精品解析：湖北省鄂州市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

鄂州市2024年春季八年级期末教学质量监测 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案称号涂黑．如常改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试题卷上无效． 3．非选择题的作答，用0.5毫米好迷黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷上无效． 4．考生必须保持答题卡的整齐．考试结束后，请将答题卡上交． 第II卷（选择题，共30分） 一、选择题（下列各题的备选答案中，有且仅有一个答案是正确的，每小题3分，共30分） 1. （ ） A. 4 B. C. D. 8 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 为评估一种水稻的种植效果，选了10块地作试验田．这10块地的亩产量（单位：）分别为，下面给出的统计量中可以用来评估这种水稻亩产量稳定程度的是（　　） A. 这组数据的平均数 B. 这组数据的方差 C. 这组数据的众数 D. 这组数据的中位数 4. 在下列二次根式中：，，，．其中最大数的是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，的对边分别为a，b，c，在下面结论中： ①；②；③；④． 能判定是直角三角形的是（ ） A. ①③ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④ 6. 下列函数中，y是x的一次函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一架6米长的梯子斜靠在竖直的墙上，在地面上，为的中点，当梯子的上端沿墙壁下滑时，的长度将（ ） A. 变大 B. 变小 C. 不变 D. 不能确定 8. 如图，四边形为菱形，，延长到，在内作射线，使得，过点D作，垂足为F．若，则对角线的长为（ ） A. B. 10 C. D. 9. 一次函数的函数值随的增大而减小，当时，y的值可以是（ ） A. 2 B. C. D. 10. 如图1，将正方形置于平面直角坐标系中，其中边在轴上，其余各边均与坐标轴平行，平行于的直线l沿轴的负方向以每秒1个单位的速度平移，平移过程中，直线l被正方形的边所截得的线段长为，平移时间为t（秒），与的函数图象如图2，依据条件信息，求出图2中的值为（ ） A. B. C. 6 D. 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 请写出一个符合条件的实数的值，使得在实数范围内有意义，______． 12. 甲、乙、丙、丁四名同学数学测验成绩分别为90分，90分，分，80分，若这组数据的众数与平均数恰好相等，则这组数据的中位数是______分． 13. 如图，2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的（勾股圆方图），它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是15，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，那么的值为______． 14. 如图，点在第一象限，且，点的坐标为，当的面积大于24时，点的横坐标的取值范围是______． 15. 如图，在正方形中，动点、分别从、两点同时出发，以相同的速度在边、上移动，连接和交于点，由于点、的移动，使得点也随之运动．若＝，则线段的最小值是 _____． 三、解答题（本大题共9小题，满分共75分） 16. 计算： 17. 已知一次函数的图象过点与，求这个一次函数的解析式． 18. 如图，四边形中，，，求四边形的面积． 19. 为了解九年级学生身体素质情况，从某区九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次体育测试（把测试结果分为四个等级：优秀、良好、及格、不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题： 抽取的学生体育测试各等级人数条形统计图 抽取的学生体育测试各等级人数扇形统计图 （1）本次抽样测试的学生人数是________； （2）把图1条形统计图补充完整，图2中优秀的百分数为__________； （3）该区九年级有学生5000名，如果全部参加这次体育测试，请估计良好及以上人数是多少． 20. 已知：如图，．，与相交于点，且．．求证：四边形为矩形． 21. 如图1，直线与相交于点，这两条直线与x轴分别交于点A，B． （1）直接写出______；若的面积为9，则______； （2）依据图象直接写出，当时，x的取值范围是______； （3）如图2，在图1条件下，连接；x轴正半轴上有一点C，，y轴负半轴有点，求的面积． 22. 快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶图中折线表示快、慢两车之间的路程与它们的行驶时间之间的函数关系，已知慢车途中只休息了． （1）甲乙两地相距____________，快车休息了_______； （2）慢车的行驶速度为___________，快车的行驶速度为_________； （3）求两车相遇后，同时在路上行驶过程中的函数表达式． 23. 综合与实践课上；老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下： 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二；在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部点处，把纸片展平，连接，，延长交于点，连接． （1）如图1，当点在上时，______度； （2）改变点在上的位置（点不与点A，D重合）如图2，判断与的数量关系，并说明理由． （3）如图3，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，在y轴上，点在第一象限，点在边上，，，直线交边于，，求直线的解析式． 24. 在平面直角坐标系中，直线交轴正半轴于点，交y轴负半轴于，，作线段的垂直平分线交轴于点，交y轴于点，交于点E． （1）如图1，求点坐标； （2）如图1，点是y轴上的一个动点，H是平面内任意一点，以N，E，G，H为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点的坐标， （3）如图2，过点作y轴的平行线，连接AN并延长交直线于F点，P，Q分别是直线和直线上的动点，求出周长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鄂州市2024年春季八年级期末教学质量监测 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案称号涂黑．如常改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试题卷上无效． 3．非选择题的作答，用0.5毫米好迷黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷上无效． 4．考生必须保持答题卡的整齐．考试结束后，请将答题卡上交． 第II卷（选择题，共30分） 一、选择题（下列各题的备选答案中，有且仅有一个答案是正确的，每小题3分，共30分） 1. （ ） A. 4 B. C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握和运用求一个数的算术平方根的方法是解决本题的关键．根据求一个数的算术平方根的方法，即可求解． 【详解】解：． 故选：A． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的四则运算，熟练掌握二次根式的加减乘除法法则是解题的关键． 利用二次根式的运算法则逐项计算并判断即可． 【详解】解：A． 2与不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意． B． ，原计算错误，故此选项不符合题意． C． ，计算正确，故此选项符合题意． D． ，原计算错误，故此选项不符合题意． 故选：C． 3. 为评估一种水稻的种植效果，选了10块地作试验田．这10块地的亩产量（单位：）分别为，下面给出的统计量中可以用来评估这种水稻亩产量稳定程度的是（　　） A. 这组数据的平均数 B. 这组数据的方差 C. 这组数据的众数 D. 这组数据的中位数 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，选择方差即可求解． 【详解】解：依题意，给出的统计量中可以用来评估这种水稻亩产量稳定程度的是这组数据的方差， 故选：B． 【点睛】本题考查了选择合适的统计量，熟练掌握平均数、众数、中位数、方差的意义是解题的关键． 4. 在下列二次根式中：，，，．其中最大数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，化简后比较被开方数的大小即可． 本题考查了二次根式的性质，二次根式的大小比较，正确化简是解题的关键． 【详解】解：，，，． ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 故选：B． 5. 在中，，，的对边分别为a，b，c，在下面结论中： ①；②；③；④． 能判定是直角三角形的是（ ） A. ①③ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定，涉及三角形的内角和定理、勾股定理的逆定理，根据相关知识的性质和直角三角形的判定逐个判断即可． 【详解】解：①∵，， ∴， ∴是直角三角形，故①符合题意； ②∵， ∴， ∵， ∴，则， ∴是直角三角形，故②符合题意； ③∵， ∴， ∴是直角三角形，故③符合题意； ④∵， ∴，无法证明是直角三角形， 故④不符合题意， 综上，能判定是直角三角形的是①②③， 故选：C． 6. 下列函数中，y是x的一次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的定义，即一般地，形如（是常数）的函数，叫作一次函数．根据一次函数的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、，自变量次数不为1，不是一次函数，不符合题意； B、，不是一次函数，不符合题意； C、，不是一次函数，不符合题意； D、，是一次函数，符合题意， 故选：D 7. 如图，一架6米长的梯子斜靠在竖直的墙上，在地面上，为的中点，当梯子的上端沿墙壁下滑时，的长度将（ ） A. 变大 B. 变小 C. 不变 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即可得出结果． 【详解】解：，M为的中点，， ∴是的中线， ， ∵梯子的上端沿墙壁下滑时，梯子的长度不变， ∴的长度也不变， 故选：C． 8. 如图，四边形为菱形，，延长到，在内作射线，使得，过点D作，垂足为F．若，则对角线的长为（ ） A. B. 10 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质和全等三角形的判定，连接交于H，证明，得出的长度，再根据菱形的性质得出的长度． 【详解】解：如图，连接交于H， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 9. 一次函数的函数值随的增大而减小，当时，y的值可以是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的增减性可得k的取值范围，再把代入函数，从而判断函数值y的取值． 【详解】解：∵一次函数的函数值y随x的增大而减小， ∴ ∴当时， 故选：D． 10. 如图1，将正方形置于平面直角坐标系中，其中边在轴上，其余各边均与坐标轴平行，平行于的直线l沿轴的负方向以每秒1个单位的速度平移，平移过程中，直线l被正方形的边所截得的线段长为，平移时间为t（秒），与的函数图象如图2，依据条件信息，求出图2中的值为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，一次函数图象与几何变换，正方形性质，勾股定理等知识，由直线l与直线平行，即直线l沿x轴的负方向平移时，同时经过B，D两点，再根据的长即可得到a的值． 【详解】解：∵直线l与直线平行， ∴直线l沿x轴的负方向平移时，同时经过B，D两点， 由图2可得，时，直线l经过点A，时，直线l经过点C， ∴当时，直线l经过B，D两点， ， 为正方形， ∴， ， 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 请写出一个符合条件的实数的值，使得在实数范围内有意义，______． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据题意求出，给出一个符合题意的答案即可． 【详解】解：在实数范围内有意义， ， ， ， 故答案为：1（答案不唯一）． 12. 甲、乙、丙、丁四名同学数学测验成绩分别为90分，90分，分，80分，若这组数据的众数与平均数恰好相等，则这组数据的中位数是______分． 【答案】90 【解析】 【分析】本题主要考查了众数、中位数、平均数等知识，正确确定的值是解题关键．首先确定这组数据的众数为90，进而根据平均数的定义确定的值，然后根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：根据题意，四名同学数学测验成绩中出现次数最多的是90分，不少于3次， 故这组数据的众数为90， 因为这组数据的众数与平均数恰好相等， 所以，可有， 解得， 所以，将这组数据按照从小到大的顺序排列，为80，90，90，90，100， 其中排在第3位的是90， 所以，这组数据的中位数是90分． 故答案为：90． 13. 如图，2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的（勾股圆方图），它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是15，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，那么的值为______． 【答案】29 【解析】 【分析】根据题意，得，，结合公式，求得，结合公式计算即可． 本题考查了弦图中公式变形计算，熟练掌握公式变形，弦图的几何意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：29． 14. 如图，点在第一象限，且，点的坐标为，当的面积大于24时，点的横坐标的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的面积，不等式的应用，坐标与图形，熟知图形面积的关系是解答本题的关键．根据三角形的面积公式即可得出关于x的关系式，把 的面积代入得出关于x的不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵A和P点的坐标分别是、， ∴． ∵， ∴． ∴ 当时， 解得：， ∵点在第一象限， ∴ ∴点的横坐标的取值范围是． 故答案为：． 15. 如图，在正方形中，动点、分别从、两点同时出发，以相同的速度在边、上移动，连接和交于点，由于点、的移动，使得点也随之运动．若＝，则线段的最小值是 _____． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据已知得，然后证明，得出，然后证明，取中点O，则=2为定值，根据两点之间线段最短得当P、C、O三点共线时，最小，然后根据勾股定理求解． 【详解】解：动点，分别从两点同时出发，以相同的速度在边，上移动， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 取中点，连接，如下图， 则， 根据两点之间线段最短，得、、三点共线时线段的值最小， 在中，根据勾股定理得， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，确定点P到中点的距离是解此题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，满分共75分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，原式先计算二次根式的乘法，再计算加减法即可． 【详解】解： ． 17. 已知一次函数的图象过点与，求这个一次函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，设这个一次函数的解析式为，利用待定系数法进行求解即可． 【详解】解：设这个一次函数的解析式为， 因为的图象过点与，所以， 解得， 这个一次函数的解析式为． 18. 如图，四边形中，，，求四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点C作于点E，在中根据勾股定理求出的长，由等腰三角形的性质得出，在中根据勾股定理求出的长，再由即可得出结论． 【详解】连接，过点C作于点E， ∵， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中， ∴． 【点睛】本题考查的是勾股定理及三角形的面积公式，等腰三角形的判定和性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 19. 为了解九年级学生身体素质情况，从某区九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次体育测试（把测试结果分为四个等级：优秀、良好、及格、不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题： 抽取的学生体育测试各等级人数条形统计图 抽取的学生体育测试各等级人数扇形统计图 （1）本次抽样测试的学生人数是________； （2）把图1条形统计图补充完整，图2中优秀的百分数为__________； （3）该区九年级有学生5000名，如果全部参加这次体育测试，请估计良好及以上人数是多少． 【答案】（1）80 （2）补全条形统计图见解答， （3）3000人 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了利用样本估计总体． （1）用“不及格”的人数除以可得样本容量； （2）用样本容量分别减去其它等级的人数可得“良好”等级的人数，进而补全条形统计图；用“优秀”人数除以样本容量可得图2中优秀的百分数； （3）利用样本估计总体的方法估计出良好及以上人数． 【小问1详解】 解：本次抽样的人数是（人）， 故答案为：80； 【小问2详解】 解：“良好”等级的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： 图2中优秀的百分数为：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计良好及以上人数大约是3000人． 20. 已知：如图，．，与相交于点，且．．求证：四边形为矩形． 【答案】 证明：，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形， ， ， ， ， ， 四边形为矩形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行线的性质、矩形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．先证四边形是菱形，得出，再由平行线的性质得出，则，然后由矩形的判定即可得出结论． 【详解】略 21. 如图1，直线与相交于点，这两条直线与x轴分别交于点A，B． （1）直接写出______；若的面积为9，则______； （2）依据图象直接写出，当时，x的取值范围是______； （3）如图2，在图1条件下，连接；x轴正半轴上有一点C，，y轴负半轴有点，求的面积． 【答案】（1）3；1； （2） （3）12 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、坐标与图形性质、一次函数的应用、三角形面积等知识；熟练掌握一次函数的性质和勾股定理是解题的关键． （1）将点代入，即可求出m的值； （2）求出点A的横坐标为4，点B横坐标为：，得出，由即可得出k的值； （3）由图1和一次函数的性质即可得出结论； （4）设直线的解析式为，把代入，求得的值，设直线交轴于点，过点P作轴于T，则，证明是等腰直角三角形，得到，求得，再根据可求结论． 【小问1详解】 解：将点坐标代入， ， ∵，当时， ∴， ∴点A的横坐标为4， ∵，当时，， ∴， ∴点B横坐标为：， ∴， ∵点P的纵坐标为3， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意； 故答案为：3，1； 【小问2详解】 解：由图1可知：时，， 故答案为：； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， 把代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得，， 设直线交轴于点，则， ∴． 过点P作轴于T，则 ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶图中折线表示快、慢两车之间的路程与它们的行驶时间之间的函数关系，已知慢车途中只休息了． （1）甲乙两地相距____________，快车休息了_______； （2）慢车的行驶速度为___________，快车的行驶速度为_________； （3）求两车相遇后，同时在路上行驶过程中的函数表达式． 【答案】（1）360，1.6 （2）80，100 （3）． 【解析】 【分析】本题考查图象和一次函数的应用，解题的关键是读懂函数图象，并从图象中获取有用信息． （1）根据图象与路程的关系即可求出两地距离，根据慢车途中只休息了和图象即可求出快车休息的时间； （2）根据图象可求出两车的速度之和，再根据求出慢车的速度，进而求出快车速度，作答即可； （3）根据图象在是两车相遇后，同时在路上行驶，分别表示出两点，，并设函数表达式代入即可作答． 【小问1详解】 解：根据图象，则甲乙两地相距， 慢车途中只休息了，根据图象， 是快车休息的时间， 又是快车和慢车同时休息的时间， 快车休息的时间一共为：， 故答案为：360，1.6； 【小问2详解】 解：根据图象，可以求出快车和慢车的速度之和为：， 在只有慢车行驶， 慢车的速度为：， 快车的速度为：， 故答案为：80，100； 【小问3详解】 解：根据图象，是两车相遇后，同时在路上行驶， 时两车的距离为：， 根据图象，设两车相遇后，同时在路上行驶的过程中函数表达式为：， 点，在此图象上， ， 解得：， 函数表达式为：． 23. 综合与实践课上；老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下： 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二；在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部点处，把纸片展平，连接，，延长交于点，连接． （1）如图1，当点在上时，______度； （2）改变点在上的位置（点不与点A，D重合）如图2，判断与的数量关系，并说明理由． （3）如图3，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，在y轴上，点在第一象限，点在边上，，，直线交边于，，求直线的解析式． 【答案】（1）30 （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据折叠得出为对称轴，根据轴对称的性质得出，，证明为等边三角形，得出，求出结果即可； （2）根据折叠和正方形的性质，得出，得出，即可； （3）延长至F，使得，连接，，证明，得出，，，证明，得出． 设，则，，求出，得出点E的坐标，利用待定系数法，求出函数解析式即可． 【小问1详解】 解：连接， ∵为对称轴， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：∵四边形为正方形， ∴，， 根据折叠可知：,， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：延长至F，使得，连接，，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， ∴ ∵在和中，，，， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 在中，设，则， ∴， 解得：， 设直线为，代入点得：， 解得：， ∴直线为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，求一次函数解析式，勾股定理，折叠的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 24. 在平面直角坐标系中，直线交轴正半轴于点，交y轴负半轴于，，作线段的垂直平分线交轴于点，交y轴于点，交于点E． （1）如图1，求点坐标； （2）如图1，点是y轴上的一个动点，H是平面内任意一点，以N，E，G，H为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点的坐标， （3）如图2，过点作y轴的平行线，连接AN并延长交直线于F点，P，Q分别是直线和直线上的动点，求出周长的取值范围． 【答案】（1） （2）点H的坐标为或或 （3）的周长的取值范围为大于 【解析】 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形与勾股定理求出，再根据含30度角的直角三角形得到，即可求出，从而求出结果； （2）先求出的中点E的坐标，过E作于S，求出菱形边长，分两种情况：①当是菱形的对角线时，点E和H关于y轴对称，②当是菱形的边时，分别进行求解即可； （3）作点F关于的对称点C，作点F关于的对称点D，连接分别交直线和直线于P，Q，先求出直线的解析式，再证明，为等边三角形，根据勾股定理求出的长，但此时点三点共线，两点重合，不存在，即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 即； 【小问2详解】 设点， ①当是菱形的边，时， ∵的中点E的坐标为：，， 解得：或0， ， ∵以N、E、G、H为顶点的四边形是菱形， ∴点H的坐标为； 当是菱形的边，时， ， 解得：， ； 当是菱形的对角线时， ∵点G是y轴的一个动点，以N、E、G、H为顶点的四边形是菱形， ， ，解得：， ， ，， 点H的坐标为或， 综上：点H的坐标为或或或． 【小问3详解】 作点F关于的对称点C，作点F关于的对称点D，连接分别交直线和直线于P，Q，如图， ∴，，，，，， ∴的周长为， ∴此时，的周长最小， 由，得直线的解析式为：， 当时，， ∴， ∵，， ∴为等边三角形． ∴， ∴， 同理，连接，也为等边三角形， ∴ ∴， ∴， 又此时点三点共线，两点重合，不存在， ∴的周长的取值范围为大于． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，线段的垂直平分线的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，菱形的性质，含30°的直角三角形的性质，利用分类讨论，数形结合的方法解题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $