精品解析：广东省江门市新会第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

2023—2024学年度第二学期期末考试 高二级数学科试题 班别：__________学号：__________姓名：__________成绩：__________ 第I卷（选择题） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知的分布列为 1 2 3 4 设，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则 A. B. C. D. 3. 已知等差数列，等比数列，满足，，则（ ）． A. B. C. 2 D. 4 4. 若曲线在点处的切线与直线平行，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 今天是星期天，则天后是（ ） A. 星期五 B. 星期六 C. 星期天 D. 星期一 6. 某单位五一放假，安排甲、乙等五人值班五天，每人值班一天.若甲、乙都至少需要三天的连休假期，则不同的值班安排共有（ ） A 60种 B. 66种 C. 72种 D. 78种 7. 袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中依次取两球（不放回），则第二次取到的是黑球的概率为（ ） A B. C. D. 8. 已知函数，下列关于的四个命题，其中是假命题是（ ） A. 函数在上是增函数 B. 函数的最小值为0 C. 如果时，，则的最小值为2 D. 函数有2个零点 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 给出下列命题，其中正确的命题有（ ） A. 两个变量的线性相关性越强，则相关系数越大 B. 在的展开式中，各项系数和与所有项二项式系数和相等 C. 将4名老师分派到两个学校支教，每个学校至少派1人，则共有14种不同的分派方法 D. 公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种 10. 已知双曲线的左、右焦点别为，，过点的直线l与双曲线的右支相交于两点，则（ ） A. 若的两条渐近线相互垂直，则 B. 若离心率为，则的实轴长为 C. 若，则 D. 当变化时，周长的最小值为 11. 如图，在棱长为1的正方体中，、分别为棱、的中点，为线段上一个动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使平面平面 C. 当点与重合时，二面角的正切值为 D. 当点为中点时，平面截正方体所得截面的面积为 第II卷（非选择题） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上一点且，则的面积为__________. 13. 甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军，比赛为“三局两胜”制.如果每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为___________. 14. 已知，函数恒成立，则的最大值为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某班级有60名同学参加了某次考试，从中随机抽选出5名同学，他们的数学成绩与物理成绩如下表： 数学成绩 140 130 120 110 100 物理成绩 110 90 100 80 70 数据表明与之间有较强的线性相关性. （1）利用表中数据，求关于的经验回归方程，并预测该班某同学的数学成绩为90分时的物理成绩； （2）在本次考试中，规定数学成绩达到125分为数学优秀，物理成绩达到100分为物理优秀. 若该班的数学优秀率与物理优秀率分别为和，且所有同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有6人，请你完成下面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联？ 数学成绩 物理成绩 合计 物理优秀 物理不优秀 数学优秀 数学不优秀 合计 参考公式及数据：，，，， ，其中. 下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 0.1 0.05 0.01 0005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知数列的前项和为. （1）证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？（直接写出结论，不要求证明）. 17. 如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面． （1）证明：平面； （2）若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 18. 面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节.某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得2分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得4分，答错不得分. （1）若一共有100人应聘，他们的笔试得分X服从正态分布，规定为达标，求进入面试环节的人数大约为多少（结果四舍五入保留整数）； （2）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩Y的数学期望. 附：若（），则，，. 19. 已知函数. （1）若是函数的一个极值点，求的值； （2）若在上恒成立，求的取值范围； （3）证明：（为自然对数的底数）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期期末考试 高二级数学科试题 班别：__________学号：__________姓名：__________成绩：__________ 第I卷（选择题） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知的分布列为 1 2 3 4 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用分布列的性质求解参数，然后求解期望，得到结果即可. 【详解】由题意得，解得， 故，而， 则，故A正确. 故选：A 2. 已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出 【详解】由题可得圆心为，半径为2， 则圆心到直线的距离， 则弦长为， 则当时，取得最小值为，解得. 故选：C. 3. 已知等差数列，等比数列，满足，，则（ ）． A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列的性质计算即可得出结果. 【详解】数列是等差数列，，可得，即， 数列是等比数列，，可得，可得， 则． 故选：B． 4. 若曲线在点处的切线与直线平行，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，可得函数在处的导数值，再由两条直线平行与斜率的关系列式求解. 【详解】由，得，， 曲线在点处的切线与直线平行， ，即. 故选：D. 5. 今天是星期天，则天后是（ ） A. 星期五 B. 星期六 C. 星期天 D. 星期一 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项式定理即可求解. 【详解】因为， 所以除以7余数为6，所以天后是星期六． 故选：B. 6. 某单位五一放假，安排甲、乙等五人值班五天，每人值班一天.若甲、乙都至少需要三天的连休假期，则不同的值班安排共有（ ） A. 60种 B. 66种 C. 72种 D. 78种 【答案】C 【解析】 【分析】因甲乙都至少需要三天的连休假期，故采用“特优法”分步计数，先排好甲和乙，再考虑安排其他三人即得. 【详解】由题意可知甲、乙都不能安排第三天值班，故可以分步完成： 第一步，在除了第三天之外的四天中选两天给甲乙，有种方法； 第二步，在剩下的三个位置上安排另外三个人，有种方法. 由分步乘法计数原理，不同的值班安排共有种． 故选：C. 7. 袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中依次取两球（不放回），则第二次取到的是黑球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设事件：表示第1次取到黑球，事件：表示第1次取到白球，事件：表示第2次取到黑球，结合，即可求解. 【详解】设事件：表示第1次取到黑球，事件：表示第1次取到白球，事件：表示第2次取到黑球， 于是，， 则. 故选：B 8. 已知函数，下列关于的四个命题，其中是假命题是（ ） A. 函数在上是增函数 B. 函数的最小值为0 C. 如果时，，则的最小值为2 D. 函数有2个零点 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性，画出函数图像，数形结合解决问题. 【详解】对于A，因为，求导得， 当或时，，当时，， 故在和上单调递减，在上单调递增，故A正确； 对于B，当时，，当时，， 结合A选项得函数的最小值为0，故B正确； 对于C， 当时，，则的图像如下所示： 如果时，，由图可知的最小值为， 故C正确； 对于D， 由图可知只有一个零点，故D不正确. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 给出下列命题，其中正确的命题有（ ） A. 两个变量的线性相关性越强，则相关系数越大 B. 在的展开式中，各项系数和与所有项二项式系数和相等 C. 将4名老师分派到两个学校支教，每个学校至少派1人，则共有14种不同的分派方法 D. 公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，使用相关系数的定义即可判定；对于B，代入，验证其等于二项式系数和即可；对于C，使用乘法原理即可验证；对于D，使用乘法原理即可求出可能的下车方式数目. 【详解】对于A，两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越大，故A错误； 对于B，由于的展开式中各项系数和就等于该表达式在时的取值，即，而这正是指数为时的二项式系数和，故B正确； 对于C，名老师各有种选择学校的方式，总共种，但每个学校至少派1人，所以这种选择方式中有两种是需要剔除的（即都去一个学校或都去另一个学校），所以共有种不同的分派方法，故C正确； 对于D，每名乘客有种选择下车车站的方式，故总共的可能下车方式有种，而，故D错误. 故选：BC. 10. 已知双曲线的左、右焦点别为，，过点的直线l与双曲线的右支相交于两点，则（ ） A. 若的两条渐近线相互垂直，则 B. 若的离心率为，则的实轴长为 C. 若，则 D. 当变化时，周长的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线、离心率、定义、三角形的周长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，， A选项，若双曲线的两条渐近线相互垂直，所以，故A正确； B选项，若的离心率为， 解得，所以实轴长，故B错误； C选项，若，则， 整理得，故C正确； D选项，根据双曲线的定义可知，， 两式相加得， 所以周长为， 当时，取得最小值， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以周长的最小值为，故D正确. 故选：ACD 11. 如图，在棱长为1的正方体中，、分别为棱、的中点，为线段上一个动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使平面平面 C. 当点与重合时，二面角的正切值为 D. 当点为中点时，平面截正方体所得截面的面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据锥体的体积公式判断A，通过反证，利用平面与平面和平面的交线、是否能平行来判定B，取的中点，连接，，即可得到为二面角的平面角，再由锐角三角函数判断C，作出截面，求出截面面积，即可判断D. 【详解】对于A，随着的移动，但是点到平面的距离始终不变即为线段的长度， 故是定值，故A正确； 对于B，如图所示， 连接，为侧面的中心， 平面与平面和平面分别交于线、， 若存在点使平面平面，则，又， 则四边形为平行四边形，即，而， 此时应在延长线上，故不存在线段上一个动点，使平面平面，故B错误； 对于C，取的中点，连接，，又，， 所以，，所以为二面角的平面角， 又平面，平面，所以， ，所以， 即二面角的正切值为，故C正确； 对于D，连接，，，，依题意可知，，， 所以， 所以四边形为平面截正方体所得截面，又，，， 如下平面图形，过点作，过点作， 则，所以， 所以， 当点为中点时，平面截正方体所得截面的面积为，故D错误. 故选：AC 第II卷（非选择题） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上一点且，则的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的定义求得三边长，根据三角形面积公式求解即可. 【详解】由椭圆可知， 故，结合， 可得，而， 故为等腰三角形，其面积为. 故答案为：. 13. 甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军，比赛为“三局两胜”制.如果每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为___________. 【答案】##0.4 【解析】 【分析】利用独立事件乘法公式及互斥事件的概率求法求甲获得冠军的概率、甲获得冠军且比赛进行了3局的概率，再由条件概率公式求甲获得冠军的情况下比赛进行了三局的概率. 【详解】设甲获得冠军为事件A，比赛共进行了3局为事件B， 则AB表示在甲获得冠军的条件下，比赛共进行了3局， ， ， 所以 故答案为：. 14. 已知，函数恒成立，则的最大值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】当a为正偶数时，不符合题意，当a为正奇数时，只需研究时，分离参数得恒成立，设，利用导数求的最小值即可求解. 【详解】当a为正偶数时， 当时，，显然不符合题意； 当a为正奇数时，则当时，恒成立， 因此只需研究时，恒成立即可， 当时，成立， 则当时，，因此时小于0，所以恒成立， 当时，恒成立， 令，，则， 令，得，即， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以函数在上取得最小值， 要使时，恒成立，则， 又因为a为正奇数，所以a的最大值为1， 综上所述，a的最大值为1. 故答案为：1. 【点睛】关键点点睛：本题求解参数的关键：一是对参数a分为正偶数和正奇数两部分讨论；二是当a是正奇数时，需要分离参数构造新函数，把恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用导数求解最值即可. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某班级有60名同学参加了某次考试，从中随机抽选出5名同学，他们的数学成绩与物理成绩如下表： 数学成绩 140 130 120 110 100 物理成绩 110 90 100 80 70 数据表明与之间有较强的线性相关性. （1）利用表中数据，求关于的经验回归方程，并预测该班某同学的数学成绩为90分时的物理成绩； （2）在本次考试中，规定数学成绩达到125分为数学优秀，物理成绩达到100分为物理优秀. 若该班的数学优秀率与物理优秀率分别为和，且所有同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有6人，请你完成下面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联？ 数学成绩 物理成绩 合计 物理优秀 物理不优秀 数学优秀 数学不优秀 合计 参考公式及数据：，，，， ，其中 下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）；63分 （2）列联表详见解析，依据小概率值的独立性检验，数学优秀与物理优秀有关，犯错的概率不超过. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，结合最小二乘法和经验回归方程的公式，即可求经验性回归方程，将代入经验回归方程中，即可求解预测值； （2）根据已知条件，计算，与临界值比较得结论. 【小问1详解】 由表中数据可得，，，， 所以，， 故经验回归方程为， 当时，分， 该班某同学的数学成绩为90分时的物理成绩63分. 【小问2详解】 列联表如下： 数学成绩 物理成绩 合计 物理优秀 物理不优秀 数学优秀 24 6 30 数学不优秀 12 18 30 合计 36 24 60 ， 依据小概率值的独立性检验，数学优秀与物理优秀有关，犯错的概率不超过. 16. 已知数列的前项和为. （1）证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？（直接写出结论，不要求证明）. 【答案】（1）证明见解析， （2） （3）数列中不存在三项，它们可以构成等差数列. 【解析】 【分析】(1)利用数列和与项的关系求证数列是首项为6，公比为2的等比数列，结合等比数列的通项公式求得. (2)利用错位相减法求得的前项和. (3)通过反证法证明不存在三项，可以构成等差数列. 【小问1详解】 证明：由，可得，解得 当时，由，可得 两式相减可得，整理为 又，则 所以数列是首项为6，公比为2的等比数列 可得 所以 【小问2详解】 由（1）得，所以. 所以① ② ①-②得： 【小问3详解】 数列中不存在三项可以构成等差数列. 【理由如下】假设数列中存在三项，它们可以构成等差数列， 设成等差数列，且， 即有，即为， 化为，可得， 上式左边为偶数，右边为奇数，显然不成立. 故数列中不存在三项，它们可以构成等差数列. 17. 如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面． （1）证明：平面； （2）若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在；是上靠近的三等分点 【解析】 【分析】（1）过点作于点，由面面垂直性质定理可得平面，由此证明，再证明，根据线面垂直判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求平面，平面的法向量，利用向量夹角公式求法向量夹角，由条件列方程确定点的位置； 【小问1详解】 过点作于点， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又平面，平面， 所以， 又因为，，平面， 所以平面． 【小问2详解】 假设在线段上（不含端点），存在点，使得二面角的余弦值为， 以为原点，分别以、为轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，，， 设平面的一个法向量为， 即取，，， 所以为平面的一个法向量， 因为在线段上（不含端点），所以可设，， 所以， 设平面的一个法向量为， 即， 取，，， 所以为平面的一个法向量， ，又， 由已知可得 解得或（舍去）， 所以，存在点，使得二面角的余弦值为， 此时是上靠近的三等分点． 18. 面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节.某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得2分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得4分，答错不得分. （1）若一共有100人应聘，他们的笔试得分X服从正态分布，规定为达标，求进入面试环节的人数大约为多少（结果四舍五入保留整数）； （2）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩Y的数学期望. 附：若（），则，， 【答案】（1）16 （2） 【解析】 【分析】（1）由正态分布的性质可求得，由此可估计进入面试的人数． （2）由已知得的可能取值为0，2，4，6，8，10，分别求得取每一个可能的值的概率，得的分布列，根据数学期望公式可求得答案. 【小问1详解】 因为服从正态分布，所以，，， 所以. 进入面试的人数，. 因此，进入面试的人数大约为16. 【小问2详解】 由题意可知，的可能取值为0，2，4，6，8，10， 则； ； ； ； ； . 所以. 19. 已知函数. （1）若是函数的一个极值点，求的值； （2）若在上恒成立，求的取值范围； （3）证明：（为自然对数的底数）. 【答案】（1） （2） （3）证明详见解析 【解析】 【分析】（1）由求得，验证后确定的值. （2）对进行分类讨论，根据在区间上的最小值不小于求得的取值范围. （3）将要证明的不等式转化为证明，结合（2）的结论来证得不等式成立. 【小问1详解】 ，定义域为， ，因为是的一个极值点， 所以. 此时，所以在区间上单调递减， 在区间上单调递增，所以是的极小值点，符合题意， 所以. 【小问2详解】 因为在上恒成立，所以. 当时，在上恒成立， 在上单调递增，所以成立，符合题意. 当时，令，得， 令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，，这与矛盾. 综上所述，的取值范围是. 【小问3详解】 要证明，即证明，即证明， 由（2）得时，在上单调递增， 所以， 从而原不等式成立. 【点睛】求解函数在区间上的最值的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间；（5）根据单调区间来求得最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$