精品解析：山东省泰安市新泰第一中学老校区（新泰中学）2023-2024学年高二下学期期末模拟数学试题

新泰中学2022级高二下学期期末考试模拟训练（一） 数学试题 满分150分 考试用时120分钟 时间：2024.06.20 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性求出集合，再根据交集的定义即可得解. 【详解】， ， 所以. 故选：D. 2. 某市为了解某种农作物的生长情况，抽取了10000株作为样本，若该农作物的茎高X近似服从正态分布且．则该农作物茎高在范围内的株数约为（ ） A. 1000 B. 2000 C. 3000 D. 4000 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性可得，结合题意即可得结果. 【详解】由题意可知：，且， 则， 所以该农作物茎高在范围内的株数约为. 故选：C 3. 已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题命题“，”为真命题，进而分和两种情况讨论求解即可. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以，命题“，”为真命题， 因为集合，集合， 所以，当时，即时，成立， 当时， 由“，”得，解得， 综上，实数的取值范围为. 故选：A. 4. 将5名核酸检测工作志愿者分配到防疫测温､信息登记､维持秩序､现场指引4个岗位，每名志愿者只分配1个岗位，每个岗位至少分配1名志愿者，则不同分配方案共有（ ） A. 120种 B. 240种 C. 360种 D. 480种 【答案】B 【解析】 【分析】首先从5人中选出2人作为一组，再与其余3人一同分配到4个不同的岗位，按照分步乘法计数原理计算可得； 【详解】解：首先从5人中选出2人作为一组，再与其余3人一同分配到4个不同的岗位， 故有种不同的分配方案； 故选：B 5. 已知函数在区间内有最值，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，就，分类讨论后可得参数的取值范围. 【详解】，其中 当时，，故在上单调递减， 此时在内无最值. 当时，若，则，若，则， 故在上为增函数，在上为减函数， 故在处取最大值， 故选：A. 6. 若随机变量X服从二项分布，；随机变量Y服从二项分布，且，则下列结果正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项分布的期望与方差公式判断AB，根据二项分布求概率可判断CD. 【详解】由，可知， ，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：C 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用函数的单调性可得出与的大小关系；构造函数，利用函数在上的单调性可判断与的大小关系；构造函数，利用函数在上的单调性结合作商法可判断、的大小，综合可得出结论. 【详解】令，其中，则， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，，即，当且仅当时，等号成立， 所以，， 令，其中，则且不恒为零， 所以，函数在上单调递增，当时，， 所以，当时，，则， 且，构造函数，其中，则， 所以，函数在上单调递增， 故当时，，即， 因为，所以，，因此，. 故选：A. 【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个： （1）判断各个数值所在区间； （2）利用函数的单调性直接解答. 数值比较多的比较大小问题也可以利用两种方法的综合应用. 8. 任给两个正数x，y，使得不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先参变分离为，再构造函数，转化为求函数的最值问题，即可求解. 【详解】不等式恒成立， 整理为恒成立， 设，， ，令，得， 当，，当，， 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 函数的最小值， 所以，得. 故选：A 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的选项. 9. 已知某中学的高中女生体重y（单位：kg）与身高x（单位；cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据，由最小二乘法近似得到y关于x的回归直线方程为，则下列结论中正确的是（ ） A. y与x是正相关的 B. 该回归直线必过点 C. 若该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg D. 若该中学某高中女生身高为160cm，则其体重必为50.29kg 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，根据回归方程的系数分析判断，对于B，根据回归方程的性质分析，对于CD，由回归方程分析判断. 【详解】对于A，因为，所以y与x是正相关的，所以A正确， 对于B，回归直线恒过样本中心点，所以回归直线必过点，所以B正确， 对于C，由于回归方程为，所以可知该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，所以C正确， 对于D，当时，，所以该中学某高中女生身高为160cm，则其体重约为50.29kg，所以D错误， 故选：ABC 10. 下列叙述中不正确的是（ ） A. 若，则“不等式恒成立”的充要条件是“”； B. 若，则“”的充要条件是“”； C. “”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件； D. “”是“”的充分不必要条件. 【答案】AB 【解析】 【分析】对于AB，举例判断即可，对于C，当方程有一正根和一负根时，求出的范围，然后根据充分条件和必要条件的定义分析判断，对于D，由求出的范围，然后根据充分条件和必要条件的定义分析判断. 【详解】对于A，当时，若，则恒成立，所以A错误， 对于B，当时，由推不出，所以B错误， 对于C，当方程有一个正根和一个负根时，有，解得， 因为能推出，而不一定有， 所以“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，所以C正确， 对于D，由，得，得或， 所以“”是“”的充分不必要条件，所以D正确， 故选：AB 11. 定义在上的函数满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. 在处取得极小值 B. 有两个零点 C. 若，恒成立，则 D. 若，，，，则 【答案】AD 【解析】 【分析】首先根据题意构造，结合，求得； 对于A，通过导数与函数极值点的关系求解即可； 对于B，令直接求解即可； 对于C，通过研究函数在的单调性与最值情况即可； 对于D，先大致研究函数图像变化趋势，假设，并假设正确，通过转化，从而证明与0的关系，进而证明原不等式正确即可. 【详解】因为，所以， 令，则， 所以设，所以， 又因为，所以； 对于A，因为，所以， 令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，故A正确； 对于B，令，得， 所以有一个零点，故B错误； 对于C，因为在单调递增，所以时，， 所以，故C错误； 对于D，因在单调递减，在单调递增， 且唯一零点为，当时，且， 所以若，，，， 可以设， 假设正确，下证明，即证， 因为，在单调递减， 所以即证，即证， 构造， 则， 因为，所以，，，则， 所以在上单调递增，所以， 即得证，原式成立，故D正确. 故选：AD 【点睛】方法点睛：本题考查导数的综合应用问题.要利用导数这一工具来研究函数的相关性质，通过函数的单调性、极值与最值等性质从而求解选项答案. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】对条件进行变形，得到，然后再该式中分别取和，即可得到答案. 【详解】在条件中用替换， 得. 由于的展开式的各项系数均非负， 故 . 在中分别取和， 得. 所以 . 故答案为：. 13. 甲和乙两个箱子里各装有6个球，其中甲箱中有3个红球、3个白球，乙箱中有4个红球、2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数不超过2，从甲箱子中摸出1个球；如果点数超过2，从乙箱子中摸出1个球，则摸到红球的概率为______________． 【答案】 【解析】 【分析】结合古典概型概率计算、相互独立事件概率计算，求得摸到红球的概率. 【详解】掷一枚质地均匀的骰子，点数不超过2的概率为，从甲箱子摸到红球的概率为， 掷到点数超过2的概率为，从乙箱子摸到红球的概率为， 故摸出红球的概率P＝＝． 故答案为： 14. 已知曲线在点处的切线与曲线相切，则______. 【答案】8 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，再与抛物线方程联立，利用判别式法求出. 【详解】由，求导得，则， 因此曲线在点处的切线为，即， 由，消去并整理得， 而直线与曲线相切，显然，则， 所以. 故答案为：8 四、解答题：本题共6小题，共70分. 15. 已知的展开式的所有项的二项式系数和为512. （1）若，求 （2）求中的项. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由所有项的二项式系数和为512，求出的值，然后令可求出，再令，结合可求得答案； （2）中的项为展开式中的一次项和常数项决定. 【小问1详解】 因为的展开式的所有项的二项式系数和为512， 所以，得， 所以， 令，得， 令，， 所以 【小问2详解】 因为展开式的通项公式为， 所以中的项为. 16. 已知命题：“，使得不等式成立”是真命题. （1）求实数m的取值集合A； （2）设不等式的解集为B，若是的充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分离参数得，利用二次函数的图象与性质即可得到答案； （2）因式分解得，设，证明出，从而得到的解集，则得到不等式，解出即可. 【小问1详解】 由，使得不等式成立， 所以 因为二次函数在上单调递减，在上单调递增， 且，， 所以，当时，， 所以，. 【小问2详解】 由可得. 设，令 ，，单调递递减，，，单调递增， ，所以，所以 从而或， 因为是的充分条件，则， 则，即； 实数的取值范围是. 17. 第十四届全国冬季运动会（简称冬运会）于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区举办，这是历届全国冬运会中规模最大、项目最多、标准最高的一届，也是内蒙古自治区首次承办全国综合性运动会.为迎接这一体育盛会，内蒙古某大学组织大学生举办了一次主题为“喜迎冬运会，当好东道主”的冬运会知识竞赛，该大学的一学院为此举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表该学院参加该大学的冬运会知识竞赛. （1）初赛采用选一题答一题的方式，每位参赛大学生最多有7次答题机会，累计答对4道题或答错4道题即终止比赛，答对4道题则进入决赛，答错4道题则被淘汰.已知大学生甲答对每道题的概率均为，且回答各题的结果相互独立； （i）求甲至多回答了5道题就进入决赛的概率； （ii）设甲在初赛中答题的道数为，求的分布列和数学期望. （2）决赛共答3道题，若答对题目数量不少于2道，则胜出，代表学院参加学校比赛；否则被淘汰已知大学生乙进入了决赛，他在决赛中前2道题答对的概率相等，均为，3道题全答对的概率为，且回答各题的结果相互独立，设他能参加学校比赛的概率为，求的最小值. 【答案】（1）（i）；（ii）分布列见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）（i）利用二项分布求解概率即可. （ii）利用离散型随机变量的求解方法求出分布列，再计算数学期望即可. （2）依据题意得到具体的，再利用导数求解最小值即可. 【小问1详解】 （i）由题可得甲回答了4道题进入决赛的概率为， 甲回答了5道题进入决赛的概率为， 所以甲至多回答了5道题就进入决赛的概率为. （ii）由题可知X的可能取值为4，5，6，7， 则， ， ， ， 所以X的分布列为 X 4 5 6 7 P 则. 【小问2详解】 设乙答对第3道题的概率为y，则， 所以 ，， 则 ， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以 18. 红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数（个）和平均温度（℃）有关.现收集了某地关于红蜘蛛的平均产卵数和平均温度的7组数据，得到如下散点图. （1）根据散点图，判断模型与（其中e为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数与平均温度的回归分析模型；（给出判断即可，不必说明理由） （2）由（1）的判断结果，求出关于的经验回归方程； （3）根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在以下的年数占，对柚子的产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在至的年数占，柚子的产量会下降；平均气温在以上的年数占，柚子的产量会下降.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出多种防害措施供果农选择.在每年价格不变且无虫害的情况下，某果园的年产值为万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益=年产值一防害费用）为目标，请为果农从以下个方案中选择最佳防害方案，并说明理由. 方案1：选择防害措施，可以防治各种气温的红蜘蛛虫害且不减产，费用是18万元； 方案2：选择防害措施，可以防治至的红蜘蛛虫害，但无法防治以上的红蜘蛛虫害，费用是万元； 方案3：不采取防虫害措施. 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， lny 5215 17713 714 27 81.3 3.6 【答案】（1）更适合 （2） （3）所以方案1为最佳防害方案，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据散点图的形状，可判断更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方程类型； （2）将两边同时取自然对数，转化为线性回归方程，即可得到答案； （3）求出三种方案的收益的均值，根据均值越大作为判断标准. 【小问1详解】 ， 由散点图可以判断，更适合作为平均产卵数y与平均温度x的回归分析模型. 【小问2详解】 对两边同时取对数，可得， 令，则， 由题可得， ， 所以， 则， 所以，则， 所以y关于x的经验回归方程为. 【小问3详解】 分别用，，表示3种方案的收益， 若采用方案1，无论气温如何，产值不受影响，则收益万元； 若采用方案2，当不发生以上的红蜘蛛虫害时，收益为万元； 当发生以上的红蜘蛛虫害时，收益为万元， 所以； 同理，若采用方案3， 所以， ， ， 则， 所以方案1为最佳防害方案. 19. 已知函数其中. （1）若存在唯一的极值点，求的取值范围； （2）若存在两个极值点，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对一阶导数构造函数再次求导，得到一阶导数的单调性，再分类讨论参数，使其符合题意，得到所求的参数范围即可. （2）将需证不等式合理转化为简单的不等式，再结合换元法，构造新函数，利用导数求得最值，得到需要证明的不等关系即可. 【小问1详解】 由题意知，，令， 故，当时，，故在上单增， 又，，故， 故在上存在唯一变号零点，即存在唯一的极值点，符合题意； 当时，在上单调递增，即无极值点，不合题意； 当时，由得，又是增函数， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又， ①当时，，所以，， 所以，所以在上单调递增，即无极值点，不合题意； ②当时，，所以，又， ， 所以在上存在两个变号零点，即在上存在两个极值点，不合题意. 综上，，即. 【小问2详解】 因为存在两个极值点，由（1）知，， 且均为正数，所以，，即. 所以欲证，只需证，只需证. 又由题意，，，所以， 所以，，即，所以. 下面先证明，不妨设， 记，则，， 令，，， 所以在上单调递增，所以，由得，. 所以，，即得证. 所以，，即. 所以，证毕. 【点睛】关键点点睛：本题考查求利用导数证明不等式，解题关键是对原不等式合理变形，然后结合换元法构造函数，最后得到所要求不等关系即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新泰中学2022级高二下学期期末考试模拟训练（一） 数学试题 满分150分 考试用时120分钟 时间：2024.06.20 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 某市为了解某种农作物的生长情况，抽取了10000株作为样本，若该农作物的茎高X近似服从正态分布且．则该农作物茎高在范围内的株数约为（ ） A. 1000 B. 2000 C. 3000 D. 4000 3. 已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 4. 将5名核酸检测工作志愿者分配到防疫测温､信息登记､维持秩序､现场指引4个岗位，每名志愿者只分配1个岗位，每个岗位至少分配1名志愿者，则不同分配方案共有（ ） A. 120种 B. 240种 C. 360种 D. 480种 5. 已知函数在区间内有最值，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若随机变量X服从二项分布，；随机变量Y服从二项分布，且，则下列结果正确的有（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 任给两个正数x，y，使得不等式恒成立，则实数a取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的选项. 9. 已知某中学的高中女生体重y（单位：kg）与身高x（单位；cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据，由最小二乘法近似得到y关于x的回归直线方程为，则下列结论中正确的是（ ） A. y与x是正相关的 B. 该回归直线必过点 C. 若该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg D. 若该中学某高中女生身高为160cm，则其体重必为50.29kg 10. 下列叙述中不正确的是（ ） A. 若，则“不等式恒成立”的充要条件是“”； B. 若，则“”的充要条件是“”； C. “”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件； D. “”是“”的充分不必要条件. 11. 定义在上的函数满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. 处取得极小值 B. 有两个零点 C. 若，恒成立，则 D 若，，，，则 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 已知，则______. 13. 甲和乙两个箱子里各装有6个球，其中甲箱中有3个红球、3个白球，乙箱中有4个红球、2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数不超过2，从甲箱子中摸出1个球；如果点数超过2，从乙箱子中摸出1个球，则摸到红球的概率为______________． 14. 已知曲线在点处切线与曲线相切，则______. 四、解答题：本题共6小题，共70分. 15. 已知的展开式的所有项的二项式系数和为512. （1）若，求 （2）求中的项. 16. 已知命题：“，使得不等式成立”真命题. （1）求实数m的取值集合A； （2）设不等式的解集为B，若是的充分条件，求实数a的取值范围. 17. 第十四届全国冬季运动会（简称冬运会）于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区举办，这是历届全国冬运会中规模最大、项目最多、标准最高的一届，也是内蒙古自治区首次承办全国综合性运动会.为迎接这一体育盛会，内蒙古某大学组织大学生举办了一次主题为“喜迎冬运会，当好东道主”的冬运会知识竞赛，该大学的一学院为此举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表该学院参加该大学的冬运会知识竞赛. （1）初赛采用选一题答一题的方式，每位参赛大学生最多有7次答题机会，累计答对4道题或答错4道题即终止比赛，答对4道题则进入决赛，答错4道题则被淘汰.已知大学生甲答对每道题的概率均为，且回答各题的结果相互独立； （i）求甲至多回答了5道题就进入决赛的概率； （ii）设甲在初赛中答题的道数为，求的分布列和数学期望. （2）决赛共答3道题，若答对题目数量不少于2道，则胜出，代表学院参加学校比赛；否则被淘汰已知大学生乙进入了决赛，他在决赛中前2道题答对的概率相等，均为，3道题全答对的概率为，且回答各题的结果相互独立，设他能参加学校比赛的概率为，求的最小值. 18. 红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数（个）和平均温度（℃）有关.现收集了某地关于红蜘蛛的平均产卵数和平均温度的7组数据，得到如下散点图. （1）根据散点图，判断模型与（其中e为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数与平均温度的回归分析模型；（给出判断即可，不必说明理由） （2）由（1）的判断结果，求出关于的经验回归方程； （3）根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在以下的年数占，对柚子的产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在至的年数占，柚子的产量会下降；平均气温在以上的年数占，柚子的产量会下降.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出多种防害措施供果农选择.在每年价格不变且无虫害的情况下，某果园的年产值为万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益=年产值一防害费用）为目标，请为果农从以下个方案中选择最佳防害方案，并说明理由. 方案1：选择防害措施，可以防治各种气温的红蜘蛛虫害且不减产，费用是18万元； 方案2：选择防害措施，可以防治至的红蜘蛛虫害，但无法防治以上的红蜘蛛虫害，费用是万元； 方案3：不采取防虫害措施. 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， lny 5215 17713 714 27 81.3 3.6 19. 已知函数其中. （1）若存在唯一的极值点，求的取值范围； （2）若存在两个极值点，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$