第一章 1.3 勾股定理的应用 讲义 2024-2025学年北师大版八年级数学上册

【易错复习】 1．如图，已知在中，∠ACB=90°，AB=4，分别以为直径作半圆，面积分别记为，则等于_____________ 第1题图 第2题图 2．如图，△ABC的顶点A,B,C在边长为1的正方形网格的格点上,BD⊥AC于点D,则BD的长为 __________． 第3题图 第4题图 3．如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为 __________． 4．如图，在4×4的正方形网格中，每一格长度为1，小正方形的顶点称为格点，A，B，C，D，E，F都在格点上，以AB，CD，EF为边能构成一个直角三角形，则点F的位置有__________处 5. 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是_____________ 6．观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…，请你写出具有以上规律的第⑤组勾股数：__________． 7．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，BD＝9．△ABC是直角三角形吗？请说明理由． 勾股定理的应用考点练习 【基础巩固】 考点一：能用勾股定理和逆定理解决实际问题 1. 木工师傅要做扇长方形纱窗，做好后量得长为6分米，宽为4分米，对角线为7分米，则这扇纱窗______（填“合格”或“不合格”）． 2. 如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要______m． 第2题图 第3题图 第4题图 3. 如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了________步路（假设2步为1米），却踩伤了花草． 4. 如图，某开发区有一块四边形的空地ABCD，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，则要投入______元． 5.《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》规定:小汽车在城市公路上行驶的速度不得超过70km/h.如图,一辆小汽车在一条城市公路上沿直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪的正前方30m处,过了2s后,测得小汽车与车速检测仪之间的距离为50m.这辆小汽车超速了吗? 考点二：运用勾股定理解决立体图形中的最短路径问题 6．将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为hcm，则h的取值范围是（   ） A． 5≤h≤12 B．5≤h≤24 C．11≤h≤12 D．12≤h≤24 7．东东想把一根70 cm长的木棒放到一个长、宽、高分别为30 cm,40 cm,50 cm的木箱中，他能放进去吗？答：______. (填“能”或“不能”) 8.如图，圆柱形容器中，高为1.2米，底面周长为1米，在容器内壁离容器底部0.3m处的点B处有一蚊子.此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为________米. 9.如图，长方体的底面边长分别为3cm和3cm，高为若一只蚂蚁从P点开始经过四个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为______ 第8题图 第9题图 第10题图 10.如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上. 若绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是______ 尺. 11.图是一个长、宽、高分别为4cm，3cm，5cm的长方体，一只蚂蚁从顶点A出发，沿长方体的表面爬行至点B，爬行的最短路程是多少？ 考点三：运用勾股定理和逆定理，结合方程思想解决实际应用问题 12.一根竹子,原来高一丈(一丈为十尺),虫伤有病,一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离原竹子底部三尺远,则原处的竹子高_________尺. 第12题图 第13题图 第14题图 13.如图，长为12 cm的橡皮筋放置在直线上，固定两端A和B然后把中点C竖直向上拉升4.5 cm至点D处，则拉长后橡皮筋的长为_________cm. 14.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米.一只鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，则小鸟至少飞行_________m. 15.如图，一根长25m 梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端7m，如果梯子的顶端下滑4m，那么梯足将滑动_________m. 第15题图 第16题图 16. 如图所示,在离水面高度为8米的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为17米,几分钟后船到达点D的位置,此时绳子CD的长为10米,则船向岸边移动了          米. 17. 如图，在中，D为边上一点，已知，，，．请判断的形状，并求出的长． 考点四：运用勾股定理和逆定理，解决折叠问题 18. 如图已知长方形ABCD中AB=8cm，BC=10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，则CE的长为___________. 第18题图 第19题图 19.如图，Rt△ABC中，AB=3，BC=2，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为___________. 20.如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，若将该矩形沿对角线BD折叠，则图中阴影部分的面积是__________. 第20题图 第21题图 21.如图，在直角三角形纸片中，，，，沿将纸片折叠，使点落在边上的点处，再折叠纸片，使点与点重合，折痕分别与，交于点，，连接，则的长为___________. 22.如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，把长方形ABCD沿直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处．若， 求AB的长；求的面积． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 【强化提升】 23.如图，、两个小集镇在河流的同侧，到河的距离分别为千米，千米，且千米，现在要在河边建一自来水厂，向、两镇供水，铺设水管的费用为每千米万元，若在河流上选择水厂的位置，使铺设水管的费用最节省，则总费用是_________万元． 第23题图 第24题图 24.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为_________． 25.有一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2米，长方形的另一条边长是2.3米. (1)这辆卡车能否通过此桥洞？试说明你的理由； (2)为了适应车流量的增加，想把桥洞改为双行道，并且要使宽为1.2米，高为2.8米的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少应增加到多少米？ $$