精品解析：河南省周口市鹿邑县2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

2023－2024高一下期期中试卷 数学试题 时间120分钟 总分150分 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知复数满足（是虚数单位），则（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出复数，再利用模长公式计算即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故选:C. 2. 已知圆台上下底面圆的半径分别为1，3，母线长为4，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆台侧面积的计算公式，结合已知条件，直接求解即可. 【详解】设上下底面圆半径分别为，母线长为， 则圆台侧面积. 故选：C. 3. 向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用平面向量垂直及数量积坐标运算即可. 【详解】由于向量，且，则，解得 故选：D 4. 如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体，设圆锥部分的高为0.5米，圆柱部分的高为2米，底面圆的半径为1米，则该组合体体积为（ ） A. 立方米 B. 立方米 C. 立方米 D. 立方米 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆柱和圆锥的体积公式可得. 【详解】圆柱体积为，圆锥体积为， 所以，该组合体的体积为. 故选：D 5. 已知向量，，且，则（ ） A. 5 B. C. 10 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积的坐标运算求出，再求出，即可得出所求. 【详解】，，，解得， ， ， . 故选：A. 6. 已知圆锥的底面半径为4，其侧面展开图为一个四分之一圆，则该圆锥的母线长为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长计算可得答案. 【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长， 则，解得 故选：C. 7. 已知，，若 (为虚数单位)，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意复数的虚部为零，实部大于2，即可得到不等式，解得即可； 【详解】解：因为，， ，所以，即，解得或 故选：B 8. 已知向量，，则“”是“向量与的夹角为锐角”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件概念以及向量数量积的应用，进行判断即可. 【详解】若，则，解得． 若向量与的夹角为锐角，则且，所以且，解得． 故“”是“向量与的夹角为锐角”的必要不充分条件． 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法错误的是（ ） A. 过球心的截面是半径等于球的半径的圆面 B. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱 C. 正四棱锥的侧面都是正三角形 D. 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据几何体的结构特征逐项分析判断. 【详解】对于选项A：根据球的性质可知过球心的截面是半径等于球的半径的圆面，故A正确； 对于选项B：满足有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体可能时两个棱柱拼接而成，如图所示，故B错误； 对于选项C：正四棱锥的底面为正方形，侧棱长相等，但无法确定底面边长与侧棱长是否相等，所以只可得正四棱锥的侧面都是等腰三角形，而不一定是正三角形，故C错误； 对于选项D：因为无法确定侧棱是否交于一点，故满足条件的几何体不一定是棱台，故D错误； 故选：BCD. 10. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的侧面积与球面面积相等 D. 三个几何体的表面积中，球的表面积最小 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据球、圆锥、圆柱的表面积公式一一计算可得； 【详解】解：依题意球的表面积为， 圆柱的侧面积为，所以AC选项正确． 圆锥的侧面积为，所以B选项正确． 圆锥的表面积为， 圆柱的表面积为，所以D选项不正确． 故选：ABC 11. 在中，，若满足条件的三角形有两个，则边的取值可能是（ ） A 1.5 B. 1.6 C. 1.7 D. 1.8 【答案】BC 【解析】 【分析】根据即可求解. 【详解】根据题意可得：满足条件的有两个，可得， 故选:BC 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知三点在半径为5的球的表面上，是边长为的正三角形，则球心到平面的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理求得三角形外接圆的半径，利用勾股定理求得球心到平面的距离. 【详解】设外接圆的半径为，由正弦定理得，故， 则球心到平面的距离为. 故答案为： 13. 如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上下底面及母线均相切，已知圆柱的底面半径为3，则圆柱的体积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由条件球的半径与圆柱底面圆半径相同，故球的半径为3，进而得圆柱的高，代入体积公式求解． 【详解】设圆柱的底面半径为，球的半径为．由条件有：，圆柱的高为， 所以圆柱的体积为． 故答案为： 14. 如图，在中，、分别为边、的中点. 为边上的点，且，若，，则的值为___________. 【答案】. 【解析】 【详解】试题分析：为中点，，，，，. 考点：平面向量的基底表示 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算过程） 15. 已知（其中i为虚数单位）. （1）若为纯虚数，求实数a的值； （2）若（其中是复数的共轭复数），求实数a的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用纯虚数概念结合复数的运算得到求解a的值； （2）利用复数的模的概念得到求实数a的取值范围. 【小问1详解】 由，可得， 因为为纯虚数，所以，解得； 【小问2详解】 因为，所以， 由，可得，，解得，， 故实数a的取值范围为 16. 如图，已知圆锥的顶点为P，O是底面圆心，AB是底面圆的直径，，． （1）求圆锥的表面积； （2）经过圆锥的高PO的中点作平行于圆锥底面的截面，求截得的圆台的体积． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）由题意可知，该圆锥的底面半径，母线，从而可求出锥的表面积， （2）先求出大圆锥的高，从而可求出小圆锥的高，进而可得圆台的体积等于大圆锥的体积减去小圆锥的体积 【详解】解：（1）由题意可知，该圆锥的底面半径，母线． ∴该圆锥的表面积． （2）在中，， ∵是PO的中点，∴． ∴小圆锥的高，小圆锥的底面半径， ∴截得的圆台的体积． 17. 已知平行四边形ABCD中，AB=3，BC=6，∠DAB=60°，点E是线段BC的中点． （1）求的值； （2）若，且BD⊥AF，求λ的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，根据向量数量积的坐标运算即可求解； （2）先求出的坐标，再根据向量垂直的坐标表示即可求解. 【小问1详解】 以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系， ，，，，， 则，，所以； 【小问2详解】 ，， 因为，所以，解得． 18. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，求周长的范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先将函数整理，得到，根据正弦函数的单调性列出不等式求解，即可得出结果； （2）先由（1）根据题意，得到，求出，再由正弦定理，得到周长为，再由正弦函数的性质，即可求出结果. 【详解】（1） ， 由得，， ∴函数的单调递增区间； （2）因为，由（1）可得，，即， 又，∴； 由正弦定理可得， 所以，， 因此周长 ， ∴，∴， 所以， 即周长的范围为. 【点睛】本题主要考查求正弦型函数的单调区间，考查由三角函数的方法求三角形周长的范围，涉及正弦定理的应用，属于常考题型. 19. 已知△ABC中，分别为内角的对边，且. （1）求角的大小； （2）设点为上一点，是 的角平分线，且，，求 的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理实行角化边，然后利用余弦定理即可得到答案 （2）先利用三角形的面积关系解出 ，再根据三角形面积公式计算答案即可 【小问1详解】 在△ABC中，由正弦定理及得：，.. 由余弦定理得， 又，所以 【小问2详解】 是的角平分线，， 由可得 因为，，即有，， 故 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023－2024高一下期期中试卷 数学试题 时间120分钟 总分150分 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知复数满足（是虚数单位），则（ ） A. B. 4 C. D. 5 2. 已知圆台上下底面圆的半径分别为1，3，母线长为4，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 3 向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体，设圆锥部分的高为0.5米，圆柱部分的高为2米，底面圆的半径为1米，则该组合体体积为（ ） A. 立方米 B. 立方米 C. 立方米 D. 立方米 5 已知向量，，且，则（ ） A. 5 B. C. 10 D. 6. 已知圆锥的底面半径为4，其侧面展开图为一个四分之一圆，则该圆锥的母线长为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 7. 已知，，若 (为虚数单位)，则实数的取值范围是（ ） A 或 B. 或 C. D. 8. 已知向量，，则“”是“向量与的夹角为锐角”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法错误的是（ ） A. 过球心的截面是半径等于球的半径的圆面 B. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱 C. 正四棱锥的侧面都是正三角形 D. 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 10. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的侧面积与球面面积相等 D. 三个几何体的表面积中，球的表面积最小 11. 在中，，若满足条件三角形有两个，则边的取值可能是（ ） A. 1.5 B. 1.6 C. 1.7 D. 1.8 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知三点在半径为5的球的表面上，是边长为的正三角形，则球心到平面的距离为__________． 13. 如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上下底面及母线均相切，已知圆柱的底面半径为3，则圆柱的体积为__________． 14. 如图，在中，、分别为边、的中点. 为边上的点，且，若，，则的值为___________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算过程） 15. 已知（其中i虚数单位）. （1）若为纯虚数，求实数a的值； （2）若（其中是复数的共轭复数），求实数a的取值范围. 16. 如图，已知圆锥的顶点为P，O是底面圆心，AB是底面圆的直径，，． （1）求圆锥的表面积； （2）经过圆锥的高PO的中点作平行于圆锥底面的截面，求截得的圆台的体积． 17. 已知平行四边形ABCD中，AB=3，BC=6，∠DAB=60°，点E是线段BC的中点． （1）求的值； （2）若，且BD⊥AF，求λ的值． 18. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，求周长的范围. 19. 已知△ABC中，分别为内角的对边，且. （1）求角的大小； （2）设点为上一点，是 的角平分线，且，，求 的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$