第15讲 整式的加减（知识梳理+12考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版2024）

第15讲 整式的加减 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.掌握去（添）括号，并能利用法则解决简单问题: 2.会用去括号、合并同类项进行整式加减运算： 3.能利用整式加减解决一些简单的实际问题. 考点一 去/添括号法则 去括号 法则 【总结】添（去）括号法则： 1）括号外是“+”，添(去) 括号不变号， 2）括号外是“-”，添(去) 括号都变号. 【注意事项】 1）当括号前的因数不是“±1”时，要利用乘法分配律将括号外的因数与括号内的每一项都相乘去掉括号，不要漏乘括号里的任何一项； 2）对于多重括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号，但是一定要注意括号前的符号； 3）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形. 添括号 法则 【补充】 去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误. 考点二 整式的加减 运算法则 补充说明及注意事项 整式的加减 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 【补充说明】整式加减实际上就是：去括号、合并同类项； 【注意事项】 1）整式的加减运算过程中，不多项，不漏项，交换项的位置时，要注意连同符号一起交换. 2）整式加减的运算结果： ①不能含有同类项，要合并到不能再合并为止； ②不能出现带分数，带分数要化成假分数. ③一般按照某个字母升幂（降幂）排列. 考点三 整式加减应用的解题方法 【考点一】去括号与添括号 1．（23-24七年级上·山东济宁·期中）下列式子变形正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（20-21七年级上·浙江杭州·期末）若、取正整数，、取负数，则以下式子中其值最大的是（    ）． A． B． C． D． 3．（2024·河北石家庄·二模）下列式子中，去括号后得的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23六年级下·山东泰安·开学考试）下列各式由等号左边变到右边变错的有（　　） ① ② ③ ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点二】利用去括号法则化简 1．（2024·浙江金华·二模）多项式去括号的结果是 ． 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）若，则 ． 3．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期中）将下列各式合并同类项 (1)； (2)． 4．（23-24七年级上·河南周口·期中）我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则．整体思想是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简和求值中有着广泛的应用．请根据上面的提示和范例，解决下面的问题： (1)把看成一个整体，则将 合并的结果为 　　． (2)已知，求的值． (3)已知，求的值． 【考点三】利用添括号与去括号求值 1．（20-21七年级上·福建南平·期中）若a，b互为倒数，则值为 ． 2．（22-23七年级上·浙江绍兴·期中）已知代数式的值是3，则代数式值是 ． 28．（22-23七年级上·安徽阜阳·期末）k 取 值时， 与是同类项，化 简的结果是 ． 3．（23-24七年级上·四川成都·期中）已知，，求值． 【考点四】整式的加减运算 1．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 2．（23-24七年级上·陕西西安·期末）计算：． 3．（23-24七年级上·重庆南岸·期末）计算： (1)； (2)． 4．（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）计算 (1)． (2) 【考点五】整式加减的化简求值 1．（23-24七年级下·云南昭通·阶段练习）先化简，再求值：的值，其中，． 2．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 3．（23-24六年级下·黑龙江大庆·期中）化简求值： (1)，其中，． (2)，其中 4．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某同学做一道题，已知两个多项式、，求的值．他误将“”看成“”，经过正确计算得到的结果是，其中． (1)请你帮助这位同学求出正确的结果； (2)若是最大的负整数，求的值． 【考点六】利用整式加减比较大小 1．（2023·河北邢台·二模）已知，，则下列说法正确的是（    ）． A． B． C．、可能相等 D．、大小不能确定 2．（23-24八年级下·安徽宿州·阶段练习）若，则；若，则；若，则，这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小．试比较代数式与的值之间的大小关系． 3．（23-24七年级上·云南曲靖·阶段练习）已知，． (1)求的值，其中，； (2)试比较代数式A，B的大小． 4．（23-24七年级上·广东茂名·期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定，如：． (1)求的值； (2)若，求a的值； (3)若，（其中x为有理数），试比较与n的大小． 【考点七】整式加减中的错看问题 1．（23-24七年级上·湖南娄底·期中）已知两个多项式A和B．其中小马虎在计算的值时不小心将错看成，得到的结果是． (1)求多项式B： (2)请帮他求出的正确答案． 2．（23-24七年级上·全国·期末）有这样一道计算题：的值，其中，．小明同学把“”错看成“”，但计算结果仍正确；小华同学把“”错看成“”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明． 3．（23-24七年级上·广西河池·期中）综合与实践： 小红和小丽在完成题目“化简：．”发现系数“”被墨迹污染了． 小红说：“我猜被墨迹污染的系数是2．” 小丽说：“你猜错啦，我看到这道题的标准答案是常数．” (1)请你根据小红的话化简：； (2)请你根据小丽的话通过计算说明原题中系数“”是多少？ 【考点八】整式加减中的不含某项问题 1．（23-24七年级上·湖南常德·期中）已知代数式． 若代数式中不含x的项． (1)求y的值； (2)求代数式 的值． 2．（23-24七年级上·湖北襄阳·期中）已知代数式． (1)若，求； (2)若（为常数），且与的和不含页，求整式的值． 3．（23-24七年级上·吉林白城·期中）已知关干x的多项式不含项和项，求m、n的值． 4（23-24七年级上·江苏南通·期中）已知关于的多项式不含三次项和一次项，求的值． 【考点九】整式加减中的和某项无关问题 1．（21-22七年级上·全国·课后作业）对于多项式，老师提出了两个问题，第一个问题是：当k为何值时，多项式中不含项？第二个问题是：在第一问的前提下，如果，，多项式的值是多少？ （1）小明同学很快就完成了第一个问题，也请你把你的解答写在下面吧； （2）在做第二个问题时，马小虎同学把，错看成，可是他得到的最后结果却是正确的，你知道这是为什么吗？ 2．（23-24七年级上·湖北随州·期中）已知代数式，，． (1)当时，求代数式M的值． (2)若代数式的值与字母x的取值无关，求代数式的值． 3．（23-24七年级上·湖南张家界·期末）回答下列各题． (1)先化简，再求值：，其中，． (2)已知，． ①计算； ②如果的值与y的取值无关，求此时x的值． 【考点十】整式的加减中的遮挡问题 1．（23-24七年级上·河北唐山·期末）老师讲完整式的加减运算后，在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用书遮挡住了一部分算式（如图）． (1)求被书遮挡部分的整式． (2)当，时，求被书遮挡部分的代数式的值． 2．（21-22七年级上·辽宁鞍山·期中）印卷时，工人不小心把一道化简题前面的一个数字遮住了，结果变成■. (1)某同学辨认后把“■”猜成10，请你算算他的结果是多少？ (2)老师说“你猜错了，我看到题目遮挡的数字是单项式的系数和次数之积”，那么被遮挡住的数字是几？ (3)若化简结果是一个常数，请你再算遮挡的数字又是多少？ 3．（2024·浙江杭州·一模）化简： 方方在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了． (1)如果被污染的数字是4，请计算 (2)如果化简的结果是单项式，求被污染的数字． 【考点十一】整式加减中的项与系数问题 1．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设A是一个三次多项式，B是一个四次多项式，则的次数是（    ） A．7 B．4 C．3 D．4或3 2．（20-21七年级上·浙江·期末）若是一个五次多项式，是一个四次多项式，则一定是（    ） A．次数不超过五次的多项式 B．五次多项式或单项式 C．九次多项式 D．次数不低于五次的多项式 3．（15-16七年级上·浙江杭州·阶段练习）如果M是三次多项式，N也是三次多项式，那么3M+2N一定是(    ) A．六次多项式 B．次数不高于3的多项式 C．三次整式 D．次数不高于3的整式 【考点十二】整式的加减中的应用 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）青藏铁路线上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段． 列车在冻土地段的行驶速度是，在非冻土地段的行驶速度可以达到，请根据这些数据回答下列问题： 在格尔木到拉萨路段，列车通过冻土地段比通过非冻土地段多用，如果列车通过冻土地段要，则这段铁路的全长可以怎样表示？冻土地段与非冻土地段相差多少？ 2．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）窗户的形状如图（1）所示（图中长度单位：m），其上部分是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部小正方形的边长是米，计算：（本题取3） (1)窗户的面积； (2)窗户的外框（如图2）的总长： (3)窗户上安装玻璃（窗户内的边框忽略不计），每平方米80元，窗户外框是铝合金材料每米200元，当时，这个窗户玻璃与铝合金共花费多少元？ 3．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）工大附中某楼窗户的形状如图所示（图中长度单位：米），其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部小正方形的边长是米．（取3） (1)求窗户的面积； (2)求窗户的外框（半圆和大正方形）的总长； (3)当时，为了隔音保暖，窗户安装的是带有分隔线的双层玻璃，每层这样的玻璃每平方米20元，窗户外框材料每米30元，求制作这样一个窗户需要多少钱？ 4．（2024·安徽合肥·二模）某汽车4S店去年销售燃油汽车a辆，新能源汽车b辆，混动汽车的销量是燃油车辆的一半、今年计划销售燃油汽车比去年减少30%，新能源汽车是去年的2倍，混动汽车保持不变， (1)今年燃油汽车计划的销量为 辆（用含a或b的代数式表示） (2)若今年计划的总销量就比去年增加，求的值． 一、单选题 1．（2024·河北沧州·三模）与相等的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列变形中，错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·河北唐山·二模）要使的化简结果为单项式，则（）中可以填（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知，，，若的值与x的取值无关，当时，A的值为（    ） A．0 B．4 C． D．2 6．（23-24六年级下·全国·假期作业）关于代数式，下列说法正确的是（    ） A．无论，取何值，其值都是一个常数 B．取不同值时，其值不同 C．y取不同值时，其值不同 D．以上说法都不正确 7．（23-24七年级下·山东济南·期中）已知，，，若的值与x的取值无关，则a的值为（   ） A． B．3 C．5 D．4 8．（23-24七年级下·山东青岛·期中）已知，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 9．（2024·河北石家庄·二模）已知，，则整式的值为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．下列判断正确的是（　　） 结论Ⅰ：若n的值为5，则y的值为1； 结论Ⅱ：的值为定值； 结论Ⅲ：若，则． A．Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ均对 B．Ⅰ，Ⅱ对，Ⅲ错 C．Ⅰ错，Ⅱ，Ⅲ对 D．只有Ⅰ对 二、填空题 11．（2024·天津南开·三模）计算的结果为 ． 12．（23-24七年级上·吉林·期末）已知，那么的值为 ． 13．（23-24七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）正整数m、n，满足，则m的最大值为 ． 14．（23-24七年级下·河南郑州·期中）已知，，，且的值与无关，则 ． 三、解答题 15．（24-25七年级上·全国·假期作业）下面的式子①②都带有括号，类比数的运算，它们应如何化简？ ① ② 16．（24-25七年级上·全国·假期作业）一种笔记本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元． 小红买这种笔记本4本，买圆珠笔2支；小明买这种笔记本2本，买圆珠笔4支．买这些笔记本和圆珠笔，小红和小明一共花费多少钱？ 17．（23-24七年级上·山东潍坊·期末）已知：，且． (1)求A等于多少？ (2)若，求A的值． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 整式的加减 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.掌握去（添）括号，并能利用法则解决简单问题: 2.会用去括号、合并同类项进行整式加减运算： 3.能利用整式加减解决一些简单的实际问题. 考点一 去/添括号法则 去括号 法则 【总结】添（去）括号法则： 1）括号外是“+”，添(去) 括号不变号， 2）括号外是“-”，添(去) 括号都变号. 【注意事项】 1）当括号前的因数不是“±1”时，要利用乘法分配律将括号外的因数与括号内的每一项都相乘去掉括号，不要漏乘括号里的任何一项； 2）对于多重括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号，但是一定要注意括号前的符号； 3）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形. 添括号 法则 【补充】 去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误. 考点二 整式的加减 运算法则 补充说明及注意事项 整式的加减 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 【补充说明】整式加减实际上就是：去括号、合并同类项； 【注意事项】 1）整式的加减运算过程中，不多项，不漏项，交换项的位置时，要注意连同符号一起交换. 2）整式加减的运算结果： ①不能含有同类项，要合并到不能再合并为止； ②不能出现带分数，带分数要化成假分数. ③一般按照某个字母升幂（降幂）排列. 考点三 整式加减应用的解题方法 【考点一】去括号与添括号 1．（23-24七年级上·山东济宁·期中）下列式子变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查去括号和添括号，掌握去括号和添括号法则是解题关键．根据去括号和添括号法则逐项计算，判断即可． 【详解】解：，故A选项变形错误，不符合题意； ，故B选项变形错误，不符合题意； ，故C选项变形错误，不符合题意； ，故D选项变形正确，符合题意． 故选D． 2．（20-21七年级上·浙江杭州·期末）若、取正整数，、取负数，则以下式子中其值最大的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对各选项去括号后，按有理数的加法法则进行比较即可判断． 【详解】解：A、m-（n+p-q）=m-n-p+q=m-p-n+q，结果是m，p的绝对值的和减去n，q的绝对值； B、m+（n-p-q）=m+n-p-q，结果是m，n，p，q的绝对值的和； C、m-（n-p+q）=m-n+p-q，结果是m，q的绝对值的和减去n，p的绝对值； D、m+（n-p+q）=m+n-p+q，结果是m，n，p的绝对值的和减去q的绝对值． 由此可看出B选项是值最大的，故选B． 【点睛】本题考查有理数的加法运算，去括号．在本题中注意，、为正整数，所以、后，值增大，、为负数，所以、后，值增大，由此可作出判断．也可以根据题意，代入符合条件的特殊值进行计算后判断． 3．（2024·河北石家庄·二模）下列式子中，去括号后得的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查去括号，掌握去括号的法则，利用去括号的法则，逐一进行计算后，判断即可． 【详解】解：A、，符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选A． 4．（22-23六年级下·山东泰安·开学考试）下列各式由等号左边变到右边变错的有（　　） ① ② ③ ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据去括号法则逐项进行判断即可． 【详解】解：①，故①错误； ②，故②错误； ③，故③正确； ④，故④错误； 综上分析可知，正确的有1个，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了去括号，解题的关键是熟练掌握去括号法则，注意括号前面为负号时，去括号后括号内的每一项符号要发生改变． 【考点二】利用去括号法则化简 1．（2024·浙江金华·二模）多项式去括号的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查去括号，去括号法则：1．括号前是“”，把括号和它前面的“”去掉后，原括号里各项的符号都不改变．2．括号前是“”，把括号和它前面的“”去掉后，原括号里各项的符号都要改变．改成与原来相反的符号． 【详解】解：． 故答案为：． 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了去括号法则与添括号法则， 熟练掌握去括号及添括号的法则是关键．根据去括号和添括号法则进行整理后，将 与的值代入原式即可求出答案． 【详解】解：当时， ， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期中）将下列各式合并同类项 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了合并同类项，去括号，熟练掌握合并同类项法则是解题关键． （1）先去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： 4．（23-24七年级上·河南周口·期中）我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则．整体思想是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简和求值中有着广泛的应用．请根据上面的提示和范例，解决下面的问题： (1)把看成一个整体，则将 合并的结果为 　　． (2)已知，求的值． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2)56 (3) 【分析】 本题主要考查了合并同类项，代数式求值，去括号和添括号： （1）仿照题意把看作一个整体，根据合并同类项的计算法则求解即可； （2）根据，利用整体代入法求解即可； （3）把所求式子去括号，变形为，利用整体代入法求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴ ． 【考点三】利用添括号与去括号求值 1．（20-21七年级上·福建南平·期中）若a，b互为倒数，则值为 ． 【答案】 【分析】由a，b互为倒数可得，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵a，b互为倒数， ∴， 原式= = = =， 故答案为：． 【点睛】本题考查了倒数的应用，根据倒数的定义得出是解答本题的关键． 2．（22-23七年级上·浙江绍兴·期中）已知代数式的值是3，则代数式值是 ． 【答案】 【分析】先由题意得到，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵代数式的值是3， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，添括号，利用整体代入的思想求解是解题的关键． 28．（22-23七年级上·安徽阜阳·期末）k 取 值时， 与是同类项，化 简的结果是 ． 【答案】 2 【分析】根据同类项的定义可得，可求出k的值；先去括号，再合并同类项，即可． 【详解】解∶∵ 与是同类项， ∴， 解得：； 故答案为：2； 【点睛】本题主要考查了同类项，整式的加减运算，熟练掌握所含字母相同，且相同字母的指数相同的两个单项式是同类项；整式的加减混合运算法则是解题的关键． 3．（23-24七年级上·四川成都·期中）已知，，求值． 【答案】， 【分析】本题主要考查整式的混合运算，化简求值，根据整式的乘法展开，再合并同类项，代入求值即可求解，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 【考点四】整式的加减运算 1．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先算乘方，再算乘法，最后算加减即可； （2）去括号，合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 2．（23-24七年级上·陕西西安·期末）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了整式的加减计算，直接利用整式的混合运算法则计算即可，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：原式 ． 3．（23-24七年级上·重庆南岸·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查整式的加减，解题的关键是掌握整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ． 4．（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）计算 (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减，合并同类项： （1）先去括号，然后合并同类项即可； （2）去除括号，将同类项进行合并即可得到结果； 正确计算是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式= ． 【考点五】整式加减的化简求值 1．（23-24七年级下·云南昭通·阶段练习）先化简，再求值：的值，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查整式的加减，去括号、合并同类项是整式加减的基本方法．去括号、合并同类项化简后代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 2．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的加减与化简求值，首先去括号，然后合并同类项，化简后，再代入、的值求解即可． 【详解】解： 当时 原式． 3．（23-24六年级下·黑龙江大庆·期中）化简求值： (1)，其中，． (2)，其中 【答案】(1)； (2)；1 【分析】本题主要考查了整式的加减，正确合并同类项和掌握去括号法则是解题关键， （1）直接去括号合并同类项，再把已知数据代入得出答案； （2）原式先去括号，然后合并同类项进行化简，然后再求值． 【详解】（1）解：原式 ， 当，时， 原式 ． （2）解：原式 ． ∵，且，， ，， 解得：，， ∴原式 4．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某同学做一道题，已知两个多项式、，求的值．他误将“”看成“”，经过正确计算得到的结果是，其中． (1)请你帮助这位同学求出正确的结果； (2)若是最大的负整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握多项式的运算，即可． （1）根据题意，求出代数式，即可； （2）先求出代数式，根据题意，则求出的值，把代入，即可． 【详解】（1）∵， ∴ ∴． （2）∵，， ∴， ∵是最大的负整数， ∴， ∴． 【考点六】利用整式加减比较大小 1．（2023·河北邢台·二模）已知，，则下列说法正确的是（    ）． A． B． C．、可能相等 D．、大小不能确定 【答案】A 【分析】求出，问题得解． 【详解】∵，， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，掌握整式的加减运算法则是解答本题的关键． 2．（23-24八年级下·安徽宿州·阶段练习）若，则；若，则；若，则，这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小．试比较代数式与的值之间的大小关系． 【答案】 【分析】 本题主要考查的是比较代数式的大小，掌握作差法比较两个代数式大小是解题的关键． 依据作差法列出代数式，然后去括号、合并同类项，最后与0比较大小即可． 【详解】解： ． 不论为何值，都有， 3．（23-24七年级上·云南曲靖·阶段练习）已知，． (1)求的值，其中，； (2)试比较代数式A，B的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查整式的运算． （1）先利用整式乘法法则化简，再代入x，y即可求解； （2）计算，根据式子的特点即可判断大小． 【详解】（1） = 把，代入原式 （2）， 故． 4．（23-24七年级上·广东茂名·期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定，如：． (1)求的值； (2)若，求a的值； (3)若，（其中x为有理数），试比较与n的大小． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，整式的加减计算，解一元一次方程： （1）根据新定义可得，据此计算即可； （2）根据新定义可得方程，解方程即可得到答案； （3）根据新定义求出，，再利用作差法求出的结果即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得 ； （2）解：：由题意得，， ∴， 解得：； （3）解：根据题意得：，即， ，即 ∴， ∴． 【考点七】整式加减中的错看问题 1．（23-24七年级上·湖南娄底·期中）已知两个多项式A和B．其中小马虎在计算的值时不小心将错看成，得到的结果是． (1)求多项式B： (2)请帮他求出的正确答案． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算： （1）依题意得，进而可求解； （2）利用整式的加减运算法则是解题的关键； 熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意得： ， ∴． （2） ． 2．（23-24七年级上·全国·期末）有这样一道计算题：的值，其中，．小明同学把“”错看成“”，但计算结果仍正确；小华同学把“”错看成“”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明． 【答案】见解析 【分析】此题考查了整式的加减﹣化简求值，原式去括号合并得到最简结果，即可作出判断． 【详解】解： ， ∵结果不含x，且为非负数， ∴结果与x的值无关，且或者时，原式， ∴小明与小华错看x与y，结果也是正确的． 3．（23-24七年级上·广西河池·期中）综合与实践： 小红和小丽在完成题目“化简：．”发现系数“”被墨迹污染了． 小红说：“我猜被墨迹污染的系数是2．” 小丽说：“你猜错啦，我看到这道题的标准答案是常数．” (1)请你根据小红的话化简：； (2)请你根据小丽的话通过计算说明原题中系数“”是多少？ 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查合并同类项，熟练掌握合并同类项是解题的关键； （1）直接去括号合并同类项，进而得出答案； （2）直接去括号合并同类项，再利用结果是常数，得出答案． 【详解】（1）解：∵系数是2， ∴ ； （2）解：原式 ， ∵计算结果是常数， ∴， ∴． 【考点八】整式加减中的不含某项问题 1．（23-24七年级上·湖南常德·期中）已知代数式． 若代数式中不含x的项． (1)求y的值； (2)求代数式 的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，注意计算的准确性即可． （1）计算，令x的项的系数为零即可求解； （2）将代入计算即可. 【详解】（1）解： ∵代数式中不含x的项， ∴， 解得： （2）解： 2．（23-24七年级上·湖北襄阳·期中）已知代数式． (1)若，求； (2)若（为常数），且与的和不含页，求整式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键． （1）直接利用整式的加减运算法则计算得出答案； （2）根据整式的加减运算法则化简，进而得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：，， ， 与的和不含项， 即， ． 3．（23-24七年级上·吉林白城·期中）已知关干x的多项式不含项和项，求m、n的值． 【答案】，； 【分析】本题考查整式的化简求值，先化简，再根据不含项和项其系数为0求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 原式， ∵不含项和项， ∴，， 解得：，， 故答案为：，． 4（23-24七年级上·江苏南通·期中）已知关于的多项式不含三次项和一次项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，代数式求值．熟练掌握整式加减中的无关型问题，代数式求值是解题的关键． 由题意知，，计算求出，然后代值求解即可． 【详解】解：关于的多项式不含三次项和一次项， ∴， 解得：， ∴， ∴的值为． 【考点九】整式加减中的和某项无关问题 1．（21-22七年级上·全国·课后作业）对于多项式，老师提出了两个问题，第一个问题是：当k为何值时，多项式中不含项？第二个问题是：在第一问的前提下，如果，，多项式的值是多少？ （1）小明同学很快就完成了第一个问题，也请你把你的解答写在下面吧； （2）在做第二个问题时，马小虎同学把，错看成，可是他得到的最后结果却是正确的，你知道这是为什么吗？ 【答案】（1）见解析；（2）正确，理由见解析 【分析】（1）代数式中不含xy项就是合并同类项以后xy项得系数等于0，据此即可求得k的值； （2）把和代入（1）中的代数式求值即可判断． 【详解】解：（1）因为 ， 所以只要，这个多项式就不含项即时，多项式中不含项； （2）因为在第一问的前提下原多项式为：， 当时， ． 当时， ． 所以当和时结果是相等的． 【点睛】本题考查了合并同类项法则以及求代数式的值，理解不含xy项就是xy项的系数是0是关键． 2．（23-24七年级上·湖北随州·期中）已知代数式，，． (1)当时，求代数式M的值． (2)若代数式的值与字母x的取值无关，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式加减运算，非负数的性质，代数式求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）先计算出代数式的值，再求出x、y的值，代入求解即可． （2）先将变形为，根据的值与字母x的取值无关，让，的系数为0，求出a、b的值，再代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∵， ∴，， 解得，， 将，代入原式，得： ． （2）解： ， ∵代数式的值与字母x的取值无关， ∴，， ∴，， ∴． 3．（23-24七年级上·湖南张家界·期末）回答下列各题． (1)先化简，再求值：，其中，． (2)已知，． ①计算； ②如果的值与y的取值无关，求此时x的值． 【答案】(1)，22 (2)①；② 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先去括号合并同类项，再把，代入计算即可； （2）①把A，B的值代入，去括号合并同类项； ②合并关于y的同类项，令y的系数等于0即可求出x的值． 【详解】（1） ， 当，时， 原式； （2）①∵，， ∴ ； ②， ∵的值与y的取值无关， ∴， ∴． 【考点十】整式的加减中的遮挡问题 1．（23-24七年级上·河北唐山·期末）老师讲完整式的加减运算后，在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用书遮挡住了一部分算式（如图）． (1)求被书遮挡部分的整式． (2)当，时，求被书遮挡部分的代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减的应用和求代数式的值． （1）根据题意列出算式，计算即可求解； （2）把，代入（1）的结果即可求解． 【详解】（1）解：被遮挡部分的整式为 ； （2）解：当，时， 原式 ． 2．（21-22七年级上·辽宁鞍山·期中）印卷时，工人不小心把一道化简题前面的一个数字遮住了，结果变成■. (1)某同学辨认后把“■”猜成10，请你算算他的结果是多少？ (2)老师说“你猜错了，我看到题目遮挡的数字是单项式的系数和次数之积”，那么被遮挡住的数字是几？ (3)若化简结果是一个常数，请你再算遮挡的数字又是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把“■”换成10，原式去括号合并即可得到结果； （2）求出单项式的系数和次数之积，确定出遮挡部分即可； （3）设遮挡部分为a，原式去括号合并后，根据化简结果为常数，确定出a的值即可． 【详解】（1）解：根据题意得：原式＝ ＝ ＝； （2）解：是单项式的系数和次数之积为：， 答：遮挡部分应是； （3）解：设遮挡部分为a， 原式＝ ＝ ＝； 因为结果为常数，所以 所以遮挡部分为． 【点睛】此题考查了整式的加减和代数式的值与字母无关问题，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．（2024·浙江杭州·一模）化简： 方方在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了． (1)如果被污染的数字是4，请计算 (2)如果化简的结果是单项式，求被污染的数字． 【答案】(1) (2)被污染的数字为3或2 【分析】此题考查了整式加减运算，整式乘法运算和解一元一次方程，正确计算是解题的关键． （1）根据整式加减运算法则进行计算即可； （2）设被污染的数字为x，将化简为，根据化简的结果是单项式，得出或，求出或即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：设被污染的数字为x，则： ， ∵化简的结果是单项式， ∴或， 解得：或, ∴被污染的数字为3或2． 【考点十一】整式加减中的项与系数问题 1．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设A是一个三次多项式，B是一个四次多项式，则的次数是（    ） A．7 B．4 C．3 D．4或3 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减，解题关键是合并同类项得法则．根据合并同类项得法则可得出的次数是四次的． 【详解】解：∵A是一个三次多项式，B是一个四次多项式， ∴的次数是4， 故选B． 2．（20-21七年级上·浙江·期末）若是一个五次多项式，是一个四次多项式，则一定是（    ） A．次数不超过五次的多项式 B．五次多项式或单项式 C．九次多项式 D．次数不低于五次的多项式 【答案】B 【分析】利用整式的加减法则判断即可． 【详解】解：若A是一个五次多项式，B是一个四次多项式， 则A-B一定是五次多项式或单项式． 故选：B． 【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．（15-16七年级上·浙江杭州·阶段练习）如果M是三次多项式，N也是三次多项式，那么3M+2N一定是(    ) A．六次多项式 B．次数不高于3的多项式 C．三次整式 D．次数不高于3的整式 【答案】D 【分析】根据合并同类项的法则，两个多项式相加后，多项式的次数一定不会升高，当多项式3M最高次数项的系数如果与多项式2N最高次数项的系数互为相反数时，相加后最高次数项就会消失，次数就低于3，据此解答即可． 【详解】解：如果M是三次多项式，N也是三次多项式，那么3M+2N一定是次数不高于3的整式． 故选：D． 【点睛】本题考查了整式的加减运算，熟知整式的相关概念、熟练掌握合并同类项的法则是解题的关键． 【考点十二】整式的加减中的应用 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）青藏铁路线上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段． 列车在冻土地段的行驶速度是，在非冻土地段的行驶速度可以达到，请根据这些数据回答下列问题： 在格尔木到拉萨路段，列车通过冻土地段比通过非冻土地段多用，如果列车通过冻土地段要，则这段铁路的全长可以怎样表示？冻土地段与非冻土地段相差多少？ 【答案】这段铁路的全长可以表示为，冻土地段与非冻土地段相差 【分析】本题考查列代数式、整式加减的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．根据题意，可以用含的代数式表示出冻土地段：；非冻土地段： ，再表示这段铁路的全长，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， 冻土地段：， 非冻土地段： ， ∴， ∴冻土地段与非冻土地段相差， ， ∴则这段铁路的全长可以表示为． 2．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）窗户的形状如图（1）所示（图中长度单位：m），其上部分是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部小正方形的边长是米，计算：（本题取3） (1)窗户的面积； (2)窗户的外框（如图2）的总长： (3)窗户上安装玻璃（窗户内的边框忽略不计），每平方米80元，窗户外框是铝合金材料每米200元，当时，这个窗户玻璃与铝合金共花费多少元？ 【答案】(1)窗户的面积为平方米． (2)窗户的外框总长为米． (3)制作这样一个窗户需要元钱． 【分析】本题考查了列代数式，整式的化简，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系． （1）根据窗户面积=正方形面积+半圆面积，即可解答； （2）根据窗户外框总长=正方形三边的长+半圆弧长，即可解答； （3）根据总费用=玻璃费用+窗框费用，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得： （平方米）， 答：窗户的面积为平方米． （2）解：根据题意可得： （米）， 答：窗户的外框总长为米． （3）解：根据题意可得： ， 当时，原式， 答：制作这样一个窗户需要元钱． 3．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）工大附中某楼窗户的形状如图所示（图中长度单位：米），其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部小正方形的边长是米．（取3） (1)求窗户的面积； (2)求窗户的外框（半圆和大正方形）的总长； (3)当时，为了隔音保暖，窗户安装的是带有分隔线的双层玻璃，每层这样的玻璃每平方米20元，窗户外框材料每米30元，求制作这样一个窗户需要多少钱？ 【答案】(1)平方米 (2)米 (3)元 【分析】本题考查了列代数式，整式的化简，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系． （1）根据窗户面积=正方形面积+半圆面积，即可解答； （2）根据窗户外框总长=正方形周长+半圆弧长，即可解答； （3）根据总费用=玻璃费用+窗框费用，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得： （平方米）， 答：窗户的面积为平方米． （2）解：根据题意可得： （米）， 答：窗户的外框总长为米． （3）解：根据题意可得： ， 当时，原式， 答：制作这样一个窗户需要元钱． 4．（2024·安徽合肥·二模）某汽车4S店去年销售燃油汽车a辆，新能源汽车b辆，混动汽车的销量是燃油车辆的一半、今年计划销售燃油汽车比去年减少30%，新能源汽车是去年的2倍，混动汽车保持不变， (1)今年燃油汽车计划的销量为 辆（用含a或b的代数式表示） (2)若今年计划的总销量就比去年增加，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，整式的运算． （1）根据题意列式，化简即可得解； （2）根据题意列式，化简即可得解． 【详解】（1）解：今年燃油汽车计划的销量为， 故答案为：； （2）解：由题意得， ， 变形得，， ∴． 一、单选题 1．（2024·河北沧州·三模）与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了去括号．熟练掌握去括号是解题的关键． 根据括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号，作答即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：D． 2．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了去括号法则的应用，能熟记去括号法则是解此题的关键． 根据去括号法则逐个进行判断即可． 【详解】解：A．，故本选项不符合题意． B．，故本选项不符合题意． C． ，故本选项不符合题意． D．，故本选项符合题意． 故选：D． 3．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列变形中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了去括号法则的应用，注意：当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号． 【详解】解：A、，原式变形正确，不符合题意； B、，原式变形错误，符合题意； C、，原式变形正确，不符合题意； D、，原式变形正确，不符合题意； 故选：B． 4．（2024·河北唐山·二模）要使的化简结果为单项式，则（）中可以填（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减，掌握整式加减的运算法则是解题的关键． 【详解】解：A.，是多项式，不符合题意； B.，是多项式，不符合题意； C. ，是单项式，符合题意； D.，是多项式，不符合题意； 故选：C． 5．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知，，，若的值与x的取值无关，当时，A的值为（    ） A．0 B．4 C． D．2 【答案】B 【分析】此题主要考查了整式的混合运算无关型题目，代数式求值，首先根据多项式乘多项式的方法，求出的值是多少，然后用它加上，求出的值是多少，最后根据的值与x的取值无关，可得x的系数是0，据此求出a的值，最后代入求值即可． 【详解】解：，，， ， 的值与x的取值无关， ， ， 当时，， 故选：B． 6．（23-24六年级下·全国·假期作业）关于代数式，下列说法正确的是（    ） A．无论，取何值，其值都是一个常数 B．取不同值时，其值不同 C．y取不同值时，其值不同 D．以上说法都不正确 【答案】A 【分析】本题考查了整式的运算中无关项的问题，熟悉掌握运算的法则是解题的关键． 合并同类项后进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴无论，，取何值，其值都是，故A正确； 故选：A． 7．（23-24七年级下·山东济南·期中）已知，，，若的值与x的取值无关，则a的值为（   ） A． B．3 C．5 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了整式的运算，正确化简是解本题的关键． 先求出，再根据取值与x无关，得出，即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴ ， ∵的值与x的取值无关， ∴， 解得：， 故选：A． 8．（23-24七年级下·山东青岛·期中）已知，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查整式的加减．用作差法求解即可． 【详解】解： ， 故， 故选：B． 9．（2024·河北石家庄·二模）已知，，则整式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式加减的化简求值，去括号，添括号，利用整体代入的思想求解是解题的关键． 先化简再把、整体代入到所求代数式中进行求解即可． 【详解】解：原式． 故选：B． 10．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．下列判断正确的是（　　） 结论Ⅰ：若n的值为5，则y的值为1； 结论Ⅱ：的值为定值； 结论Ⅲ：若，则． A．Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ均对 B．Ⅰ，Ⅱ对，Ⅲ错 C．Ⅰ错，Ⅱ，Ⅲ对 D．只有Ⅰ对 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是理解已知条件中的约定，求出，m和n的值． 先根据题意得到：，，，从而求出x+y的值，判断Ⅱ的正误，再根据，求出m，从而列出关于x，y的方程组，解方程组，求出x，y，判断Ⅱ的正误，最后根据y的值，求出x，m，n，再代入所求的幂进行计算，然后判断是Ⅲ即可． 【详解】解：由题意可知：，，， ∴，， ∴， ∴结论Ⅱ正确 ∵当时，， ∴， ②﹣①得：， 把代入①得：， ∴结论Ⅰ正确； ∵， ∴当时，， ∴，， ∴ ， ∴结论Ⅲ错误， 综上可知：Ⅰ，Ⅱ对，Ⅲ错， 故选：B． 二、填空题 11．（2024·天津南开·三模）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，利用单项式乘以多项式法则，去括号法则，合并同类项法则计算即可． 【详解】解∶原式， 故答案为∶． 12．（23-24七年级上·吉林·期末）已知，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值、去括号、添括号等知识点，将原式变形成是解题的关键． 先运用去括号、添括号将原式变形成，然后将已知等式代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 13．（23-24七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）正整数m、n，满足，则m的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是数的整除性问题，把m用含n的代数式表示，并分离其整数部分（简称分离整系数法）．再结合整除的知识，求出m的最大值． 【详解】解：， ∴当时，m的最大值为． 故答案为． 14．（23-24七年级下·河南郑州·期中）已知，，，且的值与无关，则 ． 【答案】 【分析】先根据题意列出算式，再计算单项式与多项式的乘法，最后合并，由题意得关于的方程，求解即可．此题考查的是单项式乘多项式及整式的加减，掌握其运算法则是解决此题的关键． 【详解】解： ， 的值与无关， ， ． 故答案为：． 三、解答题 15．（24-25七年级上·全国·假期作业）下面的式子①②都带有括号，类比数的运算，它们应如何化简？ ① ② 【答案】①；② 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握去括号法则是解题的关键．化简带有括号的整式，首先应先去括号，如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 【详解】解：① ； ② ． 16．（24-25七年级上·全国·假期作业）一种笔记本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元． 小红买这种笔记本4本，买圆珠笔2支；小明买这种笔记本2本，买圆珠笔4支．买这些笔记本和圆珠笔，小红和小明一共花费多少钱？ 【答案】小红和小明一共花费元 【分析】本题考查了整式的加减运算，根据笔记本的单价与圆珠笔的单价，以及小红与小明买的数目列出关系式，去括号，合并同类项即可得，理解题意，掌握整式的加减运算是解题的关键． 【详解】解： 元， 答：小红和小明一共花费元． 17．（23-24七年级上·山东潍坊·期末）已知：，且． (1)求A等于多少？ (2)若，求A的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减，绝对值和平方的非负性，求代数式的值， （1）根据等式的性质可得，再将代入，然后去括号合并同类项即可得出答案； （2）利用非负数的性质求出与的值，再代入计算即可求出值； 掌握整式加减的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）∵， ∴，， 解得：，， ∴ ． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$