精品解析：山西省朔州市怀仁市2023-2024学年高二下学期第一次教学质量调研考试（5月期中考试）数学试题

怀仁市2023-2024学年度下学期高二 第一次教学质量调研试题 数学 命题：怀仁市教育局高级中学教研组 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色里水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答亲答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本试卷主要命题范围：选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用，选择性必修第三册第六章计数原理. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 下列求导数的运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由基本函数的导数和复合函数的导数运算可得. 【详解】A：，故A错误； B：，故B错误； C：，故C错误； D：，故D正确； 故选：D. 2. 已知函数（是的导函数），则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于原函数和导函数，分别取，代入运算求解即可. 【详解】因为，则， 又因为， 当时，，解得， 所以. 故选：D. 3. 重庆市高考综合改革实施方案中规定：高考考试科目按照“”的模式设置，“3”为语文、数学、外语3门必选科目；“1”为由考生在物理、历史2门科目中选考1门作为首选科目；“2”为由考生在思想政治、地理、化学、生物4门科目中选2门作为再选科目.现由甲、乙2位同学选科，若他们的首选科目相同，再选科目恰有一门相同的不同选法的种数为（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】把事情分四步完成，根据乘法分步乘法原理即得解. 【详解】解：第一步：甲乙首选科目相同，有种方法； 第二步：从思想政治、地理、化学、生物4门科目中选一科中选一科作为甲乙的相同科目，有种方法； 第三步：甲从剩下的三科中选一科，有种方法； 第四步：乙从剩下的两科中选一科，有种方法. 所以共有种不同方法. 故选：C 4. 函数在区间上的最大值是，则的值为(　　) A. 3 B. 1 C. 2 D. －1 【答案】B 【解析】 【分析】先对函数求导得，令，解得.结合给定区间得出函数 的单调性，再比较的大小，进而求出的最大值即可求解的值. 【详解】由题意可知，， 令，解得或（舍）. 当时，； 当时，； 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以,,，则最大， 所以当时，函数取得最大值为. 由题意可知，，解得, 所以的值为. 故选：B. 5. 已知函数有三个零点，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造新函数并利用导数求得其极值，再利用函数的零点即函数与直线的图像的交点横坐标，进而求得实数m的取值范围. 【详解】令，则， 由得，或；由得，， 则当或时单调递增； 当时单调递减. 则时取得极大值；时取得极小值. 函数有三个零点， 即函数与直线图像有3个不同的交点， 则实数m的取值范围是 故选：A 6. 如图1，现有一个底面直径为高为的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据圆锥的体积公式列出等式得出；再根据导数的运算得出；最后令即可求解. 【详解】设注入溶液的时间为（单位：）时，溶液的高为， 则，得. 因为， 所以当时，， 即圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为. 故选：C 7. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，根据单调性比较大小即可. 【详解】令，则，，， 而，当时，，单调递减， ∵，所以，即. 故选：B. 8. 若函数=有大于零的极值点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对命题进行转化，化归为有大于零的零点，然后求解. 【详解】原命题等价于有大于零的零点，显然在上单调递增，又因为时，，所以，所以 故选：A. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由赋值法令，，即可判断A、C、D选项；结合二项展开式即可判断B选项. 【详解】令，可得，故A正确；含的项为，故，B错误； 令，，又，故，C正确； 令，，又，故，D正确. 故选：ACD. 10. 设函数的导函数为， 的部分图象如图所示，则（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 【答案】AB 【解析】 【分析】由导函数的正负可得函数的单调性，再逐项判断可得答案. 【详解】有的图象可得 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以函数在上单调递增，故A正确；函数在上单调递减，故B正确；函数在处无极值，故C错误；函数在处取得极小值，故D错误. 故选：AB. 11. 设函数则下列说法正确的是（ ） A. 当时，的图象位于x轴下方 B. 存在单调递增区间 C. 有且仅有两个极值点 D. 在区间上有最大值 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，求得，令，得到，求得函数的单调性与取值范围，进而得到的单调性，结合极值（点）的求法和最值的求法，即可求解. 【详解】因为函数，可得函数的定义域为，且， 令，可得， 当时，；当时，， 当时，，由，所以， 即，所以在上单调递减， 因为时，，当时，的图象在轴的下方，所以A正确； 当时，，所以， 又因为，所以存在使得， 所以当时，；当时，， 所以上单调递减，在上单递增， 当时，函数取得极小值，无极大值，所以函数只有一个极值点， 且在区间上先减后增，没有最大值，所以C、D错误. 故选：AB. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则曲线在点处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】借助导数的几何意义计算即可得. 【详解】，则，又， 故切线方程为，即. 故答案为：. 13. 甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生，有______种不同的冠军获得情况. 【答案】64 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理计算即可. 【详解】由题意可知数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军各有4种情况， 故有种情况. 故答案为： 14. 已知函数，则的最小值是____________. 【答案】 【解析】 【分析】化简函数，得到的最小正周期为，且，可得为奇函数，再由，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解. 【详解】由函数， 则函数的最小正周期为， 又由，可得函数为奇函数，只需考虑在上的最值即可， 又由， 可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以函数在上的最大值为， 因为函数为奇函数，所以函数的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中，所有二项式系数的和为32． （1）求的值； （2）若展开式中的系数为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据所有二项式系数和为列式求解； （2）写出通项，令指数等于即可求得答案. 【小问1详解】 ∵所有二项式系数的和为32， ∴， ∴． 【小问2详解】 二项式展开式的通项公式为， 令， ∴展开式中的系数为， ∴解得． 16. 6位同学报名参加2022年杭州亚运会4个不同的项目（记为）的志愿者活动，每位同学恰报1个项目. （1）6位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队方式有多少种？ （2）若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式？ （3）若每个项目只招一名志愿者，且同学甲不参加项目，同学乙不参加项目，求一共有多少种不同录用方式？ 【答案】（1）144 （2）1560 （3）252 【解析】 【分析】（1）利用捆绑法和插空法进行排列计算即可得共有144种； （2）先将6位同学分成4组，再根据题意进行排列计算即可得出结果； （3）先计算出所有的录用方式，再减去不符合题意的方式即可得出答案. 【小问1详解】 根据题意先把甲乙看成整体，与除了甲、乙、丙、丁之外的两人进行排列，再把丙丁插空进行排列， 所以共有. 【小问2详解】 先分为4组，则按人数可分为1，1，1，3和1，1，2，2两种分组方式，共有种； 再分到4个项目，即可得共有； 【小问3详解】 先考虑全部，则共有种排列方式， 其中甲参加项目共有种，同学乙参加项目共有种； 甲参加项目同时乙参加项目共有种， 根据题意减去不满足题意的情况共有种. 17. 已知函数. （1）若在处取得极小值，求实数的值； （2）若在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据求参数a，验证是否在处取得极小值即可. （2）将问题转化为在上恒成立，结合不等式右侧的单调性求范围. 【小问1详解】 因为， 所以，得，此时， 所以在上，单调递减，在上，单调递增， 所以在处取得极小值，符合题意， 故实数的值为. 【小问2详解】 由（1）知，， 因为在上单调递增，所以在上恒成立. 因，所以在上恒成立，即在上恒成立. 因为在上单调递减，所以， 故实数的取值范围为. 18. 已知函数. （1）求函数的单调性与极值； （2）若关于的方程有两个解，求实数的取值范围. 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减，极大值为，无极小值；（2）. 【解析】 【分析】（1）对函数 求导，利用导数的性质即可判断单调区间和极值； （2）构造函数，将原方程转化为函数的零点问题，再分类讨论即可. 【详解】（1）依题意，， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减 故当时，函数的极大值为 ，无极小值； （2）令，得. 当时，，则在上单调递增. 因此函数至多只有一个零点，不符合题意， 当时，由，得， 因此在上是单调递增，在上是单调递减，所以. 一方面，当从右边趋近于0时， 趋向于 ； 当x趋向于 时，， 因此，趋向于； 另一方面，由，得，即， 因此，， 很明显在上是单调递增且， 根据题意得：，所以. 即方程有且只有一个大于1的正实根. 设，由（ 开口向下）且， 对称轴为 ，得，解得. 所以实数的取值范围是； 综上，在单调递增，单调递减，极大值=-1，无极小值， . 【点睛】本题第二小问难度较大，将等式转化为函数后，要讨论函数的图像这个程序需要注意， 因为函数的图形可能存在渐近线，如果存在就要求出渐近线的方程， 求 的极值点并由极值点推断m的范围的技巧需要学习和掌握. 19. 已知函数. （1）当时，求的最值； （2）当时，若的两个零点分别为，证明：. 【答案】（1），无最大值（2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）当时，先求得函数的定义域，然后求得其导函数，由此求得的单调区间，进而求得的最值. （2）利用导数，结合零点存在性定理求得所在区间，由此证得不等式成立. 【详解】（1）解：当时，，定义域为， ， 当时，；当时，. 可知在上单调递减，在上单调递增， 所以，无最大值. （2）证明：，因为，所以在上单调递增， 又因为，所以当时，，当时，. 所以的最小值为， 因为，所以在上存在一个零点； 因为，可知在上也存在一个零点； 所以，故. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查利用导数证明不等式，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 怀仁市2023-2024学年度下学期高二 第一次教学质量调研试题 数学 命题：怀仁市教育局高级中学教研组 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色里水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答亲答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本试卷主要命题范围：选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用，选择性必修第三册第六章计数原理. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 下列求导数的运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数（是的导函数），则（ ） A. B. C. D. 3. 重庆市高考综合改革实施方案中规定：高考考试科目按照“”的模式设置，“3”为语文、数学、外语3门必选科目；“1”为由考生在物理、历史2门科目中选考1门作为首选科目；“2”为由考生在思想政治、地理、化学、生物4门科目中选2门作为再选科目.现由甲、乙2位同学选科，若他们的首选科目相同，再选科目恰有一门相同的不同选法的种数为（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 72 4. 函数在区间上的最大值是，则的值为(　　) A. 3 B. 1 C. 2 D. －1 5. 已知函数有三个零点，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图1，现有一个底面直径为高为的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（ ） A B. C. D. 7. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数=有大于零的极值点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 设函数的导函数为， 的部分图象如图所示，则（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 11. 设函数则下列说法正确是（ ） A. 当时，的图象位于x轴下方 B. 存在单调递增区间 C. 有且仅有两个极值点 D. 在区间上有最大值 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则曲线在点处的切线方程为______． 13. 甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生，有______种不同的冠军获得情况. 14. 已知函数，则最小值是____________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中，所有二项式系数的和为32． （1）求的值； （2）若展开式中的系数为，求的值． 16. 6位同学报名参加2022年杭州亚运会4个不同的项目（记为）的志愿者活动，每位同学恰报1个项目. （1）6位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队方式有多少种？ （2）若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式？ （3）若每个项目只招一名志愿者，且同学甲不参加项目，同学乙不参加项目，求一共有多少种不同录用方式？ 17. 已知函数. （1）若在处取得极小值，求实数的值； （2）若在上单调递增，求实数的取值范围. 18. 已知函数. （1）求函数单调性与极值； （2）若关于的方程有两个解，求实数的取值范围. 19 已知函数. （1）当时，求的最值； （2）当时，若的两个零点分别为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$