中点， ∴ 故选：B． 【点睛】本考查菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 9. 如图，的对角线相交于点O，下列结论错误的是（ ） A. B. C. ， D. 是轴对称图形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质及中线的性质，轴对称图形的定义依次判断即可． 【详解】解：A、∵平行四边形 的对角线相交于点O， ∴． ∴． ∴，故此选项正确，不符合题意； B、由A即可得出选项正确，不符合题意；； C、∵平行四边形 ， ∴，，选项正确，不符合题意； D、▱ABCD是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误，符合题意． 故选D． 【点睛】题目主要考查平行四边形的性质及中线的性质，轴对称图形的判断，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 10. 如图，已知在等边 中， ，，若点在线段 上运动，当有最小值时，最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过作，根据等边三角形的性质即可得到，结合点到直线的距离垂线段最短即可得到过B作交 于一点即为最小距离点． 【详解】解：过作， ∵ 是等边三角形， ， ∴， ∵， ∴， ∵到直线的距离垂线段最短， ∴过B作交 于一点即为最小距离点，最短距离为， ∵ 是等边三角形，，， ∴， 故选：D 【点睛】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，直角三角形角所对直角边等于斜边一半，解题的关键是作出图形找到最小距离点． 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11. 将一次函数的图象向下平移4个单位，得到的一次函数的表达式是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移“上加下减”求解即可． 【详解】解：将一次函数的图象向下平移4个单位，得到， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了平移规律，熟记概念是关键． 12. 小亮从家匀速跑步到学校，接着马上原路匀速步行回家，已知小亮步行回家的时间是跑步到学校时间的2倍．如图是小亮离家的路程与时间的函数图象，则小亮回家的速度是每分钟步行___________m． 【答案】90 【解析】 【分析】先根据小亮步行回家的时间是跑步到学校时间的2倍，得到小亮步行回家的时间，再根据速度＝路程÷时间，进行计算即可得到答案． 【详解】解： 小亮步行回家的时间是跑步到学校时间的2倍， 小亮步行回家的时间为：， 小亮回家的速度是：， 故答案为：90． 【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，根据函数图象得到小亮步行回家的时间，是解题的关键． 13. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点关于y轴对称的点的坐标为求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形变化-轴对称，熟练掌握点关于坐标轴对称的点的坐标规律是解答的关键． 14. 若关于 的分式方程的解是正数，则的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】此题考查分式方程的解，根据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的解，根据解为正数，可得不等式，根据解不等式，可得答案． 【详解】解：， 解得：， 关于 的分式方程解为正数， ， 又 的取值范围是且； 故答案为：且． 15. 如图，在平面直角坐标系 中，正方形的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，且．若反比例函数的图象经过点B，则k的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据正方形的性质求出点B的坐标，再根据反比例函数的图象经过点B，把点B的坐标代入反比例函数，即可求出k的值． 【详解】解：正方形中， ， ∴， ∵反比例函数的图象经过点B， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了正方形的性质与待定系数法求反比例函数的解析式，正确求出点B的坐标是本题的关键． 16. 世界上最小，最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，质量只有克，用科学记数法表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的定义，熟记定义是解题关键．科学记数法：将一个数表示成的形式，其中，n为整数，这种记数的方法叫做科学记数法，正确确定， 的值是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 17. 已知，则代数式的值为 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算，把已知数据代入得出答案． 【详解】解： ， 当时， 原式． 故答案为：． 18. 如图，在 中，，P为边 上一动点，于点E，于F，则 的最小值为______________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、矩形的判定与性质、垂线段最短．先由矩形的判定定理推知四边形是矩形；连接，则，所以要使 ，即最短，只需即可；然后根据三角形的等积转换即可求得的值． 【详解】解：如图，连接． ∵在 中，， ∴， ∴． 又∵于点E，于F． ∴， ∴四边形是矩形． ∴． ∴当最小时， 也最小， 即当时，最小， ∵， ∴， ∴线段EF的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共66分） 19. 解分式方程． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先去分母，将分式方程化为整式方程，再解这个整式方程，最后检验即可，掌握分式方程的解法是解题的关键． 【详解】解：， ∴ ． ∴． 解得：， 经检验是原方程的解， ∴原分式方程的解为：． 20. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，6 【解析】 【分析】先对所求式子进行化简，然后根据，可以求得化简后式子的值，本题得以解决． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是会对所求的式子化简并求值． 21. 已知：如图，在平行四边形 中，E，F是对角线上两点，连接，，求证： ． 【答案】 证明： 四边形 是平行四边形， ，， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，根据已知条件证明，即可得出 ． 【详解】略 22. 阳光合作社在党委政府的精心指导下，大力发展生态水果蓝莓，助推乡村经济发展．在蓝莓上市期间，某水果店第一次用1500元人民币购进蓝莓销售；由于蓝莓深受人们喜欢，第一次购进的蓝莓很快售完．该水果店又用1200元人民币购进这种蓝莓，所购数量与第一次购进数量相同，但每千克的价格比第一次购进的便宜了10元． （1）该水果店第一次购进蓝莓每千克多少元？ （2）假设该水果店两次购进的蓝莓按相同的售价全部售完，要使总利润不低于900元，则每千克蓝莓的售价至少是多少元？ 【答案】（1）该水果店第一次购进蓝莓每千克50元； （2）要使总利润不低于900元，则每千克蓝莓的售价至少是60元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用． （1）设该水果店第一次购进蓝莓每千克 元，则该水果店第二次购进蓝莓每千克元，利用数量 总价单价，结合两次购进蓝莓的数量相同，可列出关于 的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）设每千克蓝莓的售价是 元，利用利润 销售单价 销售数量进货总价，结合利润不低于900元，可列出关于 的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设该水果店第一次购进蓝莓每千克 元，则该水果店第二次购进蓝莓每千克元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：该水果店第一次购进蓝莓每千克50元； 【小问2详解】 设每千克蓝莓的售价是 元， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为60． 答：要使总利润不低于900元，则每千克蓝莓的售价至少是60元． 23. 如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得EF＝DA，连接BF，CF． （1）求证：四边形BCEF是矩形； （2）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EF的长． 【答案】（1）见解析；（2）EF=． 【解析】 【分析】（1）先证明四边形BCEF是平行四边形，再根据垂直，即可求证； （2）根据勾股定理的逆定理，求得△CDF是直角三角形，等面积法求得CE，勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∵EF=DA， ∴EF=BC，EF∥BC， ∴四边形BCEF是平行四边形， 又∵CE⊥AD， ∴∠CEF=90°， ∴平行四边形BCEF是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD=AB=3， ∵CF=4，DF=5， ∴CD2+CF2=DF2， ∴△CDF是直角三角形，∠DCF=90°， ∴△CDF的面积=DF×CE=CF×CD， ∴CE=， 由（1）得：EF=BC，四边形BCEF是矩形， ∴∠FBC=90°，BF=CE=， ∴BC=， ∴EF=． 【点睛】此题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理以及逆定理，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 24. 若三个非零实数x、y、z满足：若其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x、y、z构成“和谐三数组”．例如：因为、、的倒数能够满足，所以数组 、、构成“和谐三数组” （1）下列三组数构成“和谐三数组”的有 ；（填序号） ①1、2、3； ②1、、； ③、、． （2）若、、构成“和谐三数组”，求实数 的值； 【答案】（1）②③ （2）1或 【解析】 【分析】此题考查了新定义问题，二次根式及分式的运算，分类讨论思想是解决此题的关键． （1）根据“和谐三数组”的定义挨个求出倒数，再求其中一个数的倒数是否等于另外两个数的倒数的和，如果有一个满足题意即为“和谐三数组” （2）倒数为，的倒数为，的倒数为，由、、构成“和谐三数组”，分三种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：①，，， 1、2、3不能构成“和谐三数组” ②， 1、、能构成“和谐三数组” ③的倒数为，的倒数为，的倒数为， ， 、、能构成“和谐三数组” 三组数中构成“和谐三数组”的有②③ 【小问2详解】 解：倒数为，的倒数为，的倒数为， 、、构成“和谐三数组”， ①当时，解得：； ②当时，解得：， 当时，不成立，故舍去； ③当时，解得：； 综上可知，实数 的值为或 ． 25. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与 轴交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求 的面积； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3） 或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式． （1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）求出点坐标得到线段 长，根据代入数据计算即可； （3）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集． 【小问1详解】 解： 一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ， ，， 反比例函数解析式为：， ，在一次函数的图象上， ，解得， 一次函数解析式为：． 【小问2详解】 解：在一次函数中，令，则， ， ； 【小问3详解】 解：根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集为： 或． 26. 如图，在直角坐标系中，直线交y轴，x轴于点，点D在y轴正半轴上，以为边作平行四边形 ，点E从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正方向移动，记点E运动时间为t秒．（） （1）直接写出点A的坐标 ； （2）若，连接F是的中点，连接 并延长交直线 于点H， ①当四边形为平行四边形时，请求出t的值； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出t的值； 【答案】（1）；4 （2）①；②0或或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题、一次函数中的特殊四边形及三角形等相关知识点．需要学生具备较强的逻辑推导能力． （1）根据直线即可求解； （2）①根据平行四边形的性质即可求解 ；②根据点 的位置进行分类讨论即可 【小问1详解】 解：∵直线交y轴，x轴于点 ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 由点A、B的坐标得，， 故答案为：，4 【小问2详解】 解：①∵， ∴点， ∵四边形 是平行四边形， ∴， 若，则四边形为平行四边形 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即点E是 的中点， ∴ ∴ ②如图一，当时，， ， ∴， 当点E在线段上时，， ∴ 当E在延长线上时， ∴ 如图二， 当时， 点E与带你O重合， ∴, 综上，当t为0或或时，存在以为腰的等腰． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年上学期八年级第二次月考数学试卷 一．选择题（共10小题，每小题3分） 1. 下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对边相等且平行 2. 如图，在平行四边形 中，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 3. 在四边形 中，，请再添加一个条件，使四边形 是矩形，添加的条件不能是（　　） A. B. C. D. 4. 若反比例函数（）的图象经过点，则k的值是（ ） A. 2 B. C. D. 5. 下是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是（ ） A. 由②推出③，由③推出① B. 由①推出②，由②推出③ C. 由③推出①，由①推出② D. 由①推出③，由③推出② 6. 下列分式的变形正确的是（　　） A. ＝﹣ B. ＝x+y C. D. 7. 一次函数的图像可能是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，菱形 的对角线与相交于点O，E为边 的中点，连结．若，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 9. 如图，的对角线相交于点O，下列结论错误的是（ ） A. B. C. ， D. 是轴对称图形 10. 如图，已知在等边 中， ，，若点在线段 上运动，当有最小值时，最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11. 将一次函数的图象向下平移4个单位，得到的一次函数的表达式是___________． 12. 小亮从家匀速跑步到学校，接着马上原路匀速步行回家，已知小亮步行回家的时间是跑步到学校时间的2倍．如图是小亮离家的路程与时间的函数图象，则小亮回家的速度是每分钟步行___________m． 13. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是___________． 14. 若关于 的分式方程的解是正数，则的取值范围是_________． 15. 如图，在平面直角坐标系 中，正方形的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，且．若反比例函数的图象经过点B，则k的值为______． 16. 世界上最小，最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，质量只有克，用科学记数法表示为___________． 17. 已知，则代数式的值为 __________________． 18. 如图，在 中，，P为边 上一动点，于点E，于F，则 的最小值为______________． 三、解答题（共8小题，共66分） 19. 解分式方程． 20. 先化简，再求值：，其中，． 21. 已知：如图，在平行四边形 中，E，F是对角线上两点，连接，，求证： ． 22. 阳光合作社在党委政府的精心指导下，大力发展生态水果蓝莓，助推乡村经济发展．在蓝莓上市期间，某水果店第一次用1500元人民币购进蓝莓销售；由于蓝莓深受人们喜欢，第一次购进的蓝莓很快售完．该水果店又用1200元人民币购进这种蓝莓，所购数量与第一次购进数量相同，但每千克的价格比第一次购进的便宜了10元． （1）该水果店第一次购进蓝莓每千克多少元？ （2）假设该水果店两次购进的蓝莓按相同的售价全部售完，要使总利润不低于900元，则每千克蓝莓的售价至少是多少元？ 23. 如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得EF＝DA，连接BF，CF． （1）求证：四边形BCEF是矩形； （2）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EF的长． 24. 若三个非零实数x、y、z满足：若其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x、y、z构成“和谐三数组”．例如：因为、、的倒数能够满足，所以数组 、、构成“和谐三数组” （1）下列三组数构成“和谐三数组”的有 ；（填序号） ①1、2、3； ②1、、； ③、、． （2）若、、构成“和谐三数组”，求实数 的值； 25. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与 轴交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求 的面积； （3）直接写出不等式的解集． 26. 如图，在直角坐标系中，直线交y轴，x轴于点，点D在y轴正半轴上，以为边作平行四边形 ，点E从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正方向移动，记点E运动时间为t秒．（） （1）直接写出点A的坐标 ； （2）若，连接F是的中点，连接 并延长交直线 于点H， ①当四边形为平行四边形时，请求出t的值； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出t的值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $