专题1.4 一定是直角三角形吗（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.4 一定是直角三角形吗（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】勾股定理的逆定理 1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且那么这个三角形是直角三角形. 2、利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的步骤 （1）“找”：找出三角形三边中的最长边； （2）“算”：计算其他两边的平方和与最长边的平方； （3）“判”：若两者相等，则这个三角形是直角三角形；否则，不是。 3、勾股定理的逆定理的延伸与拓展 设三角形的三边长分别为a、b、c（c为最长边的长） 【知识点二】勾股数 1、勾股数： 2、常见的勾股数：①3、4、5；②6、8、10；③8、15、17；④7、24、25；⑤5、12、13； ⑥9、12、15. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】利用勾股定理的逆定理判定直角三角形 【例1】（2024八年级下·北京·专题练习）如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，． （1）求证：是直角三角形； （2）求的长． 【变式1】（22-23九年级上·河南许昌·阶段练习）若a，b，c为的三条边，满足，则的形状为（ ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【变式2】已知a，b，c是三角形ABC的三边，且满足|a﹣5|++（c﹣13）2=0，则此三角形是 ． 【题型2】勾股定理及其逆定理综合应用（求线段长） 【例2】（2024八年级下·天津·专题练习）如图，已知在中，，是上一点，且，． 【变式1】（22-23八年级下·云南红河·期末）如图，已知中，，那么边上的中线的长为（    ）    A． B．6 C． D．4 【变式2】（23-24八年级下·安徽亳州·期中）如图，的三条边，，，，则 ． 【题型3】勾股定理及其逆定理综合应用（求角度） 【例3】（23-24八年级下·天津南开·期末）如图，正方形中，点为的中点，点为上一点，且，设的长为． （1）用含有的式子表示和； （2）求的大小． 【变式1】（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，是等边内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在四边形中，，，，则度数为 ． 【题型4】勾股定理及其逆定理综合应用（求面积） 【例4】（2024八年级下·安徽·专题练习）已知如图一块钢板，，，，，，求这块钢板的面积． 【变式1】（23-24八年级下·河北廊坊·期中）如图，点在边长为的正方形内，测得，，则阴影部分的面积是（    ） A．12 B．16 C．19 D．25 【变式2】（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，在四边形中，已知，，，，，则四边形面积是 ．    【题型5】与勾股数有关的规律探究问题 【例5】（23-24八年级下·河北廊坊·期中）已知：，， （1）当时，写出的值______（用科学记数法表示结果）； （2）当时，若以a、b、c的值作为一个三角形的三边长，则这个三角形的面积是______．（直接写出答案） （3）嘉淇发现：当n取大于1的整数时，a、b、c为勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【变式1】（2023八年级上·全国·专题练习）如果正整数满足等式，那么正整数叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（　　）    A．67 B．34 C．98 D．73 【变式2】（23-24八年级下·云南怒江·阶段练习）观察以下几组勾股数，并寻找规律：①，，；②，，；③，，；④，，…，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数为 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·吉林·中考真题）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为 ． 【例2】（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 2、拓展延伸 【例1】（23-24八年级上·山西太原·期中）请阅读下面文字并完成相关任务． 勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽． （1）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面问题： 如图2，在中，是边上的高，，，，设，求的值．    （2）2002年在北京召开的国际数学家大会会标和2021年在上海召开的国际数学教育大会会标，都包含了赵爽的弦图． 如图3，如果大正方形的面积为18，直角三角形中较短直角边长为，较长直角边长为，且，那么小正方形的面积为______． （3）勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是______． A．函数思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．数形结合思想 【例2】（21-22八年级下·北京西城·期中）阅读材料：面积是几何图形中的重要度量之一，在几何证明中具有广泛应用．出入相补原理是中国古代数学中一条用于推证几何图形面积的基本原理，它包含以下基本内容：一个几何图形，可以切割成任意多块任何形状的小图形，总面积保持不变，总面积等于所有分割成的小图形的面积之和．基于以上原理，回答问题： （1）把边长为8的正方形按图1方式分割，分割之后_______（填“能”或“不能”）把图形重新拼成图2中长为13，宽为5的长方形； （2）如图3，a，b，c分别表示直角三角形的三边，比较大小：a2＋b2________c2；（a＋b）2________2ab； （3）观察图4，写出（ac＋bd）2与（a2＋b2）（c2＋d2）的大小关系：______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 一定是直角三角形吗（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】勾股定理的逆定理 1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且那么这个三角形是直角三角形. 2、利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的步骤 （1）“找”：找出三角形三边中的最长边； （2）“算”：计算其他两边的平方和与最长边的平方； （3）“判”：若两者相等，则这个三角形是直角三角形；否则，不是。 3、勾股定理的逆定理的延伸与拓展 设三角形的三边长分别为a、b、c（c为最长边的长） 【知识点二】勾股数 1、勾股数： 2、常见的勾股数：①3、4、5；②6、8、10；③8、15、17；④7、24、25；⑤5、12、13； ⑥9、12、15. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】利用勾股定理的逆定理判定直角三角形 【例1】（2024八年级下·北京·专题练习）如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，． （1）求证：是直角三角形； （2）求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理，垂直平分线性质，解题的关键是先证明直角，再根据垂直平分线性质转换线段，根据勾股定理列方程求解． （1）根据勾股定理逆定理即可证明； （2）连接，根据是的垂直平分线，得到，设，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可得到答案． （1）证明：∵，，， ∴ ∴ ∴是直角三角形； （2）解：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴设，则， ∵在中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（22-23九年级上·河南许昌·阶段练习）若a，b，c为的三条边，满足，则的形状为（ ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】此题考查了完全平方公式，非负数的性质：偶次幂的非负性，以及勾股定理的逆定理，是一道综合性较强的试题．将已知等式适当变形是解本题的关键． 利用完全平方公式化简，根据非负数之和为0，每个加数分别为0得到，及值，再根据勾股定理的逆定理判定出三角形的形状即可． 解：∵ ∴ ∴，，， 解得：，，， ∵，， ∴ ∴是直角三角形． 故选：D． 【变式2】已知a，b，c是三角形ABC的三边，且满足|a﹣5|+|2b﹣24|+（c﹣13）2=0，则此三角形是 ． 【答案】直角三角形 解：由题意知：a﹣5=0，2b﹣24=0，c﹣13=0，∴a=5，b=12，c=13，∴a2+b2=c2，∴三角形的形状是直角三角形．故答案为直角三角形． 【题型2】勾股定理及其逆定理综合应用（求线段长） 【例2】（2024八年级下·天津·专题练习）如图，已知在中，，是上一点，且，． 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理．根据勾股定理的逆定理得到，根据勾股定理计算，得到答案． 解：，， ， ，， ， ， ， 【变式1】（22-23八年级下·云南红河·期末）如图，已知中，，那么边上的中线的长为（    ）    A． B．6 C． D．4 【答案】C 【分析】先利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解题即可． 解：∵， ∴是直角三角形，即， ∵是边上的中线， ∴， 故选C． 【点拨】本题考查勾股定理的逆定理，直角三角形斜边中线定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【变式2】（23-24八年级下·安徽亳州·期中）如图，的三条边，，，，则 ． 【答案】 【分析】利用勾股定理逆定理判定是直角三角形，后直角三角形的面积公式计算即可，本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． ∵，，， 且， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型3】勾股定理及其逆定理综合应用（求角度） 【例3】（23-24八年级下·天津南开·期末）如图，正方形中，点为的中点，点为上一点，且，设的长为． （1）用含有的式子表示和； （2）求的大小． 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理及其逆定理； （1）由正方形的性质得，，由勾股定理得，，即可求解； （2），连接，由勾股定理得 ，可得，即可求解； 掌握正方形的性质，勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）解：， ， 四边形是正方形， ，， 是的中点， ， （2）解：如图，连接 四边形是正方形， ， 由（1）得， ， ， 由（1）得：，， ， 是直角三角形， ． 【变式1】（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，是等边内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，连接，根据旋转的性质得，，可判断为等边三角形，得，由等边三角形的性质得到，， 证明，得，在中，根据勾股定理的逆定理可得，即可得解． 解：如图，连接， ∵线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，，，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点拨】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识点．掌握等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理是解题的关键． 【变式2】（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在四边形中，，，，则度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理逆定理，证明四边形是平行四边形，得出，再由勾股定理逆定理得出，即可得解． 解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴， ∴，即， 故答案为：． 【题型4】勾股定理及其逆定理综合应用（求面积） 【例4】（2024八年级下·安徽·专题练习）已知如图一块钢板，，，，，，求这块钢板的面积． 【答案】24平方厘米 【分析】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．连接．利用勾股定理可求出的长，根据的三边关系可得是直角三角形，根据三角形的面积公式可求出与的面积，进而求出四边形的面积． 解：如图，连接， ， ，，，即， 故是直角三角形，， 故四边形的面积 【变式1】（23-24八年级下·河北廊坊·期中）如图，点在边长为的正方形内，测得，，则阴影部分的面积是（    ） A．12 B．16 C．19 D．25 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的运用，根据题意，可得，可得是直角三角形，结合图形用正方形的面积减去直角三角形的面积即可求解，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 解：∵， ∴，即是直角三角形， ∴，且正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故选： C． 【变式2】（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，在四边形中，已知，，，，，则四边形面积是 ．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． 连接，由勾股定理得，，由，可得是直角三角形，，根据，计算求解即可． 解：如图，连接，    ， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， 故答案为：． 【题型5】与勾股数有关的规律探究问题 【例5】（23-24八年级下·河北廊坊·期中）已知：，， （1）当时，写出的值______（用科学记数法表示结果）； （2）当时，若以a、b、c的值作为一个三角形的三边长，则这个三角形的面积是______．（直接写出答案） （3）嘉淇发现：当n取大于1的整数时，a、b、c为勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及逆定理，科学记数法，熟练掌握勾股定理及逆定理，科学记数法的计算方法进行求解是解决本题的关键． （1）根据题意可得，，把代入计算，并应用科学记数法表示方法表示即可； （2）先求解，再证明，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）先计算，计算可得，应用勾股定理的逆定理即可得出答案． （1）解：， 当时， 原式 ； 故答案为：； （2）∵，，， 当时， ∴，，， ∴， ∴， ∴这个三角形的面积是； 故答案为：24； （3）嘉淇的发现正确，理由如下： ， ， 当n取大于1的整数时，a、b、c为一组勾股数． 【变式1】（2023八年级上·全国·专题练习）如果正整数满足等式，那么正整数叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（　　）    A．67 B．34 C．98 D．73 【答案】C 【分析】依据每列数的规律，即可得到，，，进而得出的值． 解：由题可得： ， ， ， ∴当时，， ∴，， ∴， 故选：C． 【点拨】本题为勾股数与数列规律综合题；观察数列，找出规律是解答本题的关键． 【变式2】（23-24八年级下·云南怒江·阶段练习）观察以下几组勾股数，并寻找规律：①，，；②，，；③，，；④，，…，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股数的规律题、勾股定理等知识点，发现勾股数与组数的规律是解题的关键． 先根据给出的数据找出规律，再根据勾股定理求解即可． 解：经观察，可以发现第①组勾股数的第一个数是奇数3，第②勾股数的第一个数是5，…，故第⑤组勾股数的第一个数是11，第6组勾股数的第一个数是13； 又发现每一组勾股数的第二、第三个数相差1， 故设第二个数为x，第三个数为， 根据勾股定理可得：，解得． ∴第6组数是：． 故答案为：． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·吉林·中考真题）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设的长度为x尺，则，在中，由勾股定理即可建立方程． 解：设的长度为x尺，则， ∵， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 【例2】（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】根据图形分析可得小正方形的边长为两条直角边长的差，据此即可求解． 图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是． 故选B． 【点拨】本题考查了以弦图为背景的计算题，理解题意是解题的关键． 2、拓展延伸 【例1】（23-24八年级上·山西太原·期中）请阅读下面文字并完成相关任务． 勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽． （1）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面问题： 如图2，在中，是边上的高，，，，设，求的值．    （2）2002年在北京召开的国际数学家大会会标和2021年在上海召开的国际数学教育大会会标，都包含了赵爽的弦图． 如图3，如果大正方形的面积为18，直角三角形中较短直角边长为，较长直角边长为，且，那么小正方形的面积为______． （3）勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是______． A．函数思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．数形结合思想 【答案】(1)；(2)2；(3)D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、完全平方公式的应用等知识，理解并掌握勾股定理及其验证过程是解题关键． （1）结合题意可知，，然后在和中，利用勾股定理列式求解即可； （2）设大正方形的边长为，由题意可知，利用勾股定理可得，结合易得，然后根据完全平方公式，由，即可求得答案． （3）勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了数相结合的数学思想，即可获得答案． （1）解：∵是边上的高， ∴， ∵，，，， ∴， 在和中， 可有， 即，整理可得， ∴； （2）设大正方形的边长为， 根据题意，， ∴， ∵， ∴， 又∵小正方形的边长为：， ∴， 即小正方形的面积为2． 故答案为：2； （3）勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是数形结合思想． 故答案为：数形结合思想． 【例2】（21-22八年级下·北京西城·期中）阅读材料：面积是几何图形中的重要度量之一，在几何证明中具有广泛应用．出入相补原理是中国古代数学中一条用于推证几何图形面积的基本原理，它包含以下基本内容：一个几何图形，可以切割成任意多块任何形状的小图形，总面积保持不变，总面积等于所有分割成的小图形的面积之和．基于以上原理，回答问题： （1）把边长为8的正方形按图1方式分割，分割之后_______（填“能”或“不能”）把图形重新拼成图2中长为13，宽为5的长方形； （2）如图3，a，b，c分别表示直角三角形的三边，比较大小：a2＋b2________c2；（a＋b）2________2ab； （3）观察图4，写出（ac＋bd）2与（a2＋b2）（c2＋d2）的大小关系：______． 【答案】(1)不能；(2)＝；＞；(3)（ac＋bd）2＜（a2＋b2）（c2＋d2） 【分析】（1）分别计算正方形的面积和长方形的面积，比较两个图形的面积大小即可得解； （2）如图3中，分别计算左边大正方形的面积和右边大正方形的面积，即可得a2+b2= c2，再利用 (a+b)2=a2+2ab+b2变形得； （3）如图4，先由完全平方公式和整式的乘法计算得，，，进而可得． （1）解：如图1，图2， ∵S正方形=82=64，S长方形=5×13=65， ∴S正方形S长方形， 故答案为：不能； （2）解：如图3中， 左边大正方形的面积：S大正方形=(a+b)2=a2+2ab+b2，右边大正方形的面积：S大正方形=c2+4× ab=c2+2ab， ∴a2+2ab+b2= c2+2ab， ∴a2+b2= c2， ∵(a+b)2=a2+2ab+b2， ∴a2+b2 =(a+b)2-2ab， ∵， ∴， ∴， 故答案为：=， ； （3）解：如图4， ，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了完全平方公式及勾股定理，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$