精品解析：江苏省盐城市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题

2023-2024学年度第二学期高一年级期终考试 数学试卷 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分. 3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若向量，为单位向量，且，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若，，则用，表示（ ） A. B. C. D. 5. 若直线与平面不垂直，那么在平面内与直线垂直直线（ ） A. 只有一条 B. 无数条 C. 是平面内的所有直线 D. 不存在 6. 若，则 （ ） A. B. C. 1 D. 3 7. 《九章算术》中将“底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱”称为堑堵；将“底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥”称为阳马.如图，在堑堵中，，，，阳马的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 若复数（为虚数单位），则下列结论正确的有（ ） A. B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第二象限 10. 若函数，则（ ） A. 函数的一个周期为 B. 函数的图象关于轴对称 C. 函数在区间上单调递减 D. 函数最大值为2，最小值为0 11. 如图，在直棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，点为的中点，动点在侧面内（包含边界），则下列结论正确的是（ ） A. B. 若点在线段上，则四面体的体积为定值 C. 若，则点轨迹的长度为 D. 若点在直线上，则的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若，，，的方差为2，则，，，的方差为_____________. 13. 若，，，则的最小值为_________________. 14. 已知梯形中，，，，，，若，，，则的取值范围为_____________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 2024年5月15日是第15个全国公安机关打击和防范经济犯罪宣传日，某市组织了多个小分队走进社区，走进群众，开展主题为“与民同心，为您守护”的宣传活动，为了让宣传更加全面有效，某个分队随机选择了200位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如图： （1）请估计这200位市民的平均年龄（同组数据用组中值代替）； （2）现用分层抽样的方法从年龄在区间和两组市民中一共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，求“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率. 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）将函数图象上所有点向左平移个单位后，得到函数的图象，当时，求函数的值域. 17. 在中，角，，的对边分别为，，，且满足. （1）求的大小； （2）若的面积为，且，当线段的长最短时，求的长. 18. 如图，在四棱锥中，，，，为的中点，平面. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求点到平面的距离. 19. 若对于实数，，关于的方程在函数的定义域上有实数解，则称为函数的“可消点”.又若存在实数，，对任意实数，都为函数的“可消点”，则称函数为“可消函数”，此时，有序数对称为函数的“可消数对”. （1）若是“可消函数”，求函数“可消数对”； （2）若为函数“可消数对”，求的值； （3）若函数的定义域为，存在实数，使得同时为该函数的“可消点”与“可消点”，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第二学期高一年级期终考试 数学试卷 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分. 3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助数轴，利用集合交集运算规则求交集即可. 【详解】 由图可知，， 故选：C. 2. 若向量，为单位向量，且，则（ ） A B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】通过向量模的平方等于向量的平方即可求解. 【详解】因为向量，为单位向量，所以， 因为， 所以 ， 所以. 故选：A. 3. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行得出x，再结合充分不必要条件判断即可. 【详解】因为，可得, 则是的充分不必要条件. 故选：A. 4. 若，，则用，表示（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合对数运算性质即可得解. 【详解】由对数运算性质可得， 故选：D. 5. 若直线与平面不垂直，那么在平面内与直线垂直的直线（ ） A. 只有一条 B. 无数条 C. 是平面内的所有直线 D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】 直线与平面不垂直，可以和平面内一条直线垂直，即可得答案. 【详解】直线与平面不垂直,一定存在，使得成立， 因此在平面内，与平行的所有直线都与直线垂直，因此有无数条直线在平面内与直线垂直. 故选：B 6. 若，则 （ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】首先用齐次分式求正切值，然后利用两角差正切公式求值即可. 【详解】因为，所以，即， 所以， 故选：B. 7. 《九章算术》中将“底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱”称为堑堵；将“底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥”称为阳马.如图，在堑堵中，，，，阳马的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由面面垂直的性质得到平面，设的外接球的半径为，则，求出，即可求出外接球的表面积. 【详解】因为，，，所以， 又为直棱柱，平面，平面， 所以平面平面， 又平面平面，平面，所以平面， 又矩形外接圆的直径为， 设的外接球的半径为，又，， 所以，所以， 所以阳马的外接球的表面积. 故选：C 8. 设函数，若恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】分与两类讨论，根据恒成立，得出的结论，从而得解. 【详解】若 当时，，因为恒成立，所以恒成立，则，即， 当时，，因为恒成立，所以恒成立，则，即， 综上，，同理时， 又， 所以，，当且仅当时，取等号 故选：C. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 若复数（为虚数单位），则下列结论正确的有（ ） A. B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第二象限 【答案】AC 【解析】 【分析】由复数的模长公式，虚部、共轭复数概念及几何意义逐个判断即可. 【详解】因为，所以，故A正确； 的虚部为，故B错误； ，所以，故C正确； 在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D错误. 故选：AC 10. 若函数，则（ ） A. 函数的一个周期为 B. 函数的图象关于轴对称 C. 函数在区间上单调递减 D. 函数的最大值为2，最小值为0 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，根据作出判断；B选项，根据函数奇偶性的定义作出判断；C选项，当时，，化简得到，由复合函数同增异减得到函数的单调性；D选项，先求出时，，得到最值，结合函数的周期性和奇偶性得到答案. 【详解】A选项，， 故的一个周期为，A正确； B选项，定义域为R， ， 故函数的图象关于轴对称，B正确； C选项，当时，，在上单调递增， 故， 由于在上单调递减， 由同增异减，可知在区间上单调递减，C正确； D选项，当时，，， 当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为0， 又的图象关于轴对称，的一个周期为， 故在R上的最大值为，最小值为0，D错误. 故选：ABC 11. 如图，在直棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，点为的中点，动点在侧面内（包含边界），则下列结论正确的是（ ） A. B. 若点在线段上，则四面体的体积为定值 C. 若，则点轨迹长度为 D. 若点在直线上，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用直棱柱及所在棱长都为，很快可计算各边长，再利用菱形的对角线垂直，再结合直棱柱易证A成立。再结合空间关系可证明平面，即B选项正确， 而对于C选项，易证明点在平面上的轨迹是圆弧，接下来就是计算，可判断错误，最后就是利用两个平面的展开图，为一个平面四边形，再计算对角线长即可作出判断. 【详解】 连接，由菱形可得， 再由直棱柱，可得底面， 又因为底面，所以，而， 所以平面，又因为平面，所以，故A正确； 取的中点为，连接，又由点为的中点，可得， 而，所以，即四点共面， 由平面，平面，所以平面， 因为动点，所以动点到平面的距离不变， 又因为三点固定，则四面体的体积为定值，故B正确； 动点在侧面内（包含边界），过作，垂足为， 由直棱柱，易证明平面， 而侧面，即有， 由菱形边长为2，，可得， 再由勾股定理得：，则点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧， 则由侧面正方形，可知，，可得， 所以点轨迹的圆弧长为，故C错误； 利用直棱柱的所有棱长为，可计算得： 再把这三角形与三角形展开成一个平面图，如下图： 先解三角形，由余弦定理得：， 利用平方关系得：， 所以， 再由余弦定理得：， 即，故的最小值为，故D正确； 故选：ABD． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若，，，的方差为2，则，，，的方差为_____________. 【答案】18 【解析】 【分析】法一：利用方差公式求解即可，法二：利用方差的定义直接求解. 【详解】方法一：因为，，，的方差为2 所以，，，的方差为； 方法二：设，，，的平均数为，则， 显然，，，的平均数为：， 所以它们的方差为, 故答案为：18. 13. 若，，，则的最小值为_________________. 【答案】 【解析】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，，， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 14. 已知梯形中，，，，，，若，，，则的取值范围为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，用带的坐标分别表示向量，求得数量积关于的式子，然后用函数的思想求范围. 【详解】 如图，建立平面直角坐标系，根据题意，则 , , 所以 , 所以 令， 当时，， 当或时，， 所以， 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 2024年5月15日是第15个全国公安机关打击和防范经济犯罪宣传日，某市组织了多个小分队走进社区，走进群众，开展主题为“与民同心，为您守护”的宣传活动，为了让宣传更加全面有效，某个分队随机选择了200位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如图： （1）请估计这200位市民的平均年龄（同组数据用组中值代替）； （2）现用分层抽样的方法从年龄在区间和两组市民中一共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，求“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数计算规则计算可得； （2）首先求出年龄在区间和中抽取的人数，再列出所有可能结果，最后由古典概型的概率公式计算可得. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得这200位市民的平均年龄为： ； 【小问2详解】 样本中年龄在区间的频率为， 年龄在区间的频率为， 则年龄在区间抽取人，分别记作、、、， 年龄区间抽取人，分别记作、， 从这6人中随机抽取2人进行电话回访可能结果有、、、、、、 、、、、、、、、共个， 其中满足抽取的2人的年龄差大于10岁的有、、、、、、、共个， 所以“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率. 16. 已知函数. （1）求函数最小正周期； （2）将函数图象上所有的点向左平移个单位后，得到函数的图象，当时，求函数的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简，再用周期公式即可求最小正周期； （2）通过图像平移求得解析式，在用整体代换法求得在时的值域. 【小问1详解】 因为， 所以最小正周期为：； 【小问2详解】 由（1）知， 所以函数图象上所有的点向左平移个单位，得到函数的解析式为 ， 因为，所以， 所以当时，；当时，， 所以的值域为：. 17. 在中，角，，的对边分别为，，，且满足. （1）求的大小； （2）若的面积为，且，当线段的长最短时，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式求出，即可得解； （2）由面积公式求出，在中利用余弦定理及基本不等式求出的最小值，求出此时、的值，再由余弦定理计算可得. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 又， 所以， 所以，又，所以， 所以，即，又， 所以； 【小问2详解】 因为的面积为，即， 即，则，， 因为，所以， 在中， 即，当且仅当，即，时取等号， 所以，即的最小值为，此时，， 则， 所以，即. 18. 如图，在四棱锥中，，，，为的中点，平面. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得四边形为平行四边形，即可得到，从而得证； （2）连接，即可说明四边形为菱形，得到，从而得到，再由线面垂直得到，从而证明平面，即可得证； （3）首先证明平面，即可得到为二面角的平面角，从而求出，再由，利用等体积法求出点到平面的距离. 【小问1详解】 因为，，为的中点， 所以，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面； 【小问2详解】 连接，因为，，为的中点， 则，所以四边形为菱形，所以， 又，所以， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； 【小问3详解】 因为平面，平面， 所以，，，又， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角，即， 所以为等腰直角三角形， 所以，又，，， 所以，又平面，平面，所以， 所以， 设点到平面的距离为，则，即， 即，解得，即点到平面的距离为. 19. 若对于实数，，关于的方程在函数的定义域上有实数解，则称为函数的“可消点”.又若存在实数，，对任意实数，都为函数的“可消点”，则称函数为“可消函数”，此时，有序数对称为函数的“可消数对”. （1）若是“可消函数”，求函数的“可消数对”； （2）若为函数的“可消数对”，求的值； （3）若函数的定义域为，存在实数，使得同时为该函数的“可消点”与“可消点”，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合题目给的新的定义，求出的“可消数对”即可. （2）利用题目给的定义，根据为函数的“可消数对”，得到,都有，从而求出 （3）结合题意得到关系：,利用进一步转化得到,求出结果. 【小问1详解】 因为函数是“可消函数”, 所以,对,使得, 整理得, 当时,;当时,,解得. 经检验,满足条件,所以所求函数的“可消数对”为. 【小问2详解】 因为为函数的“可消数对”, 所以为函数的“可消数对”, 所以,对,都有,整理得, 所以,所以. 【小问3详解】 因为存在,使得同时为函数的“可消点”与“可消点”, 所以, 化简可得, 因为 则, 所以, 故的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：新结构题目结合题目给的条件表示出是解决（3）的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $