1.2空间向量基本定理（2课时）（教学课件）-2024-2025学年高二数学同步教学一课到位（人教A版2019选择性必修第一册）

人教A版选择性必修第一册 1.2《 空间向量基本定理》 （ 1 课 时 ） 第一章 空间向量与立体几何 学习目标：1.认识与理解空间向量基本定理及其意义，基底与基向量，以及单位正交基底；（数学抽象） 2.根据空间向量基本定理，熟练掌握利用基底表示空间向量的方法与技巧.（数学运算、逻辑推理） 教学重点：空间向量基本定理、基底与基向量、利用基底表示空间向量. 教学难点：空间向量基本定理及其意义的理解和运用. 教学目标 一 复习导入——平面向量基本定理（导学） 如图所示，如果 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 ，使 = 如果 , 不共线，我们把{}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 注：由平面向量基本定理知，任一向量都可以由基底唯一表示. 问题：类似地，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量 来表示呢? 二 探究新知1——空间向量基本定理（互学） 我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论. 如图 ，设 , , 是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点，对于任意一个空间向量 , 设为在 , 所确定的平面上的投影向量， 则 (三角形法则) 又∵向量 ， 共线， ∴ 存在唯一的实数，使得 (向量共线定理) ∴ 又∵在 , 所确定的平面上，由平面向量基本定理可知：存在唯一的有序实数对，使得 ∴ （一）探究 故可得如下结论 如果 , , 是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得 我们称分别为向量 在 , , 上的分向量. 思考1：如果用任意三个不共面的向量 , , 代替两两垂直的向量 , , ，你能得出类似的结论吗? 二 探究新知1——空间向量基本定理（互学） 由上探究，类似平面向量基本定理，我们可得如下定理： （二）空间向量基本定理 空间向量基本定理 如果三个向量 , , 不共面，那么对任意一个空间向量 ，存在唯一的有序实数组，使得 思考2：你能类比探究过程，证明空间向量基本定理成立吗? 三 探究新知2——基底与基向量（互学） 由空间向量基本定理可知： 如果三个向量 , , 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是 这个集合可看作由向量 , , 生成的，我们把叫做空间的一个基底， , , 都叫做基向量， 注：空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. ①叫做空间的一个基底， ② , , 都叫做基向量. 四 探究新知3——单位正交基底与正交分解（互学） 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1， 那么这个基底叫做单位正交基底，常用 表示， 由空间向量基本定理可知，对空间中的意向量均可以分解为三个向量，使 像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. ①单位正交基底: 三个基向量两两垂直，且长度都为1; ②正交分解：. 五 小结（互学） 空间向量基本定理 由空间向量基本定理可知，如果把三个不共面的向量作为空间的一个基底，那么所有空间向量都可以用三个基向量表示出来. 提示① 进一步地，所有空间向量间的运算都可以转化为基向量间的运算，这为解决问题带来了方便, 提示② 六 小组合作、讨论交流(自学) 各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题： 方法提示：这道题考察了空间向量基本定理的实际运用. 例1 如图， 是四面体的棱的中点，点在线段 上，点在线段上，且，， 试用向量，，表示. 七 成果展示(迁移变通) 解：∵向量 是空间中三个不共面的向量 ∴ 据空间向量基本定理可得 例1 如图， 是四面体的棱的中点，点在线段 上，点在线段上，且，， 试用向量，，表示. 八 提升演练(检测实践) 证明：设, 这三个向量不共面，构成空间的一个基底，我们可以用它们表示，, 则, ∵ 例2 如图，在平行六面体中，，，分别为的中点， 求证. 4 4 5 ∴ 故 温馨提示：利用空间向量解决立体几何问题是我们学习空间向量的意义所在. 八 提升演练(检测实践) 例3 如图，正方体的棱长为1,分别为的中点. (1)求证:; (2)求与所成角的余弦值. 证明（1）： 设, ∵ 构成空间的一个单位正交基底， ∴ ∴ ∴ (向量共线定理) ∴ 解（2）∵ ∴ 故所成角的余弦值为 课堂小结 九 今天我们学习了哪些内容？ 1.认识与理解了空间向量基本定理及其意义，基底与基向量，以及单位正交基底；（数学抽象） 2.根据空间向量基本定理，熟练掌握了利用基底表示空间向量的方法与技巧.（数学运算、逻辑推理） 十 学生自评 请小老师组对所负责组员的课堂表现进行评价 十一 家庭作业 1.整理导学案中本节课知识点并记背； 2.完成导学案上相关题型. $$