精品解析：广东省广州市越秀区广州大学附属中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年八年级6月质量检查问卷(数学) 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，每题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求) 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 6，8，10 B. 9，12，15 C. 2，3，4 D. ，， 3. 用配方法解方程时，原方程应变形为(　　 ) A. B. C. D. 4. 若点和都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（） A. B. C. D. 无法确定 5. 下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 6. 如图，周长为，的周长为，则对角线的长为（　　） A. B. C. D. 7. 某地2020年人均可支配收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知A、B两地相距600米，甲、乙两人同时从A地出发前往B地，所走路程y(米)与行驶时间x(分)之间的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A 甲每分钟走100米 B. 两分钟后乙每分钟走50米 C. 当或6时，甲乙两人相距100米 D. 甲比乙提前1.5分钟到达B地 9. 已知两个关于x的一元二次方程，其中．下列结论错误的是（ ） A. 若方程M有两个相等的实数根，则方程N也有两个相等的实数根 B. 若方程M有一个正根和一个负根，则方程N也有一个正根和一个负根 C. 若5是方程M的一个根，则是方程N的一个根 D. 若方程M和方程N有一个相同根，则这个根一定是 10. 如图，在和中，交于点F，，，，连接、、，延长交于点G，下列四个命题或结论：①；②若，则；③在②的条件下，则；④在②的条件下，当时，，则的面积是1．其中正确的有（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 11. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 12. 计算：_______． 13. 小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项分别是分、分、分．若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为______分． 14. 如图，在中，是斜边上的中线，已知，，则的长是___________． 15. 如图，直线y=kx+b(k≠0)经过点A(1，2)，则关于x的不等式kx+b<2x的解集是______________________． 16. 如图，在矩形中，已知，，点O，P分别是边，中点，点H是边的一个动点，连接，将四边形沿折叠，得到四边形，连接﹐则长度的最小值是___________． 三、解答题(本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 解方程：． 18. 如图，在平行四边形中，、分别是上的点且，求证：四边形为平行四边形． 19. 某校九年级有1200名学生，在体育考试前随机抽取部分学生进行跳绳测试，根据测试成绩制作了下面两个统计图．请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次参加跳绳测试的学生人数为___________；图1中m的值为____________； （2）本次调查获取的样本数据的众数为__________；中位数为_____________； （3）根据样本数据，估计该校九年级跳绳测试中得3分的学生约有多少人？ 20. 如图，． （1）尺规作图：作的垂直平分线交于点D，交于点E（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的基础上，连接，求的长． 21. 已知关于的方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程的两根分别是、，且，试求k的值． 22. 小冬在某网店选中，两款玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表： 款玩偶 款玩偶 进货价（元/个） 20 15 销售价（元/个） 28 20 （1）第一次小冬用550元购进了，两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个； （2）第二次小冬进货时，网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共45个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 23. 如图，已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与x轴以及的图象分别交于点C、D，且点D的横坐标为1． （1）点D的坐标是 （ ），直线的解析式是 ； （2）连接，求的面积． （3）点P是直线上一点（不与点D重合），设点P的横坐标为m，的面积为S，请直接写出S与m之间的关系式． 24. 我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，，是的中线，，垂足为P，像这样的三角形称为“中垂三角形”．设，，．特例探索： （1）①如图1，，时， ___________； ②如图2，当，时， ___________， __________； （2）已知，请你观察(1)中的计算结果，猜想，，三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式； （3）如图4，在平行四边形中，点E，F，G分别是，，的中点，，，．求的长． 25. 在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（m，0），以AB为腰作等腰，如图所示． （1）若的值为5平方单位，求m的值； （2）记BC交y轴于点D，CE⊥y轴于点E，当y轴平分∠BAC时，求的值 （3）连接OC，当OC＋AC最小时，求点C的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年八年级6月质量检查问卷(数学) 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，每题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求) 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案． 【详解】解：A、是最简二次根式，故选项正确； B、=，不是最简二次根式，故选项错误； C、，不是最简二次根式，故选项错误； D、，不是最简二次根式，故选项错误； 故选：A 【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型． 2. 下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 6，8，10 B. 9，12，15 C. 2，3，4 D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可以判断选项中的数据是否可以组成直角三角形的边，从而可以解答本题． 【详解】解：A、，故A选项不符合题意； B、 ，故B选项不符合题意； C、，故C选项符合题意； D、 ，故D选项不符合题意； 故选：C． 3. 用配方法解方程时，原方程应变形为(　　 ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将常数项移到右侧，然后在方程两边同时加上一次项一半的平方，左侧配方即可. 【详解】， x2-4x=9， x2-4x+4=9+4， ， 故选A. 【点睛】本题考查了配方法，正确掌握配方法的步骤以及注意事项是解题的关键. 4. 若点和都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数增减性，即可求解． 【详解】解：∵， ∴随的增大而减小 又∵ ∴ 故选：A． 【点睛】此题考查了一次函数的增减性，熟练掌握一次函数的有关性质是解题的关键． 5. 下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理进行判断即可． 【详解】对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A错误，不符合题意； 有三个角是直角的四边形是矩形，故B错误，不符合题意； 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C错误，不符合题意； 对角线互相垂直的矩形是正方形，故D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 6. 如图，的周长为，的周长为，则对角线的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为平行四边形对边相等，所以平行四边形的周长为相邻两边之和的倍，即，则，而的周长，即可求出的长． 【详解】∵的周长是， ∴ ∴， ∵的周长是， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质，根据题意列出三角形周长的关系式，结合平行四边形周长的性质求解是本题的关键． 7. 某地2020年人均可支配收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．设2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】解：2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x， 根据题意得， 故选：A． 8. 已知A、B两地相距600米，甲、乙两人同时从A地出发前往B地，所走路程y(米)与行驶时间x(分)之间的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 甲每分钟走100米 B. 两分钟后乙每分钟走50米 C. 当或6时，甲乙两人相距100米 D. 甲比乙提前1.5分钟到达B地 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题的条件，利用数形结合的思想解答．根据函数图象中的数据，可知甲6分钟走了600米，从而可以计算出甲每分钟走的路程，从而可以判断A选项；根据图象中的数据可知，乙2分钟到6分钟走的路程是米，从而可以计算出两分钟后乙每分钟走的路程，从而可以判断B选项；根据图象，可以分别计算出和时，甲乙两人的距离，从而可以判断C选项．根据乙2分钟后的速度，可以计算出乙从A地到B地用的总的时间，然后与6作差，即可判断D选项； 【详解】解：由图象可得， 甲每分钟走：（米），故A选项正确，不符合题意； 两分钟后乙每分钟走：（米），故B选项正确，不符合题意； 当时，甲乙相距（米）， 当时，甲乙相距米，故C选项正确，不符合题意； 乙到达B地用的时间为：（分钟）， 则甲比乙提前分钟达到B地，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 9. 已知两个关于x的一元二次方程，其中．下列结论错误的是（ ） A. 若方程M有两个相等的实数根，则方程N也有两个相等的实数根 B. 若方程M有一个正根和一个负根，则方程N也有一个正根和一个负根 C. 若5是方程M的一个根，则是方程N的一个根 D. 若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是 【答案】D 【解析】 【分析】利用根的判别式判断A；利用根与系数的关系判断B；利用一元二次方程的解的定义判断C与D． 【详解】解：A、如果方程M有两个相等的实数根，那么△=b2-4ac=0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意； B、若方程M有一个正根和一个负根，那么△=b2-4ac>0，<0，所以a与c符号相反，<0，所以方程N也有一个正根和一个负根，结论正确，不符合题意； C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得c+b+a=0，所以是方程N的一个根，结论正确，不符合题意； D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a-c）x2=a-c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根，以及根与系数的关系、一元二次方程的解等知识，掌握它们是关键． 10. 如图，在和中，交于点F，，，，连接、、，延长交于点G，下列四个命题或结论：①；②若，则；③在②的条件下，则；④在②的条件下，当时，，则的面积是1．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据SAS证明可判断①；根据全等三角形的性质和互余可判断②；以点C为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点H，连接，，证明四边形是平行四边形可判断③；④作交的延长线于点M，作于点N，作于点K，连接，则．先证明，再结合三线合一证明，然后证明，利用勾股定理求出的值，证明求出的值，进而求出的面积可判断④． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③如图，以点C为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点H，连接，， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，故③正确； ④作交的延长线于点M，作于点N，作于点K，连接，则． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 由等腰三角形三线合一知，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确． 故选D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 11. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，可得，解不等式即可，熟知根号下需要大于等于0，是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式的意义，有， 解得， 故自变量x的取值范围是， 故答案为：． 12. 计算：_______． 【答案】4 【解析】 【分析】直接利用二次根式除法运算法则化简求出答案． 【详解】解：原式=． 故答案为4． 【点睛】此题主要考查了二次根式的除法运算，正确化简二次根式是解题关键． 13. 小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项分别是分、分、分．若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为______分． 【答案】 【解析】 【分析】利用加权平均数的计算方法可求出结果． 【详解】解：根据题意得：（分）． 故小明的最终比赛成绩为分． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式和“权重”的理解是解题的关键． 14. 如图，在中，是斜边上的中线，已知，，则的长是___________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线的性质和勾股定理，掌握直角三角形斜边中线的性质和勾股定理是解题的关键．先利用直角三角形斜边中线的性质求出的长度，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：8． 15. 如图，直线y=kx+b(k≠0)经过点A(1，2)，则关于x的不等式kx+b<2x的解集是______________________． 【答案】x＞1 【解析】 【分析】利用函数图象，找出正比例函数y=2x的图象在一次函数y=kx+b（k≠0）上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵x=1时，y=2， ∴函数y=2x的图象也经过点A（1，2）， ∴函数y=kx+b（k＜0）和y=2x的图象都经过点A（1，2）， 观察图象得，当x＞1时，kx+b＜2x． 故答案为：x＞1． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，注意从数与形两个方面来理解一次函数与一元一次不等式间的关系，这是解答问题的关键． 16. 如图，在矩形中，已知，，点O，P分别是边，的中点，点H是边的一个动点，连接，将四边形沿折叠，得到四边形，连接﹐则长度的最小值是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折变换、矩形的性质、三角形的三边关系、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用三角形的三边关系解决最值问题．连接，根据三边关系，，求出，即可获得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形，，，点，分别是边，的中点， ∴，，在中，， ∴， 根据折叠的性质可得， 在中，，， ∴， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题(本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：， 即， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 18. 如图，在平行四边形中，、分别是上的点且，求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，连接交于O，根据平行四边形对角线互相平分得到，再证明，即可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明结论． 【详解】证明：如图所示，连接交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 19. 某校九年级有1200名学生，在体育考试前随机抽取部分学生进行跳绳测试，根据测试成绩制作了下面两个统计图．请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次参加跳绳测试的学生人数为___________；图1中m的值为____________； （2）本次调查获取的样本数据的众数为__________；中位数为_____________； （3）根据样本数据，估计该校九年级跳绳测试中得3分的学生约有多少人？ 【答案】（1）； （2）， （3）估计该校九年级跳绳测试中得3分的学生约有人 【解析】 【分析】（1）根据得2分的人数和所占的百分比求出总人数，再用3分的人数除以总人数，即可得出m的值； （2）利用众数、中位数定义求解即可； （3）利用总人数乘以对应的百分比即可求解． 【小问1详解】 解：人，， 故答案为：；． 【小问2详解】 由于样本数据中分的人数最多， ∴众数为分， 从小到大排列后居于中间的两个数为分和分， ∴中位数为分， 故答案：，； 【小问3详解】 解：人， 答：估计该校九年级跳绳测试中得3分的学生约有人． 【点睛】此题考查了条形统计图、扇形统计图、平均数，众数，中位数，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 20. 如图，． （1）尺规作图：作的垂直平分线交于点D，交于点E（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的基础上，连接，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）BD=5． 【解析】 【分析】（1）依据几何语言进行作图即可得到AB的垂直平分线DE； （2），设BD=x，则AD=x，CD=8-x，依据勾股定理可得Rt△BCD中，BC2+CD2=BD2，解方程即可得到BD的长． 【小问1详解】 如图1，所作直线DE即为线段AB的垂直平分线， 【小问2详解】 解：如图， ∵DE垂直平分AB， ∴AD=BD， 设BD=x，则AD=x，CD=8-x， ∵Rt△BCD中，BC2+CD2=BD2， ∴42+（8-x）2=x2， 解得x=5， ∴BD=5． 【点睛】本题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质的运用，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 21. 已知关于的方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程的两根分别是、，且，试求k的值． 【答案】(1)；(2). 【解析】 【分析】(1)根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到，求出的取值范围即可； (2)根据根与系数的关系得出方程解答即可． 【详解】(1)解：∵原方程有实数根， ∴，∴， ∴. (2)∵，是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得： ，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解之，得：，． 经检验，都符合原分式方程的根， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出k的取值范围，此题难度不大． 22. 小冬在某网店选中，两款玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表： 款玩偶 款玩偶 进货价（元/个） 20 15 销售价（元/个） 28 20 （1）第一次小冬用550元购进了，两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个； （2）第二次小冬进货时，网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共45个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）款玩偶购进20个，款玩偶购进10个 （2）按照款玩偶购进15个、款玩偶购进30个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是270元 【解析】 【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的方程，然后求解即可； （2）根据题意，可以写出利润与购进款玩偶数量函数关系式，再根据网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半，可以得到款玩偶数量的取值范围，然后根据一次函数的增减性分析，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设款玩偶购进个，款玩偶购进个， 由题意得：，解得：， （个）， 答：款玩偶购进20个，款玩偶购进10个； 【小问2详解】 解：设款玩偶购进个，款玩偶购进个，获利元， 由题意得：， 款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半． ，解得， ， 由，可知随的增大而增大， 当时，（元）， 款玩偶为：（个）， 答：按照款玩偶购进15个、款玩偶购进30个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是270元． 【点睛】本题考查一次函数应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值． 23. 如图，已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与x轴以及的图象分别交于点C、D，且点D的横坐标为1． （1）点D的坐标是 （ ），直线的解析式是 ； （2）连接，求的面积． （3）点P是直线上一点（不与点D重合），设点P的横坐标为m，的面积为S，请直接写出S与m之间的关系式． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据D点横坐标及得出纵坐标进而得出D点坐标；最后通过两点坐标得出一次函数解析式； （2）根据各点坐标即三角形面积公式即可求出； （3）分情况讨论，利用图形面积的和差以及三角形的面积公式列式求解即可． 【小问1详解】 解：将代入函数得D点纵坐标为2， 将点；，代入得： 解得， 故解析式为：， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：如图： 易知，点A的坐标为，，点C的坐标为， ； 【小问3详解】 解：①如图，点P在之间： ； ②点P在B点下方，如图： ； ③点P在D点的上面 ； 综上所述：． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴围成的图形的面积的求解，会分割图形面积是解题的关键． 24. 我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，，是的中线，，垂足为P，像这样的三角形称为“中垂三角形”．设，，．特例探索： （1）①如图1，，时， ___________； ②如图2，当，时， ___________， __________； （2）已知，请你观察(1)中的计算结果，猜想，，三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式； （3）如图4，在平行四边形中，点E，F，G分别是，，的中点，，，．求的长． 【答案】（1）①，②；， （2），证明见详解 （3）4 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定以及性质、平行四边形的判定以及性质和勾股定理， （1）由题可得即为的中位线，即，且，①有题意可得，继而可知则，那么，利用勾股定理可求得，结合中线的性质即可求得；②由题意得，同理可得，，利用勾股定理可求得，结合中线的性质即可求得； （2）连接，由已知可知与、与的比例关系，设，由此可得、的长，依次将线段长代入和中，即可求解； （3）由题可知，，设、交于点P，取的中点H，连接、，结合平行四边形的性质可证得为“中垂三角形”，利用“中垂三角形”的三边关系即可求解． 【小问1详解】 解：由题可得即为的中位线， ，且， ①当时， ， ， ∵， ∴ ∵， ∴， ， 则在中，， ∵是的中线， ； ②当时， ， 同理可得，， 则在和中， ， ． 【小问2详解】 猜想三者之间的关系是：． 证明如下：如图，连接， ∵，是的中线， ∴是的中位线． ，且． ． 设，则， 在中，①； 中，②； 在中，③； 由①，得． 由②+③，得． ． 【小问3详解】 解：设AF，BE交于点P．取AB的中点H，连接FH，AC．如图， ∵E，G分别是AD，CD的中点，F是BC的中点， ． 又， ． ∵四边形是平行四边形， ， ， ， 是“中垂三角形”， ， 即， ． 25. 在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（m，0），以AB为腰作等腰，如图所示． （1）若的值为5平方单位，求m的值； （2）记BC交y轴于点D，CE⊥y轴于点E，当y轴平分∠BAC时，求的值 （3）连接OC，当OC＋AC最小时，求点C的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）由求解的长，利用勾股定理列方程求解，结合的位置，即可得到答案； （2）过作于，证明求解由等面积法得作 在上，利用勾股定理可得从而可得答案； （3）由（2）同理可得：，证明在上，设直线与轴分别交于，过作于 使 连接交于 则此时最小，利用等腰三角形的性质与中点坐标公式得的坐标，求解的解析式，再求直线与的交点坐标即可． 【详解】解：（1） （负根舍去）， 又 在轴的负半轴上， （2）过作于， 由勾股定理得： 作 在上， 轴平分∠BAC， 由勾股定理得： （3）由（2）同理可得：， 在直线上， 设直线与轴分别交于， 则 过作于 使 连接交于 则此时最小， 为的中点， 设为 解得： 为 解得： 即当最小时， 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，三角形全等的判定与性质，三角形角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，分式的约分，利用平方根的含义解一元二次方程，轴对称的性质，求解一次函数的解析式及交点坐标，掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$