精品解析：湖南省郴州市第三中学2023-2024学年八年级下学期月考数学试题

2024年上期郴州市第三中学八年级月考 数学试题卷 （总分：120分 时量：120分钟） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列长度的线段不能构成直角三角形的是（ ） A. 8，15，17 B. 1，2，3 C. 3，4，5 D. 5，12，13 2. 直角三角形的一个锐角是，则它的另一个锐角是（ ） A. B. C. D. 或 3. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，若，则边的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 5. 在中，斜边的长为，则斜边上的中线的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 如图，中， 平分交于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，垂直平分，分别交于点D，E，且，则＝（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 9. 如图，等边中，是边上的中线，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 10. 如图，长方体的长为2，宽为1，高为3，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体的外表面到点B处觅食，则它爬行的最短路程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 一个n边形的内角和为1080°，则n=________． 12. 在中，若，则的度数为______度． 13. 若直角三角形中有两边长分别为6和8，那么斜边长为__________． 14. 如图，，要根据“”证明，应添加的直接条件是________. 15. 如图∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA， PD⊥OA， 若PC=6，则PD等于________． 16. 如图，等边的边长为4，是的边上的高，过点D作于点E，则的长是________． 17. 如图，平行四边形的周长为24，对角线相交于点O，作，交于点E，连接，那么的周长为________． 18. 如图，，下面给出四个结论：①；②；③；④．其中正确的是________． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每题6分，第21、22题每题8分，第23、24题每题9分，第25、26题10分，共66分） 19. 如图，，，垂足分别为A，D，．求证：． 20. 如图，在四边形ABCD中，∠1=∠2，∠3=∠4，且∠D+∠C=220°，求∠AOB的度数． 21. 如图，在中，点是边上一点，连接．若，，，，． （1）求的度数； （2）求的长． 22. 如图，折叠矩形纸片的，使点A落在对角线上的点F处，得折痕，若，，求折痕的长（结果保留根号）． 23. 如图，在四边形中，已知，，，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 24. 如图，在四边形中，，，，． （1）求证；四边形为平行四边形； （2）求四边形的面积． 25. 如图，在四边形中，，，，点P自点A向D以的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为． （1）用含t的代数式表示：________；________； （2）当t为何值时，四边形是平行四边形？ （3）当t为何值时，四边形是平行四边形？ 26. 平行四边形ABCD的对角线交于点O，分别过点A，C作直线l的垂线，垂足为E，F，连接OE，OF． （1）如图1，若直线l恰好经过点O，试判断线段OE与OF的数量关系并证明； （2）若直线l不经过点O，请结合图2情形判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年上期郴州市第三中学八年级月考 数学试题卷 （总分：120分 时量：120分钟） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列长度的线段不能构成直角三角形的是（ ） A. 8，15，17 B. 1，2，3 C. 3，4，5 D. 5，12，13 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，即可解答． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，不符合题意； B、，不能构成直角三角形，符合题意； C、，能构成直角三角形，不符合题意； D、，能构成直角三角形，不符合题意； 故选：B． 2. 直角三角形的一个锐角是，则它的另一个锐角是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查直角三角形两个锐角互余，掌握该定理即可解题． 【详解】解：直角三角形的一个锐角是， 它的另一个锐角是， 故选：A． 3. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形的定义．根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形即可判断出． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故选项错误； B、不是中心对称图形，故选项错误； C、不是中心对称图形，故选项错误； D、是中心对称图形，故选项正确． 故选：D． 4. 在中，，，若，则边的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质．根据直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：如图， 在中，，，， ∴． 故选：C 5. 在中，斜边的长为，则斜边上的中线的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的相关性质．根据直角三角形斜边上的中线的相关性质，即可推出的长度． 【详解】解：在中， ∵斜边的长为， ∴斜边上的中线． 故选：D 6. 如图，中， 平分交于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行四边形和角平分线的性质，通过等量代换得到，从而得到，从而解出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴. ∵， ∴ ． 7. 如图，在中，，垂直平分，分别交于点D，E，且，则＝（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质，利用角平分线的性质求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：连接 ∵ 垂直平分， ∴平分， ， 故选：C． 8. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、由“AB//DC，AD//BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； D、由“AB//DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意． 故选D． 9. 如图，等边中，是边上的中线，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等边三角形性质和轴对称和勾股定理．先连接，再根据，将转化为，最后根据两点之间线段最短，求得的长，即为的最小值． 【详解】解：连接， 等边中，是边上的中线， 是边上的高线，即垂直平分， ， 当、、三点共线时，， 等边中，是边的中点， ∵， 直角三角形中，， 的最小值为， 故选：A． 10. 如图，长方体的长为2，宽为1，高为3，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体的外表面到点B处觅食，则它爬行的最短路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平面展开-最短路径问题，熟知此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．把这个长方体中，蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算． 【详解】解：第一种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个平面， ； 第二种情况：把我们看到的右面与上面组成一个长方形， ； 第三种情况：把我们所看到的前面和底面组成一个长方形， ； ∵， ∴它爬行的最短路程为． 故选：B． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 一个n边形的内角和为1080°，则n=________． 【答案】8 【解析】 【分析】直接根据内角和公式计算即可求解． 【详解】解：（n﹣2）•180°=1080°，解得n=8． 故答案为8． 【点睛】主要考查了多边形的内角和公式.多边形内角和公式：． 12. 在中，若，则的度数为______度． 【答案】65 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形邻角互补求解即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 13. 若直角三角形中有两边长分别为6和8，那么斜边长为__________． 【答案】8或10 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了分类讨论思想，直角三角形中斜边为最长边，无法确定边长为8的边是否为斜边，所以要讨论：边长为8的边为斜边；边长为8的边为直角边． 【详解】解：当边长为8的边为斜边时，该直角三角形中斜边长为8； 当边长为8的边为直角边时，则根据勾股定理得斜边长为． 故该直角三角形斜边长为8或10． 故答案为：8或10． 14. 如图，，要根据“”证明，应添加的直接条件是________. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据“”所需要的条件即可得到答案． 【详解】解：和有一条公共直角边， 根据“”证明，应添加的直接条件是． 故答案为：． 15. 如图∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA， PD⊥OA， 若PC=6，则PD等于________． 【答案】3 【解析】 【分析】过P作PE⊥OB于E，根据角平分线的性质可得PE=PD，在求得∠BCP=30°，在Rt△ECP中，根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半即可求得PD的长． 【详解】 解：过P作PE⊥OB于E， ∵PD⊥OA，PE⊥OB，∠AOP=∠BOP=15°， ∴∠BOA=30°，PE=PD， ∵PC∥OA， ∴∠BOA=∠BCP=30°， 又△ECP为直角三角形，且PC=6， ∴PE=3，PD=3． 【点睛】本题考查了角平分线的性质；特殊直角三角形的性质． 16. 如图，等边的边长为4，是的边上的高，过点D作于点E，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握含度角的直角三角形的性质是解题的关键．根据等边三角形的性质以及含度角的直角三角形的性质得出，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵等边的边长为，是的边上的高， ∴， ∵， ， ∴， ， ∴ 故答案为：． 17. 如图，平行四边形的周长为24，对角线相交于点O，作，交于点E，连接，那么的周长为________． 【答案】12 【解析】 【分析】此题考查了垂直平分线的性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．由题意可得：垂直平分，则，的周长为，根据平行四边形的周长求解即可． 【详解】解：在平行四边形中，相交于点O， ∴，， ∵平行四边形的周长为24 ∴，即 又∵ ∴垂直平分， ∴ 的周长为 故答案为：12． 18. 如图，，下面给出四个结论：①；②；③；④．其中正确的是________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】此题主要考查平行四边形的判定与性质，和等（同）底等高的两个平行四边形面积相等，和同底等高的两个三角形的面积相等．由已知可得，四边形和四边形都是平行四边形，可推出4个结论均成立． 【详解】解：， 四边形是平行四边形， ，故①正确； ， 四边形是平行四边形， ，故②正确； ， 四边形和四边形等底等高， ，故③正确； ， 等底等高， ，故④正确； 故答案为：①②③④． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每题6分，第21、22题每题8分，第23、24题每题9分，第25、26题10分，共66分） 19. 如图，，，垂足分别为A，D，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据证明即可． 【详解】证明：∵，， ∴与都是直角． 在和中， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题． 20. 如图，在四边形ABCD中，∠1=∠2，∠3=∠4，且∠D+∠C=220°，求∠AOB的度数． 【答案】110°. 【解析】 【详解】试题分析：根据四边形内角和定理求出∠1+∠2+∠3+∠4的度数，然后根据题意得出∠2+∠3的度数，最后根据三角形内角和定理求出∠AOB的度数. 试题解析：根据四边形的内角和定理可得：∠1+∠2+∠3+∠4=360°-220°=140° ∵∠1=∠2 ∠3=∠4 ∴∠2+∠3=140°÷2=70° ∴∠AOB=180°-70°=110°. 考点：(1)、三角形内角和定理；(2)、四边形内角和定理 21. 如图，在中，点是边上一点，连接．若，，，，． （1）求的度数； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理求证是直角三角形． （1）根据，，，利用勾股定理的逆定理求证是直角三角形； （2）利用勾股定理求出的长，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴是直角三角形，． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴在中，， ∴ 22. 如图，折叠矩形纸片的，使点A落在对角线上的点F处，得折痕，若，，求折痕的长（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形可得，，从而在中，根据勾股定理求得，由折叠可得，，进而，，设，在中，根据勾股定理有，从而构造方程，求解得，因此在中，利用勾股定理即可求得． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，， ∴在中，， 由折叠可得，， ∴， ， 设 ∴在中， 即， 解得， ∴， ∴在中，． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 23. 如图，在四边形中，已知，，，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理，证明是直角三角形是解答本题的关键． （1）利用勾股定理可求，求出，由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，再由即可得出结论； （2）由三角形的面积公式即可得出结果． 【小问1详解】 解：连接， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：四边形的面积的面积的面积 ． 24. 如图，在四边形中，，，，． （1）求证；四边形为平行四边形； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）120 【解析】 【分析】（1）在中，由勾股定理求，则可得，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，结论得证； （2）根据平行四边形的面积为计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知平行四边形的面积为， ∴四边形的面积为120． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、平行四边形的面积、勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 25. 如图，在四边形中，，，，点P自点A向D以的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为． （1）用含t的代数式表示：________；________； （2）当t为何值时，四边形是平行四边形？ （3）当t为何值时，四边形是平行四边形？ 【答案】（1）， （2）当时，四边形是平行四边形 （3）当时，四边形是平行四边形 【解析】 【分析】本题主要考查动点，平行四边形的综合，理解动点的运算，掌握平行四边形的判定是解题的关键． （1）根据路程速度时间，即可用含的式子表示，； （2）根据四边形是平行四边形可得，由此即可求解； （3）根据题意用含的式子表示，根据四边形是平行四边形可得，由此即可求解． 【小问1详解】 解：，， ， ； 【小问2详解】 解：，，， ∴， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， ∴当时，四边形是平行四边形． 【小问3详解】 解：∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， ∴当时，四边形是平行四边形． 26. 平行四边形ABCD的对角线交于点O，分别过点A，C作直线l的垂线，垂足为E，F，连接OE，OF． （1）如图1，若直线l恰好经过点O，试判断线段OE与OF的数量关系并证明； （2）若直线l不经过点O，请结合图2情形判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由． 【答案】（1），证明见解析；（2）成立，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）延长与相交于点，由“”可证，可得，由直角三角形的性质可得． 【详解】解：（1），理由如下： 四边形是平行四边形， ， ，， ， 在和中， ， ； （2）仍然成立，理由如下： 如图2，延长与相交于点， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 在和中， ， ， ， ∴点O为GF的中点， 又， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $