精品解析：陕西省安康市高新中学、安中分校2024届高三下学期高考模拟理科数学试题

2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 理科数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 演讲比赛中，12位评委对小李的演讲打出了如下的分数： 9.3 88 8.9 9.0 8.9 9.0 9.1 8.7 9.2 9.0 9.1 9.2 若去掉两个最高分，两个最低分，则剩下8个分数平均数为（ ） A. 9.075 B. 9.05 C. 9.025 D. 9 3. “”是“为第一象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知复数和满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 若一段河流的蓄水量为立方米，每天水流量为立方米，每天往这段河流排水立方米的污水，则天后河水的污染指数为初始值，．现有一条被污染的河流，其蓄水量是每天水流量的60倍，以当前的污染指数为初始值，若从现在开始停止排污水，要使河水的污染指数下降到初始值的，需要的天数大约是（参考数据：）（ ） A. 98 B. 105 C. 117 D. 130 6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 7. 在梯形中，为线段的中点，，则（ ） A B. C. D. 8. 已知等比数列的各项均为负数，记其前项和为，若，则（ ） A. －8 B. －16 C. －32 D. －48 9. 已知函数的部分图象如图所示，其图象上最高点的纵坐标为2，且图象经过点，则（ ） A. B. 1 C. －1 D. 10. 在正四棱柱中，已知，为棱的中点，则线段在平面上的射影的长度为（ ） A. B. C. D. 11 若，则（ ） A. B. C. D. 12. 已知双曲线:的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知抛物线上的点到焦点的距离为3，则点到轴的距离为______． 14. 已知命题，若为假命题，则的取值范围是______ 15. 在中，角的对边分别为，为线段延长线上一点，平分，且直线与直线相交于点，则______． 16. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，，，，且，则下列结论正确的是______．（填所有正确结论的序号）①；②；③；④． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17. 近两年旅游业迎来强劲复苏，外出旅游的人越来越多．A，B两家旅游公司过去6个月的利润率统计如下： A公司 3 2 1 B公司 2 2 2 利润率，盈利为正，亏损为负，且每个月的成本不变． （1）比较A，B两公司过去6个月平均每月利润率的大小； （2）用频率估计概率，且假设A，B两公司每个月的盈利情况是相互独立的，求未来的某个月A，B两公司至少有一家盈利的概率． 18. 记数列的前项和为，已知且． （1）证明：是等差数列； （2）记，求数列的前2n项和． 19. 如图，在三棱柱中，为底面的重心，点分别在棱上，且 （1）求证：平面； （2）若底面，且三棱柱的各棱长均相等，求平面与平面DOG的夹角的余弦值． 20. 已知椭圆的离心率为的上顶点和右顶点分别为，点的面积为2． （1）求的方程； （2）过点且斜率存在的直线与交于两点，过点且与直线平行的直线与直线的交点为，证明：直线过定点． 21. 已知函数定义域为，其导函数． （1）求曲线在点处的切线的方程，并判断是否经过一个定点； （2）若，满足，且，求的取值范围． （二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程] 22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （1）求的普通方程和的直角坐标方程； （2）若曲线分别与曲线和交于点，其中，若，求． [选修4－5：不等式选讲] 23. 已知均为正数，且． （1）证明：； （2）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 理科数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题先解不等式得到集合A，再求交集即可. 【详解】解：由题可知：， 又，故， 故选：D. 2. 演讲比赛中，12位评委对小李的演讲打出了如下的分数： 9.3 8.8 8.9 9.0 8.9 9.0 9.1 8.7 9.2 9.0 9.1 9.2 若去掉两个最高分，两个最低分，则剩下8个分数的平均数为（ ） A. 9.075 B. 9.05 C. 9.025 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数的公式直接计算即可. 【详解】由题意去掉的数据有：9.3，9.2，8.7，8.8， 所以剩下8个分数的平均数为. 故选：C 3. “”是“为第一象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式及正弦函数的性质结合充分、必要条件的定义判定选项即可. 【详解】易知，所以 为第一象限角、第二象限角或终边落在纵轴正半轴上的角， 显然不满足充分性，满足必要性. 故选：B 4. 已知复数和满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用复数的模长结合已知组成方程组，解出即可. 【详解】设 因为，所以，即，① 又，所以，即，② 又，所以，即，③ ②③可得，④ 把①代入④可得， 所以，故A正确； 故选：A. 5. 若一段河流的蓄水量为立方米，每天水流量为立方米，每天往这段河流排水立方米的污水，则天后河水的污染指数为初始值，．现有一条被污染的河流，其蓄水量是每天水流量的60倍，以当前的污染指数为初始值，若从现在开始停止排污水，要使河水的污染指数下降到初始值的，需要的天数大约是（参考数据：）（ ） A. 98 B. 105 C. 117 D. 130 【答案】C 【解析】 【分析】由已知化简函数式得，再利用约天后，河水的污染指数下降到初始值的，可得方程，然后两边取对数得，最后利用已知的对数值可计算得到结果. 【详解】由题意可知：，，所以 设约天后，河水的污染指数下降到初始值的，即， 所以， 故选：C. 6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】由三视图可知，该几何体是一个以俯视图为底面的棱锥，分别求出底面积和高，代入锥体体积公式即可 【详解】由三视图可知，该几何体是一个以俯视图为底面的棱锥， 底面如图，是以4为边长的正方形的一部分，其中E、H分别是AC、BC的中点， 所以, 棱锥的高为4，所以体积为， 故选：C 7. 在梯形中，为线段的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先用向量和三角形减法法则得，再对它们进行线性运算转化为，此时继续找到，从而可得结果. 【详解】 由图可得：，由为线段的中点可得， ，再由可得， ， 又因为，代入得： ， 故选：A. 8. 已知等比数列的各项均为负数，记其前项和为，若，则（ ） A. －8 B. －16 C. －32 D. －48 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的性质先计算，再根据条件建立方程解公比求值即可. 【详解】设的公比为， 则由题意可知，， 化简得或（舍去）， 则. 故选：B 9. 已知函数的部分图象如图所示，其图象上最高点的纵坐标为2，且图象经过点，则（ ） A B. 1 C. －1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过图象经过点列方程求出，进而可得的解析式，再代入计算即可. 详解】由已知得， 所以， 又图象经过点， 则，即， 又为单调减区间上的点， 为单调增区间上的点，且在一个周期内， 所以， 两式相减得，所以，又， 所以， 所以， 所以. 故选：A. 10. 在正四棱柱中，已知，为棱的中点，则线段在平面上的射影的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取中点，连接，过点作于点，连接，证明出平面，求出即可求解． 【详解】如图所示，取中点，连接， 则，点四点共面，，， 过点作于点，连接，则， 在中，，解得， ，则， 由正四棱柱得，平面，则平面， 又平面，所以，， 所以， 因为，，平面，且平面， 所以平面，所以线段在平面上的射影为线段， 故选：D． 11. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用组合数公式可得，再求和并结合二项式系数的性质求出，然后赋值即得. 【详解】依题意， ， 则 ， 所以. 故选：C 【点睛】关键点点睛：正确掌握并运用组合数公式及阶乘的运算性质是解决本题的关键. 12. 已知双曲线:的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设双曲线的右焦点为，连接，过作与，易得，，设，结合双曲线的定义分别求出对应边，在和中，由勾股定理得和之间的关系，即可求解. 【详解】 设双曲线的右焦点为，连接，过作与，则， 因为，， 所以， 因为，所以，即为线段的中点， 因为为的中点，所以， 所以，， 设， 则，， ， 所以， 在中，由勾股定理可得， 即， 解得， 所以， ， 在中，由勾股定理得， 即， 解得，所以. 故选：. 【点睛】方法点睛：求解离心率的常用方法： （1）直接法：直接求出，，求解； （2）变用公式，整体求出； （3）利用题目中所给的几何关系或者条件得出，，的关系； （4）构造，的齐次式，解出. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知抛物线上的点到焦点的距离为3，则点到轴的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用焦半径公式，求点的坐标，即可求解. 【详解】设， 所以，得，代入，得， 所以点到轴的距离为. 故答案为： 14. 已知命题，若为假命题，则的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】根据全称命题的真假可知为真命题，由此构造函数，结合单调性求得最值，即可求得答案. 【详解】由题意知命题为假命题， 则为真命题， 设，则， 由于在R上单调递增，故在上单调递减， 则，故， 故答案为： 15. 在中，角的对边分别为，为线段延长线上一点，平分，且直线与直线相交于点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理计算及，的值，在中使用两角差的正弦公式计算即可. 【详解】如图所示，因，所以， 在中，由余弦定理得， 即，故， 由余弦定理得， 所以 又因为直线平分，所以， 所以， 所以， 化简得. 故答案为：. 16. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，，，，且，则下列结论正确的是______．（填所有正确结论的序号）①；②；③；④． 【答案】②③ 【解析】 【分析】利用赋值法，令，可得，判断①；令，令，判断②；由条件可知，，则有，可得，判断③；由题可得的一个周期为，可得，判断④. 【详解】由题意可知，，故为上奇函数，即， 由题令或0（舍去），故①错误； 令，故②正确； 由条件可知，， 则有， 所以，则，故③正确； 由③可知，，即的一个周期为， 所以，故④错误. 故答案为：②③. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17. 近两年旅游业迎来强劲复苏，外出旅游的人越来越多．A，B两家旅游公司过去6个月的利润率统计如下： A公司 3 2 1 B公司 2 2 2 利润率，盈利为正，亏损为负，且每个月的成本不变． （1）比较A，B两公司过去6个月平均每月利润率的大小； （2）用频率估计概率，且假设A，B两公司每个月的盈利情况是相互独立的，求未来的某个月A，B两公司至少有一家盈利的概率． 【答案】（1）公司过去6个月平均每月的利润率大于B公司过去6个月平均每月的利润率； （2）. 【解析】 【小问1详解】 A公司过去6个月平均每月的利润率为， B公司过去6个月平均每月的利润率为， 因为， 所以A公司过去6个月平均每月的利润率大于B公司过去6个月平均每月的利润率． 【小问2详解】 A公司过去6个月盈利的频率为， B公司过去6个月盈利的频率为， 用频率代替概率，可知A，B两公司未来某个月盈利的概率分别为． 设A，B两公司盈利分别为事件，，由题知与相互独立， 所以所求概率为． 18. 记数列的前项和为，已知且． （1）证明：是等差数列； （2）记，求数列的前2n项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）借助与的关系计算可得，结合等差数列定义即可得； （2）计算出通项公式后，可得，结合分组求和法，借助等差数列求和公式与等比数列求和公式计算即可得. 【小问1详解】 当时，，则． 因为，所以当时，， 两式相减得，即， 因为，所以，即， 故是以1为首项，1为公差的等差数列； 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 故 . 19. 如图，在三棱柱中，为底面的重心，点分别在棱上，且 （1）求证：平面； （2）若底面，且三棱柱的各棱长均相等，求平面与平面DOG的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判断定理，转化为证明线线平行，利用平行线比例关系，构造辅助线，即可证明； （2）根据底面特点，建立空间直角坐标系，分别求平面与平面的法向量，根据向量公式求二面角的余弦值. 【小问1详解】 如图，连接并延长，交于，延长线段，交于，连接． 因为为底面的重心，所以， 又， 所以，所以， 所以． 因为，所以， 所以． 因为平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 取的中点为，连接． 因为底面，且三棱柱的各棱长均相等， 所以直线两两互相垂直． 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设三棱柱的棱长为6，则， 所以． 设平面的法向量为， 则，即，可取 易知平面的一个法向量为． 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面的夹角的余弦值为． 20. 已知椭圆的离心率为的上顶点和右顶点分别为，点的面积为2． （1）求的方程； （2）过点且斜率存在的直线与交于两点，过点且与直线平行的直线与直线的交点为，证明：直线过定点． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将已知条件转化为关于的方程，即可求解； （2）设出直线并与椭圆联立，写出韦达定理，再根据题意求出的方程，直线的方程，进而令，利用韦达定理计算即可得定点. 【小问1详解】 设的半焦距为，由题意知，所以①． 因为面积为2，所以②， 又③，由①②③解得，所以的方程为； 【小问2详解】 设，直线， 由，得， 则，所以． 由，得， 令，解得，所以． 所以直线的方程为， 令，得 ， 将代入，得， 所以， 故直线过定点． 【点睛】方法点睛：在圆锥曲线解答题中遇到涉及的不同系数的代数式的应算，比如求，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了，可以利用进行代换后化简. 21. 已知函数的定义域为，其导函数． （1）求曲线在点处的切线的方程，并判断是否经过一个定点； （2）若，满足，且，求的取值范围． 【答案】（1），经过一个定点 （2） 【解析】 【分析】（1）利用求导法则得，根据条件及导数的几何意义、直线的点斜式计算即可； （2）利用导函数有两个零点得出的关系及范围，消元化简得，构造函数，利用导数研究其单调性及最值即可. 【小问1详解】 因为， 所以（c为常数）． 因为，所以， 所以． 又， 所以曲线在点处的切线的方程为， 即， 所以经过定点． 【小问2详解】 令，可得． 因为，满足，且， 所以关于的方程有两个不相等的正实数根， 则， 所以 ， 令函数， 则， 令，得， 因为当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又当时，， 所以的取值范围为， 即的取值范围为． （二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程] 22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （1）求的普通方程和的直角坐标方程； （2）若曲线分别与曲线和交于点，其中，若，求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）消去即可得的普通方程，借助极坐标方程与直角坐标方程对应公式即可得的直角坐标方程； （2）将的极坐标方程表示出后，可得，结合计算即可得. 【小问1详解】 由的参数方程（为参数）,则有， 得的普通方程为， 由可得， 所以的直角坐标方程为，即； 【小问2详解】 得的极坐标方程为， 即，由题意知， 则， 因，所以， 因为，所以，，得． [选修4－5：不等式选讲] 23. 已知均为正数，且． （1）证明：； （2）求的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2）27 【解析】 【分析】（1）构造基本不等式，利用不等式即可证明； （2）首先由柯西不等式证明，再构造柯西不等式，求的最小值． 【小问1详解】 因为，所以， 当且仅当时等号成立，所以，故． 【小问2详解】 由柯西不等式得， 当且仅当时上式等号成立，所以． 再由柯西不等式得， 所以， 当且仅当时上式等号成立，所以的最小值为27． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$