专题 1.4 勾股定理（全章知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（北师大版 2024）

专题 1.4 勾股定理 目录 一.全章知识梳理与题型分类精析 1 全章知识结构 1 知识点（一）勾股定理 2 【题型1】利用勾股定理求线段长 2 【题型2】利用勾股定理解决生活中的实际问题 3 【题型3】勾股定理的证明 4 知识点（二）勾股定理的逆定理 4 【题型4】利用勾股定理逆定理判断三角形形状 5 【题型5】利用勾股定理逆定理求值证明 6 知识点（三） 勾股数 6 【题型6】勾股数的判断 7 【题型7】勾股数的规律探究 7 知识点（四）勾股定理的应用 8 【题型8】勾股定理与折叠问题 8 【题型9】勾股定理与最短路径问题 8 【题型10】勾股定理与网格问题 9 【题型11】求旗杆高度与梯子滑落高度 10 【题型12】解决水杯中筷子问题与解决航海问题 11 【题型13】求河宽与求台阶上地毯长度 12 【题型14】判断汽车是否超速与判断是否受台风影响 13 二．同步练习 14 【基础巩固（20题）】 14 【能力提升（22题）】 20 【中考真题12题】 25 一.全章知识梳理与题型分类精析 全章知识结构 知识点（一）勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么. 数学语言：如图1，在，，则有或 图1 【题型1】利用勾股定理求线段长 【例题1】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，点P、点D分别在边和上且，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． （1）证明：； （2）若，，，求线段的长． 【变式1】（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）若直角三角形的两边长分别为，，且满足，则该直角三角形的第三边长为（  ） A．5 B． C．5或 D．5或4 【变式2】（24-25八年级下·天津·阶段练习）如图，和都是等腰直角三角形，，D为边上一点，若，求的长． 【变式3】（24-25八年级下·广西钦州·阶段练习）如图，在中，，，，在上取一点E，连接，将沿翻折得到，使得点落在直线上，则的长度为 ． 【题型2】利用勾股定理解决生活中的实际问题 【例题2】（25-26七年级上·全国·课后作业）在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米． 【变式1】（24-25八年级下·广东广州·期中）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，问折断处离地面的高度是（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【变式2】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 【变式3】（2025·浙江·模拟预测）数学经典著作《九章算术》中有一道著名的“引葭（jiā）赴岸”题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”意思为：如图，有一池塘，底面是边长为一丈（一丈等于十尺）的正方形，池的中央生有一棵芦苇，高出水面一尺，若将芦苇引到池边中点处，正好与岸边齐平，则水深为 尺． 【题型3】勾股定理的证明 【例题3】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图所示，，请你添加适当的辅助线证明结论． 【变式1】（24-25八年级上·福建三明·阶段练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·福建福州·期中）在证明勾股定理时，甲乙两位同学给出了下图所示的两种方案，则方案正确的是 ．（填“甲”或“乙”） 知识点（二）勾股定理的逆定理 定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形. 数学语言：如图2，在，如果（即），则有 图2 【题型4】利用勾股定理逆定理判断三角形形状 【例题4】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知：在中，的对边分别是a，b，c，满足．试判断的形状． 【变式1】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，某港口C在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点A，B处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西方向航行，那么慢船沿（       ）方向航行． A．南偏西 B．北偏西 C．南偏西 D．北偏西 【变式2】（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，地铁口和小明家两地恰好处在东西方向上，且相距，学校也在小明家正北方向的处，公园与地铁口的距离为，公园到学校的距离为．则的大小为 ． 【题型5】利用勾股定理逆定理求值证明 【例题5】（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）如图，点，，在同一条直线上，，，，，，连接，求点到的距离． 【变式1】（2024·北京·模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则 （填“＞”“＝”或“＜”）． 【变式2】（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）【问题情境】如图，在中，为边上的高． 【特例研究】（1）若，，，求证：； 【猜想证明】（2）根据（1）中的结论，小明猜想：当满足，利用勾股定理及其逆定理，可证明是直角三角形，请你验证小明的猜想是否正确． 知识点（三） 勾股数 1.定义：满足的三个正整数，，称为勾股数； 2.常见勾股数：3，4，5； 5，12，13；7，24，25； 3.规律：当正整数时，，，是勾股数；若，，是勾股数，那么，，（为正整数）也是勾股数。 【题型6】勾股数的判断 【例题6】（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．4，5， C．7，24，25 D．0.6，0.8，0.9 【变式1】（24-25九年级下·辽宁鞍山·开学考试）若一组勾股数的其中两个为5和12，则第三个勾股数是 ． 【变式2】（24-25七年级下·山东济南·期末）下列各组3个数是勾股数的是（  ） A．4，5，6 B． C．，， D．5，12，13 【题型7】勾股数的规律探究 【例题7】（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）学习勾股定理后知道：直角三角形的三边长是正整数时称之为“勾股数”．小明在探究勾股数的规律时关注到这样一组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25，…，他发现这些勾股数都是由一个大于1的奇数和两个连续的正整数组成． （1）小明根据他的发现写出了这样一组数：9，40，41，这是一组勾股数吗？并说明理由； （2）为了进一步探究这组勾股数的构成规律，小明猜想这样的勾股数可以为，，（n为正整数），请帮小明证明他的猜想的正确性． 【变式1】（24-25八年级上·四川成都·期中）我们学习了勾股定理后，知道：勾股定理中的“勾”、“股”和“弦”分别指的是直角三角形中较短的直角边，较长的直角边，和直角三角形的斜边． 观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是从3起就没有间断过的奇数，事实上，勾是3时，股和弦的算式分别是，；勾是5时，股和弦的算式分别是，．根据你发现的规律： （1）当勾是十一时，则股和弦分别为： ；（直接写出结果） （2）根据上述规律，继续观察：6，8，10；8，15，17；…，可以发现这些勾股数的勾都是从6起就没有间断过的偶数，通过探索，请用含m（m为偶数，且）的代数式来表示所有这些勾股数的股为 ． 【变式2】（2024·四川德阳·二模）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5：5，12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为（，m为正整数），则其股是 （结果用含m的式子表示）． 知识点（四）勾股定理的应用 【题型8】勾股定理与折叠问题 【例题8】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在长方形纸片中，，，点为射线上一个动点，把沿直线所在直线折叠，当点D的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长． 【变式1】（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将按如图所示方式折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·浙江舟山·期中）如图，在长方形中，，，在边上取一点，将折叠使点恰好落在边上的点，则的长为 ． 【题型9】勾股定理与最短路径问题 【例题9】（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图为一个长，宽，高的实心长方体，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对面顶点处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ 【变式1】（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图是一个底面周长为，高为的圆柱模型，是底面直径．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·海南海口·三模）如图，在四边形中，，，，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则 °，线段的最小值为 ． 【题型10】勾股定理与网格问题 【例题10】（2025·河北石家庄·三模）如图，点A，B，C，D均在正方形网格的格点上，则比线段短的是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【变式1】（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）如图，在单位长度为1的的网格系中，的顶点都在格点上，则 ． 【变式2】（24-25八年级下·广东阳江·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，A，B，C是网格中的三个格点（即小正方形的顶点）． （1）线段的长为 ， 线段的长为 ； （2）判断线段 与线段 之间的位置关系． 【变式3】（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，旗杆在地面上的影长为，则为 m． 【题型11】求旗杆高度与梯子滑落高度 【例题11】（24-25八年级下·福建厦门·期中）八年2班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆的高度时，发现升旗的绳子（无弹性）长度比旗杆多1米，当他们把绳子拉直，绳子末端刚好接触地面时，此时绳子末端与旗杆的距离为5米，求旗杆的高度． 【变式1】（2024·上海宝山·一模）在马拉松比赛过程中，嘉琪和李明之间一直用最远对讲距离为300米的对讲设备联系．嘉琪运动到A点时，嘉琪用对讲机与朋友李明联系，李明告知嘉琪正在通过路口B向C运动后，就失去了联系，已知嘉琪的跑步速度为，李明的跑步速度为，，足够长，多少秒后他们再次取得联系？（ ） A．150s B．60s C．100s D．不会再取得联系 【变式2】（24-25八年级下·陕西安康·期末）某校在一次消防演练中，消防队员需要通过攀爬长的云梯到高的宿舍楼顶营救“被困”学生．已知消防车按如图停放，云梯的底端A离地面、与宿舍外墙的距离是．云梯够长吗？请说明理由． 【变式3】（24-25八年级下·福建福州·期中）学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩1米（如图1），将绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离米（如图2），则旗杆的高度为（   ） A．10米 B．11米 C．12米 D．13米 【题型12】解决水杯中筷子问题与解决航海问题 【例题12】（24-25八年级下·重庆南川·阶段练习）在A岛上有一个观测站，上午8时观测站发现在A岛正北方7海里C处有一艘船向正东方向航行，上午10时，该船到达距A岛25海里的B岛，求该船的航行速度． 【变式1】（24-25八年级下·北京密云·期末）已知两个型号的圆柱型笔筒的底面直径相同，高度分别是和，．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为和，，则铅笔的长是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，一根长的搅拌勺置于底面直径为，高的圆柱形器皿中，搅拌勺露在器皿外面的长度为，则h的取值范围是 ． 【变式3】（24-25八年级下·甘肃庆阳·期末）一艘船由A港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，则A，两港之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【题型13】求河宽与求台阶上地毯长度 【例题13】（25-26八年级上·全国·随堂练习）某台阶的示意图如图所示．已知每个台阶的宽度都是cm，高度都是cm，连接，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，小微同学想测量一条河的宽度，出于安全考虑，河岸边不宜到达，她在地面上取一个参考点，发现延长线上的点处有一棵大树，用测距仪测得米，米，米，已知米，请你计算这条河的宽度．（结果保留根号） 【变式2】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点与欲到达地点相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 【变式3】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． （1）求的长； （2）若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【题型14】判断汽车是否超速与判断是否受台风影响 【例题14】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（    ）个小时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 【变式1】（24-25八年级下·浙江台州·期中）去年第13号台风“贝碧嘉”在我国沿海地区登陆，影响范围大，破坏力极强．如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，与A，B的距离分别为，，且．根据实测数据，台风中心半径范围内的地区会受到台风影响． （1）海港C受台风影响吗？为什么？ （2）若台风中心的移动速度不变，该海港受台风影响持续，求台风中心的移动速度． 【变式2】（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）滨海西大道的限速为（已知）．如图，一辆小汽车在滨海西大道上的直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了后，行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离为，问：这辆小汽车超速了吗？ 【变式3】（24-25八年级下·河南驻马店·期中）吊车在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一台吊车沿公路由点A向点B行驶，已知点C处为一所学校，点C与直线上两点A，B的距离分别为和，吊车周围以内为受噪声影响区域． （1）求的度数． （2）学校C会受噪声影响吗？为什么？ 二．同步练习​ 【基础巩固（20题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·广东东莞·阶段练习）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．3，4，6 B．5，12，13 C．9，16，25 D．1，2，3 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知，如图，长方形中，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）一架长5米的梯子斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端3米，如果梯子的顶端沿墙下滑1米，那么梯足将滑（   ） A．0.5米 B．0.75米 C．1米 D．2米 4．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，我国汉代赵爽在注解《周脾算经》时给出的由四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形，人们称它为“赵爽弦图”．若一个直角三角形两直角边和为17，小正方形的面积为49，则图中大正方形的边长为（   ） A．17 B．15 C．13 D．10 5．（24-25七年级下·广东深圳·期末）公园中有两条近似垂直的绿道，一条长45米，一条长60米，现打算再修一条连接两条绿道端点A和B的笔直小径，则小径的长可能为（    ） A．15米 B．110米 C．72米 D．120米 6．（24-25八年级下·广东深圳·期末）观察下图等式：若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如：3，4，5）．现有一个直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数，则这个直角三角形的面积为（   ） A．245 B．259 C．336 D．350 7．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）小敏从处向北偏东方向前行到处，再从处向某一方向前行到处，最后从处向某一方向前行回到处，则处在处的（　　）方向 A．南偏东 B．南偏东或北偏西 C．北偏西 D．北偏西或南偏东 8．（24-25八年级下·河南濮阳·期末）如图，古代埃及人用如图的方法画直角，把一根长绳打上等距离的结，最后一个结与打的第一个结重合，这个结应标的数字是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（25-26八年级上·全国·随堂练习）若直角三角形的两边长分别为a、b，且满足，则该直角三角形的第三边长的平方为 ． 10．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，商场（点）距公路（直线）的距离（）为，在公路上有一车站（点），车站距商场（）为，公交公司拟在公路上建一个公交车站停靠站（点），要求停靠站到商场到车站的距离相等，则停靠站到车站的距离（）的长为 11．（24-25八年级下·重庆·期末）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是8，大正方形的面积是100，则小正方形的面积是 ． 12．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）已知，斜边，面积为2，则 ． 13．（25-26八年级上·全国·随堂练习）新情境  某中学在大门口的正上方离地米的点处装着一个红外线激光测温仪（如图所示），当人体进入感应范围内时，测温仪就会显示人体体温，一个身高米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离为 米． 14．（24-25八年级下·广西桂林·阶段练习）小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱状粮仓模型，如图所示，现要在此模型的侧面从点A出发到点B处贴一条彩色装饰带，则装饰带的长度最短为 ． 15．（24-25八年级下·四川广安·阶段练习）如图，，过点P作且，得；再过点作且，得；又过点作且，得；…依此法继续作下去，得 ． 三、解答题 16．（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）如图，在中，，、、是的三边长． （1）已知，，求的值； （2）若，，求，的值． 17．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，C，E均在格点（网格线的交点）上，，，且．求证：． 18．（2025·安徽宿州·二模）数学兴趣小组开展探究活动，研究“勾股数”．指导老师首先提出一个猜想：如果n表示大于1的整数，则，，为勾股数．例如：当时，，，． ∵， ∴数据3，4，5是勾股数． 对于此规律，兴趣小组的成员进行了如下证明： ∵， ∴， ∴① ．（填“”或“”） ∵， ∴． ∵② ③ ，④ ， ∴， ∴为勾股数． （1）请补全横线上所缺的内容． （2）若数据8，a，b为勾股数，且，求a，b的值． 19．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是； 第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点，再测量绳子底端与旗杆根部点之间的距离，测得距离为． 【解决问题】设旗杆的高度为，通过计算即可求得旗杆的高度． （1）用含的式子表示为_____； （2）请你求出旗杆的高度． 20．（23-24八年级下·广西防城港·期中）【综合实践】 【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯长斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，． 【独立思考】（1）求这架云梯顶部距离地面的长度． 【深入探究】（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部A下滑到位置上（云梯长度不改变），则底部B沿水平方向向前滑动到位置上，若，求的长度． 【问题解决】（3）在演练中，墙边距地面的窗口有求数声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全，在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的窗口去救援被因人员？ 【能力提升（22题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东济南·期末）下列各组3个数是勾股数的是（  ） A．4，5，6 B． C．，， D．5，12，13 2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，且，，则的长是（   ） A．4.8 B．8 C．9.6 D．10 3．（2024·浙江·模拟预测）如图，在“”正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C都在格点（即网格的交点）上，则的正切值是（   ） A． B．2 C． D． 4．（24-25八年级下·福建福州·期中）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 5．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 6．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）市面上有许多自带勺子的水杯，为了方便用户使用，勺子一般需要漏出杯子一部分．如图是某款自带勺子的水杯的简化图，杯身是一个圆柱形，水杯的内径是，水杯的内侧高度为，若勺子的长度为，则勺子漏出杯子的部分至少为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图是长方形纸片，已知，现将纸片折叠，使点D落在边上的点M处，且，折痕为，则的长为（   ） A．1 B．2 C．2.5 D．1.5 8．（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃及以内时，即，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高的学生走到D处，即，门铃恰好自动响起，则的长为（    ） A．2米 B．3米 C．4米 D．5米 二、填空题 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小刚头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小刚5000米，则飞机每小时飞行 千米． 10．（25-26八年级上·全国·随堂练习）《九章算术》中有一道题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”大致意思是：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度为 尺．（1丈尺） 11．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，在中，，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则点D到的距离为 ． 12．（21-22八年级下·全国·单元测试）已知：如图，四边形，，，，，且．则四边形的面积为________．    13．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）如图，在单位长度为1的的网格系中，的顶点都在格点上，则 ． 14．（24-25八年级下·辽宁营口·期中）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形．如果直角三角形的两条直角边分别为，，若小正方形的面积为8，且，则大正方形的面积为 ． 15．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、N两点相距100海里，则渔船从港口O出发的方向为 ． 16．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙上，，． （1） m； （2）若梯子的顶端下滑，则梯子的底端向外移动了 ． 三、解答题 17．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）如图所示，已知一块三角形的花园，测量发现，，是腰上一点，且，． （1）求证：； （2）求三角形花园的面积． 18．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，点P、点D分别在边和上且，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． （1）证明：； （2）若，，，求线段的长． 19．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）如图，点，，在同一条直线上，，，，，，连接，求点到的距离． 20．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，在四边形纸片中，，点，分别在边，上，将，分别沿，折叠，点，恰好都和点重合，． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，点F是的中点，求的长度． 21．（24-25八年级下·广西南宁·期中）五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路上，沿东西方向由向行驶．小丽的家在公路的一侧点处，且点与直线上的两点的距离分别为，又，假如移动广播车周边250米以内能听到广播宣传． （1）求的度数． （2）请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？ （3）若移动广播车在笔直的公路上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点时，小丽在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点时，小网在家刚好不再听到广播，即米，问小丽在家听到广播宣传的时长是多长？ 22．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 【问题解决】 （1）解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，再连接（或将绕着点逆时针旋转得到，把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断．由此得出中线的取值范围是________； 【应用】 （2）如图②，在中，点为边的中点，已知，，，求的长； 【拓展】 （3）如图③，在中，，点是边的中点，点在边上，过点作交边于点N，连接．已知，，则的长为________． 【中考真题12题】 一、单选题 1．（2023·湖北·中考真题）如图，在中，，点在边上，且平分的周长，则的长是（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 3．（2024·山东淄博·中考真题）《九章算术》中提到：今有户高多于广六尺八寸．两隅相去适一丈．问户高、广各几何？其大意为：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（1丈尺，1尺寸）若设门的高和宽分别是尺和尺．则下面所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山东东营·中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h为 m． 6．（2024·吉林·中考真题）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为 ． 7．（2023·江苏南通·中考真题）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中，均小于，，，是大于1的奇数，则 （用含的式子表示）． 8．（2023·辽宁·中考真题）如图，在中，，点D为的中点，过点C作交的延长线于点E，若，，则的长为 ．    9．（2025·四川成都·中考真题）如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧；再以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点D，连接，则的长为 ． 10．（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 ． 11．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则 ． 三、解答题 12．（2023·湖南·中考真题）如图，，，，垂足分别为，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 1.4 勾股定理 目录 一. 全章知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）勾股定理 2 【题型1】利用勾股定理求线段长 2 【题型2】利用勾股定理解决生活中的实际问题 5 【题型3】勾股定理的证明 8 知识点（二）勾股定理的逆定理 11 【题型4】利用勾股定理逆定理判断三角形形状 11 【题型5】利用勾股定理逆定理求值证明 13 知识点（三） 勾股数 16 【题型6】勾股数的判断 16 【题型7】勾股数的规律探究 18 知识点（四）勾股定理的应用 20 【题型8】勾股定理与折叠问题 20 【题型9】勾股定理与最短路径问题 23 【题型10】勾股定理与网格问题 26 【题型11】求旗杆高度与梯子滑落高度 29 【题型12】解决水杯中筷子问题与解决航海问题 31 【题型13】求河宽与求台阶上地毯长度 34 【题型14】判断汽车是否超速与判断是否受台风影响 36 二．同步练习​ 40 【基础巩固（20题）】 40 【能力提升（22题）】 55 【中考真题12题】 76 一.全章知识梳理与题型分类精析 全章知识结构 知识点（一）勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么. 数学语言：如图1，在，，则有或 图1 【题型1】利用勾股定理求线段长 【例题1】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，点P、点D分别在边和上且，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． （1）证明：； （2）若，，，求线段的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）由等边对等角可得，垂直平分线的性质可得，进而得到；根据直角三角形两锐角互余可得，进而得到，即可证明结论； （2）由线段的和差可得，．设，则．由勾股定理可得，进而求解即可． 解：（1）证明：∵， ∴． ∵垂直平分， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图所示，连接， ∵，，， ∴，． 设，则． 在中，根据勾股定理得：． 在中，根据勾股定理得：， ∴，解得， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）若直角三角形的两边长分别为，，且满足，则该直角三角形的第三边长为（  ） A．5 B． C．5或 D．5或4 【答案】C 【分析】先利用非负数的性质求出、的值，再分情况讨论这两条边是直角边还是斜边，结合勾股定理计算第三边．本题主要考查了非负数的性质（平方数、绝对值的非负性）以及勾股定理，熟练掌握非负数性质确定、值，再分情况用勾股定理计算第三边是解题的关键． 解：， ，， 解得，， 当、为直角边时，第三边长为 当为斜边，为直角边时，第三边长为 ∴该直角三角形的第三边长为或， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·天津·阶段练习）如图，和都是等腰直角三角形，，D为边上一点，若，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用、等腰直角三角形的性质等知识．先证明，可得，，进而得出是直角三角形，再根据勾股定理求出答案即可． 解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，， 即． 【变式3】（24-25八年级下·广西钦州·阶段练习）如图，在中，，，，在上取一点E，连接，将沿翻折得到，使得点落在直线上，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握轴对称的性质及用勾股定理列方程是解题的关键．设，根据轴对称的性质可得，，进一步求得，根据勾股定理可求得，最后在中，根据勾股定理列方程求解即可． 解：设， 沿翻折得到， ，， ， ， ， ， 在中， ， ， 解得， ． 故答案为：． 【题型2】利用勾股定理解决生活中的实际问题 【例题2】（25-26七年级上·全国·课后作业）在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米． 【答案】15 【分析】设米，则米，根据勾股定理，结合题意，得，解方程即可． 本题考查了勾股定理，解方程，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 解：设米，则米， 根据勾股定理，得（米）， 由两只猴子所经过的距离相等，得， ∴米 故， 解得， 故树高为：米， 故答案为：15． 【变式1】（24-25八年级下·广东广州·期中）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，问折断处离地面的高度是（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理的应用，竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， ∴折断处离地面的高度是尺， 故选：． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 【答案】5米 【分析】本题主要考查勾股定理，根据题意，四边形是矩形，设，则，，在中，，，代入计算即可求解． 解：由题意可知，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 设，则，， 在中，，， ∴， 解得， 答：绳索的长度米． 【变式3】（2025·浙江·模拟预测）数学经典著作《九章算术》中有一道著名的“引葭（jiā）赴岸”题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”意思为：如图，有一池塘，底面是边长为一丈（一丈等于十尺）的正方形，池的中央生有一棵芦苇，高出水面一尺，若将芦苇引到池边中点处，正好与岸边齐平，则水深为 尺． 【答案】12 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知的长为尺，则尺，设出尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深． 解：依题意画出图形，设芦苇长尺，则水深尺，    因为尺，所以尺， 在中，， 解之得， ∴水深为（尺）． 故答案为：12． 【题型3】勾股定理的证明 【例题3】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图所示，，请你添加适当的辅助线证明结论． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，涉及到长方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及通过作辅助线构造特殊图形是解题的关键．首先作辅助线得到长方形，再证明三角形全等，然后根据长方形面积与几个三角形和一个等腰直角三角形面积之和相等，列出等式化简后得出勾股定理结论． 解：证明：如答图，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，则四边形是长方形． ， ，， ． 又， ， ， ， ． 【变式1】（24-25八年级上·福建三明·阶段练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键．根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理． 解：A、大正方形的面积为：，也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ，故该选项能证明勾股定理； B、大正方形的面积为：；也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ， ，故该选项能证明勾股定理； C、大正方形的面积为：；也可看作是个矩形和个小正方形组成，则其面积为：， ， 故该选项不能证明勾股定理； D、梯形的面积为：，也可看作是个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：， ， ，故该选项能证明勾股定理； 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·福建福州·期中）在证明勾股定理时，甲乙两位同学给出了下图所示的两种方案，则方案正确的是 ．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【分析】本题考查了列代数式及勾股定理与完全平方公式的验证，理解题意，结合图形求解是解题关键．根据图形列代数式即可得出结果． 解：甲出的结果为：，不符合题意； 乙得出的结果为：，即，符合题意； 故答案为：乙． 知识点（二）勾股定理的逆定理 定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形. 数学语言：如图2，在，如果（即），则有 图2 【题型4】利用勾股定理逆定理判断三角形形状 【例题4】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知：在中，的对边分别是a，b，c，满足．试判断的形状． 【答案】直角三角形 【分析】此题考查了因式分解的应用，勾股定理的逆定理．现对已知的式子变形，出现三个非负数的平方和等于0的形式，求出a、b、c，再验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可． 解：， ， 原式可化为， ∴，，（a，b，c都是正的）， ∴符合勾股定理的逆定理， 故是直角三角形． 【变式1】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，某港口C在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点A，B处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西方向航行，那么慢船沿（       ）方向航行． A．南偏西 B．北偏西 C．南偏西 D．北偏西 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理、方位角等知识点，熟练掌握勾股定理的逆定理及方位角是解题的关键． 根据勾股定理逆定理求出，进而可得，进而完成解答． 解：如图:由题意得：（海里），（海里），，海里， ∴， ∴， ∴， ∴乙船沿南偏西方向航行． 故选A． 【变式2】（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，地铁口和小明家两地恰好处在东西方向上，且相距，学校也在小明家正北方向的处，公园与地铁口的距离为，公园到学校的距离为．则的大小为 ． 【答案】/135度 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．由题意可得：，在中根据勾股定理可求出，再根据勾股定理的逆定理可得：是直角三角形，且，即可求解． 解：在中，，， ，． 在中，，， ， 是直角三角形，且， ， 即的大小为， 故答案为：． 【题型5】利用勾股定理逆定理求值证明 【例题5】（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）如图，点，，在同一条直线上，，，，，，连接，求点到的距离． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键． 利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，可证，得到，设点到的距离为，由等积法即可求解． 解：∵，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴， 设点到的距离为， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点到的距离为． 【变式1】（2024·北京·模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则 （填“＞”“＝”或“＜”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的网格问题、勾股定理逆定理等知识点，应用勾股定理逆定理得到是直角三角形成为解题的关键． 先应用勾股定理逆定理得到是直角三角形，然后分别求得、，最后比较即可解答． 解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵ ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）【问题情境】如图，在中，为边上的高． 【特例研究】（1）若，，，求证：； 【猜想证明】（2）根据（1）中的结论，小明猜想：当满足，利用勾股定理及其逆定理，可证明是直角三角形，请你验证小明的猜想是否正确． 【答案】（1）见分析（2）结论成立，见分析 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，完全平方公式，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）先在中，由勾股定理得，同理，可得，则为直角三角形，即可证明； （2）先在中，由勾股定理得，同理，由，，得出，则为直角三角形，即可证明． 解：（1）∵， ∴， ∵，， ∴在中，由勾股定理得， 同理， ∵， ∴， ∴为直角三角形， ∴； （2）结论成立，理由如下： ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得， 同理， ∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴． 知识点（三） 勾股数 1.定义：满足的三个正整数，，称为勾股数； 2.常见勾股数：3，4，5； 5，12，13；7，24，25； 3.规律：当正整数时，，，是勾股数；若，，是勾股数，那么，，（为正整数）也是勾股数。 【题型6】勾股数的判断 【例题6】（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．4，5， C．7，24，25 D．0.6，0.8，0.9 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股数，根据勾股数的定义（三个正整数且满足两数的平方和等于第三个数的平方），逐一验证各选项即可． 解：A 1，2，3：均为正整数，但最大数3的平方为9，而，不满足勾股定理． B．4，5，：不是正整数，不符合勾股数必须为整数的条件． C． 7，24，25：均为正整数．验证平方和：，，满足勾股定理． D． 0.6，0.8，0.9： 均为小数而非正整数，直接排除． 故选：C 【变式1】（24-25九年级下·辽宁鞍山·开学考试）若一组勾股数的其中两个为5和12，则第三个勾股数是 ． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股数，熟记勾股数的定义是解题的关键． 设第三个数为，分两种情况，分别根据勾股定理列出方程，解方程即可． 解：设第三个数为， 分两种情况： ①为最大数时，， 解得：（不是整数，舍去）； ②为最大数时，， 解得：（负值已舍去）； 综上所述，第三个勾股数是． 故答案为： ． 【变式2】（24-25七年级下·山东济南·期末）下列各组3个数是勾股数的是（  ） A．4，5，6 B． C．，， D．5，12，13 【答案】D 【分析】利用直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答． 本题考查了直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，熟练掌握定义，勾股定理的逆定理是解题的关键． 解：∵， ∴最大角不是， ∴不能构成直角三角形， 故A不符合题意； ∵， ∴最大角是， ∴能构成直角三角形， 但边长不是整数，不是勾股数， 故B不符合题意； ∵， ∴不能构成直角三角形， 故C不符合题意； ∵， ∴最大角是， ∴能构成直角三角形，且各边都是整数，是勾股数， 故D符合题意； 故选：D． 【题型7】勾股数的规律探究 【例题7】（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）学习勾股定理后知道：直角三角形的三边长是正整数时称之为“勾股数”．小明在探究勾股数的规律时关注到这样一组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25，…，他发现这些勾股数都是由一个大于1的奇数和两个连续的正整数组成． （1）小明根据他的发现写出了这样一组数：9，40，41，这是一组勾股数吗？并说明理由； （2）为了进一步探究这组勾股数的构成规律，小明猜想这样的勾股数可以为，，（n为正整数），请帮小明证明他的猜想的正确性． 【答案】（1）是，理由见分析；（2）正确，见分析 【分析】此题考查了勾股数和整式的混合运算，熟练掌握勾股数的定义是关键． （1）根据勾股数定义进行解答即可； （2）根据勾股数定义进行证明即可． 解：（1）解：9，40，41是一组勾股数，理由如下： ∵，， ∴， ∴9，40，41是一组勾股数； （2）证明：∵， 又， ∴， ∵是正整数，∴是奇数，且，，都是正整数， ∴，，（为正整数）是勾股数， ∴小明的猜想正确． 【变式1】（24-25八年级上·四川成都·期中）我们学习了勾股定理后，知道：勾股定理中的“勾”、“股”和“弦”分别指的是直角三角形中较短的直角边，较长的直角边，和直角三角形的斜边． 观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是从3起就没有间断过的奇数，事实上，勾是3时，股和弦的算式分别是，；勾是5时，股和弦的算式分别是，．根据你发现的规律： （1）当勾是十一时，则股和弦分别为： ；（直接写出结果） （2）根据上述规律，继续观察：6，8，10；8，15，17；…，可以发现这些勾股数的勾都是从6起就没有间断过的偶数，通过探索，请用含m（m为偶数，且）的代数式来表示所有这些勾股数的股为 ． 【答案】 60，61 【分析】本题主要考查了勾股数， 对于（1），通过计算，发现规律为：股是勾的平方减1的一半，弦是勾的平方加1的一半，从而写出结果； 对于（2），根据以上探索规律，偶数开头的各组数字，其股是勾的平方的四分之一减1，其弦是勾的平方的四分之一加1． 解：（1）勾是11时，股和弦的算式分别是； 故答案为：60，61； （2）6，8，10，可以写成； 8，15，17，可以写成， 根据规律，可知这些勾股数的股为：． 故答案为：． 【变式2】（2024·四川德阳·二模）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5：5，12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为（，m为正整数），则其股是 （结果用含m的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了勾股数的定义及求法：满足的三个正整数称为勾股数；根据题意得为偶数，设其股是，则玄为，根据勾股定理列方程即可得到结论． 解：∵m为正整数， ∴为偶数， 设其股是a，则弦为， 根据勾股定理得，， 解得：， 故答案为：． 知识点（四）勾股定理的应用 【题型8】勾股定理与折叠问题 【例题8】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在长方形纸片中，，，点为射线上一个动点，把沿直线所在直线折叠，当点D的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长． 【答案】或 【分析】本题主要考查了矩形的折叠问题，勾股定理．根据题意进行分类讨论①当点E在线段上时，②当点E在线段延长线上时，点F作的平行线，交于点H，交于点G，先求出，再求出，设，根据勾股定理列出方程求解即可． 解：①当点E在线段上时， 过点F作的平行线，交于点H，交于点G， ∵四边形为矩形，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵点F在线段的垂直平分线上， ∴，则， ∵沿直线折叠得到， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴， 设，则，， 根据勾股定理可得：，即， 解得：， 即； ②当点E在线段延长线上时， 过点F作的平行线，交于点H，交于点G， ∵四边形为矩形，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵点F在线段的垂直平分线上， ∴，则， ∵沿直线折叠得到， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴， 设，则，， 根据勾股定理可得：，即， 解得：， 即． 综上：或． 【变式1】（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将按如图所示方式折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质、勾股定理是解题的关键．由题意易得，由折叠的性质可得，设，则，然后根据勾股定理可进行求解． 解：由题意，得， 由翻折的性质得， 设，则， 在直角三角形中，， 即， 解得， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·浙江舟山·期中）如图，在长方形中，，，在边上取一点，将折叠使点恰好落在边上的点，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】此题重点考查翻折变换的性质、勾股定理等知识，由长方形的性质得，，，由折叠得，，求得，则，由，得，求得，于是得到问题的答案． 解：四边形是长方形， ，，， 由折叠得，， ， ， ， ， 解得， 故答案为：． 【题型9】勾股定理与最短路径问题 【例题9】（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图为一个长，宽，高的实心长方体，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对面顶点处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ 【答案】沿图①的方式爬行路线最短，最短路线长为 【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，把“立体图形”转化为“平面图形”，然后根据勾股定理计算解答． 解：蚂蚁由点A沿长方体的表面爬行到点，有三种方式，分别展成平面图形如下： 如图1，在中， ． 如图2，在中， ． 如图3，在中， ． ∵， ∴沿图①的方式爬行路线最短，最短路线长为． 【变式1】（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图是一个底面周长为，高为的圆柱模型，是底面直径．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理是解题关键．将圆柱的侧面展开，根据题意可知，，利用勾股定理解得的长度，然后计算装饰带长度的最短值即可． 解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，，且点为的中点，， 根据题意，可知，， ∴， ∴装饰带长度的最短值． 故选：D． 【变式2】（2025·海南海口·三模）如图，在四边形中，，，，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则 °，线段的最小值为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了勾股定理、三角形三边关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 求出，由三角形内角和定理得到，取的中点，连接、，由直角三角形斜边中线的性质得到，由勾股定理求出，由三角形三边关系定理得，即可得到的最小值． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 取的中点，连接、， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由三角形三边关系定理得到：． 故答案为： ． 【题型10】勾股定理与网格问题 【例题10】（2025·河北石家庄·三模）如图，点A，B，C，D均在正方形网格的格点上，则比线段短的是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，先利用勾股定理求出对应线段的长，再比较出各线段的长短即可得到答案． 解：由题意得，， ， ∵， ∴， ∴比线段短的是线段， 故选；A． 【变式1】（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）如图，在单位长度为1的的网格系中，的顶点都在格点上，则 ． 【答案】/135度 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定及性质．取格点D，使得，，连接．证明，是等腰直角三角形即可求解． 解：，， 取格点D，使得，， 连接， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为： 【变式2】（24-25八年级下·广东阳江·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，A，B，C是网格中的三个格点（即小正方形的顶点）． （1）线段的长为 ， 线段的长为 ； （2）判断线段 与线段 之间的位置关系． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解本题的关键． （1）利用网格及勾股定理求解即可； （2）连接，利用勾股定理逆定理得出，即可求解． 解：（1）解：由网格得：， 故答案为：； （2）如图：连接，则， ∴， ∴， ∴ ∴． 【变式3】（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，旗杆在地面上的影长为，则为 m． 【答案】5 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求解即可． 解：由题意可得：， ∴， 由勾股定理，得． 故答案为：5． 【题型11】求旗杆高度与梯子滑落高度 【例题11】（24-25八年级下·福建厦门·期中）八年2班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆的高度时，发现升旗的绳子（无弹性）长度比旗杆多1米，当他们把绳子拉直，绳子末端刚好接触地面时，此时绳子末端与旗杆的距离为5米，求旗杆的高度． 【答案】12米 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 将旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答． 解：设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米． 在中， 根据勾股定理得． 解得： 答：旗杆的高度为12米． 【变式1】（2024·上海宝山·一模）在马拉松比赛过程中，嘉琪和李明之间一直用最远对讲距离为300米的对讲设备联系．嘉琪运动到A点时，嘉琪用对讲机与朋友李明联系，李明告知嘉琪正在通过路口B向C运动后，就失去了联系，已知嘉琪的跑步速度为，李明的跑步速度为，，足够长，多少秒后他们再次取得联系？（ ） A．150s B．60s C．100s D．不会再取得联系 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用及勾股定理的应用，理解题意并画出相应的图形是解题的关键．设秒后他们再次取得联系，依题意，，然后用含的代数式表示出和，利用勾股定理列方程求解． 解：如图，设秒后他们再次取得联系，此时嘉琪运动到点，李明运动到点， 依题意：， 则，， 由勾股定理有， 即， 解得或（不合题意 ，舍去）， 60秒后他们再次取得联系． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·陕西安康·期末）某校在一次消防演练中，消防队员需要通过攀爬长的云梯到高的宿舍楼顶营救“被困”学生．已知消防车按如图停放，云梯的底端A离地面、与宿舍外墙的距离是．云梯够长吗？请说明理由． 【答案】够长，理由见分析 【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 连接，根据勾股定理求出的长并与云梯的长度比较大小即可得出结论． 解：云梯够长．理由如下： 如图，连接． ，， ， 在中利用勾股定理，得， ， 云梯够长． 【变式3】（24-25八年级下·福建福州·期中）学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩1米（如图1），将绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离米（如图2），则旗杆的高度为（   ） A．10米 B．11米 C．12米 D．13米 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为米，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据勾股定理即可解答． 解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为米， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴旗杆的高度为12米， 故选：C． 【题型12】解决水杯中筷子问题与解决航海问题 【例题12】（24-25八年级下·重庆南川·阶段练习）在A岛上有一个观测站，上午8时观测站发现在A岛正北方7海里C处有一艘船向正东方向航行，上午10时，该船到达距A岛25海里的B岛，求该船的航行速度． 【答案】海里/时． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，利用勾股定理求出的长度，从而根据速度公式可得出船航行的速度． 解：由题意得，海里，海里， 在中，海里， ∵航行了2小时， ∴船航行的速度海里/时． 答：此船的航行速度为12海里/时． 【变式1】（24-25八年级下·北京密云·期末）已知两个型号的圆柱型笔筒的底面直径相同，高度分别是和，．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为和，，则铅笔的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是 解题的关键． 由题意可知，两个笔筒粗细相同，底面直径相等．根据勾股定理，第一个笔筒中：直径平方；第二个笔筒中：直径平方；因直径相等，列方程即可求解． 解：设铅笔长度为，由题意得， ， 解得，， 故铅笔的长为； 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，一根长的搅拌勺置于底面直径为，高的圆柱形器皿中，搅拌勺露在器皿外面的长度为，则h的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理的应用．理解题意，找出在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度是解题的关键． 根据杯子内筷子的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 解：∵将一根长为的搅拌勺置于底面直径为，高的圆柱形水杯中， ∴当杯子中筷子最短时等于杯子的高度，， 当杯子中筷子最长时等于杯子斜边长度，， ∴h的取值范围是． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·甘肃庆阳·期末）一艘船由A港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，则A，两港之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用—方位角问题、直角三角形的判定与性质，先根据方位角判断三角形的形状，然后利用勾股定理计算是解此题的关键． 解：如图， 由题意得： ， ，， ， ， 在中，，， ， ∴A，C两港之间的距离为． 故选：A． 【题型13】求河宽与求台阶上地毯长度 【例题13】（25-26八年级上·全国·随堂练习）某台阶的示意图如图所示．已知每个台阶的宽度都是cm，高度都是cm，连接，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后，即可利用勾股定理求得斜边的长． 解：如图，由题意得： ， ， ∴． 故选：A． 【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形． 【变式1】（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，小微同学想测量一条河的宽度，出于安全考虑，河岸边不宜到达，她在地面上取一个参考点，发现延长线上的点处有一棵大树，用测距仪测得米，米，米，已知米，请你计算这条河的宽度．（结果保留根号） 【答案】米 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，先利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，再利用勾股定理求出即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 解：∵米，米，米， ∴， ∴是直角三角形，， 在中，∵米，米， ∴米， ∴米， 答：条河的宽度为米． 【变式2】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点与欲到达地点相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 解：在中，根据勾股定理得到， 即， 解得， 故选：D． 【变式3】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． （1）求的长； （2）若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】（1）的长为；（2）需要花费686元地毯才能铺满所有台阶 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 解：（1）解：∵，，， 在中，由勾股定理得：， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， 已知楼梯宽，每平方米地毯35元， ∴地毯的面积为， ∴需要花费（元）， 答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶． 【题型14】判断汽车是否超速与判断是否受台风影响 【例题14】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（    ）个小时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，分别在和中，利用勾股定理求出，即可求解． 解：如图，设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，此时， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 时， 即A市经过个小时开始受到台风影响． 故选：D 【变式1】（24-25八年级下·浙江台州·期中）去年第13号台风“贝碧嘉”在我国沿海地区登陆，影响范围大，破坏力极强．如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，与A，B的距离分别为，，且．根据实测数据，台风中心半径范围内的地区会受到台风影响． （1）海港C受台风影响吗？为什么？ （2）若台风中心的移动速度不变，该海港受台风影响持续，求台风中心的移动速度． 【答案】（1）海港C受台风影响；（2） 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用．熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键； （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （2），利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风中心的移动速度． 解：（1）解：海港C受台风影响． 过C作于点D， ，，， ， 是直角三角形，； ∴ ∴， ∴． ∵， ∴海港C受台风影响． （2）设台风从E点开始影响C港，到F点后停止影响C港． 由题意，得． 又∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 答：台风中心的移动速度为． 【变式2】（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）滨海西大道的限速为（已知）．如图，一辆小汽车在滨海西大道上的直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了后，行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离为，问：这辆小汽车超速了吗？ 【答案】没有超速，理由见详解 【分析】本题主要考查了勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 利用勾股定理求出然后求出速度进行比较即可． 解：根据题意得，由勾股定理得， ∴小车的速度为， ∵， ∴这辆小汽车没有超速． 【变式3】（24-25八年级下·河南驻马店·期中）吊车在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一台吊车沿公路由点A向点B行驶，已知点C处为一所学校，点C与直线上两点A，B的距离分别为和，吊车周围以内为受噪声影响区域． （1）求的度数． （2）学校C会受噪声影响吗？为什么？ 【答案】（1）；（2）学校C会受噪声影响，见分析 【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，熟练掌握勾股定理逆定理，是解题的关键： （1）利用勾股定理逆定理进行求解即可； （2）过点C作于D，等积法求出的长，进行判断即可。 解：（1）解：， ， 是直角三角形，且； （2）学校C会受噪声影响． 理由：如图，过点C作于D，则： ， ， ∵吊车周围以内为受噪声影响区域，， ∴学校C会受噪声影响． 二．同步练习​ 【基础巩固（20题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·广东东莞·阶段练习）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．3，4，6 B．5，12，13 C．9，16，25 D．1，2，3 【答案】B 【分析】本题考查了勾股数．解题的关键是理解勾股数的定义：有a，b，c三个正整数，满足，称为勾股数．据此求解即可． 解：A．，不能构成勾股数，故该选项错误； B．，能构成勾股数，故该选项正确； C．，不能构成勾股数，故该选项错误； D．，不能构成勾股数，故该选项错误． 故选B． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知，如图，长方形中，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，设，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，问题随之得解． 解：由折叠的性质可得， 设，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）一架长5米的梯子斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端3米，如果梯子的顶端沿墙下滑1米，那么梯足将滑（   ） A．0.5米 B．0.75米 C．1米 D．2米 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先在中，利用勾股定理得到，再求出，接着利用勾股定理求出，进而得到，据此可得答案． 解：如图所示，在中，，且， ∴， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理得， ∴， ∴梯足将滑1米， 故选：C． 4．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，我国汉代赵爽在注解《周脾算经》时给出的由四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形，人们称它为“赵爽弦图”．若一个直角三角形两直角边和为17，小正方形的面积为49，则图中大正方形的边长为（   ） A．17 B．15 C．13 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，二次根式的性质．由小正方形的面积为49得到小正方形的边长为7，由此得到直角三角形两直角边分别为5和12，，根据勾股定理求出斜边长． 解：∵小正方形的面积为49， ∴小正方形的边长为7， 设直角三角形的短直角边长为， ∴直角三角形的长直角边为：， ∵直角三角形两直角边和为17， ∴， 解得， ∴直角三角形两直角边分别为5和12， ∴直角三角形的斜边， 即大正方形的边长为13， 故选：C． 5．（24-25七年级下·广东深圳·期末）公园中有两条近似垂直的绿道，一条长45米，一条长60米，现打算再修一条连接两条绿道端点A和B的笔直小径，则小径的长可能为（    ） A．15米 B．110米 C．72米 D．120米 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边关系及勾股定理的实际应用，解题的关键是根据“近似垂直”确定长度的合理范围，并结合直角三角形斜边的近似值筛选选项． 解：两条绿道近似垂直，构成直角三角形，两直角边为米、米，根据勾股定理，斜边米（理论值）．因为是近似垂直， 长度接近米，选项中米符合． 故选：C ． 6．（24-25八年级下·广东深圳·期末）观察下图等式：若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如：3，4，5）．现有一个直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数，则这个直角三角形的面积为（   ） A．245 B．259 C．336 D．350 【答案】C 【分析】根据题目给出的勾股数结构，直角边为14时，可设另一条直角边为，斜边为，其中，解得，进而求出三边并计算面积，熟练掌握勾股定理是解题关键 解：根据题意得： ，其中为一条直角边，为另一条直角边，为斜边， ∵已知一条直角边为14，对应，解得， ∴另一条直角边：， ∴斜边：， ∴， ∴三角形为直角三角形， ∴， 故选：C 7．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）小敏从处向北偏东方向前行到处，再从处向某一方向前行到处，最后从处向某一方向前行回到处，则处在处的（　　）方向 A．南偏东 B．南偏东或北偏西 C．北偏西 D．北偏西或南偏东 【答案】B 【分析】先根据的三边长判断出的形状，求出与之间的关系，再根据两角之间的关系确定处在处位置即可．本题考查的是直角三角形在实际生活中的运用，解题的关键是根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，再找出符合条件的角即可． 解：∵，，， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴为直角，过向直线作垂线，则，， ∴， 故处在处的南偏东或北偏西． 故选：B． 8．（24-25八年级下·河南濮阳·期末）如图，古代埃及人用如图的方法画直角，把一根长绳打上等距离的结，最后一个结与打的第一个结重合，这个结应标的数字是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，先理解题意得，结合勾股定理列式计算，得，即可作答． 解：依题意，， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题 9．（25-26八年级上·全国·随堂练习）若直角三角形的两边长分别为a、b，且满足，则该直角三角形的第三边长的平方为 ． 【答案】25或7 【分析】本题主要考查了非负数的性质，勾股定理等知识，首先利用非负数的性质得，再分为直角边或为斜边两种情形，分别利用勾股定理计算即可． 解：∵， ∴， ∴， 当为直角边时，第三边的平方为， 当为斜边时，第三边的平方为， 故答案为：25或7． 10．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，商场（点）距公路（直线）的距离（）为，在公路上有一车站（点），车站距商场（）为，公交公司拟在公路上建一个公交车站停靠站（点），要求停靠站到商场到车站的距离相等，则停靠站到车站的距离（）的长为 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 用勾股定理可得的长，根据线段之间的数量关系，结合勾股定理计算即可得的长． 解：根据题意可知，在中，，， ∴， 设，则，， 在中，， 解得，， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·重庆·期末）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是8，大正方形的面积是100，则小正方形的面积是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，根据题意和题目中的数据，可以由勾股定理求出直角三角形的短直角边的长，进而计算出小正方形的边长，即可得到小正方形的面积． 解：由题意可得：大正方形的边长为， ∴直角三角形的短直角边的长为， 小正方形的边长， 小正方形的面积为， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）已知，斜边，面积为2，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理、完全平方公式等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由三角形的面积公式得出，再由勾股定理得，然后由，即可得出结果． 解：∵ ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴负值已舍去， 故答案为：5． 13．（25-26八年级上·全国·随堂练习）新情境  某中学在大门口的正上方离地米的点处装着一个红外线激光测温仪（如图所示），当人体进入感应范围内时，测温仪就会显示人体体温，一个身高米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离为 米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理．过点作，则米，在中，根据勾股定理即可得． 解：过点作， 由题意知，米，米，米， ∴（米）， 在中，根据勾股定理得，米， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·广西桂林·阶段练习）小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱状粮仓模型，如图所示，现要在此模型的侧面从点A出发到点B处贴一条彩色装饰带，则装饰带的长度最短为 ． 【答案】15 【分析】本题考查圆柱的侧面展开图、利用勾股定理求解最短路径问题，先画出圆柱的侧面展开图，再根据勾股定理求解即可． 解：如图，圆柱侧面展开图为长方形，连接，则的长为装饰带的最短长度， 在中，，，， ∴， ∴装饰带的长度最短为． 故答案为：15． 15．（24-25八年级下·四川广安·阶段练习）如图，，过点P作且，得；再过点作且，得；又过点作且，得；…依此法继续作下去，得 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、用代数式表示图形的规律，理解题意找到图形变化的规律是解题的关键．根据题意以及勾股定理算出，，的长，依此类推可知（为正整数），据此即可求解． 解：由勾股定理得 ， ， ， …… 依此类推，（为正整数）， 当时，， ∴． 故答案为：． 三、解答题 16．（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）如图，在中，，、、是的三边长． （1）已知，，求的值； （2）若，，求，的值． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查了勾股定理； （1）直接利用勾股定理计算即可； （2）设，，然后利用勾股定理列式求出，进而可得答案． 解：（1）解：在中，； （2）∵， ∴设，， 在中，， ∴（负值已舍去）， ∴，． 17．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，C，E均在格点（网格线的交点）上，，，且．求证：． 【答案】见分析 【分析】此题重点考查勾股定理、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，由勾股定理求得，由，推导出，而，即可根据“”证明，则． 解：证明：由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 18．（2025·安徽宿州·二模）数学兴趣小组开展探究活动，研究“勾股数”．指导老师首先提出一个猜想：如果n表示大于1的整数，则，，为勾股数．例如：当时，，，． ∵， ∴数据3，4，5是勾股数． 对于此规律，兴趣小组的成员进行了如下证明： ∵， ∴， ∴① ．（填“”或“”） ∵， ∴． ∵② ③ ，④ ， ∴， ∴为勾股数． （1）请补全横线上所缺的内容． （2）若数据8，a，b为勾股数，且，求a，b的值． 【答案】（1）①；②；③；④；（2），或，． 【分析】本题考查了勾股数及其应用． （1）根据解题过程，结合上下文即可完成； （2）分三种情况：；；，分别求出n，由（1）中结论即可求出余下两个数． 解：（1）解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴为勾股数． ①；②；③；④． （2）解：分三种情况： ①若，则， ， ； ②若，则， ， ； ③若，则不是有理数，故舍去． 综上所述，，或，． 19．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是； 第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点，再测量绳子底端与旗杆根部点之间的距离，测得距离为． 【解决问题】设旗杆的高度为，通过计算即可求得旗杆的高度． （1）用含的式子表示为_____； （2）请你求出旗杆的高度． 【答案】（1）；（2）12米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． （1）根据“测得多出部分绳子的长度是1米”进行作答即可； （2）因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度． 解：（1）解：∵设旗杆的高度为，先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是 ∴米． 故答案为：； （2）解：在直角中，由勾股定理得： ， 即． 解得． 答：旗杆的高度为12米． 20．（23-24八年级下·广西防城港·期中）【综合实践】 【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯长斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，． 【独立思考】（1）求这架云梯顶部距离地面的长度． 【深入探究】（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部A下滑到位置上（云梯长度不改变），则底部B沿水平方向向前滑动到位置上，若，求的长度． 【问题解决】（3）在演练中，墙边距地面的窗口有求数声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全，在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的窗口去救援被因人员？ 【答案】（1）长为；（2）的长度为；（3）在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达高的窗口去救援被困人员 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）根据勾股定理即可求出； （2）先求出，根据勾股定理求出，进一步即可求出； （2）当云梯的顶端到达24m高的窗口时，根据勾股定理得云梯的底端距离墙的距离为，根据，即可得到在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达高的窗口去救援被困人员． 解：（1）在中， ， 答：OA长为； （2）， ， 在中， ， 答：的长度为 ； （3）当云梯的顶端到达高的窗口时，根据勾股定理得云梯的底端距离墙的距离为：， ， ， ∴在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达高的窗口去救援被困人员． 【能力提升（22题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东济南·期末）下列各组3个数是勾股数的是（  ） A．4，5，6 B． C．，， D．5，12，13 【答案】D 【分析】利用直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答． 本题考查了直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，熟练掌握定义，勾股定理的逆定理是解题的关键． 解：∵， ∴最大角不是， ∴不能构成直角三角形， 故A不符合题意； ∵， ∴最大角是， ∴能构成直角三角形， 但边长不是整数，不是勾股数， 故B不符合题意； ∵， ∴不能构成直角三角形， 故C不符合题意； ∵， ∴最大角是， ∴能构成直角三角形，且各边都是整数，是勾股数， 故D符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，且，，则的长是（   ） A．4.8 B．8 C．9.6 D．10 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理，等腰三角形的性质是解决问题的关键． 根据等腰三角形的性质得，然后在中，由勾股定理即可求出的长，再由，即可求解． 解：∵，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选C． 3．（2024·浙江·模拟预测）如图，在“”正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C都在格点（即网格的交点）上，则的正切值是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，求正切值，连接，由勾股定理可得，，，利用勾股定理逆定理判定是直角三角形，其中，根据正切的定义即可求出答案. 解：连接， 由勾股定理可得，，，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，其中， ∴， 即的正切值是2， 故选：B 4．（24-25八年级下·福建福州·期中）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断． 解：在图①中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， ∴， 整理得， 故①可以证明勾股定理； 在图②中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ∴， 整理得， 故②可以证明勾股定理； 在图③中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ∴， 整理可得， 故③可以证明勾股定理； 在图④中，连接， 此图也可以看成绕其直角顶点顺时针旋转，再向下平移得到．一方面，四边形的面积等于和的面积之和，另一方面，四边形的面积等于和的面积之和， 所以， 即， 整理：， ， ∴， 故④可以证明勾股定理； ∴能证明勾股定理的是①②③④． 故选：D． 5．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 解：如图，过C点作于E，则四边形是矩形，连接， 由题意知：大树高为，小树高为， ∴，，， 在中， 答：小鸟至少飞行米， 故选：C． 6．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）市面上有许多自带勺子的水杯，为了方便用户使用，勺子一般需要漏出杯子一部分．如图是某款自带勺子的水杯的简化图，杯身是一个圆柱形，水杯的内径是，水杯的内侧高度为，若勺子的长度为，则勺子漏出杯子的部分至少为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．如图（见分析），先找出当恰好是水杯的内径，时，勺子在水杯内的长度最长，勺子漏出杯子的部分最短，再利用勾股定理求出的长，则可得的长，由此即可得． 解：如图，当恰好是水杯的内径，时，勺子在水杯内的长度最长，勺子漏出杯子的部分最短． 由题意得：， ∴在中，， ∴， ∴勺子漏出杯子的部分至少为， 故选：A． 7．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图是长方形纸片，已知，现将纸片折叠，使点D落在边上的点M处，且，折痕为，则的长为（   ） A．1 B．2 C．2.5 D．1.5 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理、折叠性质，过点作于点，设，利用折叠性质，结合已知条件可得，，，在中，利用勾股定理列方程求解x值即可． 解：如图，过点作于点， 设，则，，， 在中，由勾股定理得， ， ， ． 故选：B． 8．（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃及以内时，即，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高的学生走到D处，即，门铃恰好自动响起，则的长为（    ） A．2米 B．3米 C．4米 D．5米 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可知，，，则，再由勾股定理求出的长，即可得出结论． 解：由题意可知，，，，则， 在中，由勾股定理得：， ∴米， 即门铃恰好自动响起，则的长为4米， 故选：C． 二、填空题 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小刚头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小刚5000米，则飞机每小时飞行 千米． 【答案】540 【分析】本题考查了勾股定理在实际问题中的运用，由勾股定理计算过了秒，飞机飞行的水平距离，再用速度路程时间解答即可． 解：飞机飞行的距离为：米， ∴飞行的速度为千米/时， 故答案为：540． 10．（25-26八年级上·全国·随堂练习）《九章算术》中有一道题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”大致意思是：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度为 尺．（1丈尺） 【答案】4.55 【分析】本题考查勾股定理的应用，设折断处离地面的高度为尺，在直角三角形中，利用勾股定理列方程求解即可． 解：设折断处离地面的高度为尺， ， 解得， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，在中，，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则点D到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查直角三角形的判定，作角平分线以及角平分线性质定理，先根据勾股定理逆定理证明是直角三角形，过点作于点，由角平分线性质定理得，运用面积法可求出． 解：在中，，，， ∵， ∴是直角三角形，且， 由作图得是的平分线，过点作于点， 则； 又 ∴ ∴， ∵， ∴, ∴． 故答案为：． 12．（21-22八年级下·全国·单元测试）已知：如图，四边形，，，，，且．则四边形的面积为________．    【答案】 【分析】连接，由已知条件结合勾股定理求得、的面积，从而求得四边形的面积． 解：连接，    ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查的是勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形，隐含了整体的数学思想和正确运算的能力． 13．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）如图，在单位长度为1的的网格系中，的顶点都在格点上，则 ． 【答案】/135度 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定及性质．取格点D，使得，，连接．证明，是等腰直角三角形即可求解． 解：，， 取格点D，使得，， 连接， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为： 14．（24-25八年级下·辽宁营口·期中）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形．如果直角三角形的两条直角边分别为，，若小正方形的面积为8，且，则大正方形的面积为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是注意观察图形：发现各个图形的面积和的关系． 根据所求问题，利用小正方形的面积得到，进一步求出即可求解． 解：小正方形的面积为8，得到它的边长为， 即得， ∴， 即①， ∵， ∴②， ①②得，， ∴， 即大正方形的面积为， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、N两点相距100海里，则渔船从港口O出发的方向为 ． 【答案】南偏西 【分析】本题考查方位角，勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理得出，再根据平角定义求出即可． 解：由题意知，，， ， ， 是直角三角形，， 又， ， 渔船从港口O出发的方向为南偏西， 故答案为：南偏西． 16．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙上，，． （1） m； （2）若梯子的顶端下滑，则梯子的底端向外移动了 ． 【答案】 2.5 1.3 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是： （1）直接根据勾股定理求解即可； （2）在中根据勾股定理求出，即可求解． 解：（1）在中，，， ∴， 故答案为：2.5； （2）∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 即梯子的底端向外移动了， 故答案为：1.3． 三、解答题 17．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）如图所示，已知一块三角形的花园，测量发现，，是腰上一点，且，． （1）求证：； （2）求三角形花园的面积． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】此题主要考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． （1）首先根据长可利用勾股定理逆定理证明，进而得到； （2）设，则，再利用勾股定理可得，解方程可得x的值，即可求出的长，进而得到长，然后即可算出面积． 解：（1）解：∵ ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； （2）解：设，则， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即的长为， ∴， ∴三角形花园的面积为． 18．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，点P、点D分别在边和上且，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． （1）证明：； （2）若，，，求线段的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）由等边对等角可得，垂直平分线的性质可得，进而得到；根据直角三角形两锐角互余可得，进而得到，即可证明结论； （2）由线段的和差可得，．设，则．由勾股定理可得，进而求解即可． 解：（1）证明：∵， ∴． ∵垂直平分， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图所示，连接， ∵，，， ∴，． 设，则． 在中，根据勾股定理得：． 在中，根据勾股定理得：， ∴，解得， ∴． 19．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）如图，点，，在同一条直线上，，，，，，连接，求点到的距离． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键． 利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，可证，得到，设点到的距离为，由等积法即可求解． 解：∵，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴， 设点到的距离为， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点到的距离为． 20．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，在四边形纸片中，，点，分别在边，上，将，分别沿，折叠，点，恰好都和点重合，． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，点F是的中点，求的长度． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了勾股定理以及翻折变换的知识，解答本题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：翻折前后对应边相等． （1）由题意得，，，于是得到，推出四边形是矩形，根据正方形的判定定理即可得到结论； （2）设，则，由折叠的性质得，，在中，利用勾股定理列式计算即可得到结论． 解：（1）证明：由折叠的性质得，，， ， 四边形是矩形， ，， ， 四边形是正方形； （2）解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∵点F是的中点，∴，设，则， 由折叠的性质得，， ， 在中， ，即， 解得， ∴． 21．（24-25八年级下·广西南宁·期中）五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路上，沿东西方向由向行驶．小丽的家在公路的一侧点处，且点与直线上的两点的距离分别为，又，假如移动广播车周边250米以内能听到广播宣传． （1）求的度数． （2）请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？ （3）若移动广播车在笔直的公路上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点时，小丽在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点时，小网在家刚好不再听到广播，即米，问小丽在家听到广播宣传的时长是多长？ 【答案】（1）；（2）小丽在家能听到广播，计算见分析；（3）小丽在家听到广播宣传的时间为14秒 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理的应用； （1）利用勾股定理的逆定理判断的形状； （2）过点作，根据等积法求出的长，然后和250米作比较解答即可； （3）作，根据勾股定理求出长，再根据时间路程时间解答即可． 解：（1）解：， 又， ， 是直角三角形，即． （2）解：过点作，垂足为D， 直角三角形， ， ， 解得， 小丽在家能听到广播； （3）解：依题意，， 根据勾股定理，， 移动广播车的速度为10米／秒， 秒 答：小丽在家听到广播宣传的时间为14秒． 22．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 【问题解决】 （1）解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，再连接（或将绕着点逆时针旋转得到，把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断．由此得出中线的取值范围是________； 【应用】 （2）如图②，在中，点为边的中点，已知，，，求的长； 【拓展】 （3）如图③，在中，，点是边的中点，点在边上，过点作交边于点N，连接．已知，，则的长为________． 【答案】（1）（2） （3） 【分析】（1）根据，得到，利用三角形三边关系定理解答即可． （2）延长到点G；使，连接．证明， 得到，，，根据勾股定理的逆定理，证明．根据勾股定理解答即可． （3）延长到点Q；使，连接，先证明，再证明，得到直角三角形，利用勾股定理，线段垂直平分线解答即可得证． 本题考查了中线的应用，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握判定，性质和定理是解题的关键． 解：（1）解：延长到点E；使，连接． ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵, ∴， ∵，， ∴ 故． 故答案为：． （2）解：延长到点G；使，连接． ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵，，， ∴，， ∵． ∴． ∴， 故． （3）解：延长到点Q；使，连接． ∵点D是的中点，， ∴，直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴ ∴． 故答案为：． 【中考真题12题】 一、单选题 1．（2023·湖北·中考真题）如图，在中，，点在边上，且平分的周长，则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图所示，过点B作于E，利用勾股定理求出，进而利用等面积法求出，则可求出，再由平分的周长，求出，进而得到，则由勾股定理得． 解：如图所示，过点B作于E， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分的周长， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选C．    【点拨】本题主要考查了勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 2．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设，则，由勾股定理列出方程进行求解即可． 解：设，则， 由题意，得：， 解得：，即， 故选：C． 3．（2024·山东淄博·中考真题）《九章算术》中提到：今有户高多于广六尺八寸．两隅相去适一丈．问户高、广各几何？其大意为：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（1丈尺，1尺寸）若设门的高和宽分别是尺和尺．则下面所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题列方程组、勾股定理，设门的高和宽分别是尺和尺，根据“已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈”结合勾股定理列出方程组即可，理解题意，找准等量关系，正确列出方程组是解此题的关键． 解：设门的高和宽分别是尺和尺， 由题意得：， 故选：D． 4．（2025·山东东营·中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于点，摆绳与地面的垂点为，由勾股定理得到，进而得出，证明，得到，进而求出，即可得到答案． 解：如图，过点作于点，摆绳与地面的垂点为， 由题意可知，，，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即小丽在处时距离地面的高度是， 故选：A． 二、填空题 5．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h为 m． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，根据长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，进行列式计算，即可作答． 解：∵长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为， ∴， 故答案为：． 6．（2024·吉林·中考真题）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设的长度为x尺，则，在中，由勾股定理即可建立方程． 解：设的长度为x尺，则， ∵， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 7．（2023·江苏南通·中考真题）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中，均小于，，，是大于1的奇数，则 （用含的式子表示）． 【答案】 【分析】根据直角三角形的性质，直角边小于斜边得到，为直角边，为斜边，根据勾股定理即可得到的值． 解：由于现有勾股数a，b，c，其中，均小于， ，为直角边，为斜边， ， ， 得到， ， ， 是大于1的奇数， ． 故答案为：． 【点拨】本题考查勾股定理的应用，分清楚，为直角边，为斜边是解题的关键． 8．（2023·辽宁·中考真题）如图，在中，，点D为的中点，过点C作交的延长线于点E，若，，则的长为 ．    【答案】//1.5 【分析】先根据证明，推出，再利用勾股定理求出，最后根据中点的定义即可求的长． 解：， ， 点D为的中点， ， 又， ， ， 中，，， ， ． 故答案为：． 【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质等，证明是解题的关键． 9．（2025·四川成都·中考真题）如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧；再以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点D，连接，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理，根据作图过程得到垂直平分是解答的关键．连接，，设与相交于O，先根据线段垂直平分线的判定与性质得到根据作图过程，，再利用勾股定理求得，然后利用三角形的面积求得即可解答． 解：连接，，设与相交于O， 根据作图过程，得，， ∴垂直平分，则，， ∵在中，，，， ∴， 由得 ， ∴， 故答案为：． 10．（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解． 解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤组勾股数为； 故答案为：． 11．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠得到，，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 解：∵，，，D是边的中点， ∴， ∴， ∵将沿翻折，点C落在上的点F处， ∴，， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故答案为：． 三、解答题 12．（2023·湖南·中考真题）如图，，，，垂足分别为，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）利用“”可证明； （2）先利用全等三角形的性质得到，再利用勾股定理计算出，从而得到的长，然后计算即可． 解：（1）证明：，， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， 在中，， ， ． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$